如皋市2022-2023學年度高三上學期期中數(shù)學試題解析版

如皋2022-2023學年高三上學期期中調研模擬測試2022.10數(shù)學2022.10設集合X是實數(shù)集R的子集，如果點滿足：對任意，都存在，使得，稱為集合X的聚點，則在下列集合中：①②③④以0為聚點的集合有個(

)A.1 B.2 C.3 D.0【答案】B

【解析】【分析】本題的考點是函數(shù)恒成立問題，主要考查的知識點是集合元素的性質，其中正確理解新定義--集合的聚點的含義，是解答本題的關鍵，屬較難題.

根據(jù)集合聚點的新定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質，并判斷是否滿足集合聚點的定義，進而得到答案．【解答】解：①集合，對任意的a，都存在實際上任意比a小得數(shù)都可以，

使得，

是集合的聚點；

②對于某個，比如，

此時對任意的，都有或者，

也就是說不可能，從而0不是的聚點；

③集合中的元素是極限為0的數(shù)列，對于任意的，存在，使，

是集合的聚點；

④中，集合中的元素是極限為1的數(shù)列，除了第一項0之外，其余的都至少比0大，

在的時候，不存在滿足得的x，

不是集合的聚點；

故答案為：兩個，故選：B

設命題p：，命題q：，那么命題p是命題q的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分不必要條件【答案】A

【解析】【分析】本題考查不等式的性質，充分條件、必要條件的判斷.

根據(jù)不等式的性質判斷充分條件和必要條件，是基礎題.【解答】解：命題，則，或，

當，時，則，所以，

當，時，則，所以，

所以當時，成立，

當時，，

則，或，，不能得出，

所以命題p是命題q的充分不必要條件.

故選

關于復數(shù)，下列說法正確的是(

)A.若，則或

B.復數(shù)與分別對應向量與，則向量對應的復數(shù)為

C.若點Z的坐標為，則z對應的點在第三象限

D.若復數(shù)z滿足，則復數(shù)z對應的點所構成的圖形面積為【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查復數(shù)的幾何意義，考查了復數(shù)模的幾何意義，考查向量的運算，屬于基礎題.

對于A，結合特殊值法，即可求解；對于B，結合向量的運算法則，即可求解；對于C，結合復數(shù)的幾何意義，即可求解；對于D，結合復數(shù)模的幾何意義，即可求解.【解答】解：令，滿足，故A錯誤；

復數(shù)與分別對應向量與，

則，不是，故B錯誤；

點Z的坐標為，

復數(shù)z對應的點在第二象限，故C錯誤；

設，a，，

復數(shù)z滿足，

，

復數(shù)z對應的點所構成的圖形面積為

，故D正確.

故選

油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術節(jié)．活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為1的圓，圓心到傘柄底端的距離為1，陽光照射油紙傘在地面上形成了一個橢圓形的影子春分時，該市的陽光照射方向與地面的夾角為，若傘柄底端正好位于該橢圓的左焦點位置，則(

)A.該橢圓的離心率為 B.該橢圓的離心率為

C.該橢圓的半焦距為 D.該橢圓的焦距為【答案】B

【解析】【分析】本題考查橢圓的幾何性質，正弦定理，考查轉化能力與推理能力，屬于中檔題.

由題意，得到a，c之間的關系，然后在中運用正弦定理，求出a，c，從而得到橢圓離心率以及焦距.【解答】解：如圖，A，B分別是橢圓的左、右頂點，是橢圓的左焦點，BC是圓的直徑，D為該圓的圓心.

因為，，所以，

設橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，則

因為，，，，所以，

解得，所以，

所以，

故選

已知數(shù)列的前n項和為，且記為數(shù)列的前n項和，則使成立的最小正整數(shù)為(

)A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的遞推關系，等比數(shù)列的判定和求和公式，屬于難題.

根據(jù)，得出數(shù)列是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，從而得出數(shù)列的首項和公比，再運用等比數(shù)列的求和公式即可求解結果.【解答】解：由，可知，

，即

時，，，，

數(shù)列是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列.

又，

數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.

，，即，

又的最小值為

故選：

已知，，，，則的值為

(

)A. B. C. D.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系、兩角和與差的三角函數(shù)公式，考查學生三角恒等變形能力，意在考查學生三角函數(shù)化簡、計算能力，屬于基本題.

利用二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系、兩角和與差的三角函數(shù)公式直接求解即可.【解答】解：，，

，

即，

解得或舍去，

，

則，

，

，

，，

由，知

，

又，

則，

所以，

故選

在正三棱錐中，O是的中心，，則(

)A. B. C. D.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了空間向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題?！窘獯稹拷猓呵覟楣实酌鍭BC，，在中，故

設，，，則(

)A. B. C. D.【答案】D

【解析】【分析】本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質比較大小，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于較難題.

構造函數(shù)，，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，可得，，可得，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質及基本不等式即可得，從而即可得結論.【解答】解：，，，所以函數(shù)在上單調遞增，

所以當時，，即，

所以

，，，所以函數(shù)在上單調遞減，

所以當時，，即，

所以，，

可得

，

所以

故選

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）若，則下列說法正確的有(

)A.的最小正周期是

B.方程是的一條對稱軸

C.的值域為

D.，，對R都滿足，是實常數(shù)【答案】BC

【解析】【分析】本題主要考查的是函數(shù)的周期性，函數(shù)的對稱性，函數(shù)的值域，誘導公式，三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.

由與的關系可判斷A，通過與的關系可判斷B，利用三角函數(shù)的值域求得函數(shù)在上的值域，利用函數(shù)的周期性即可得到的值域判斷C，利用在上的對稱性即可得到函數(shù)上的對稱性，判斷【解答】解：由題，，

所以的一個周期為，A錯誤；

因為

又，

即有，

所以是的對稱軸，B正確；

由于的最小正周期為，

所以當時，，

所以函數(shù)的值域為，C正確；

因為當時，，不存在中心對稱點，

的周期為，所以在R上不存在中心對稱點，

故不存在a，，使得對R都滿足，是實常數(shù)，故D錯誤；

綜上，正確的是

已知數(shù)列滿足，，則(

)A. B.是遞增數(shù)列

C.是遞增數(shù)列 D.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的遞推關系和單調性，屬于一般題.

利用遞推關系和數(shù)列的單調性逐個判斷即可.【解答】解：對于A，已知，，

則，所以數(shù)列的各項均為正數(shù)，

即，故，

所以，當且僅當時取等號，故A正確;

對于B，由A可得為正數(shù)數(shù)列，且，則，

故為遞增數(shù)列，且，

根據(jù)對勾函數(shù)的單調性，為遞增數(shù)列，故B正確;

對于C，由，

由題意，，即，可知不是遞增數(shù)列;

對于D，因為，，則，

結合A選項的過程可知，數(shù)列單調遞增，且當且時，，

即可得當且時，，

又當且時，，，，，

上述個不等式兩邊相加可得，即，

當時，，則當時，，又，則，

所以，于是又有當且時，，

當時，也適合上式，

綜上可知，當時，，故D正確.

已知拋物線的焦點為F，拋物線C上的點到點F的距離是2，P是拋物線C的準線與x軸的交點，A，B是拋物線C上兩個不同的動點，O為坐標原點，則(

)A.

B.若直線AB過點F，則

C.若直線AB過點F，則

D.若直線AB過點P，則【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關系，屬于較難題.

對于A，利用拋物線的定義求得拋物線的方程，然后將點M的坐標代入即可求解；

對于B，設出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系以及向量數(shù)量積的坐標運算即可求解；

對于C，先寫出點P的坐標，然后得到直線PA與PB的斜率之和為0，從而得到直線PF平分，再根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理即可得解；

對于D，設出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系得到，然后利用拋物線的定義及基本不等式得到，結合即可得解．【解答】解：由題意得，則，故拋物線C的方程為，

將代入拋物線的方程，得，解得，所以A不正確；

設，，易知直線AB的斜率不為零，當直線AB過點時，

可設直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，

化簡得：，則，，

所以，所以，所以B正確；

易知，則由選項B得

，

所以直線PF平分，所以，選項C正確；

因為直線AB過點，且斜率不為零，

所以設直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，

易得，所以

因為，，且，

所以，

又，所以，所以D正確．

故選

已知某四面體的四條棱長度為a，另外兩條棱長度為b，則下列說法正確的是注：，，，則，當且僅當時，等號成立(

)A.若且該四面體的側面存在正三角形，則

B.若且該四面體的側面存在正三角形，則四面體的體積

C.若且該四面體的對棱均相等，則四面體的體積

D.對任意，記側面存在正三角形時四面體的體積為，記對棱均相等時四面體的體積為，恒有【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查空間幾何體結構特征，多面體的體積與側面積，屬中檔題.

根據(jù)四面體的結構特征及多面體的體積與側面積公式，結合基本不等式逐個判斷即可.【解答】解：對于A，如圖所示，依題意不妨設，，

設E是CD中點，則，，

，，設，則，

在中，，即，

由，，

所以，故A正確；

對于B，如圖所示，

依題意不妨設，，E是CD中點，

則，，又，AE、平面ABE，

所以平面ABE，

設，則，，

所以，

當時，，當時，等號成立，故B錯誤；

對于C，如圖所示，依題意不妨設，，E是CD中點，

則，，又，AE、平面ABE，

所以平面ABE，

在中，，

所以，

所以

，當且僅當時取等號，

故當時，故C正確；

對于D，由上可知，，，

所以，故D正確，

故選

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知函數(shù)為奇函數(shù)，，若函數(shù)與圖象的交點為，，?，，則__________.【答案】3m

【解析】【分析】本題考查抽象函數(shù)的運用，考查函數(shù)的對稱性的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題.

由題意可得的圖象關于點對稱，函數(shù)的圖象關于點對稱，再根據(jù)對稱性即可得到答案.【解答】解：由函數(shù)為奇函數(shù)，

可知函數(shù)圖象關于點對稱，

又函數(shù)的圖象也關于點對稱，

因此兩函數(shù)圖象的交點也關于點對稱.

則有

故答案為

已知直線l1與直線相交于點P，線段是圓的一條動弦，且，則的最大值為__________.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查了直線過定點，圓的軌跡方程以及圓與圓的位置關系的應用，屬于難題.

由已知得到，過定點，過定點，從而得到點P軌跡為圓，設圓心為M，作垂直線段，求得，求得點D的軌跡方程，從而結合圓的性質求得的最大值，再由得答案.【解答】解：設P點坐標

由題意得圓C的圓心為，半徑，易知直線恒過點，直線恒過，且，則，即點的軌跡為，圓心為，半徑為，若點D為弦的中點，位置關系如圖：連接，由易知.，

故答案為

已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，點O為其外接圓的圓心.已知，則當角C取到最大值時，的面積為__________.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查解三角形的相關知識，具有一定綜合性，屬于中檔題.

設AC中點為D，則利用向量的加減運算得到以此求出，然后利用余弦定理和不等式確定角C取得最大時b的值，最后利用勾股定理確定三角形ABC為直角三角形，進而得出面積.【解答】解：設AC中點為D，

則

，

所以，即，

由知，角C為銳角，

故

，

當且僅當，即時最小，

又在上單調遞減，故C最大．

此時，恰有，即為直角三角形，

故填

阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體組成，目前發(fā)現(xiàn)了共有13個這種幾何體，而截角四面體就是其中的一種，它是由一個正四面體分別沿每條棱的三等分點截去四個小正四面體而得，已知一截角四面體的棱長為①每一個截角四面體共有18條棱，12個頂點;②該截角四面體的表面積為③該截角四面體的外接球半徑為則上述所有正確結論的序號是__________.【答案】①③

【解析】【分析】本題考查棱錐的表面積及外接球的半徑，屬于中檔題.

由條件可得每截去一個角，就增加了3條棱，2個頂點，即可判斷①；截角四面體表面由4個等邊三角形和4個正六邊形構成，計算可得表面積，從而判斷②；由正四面體的對稱性可知截角四面體的外接球的球心O在原正四面體的高上，結合圖形計算可得該截角四面體的外接球半徑，可判斷③.【解答】解：每截去一個角，就增加了3條棱，2個頂點，

所以截角四面體的棱數(shù)為，

頂點數(shù)為，①正確;

截角四面體表面由4個等邊三角形和4個正六邊形構成，

所以表面積為，②錯誤;

如圖，

是下底面正六角形ABCDEF的中心，是上底面正三角形MNG的中心，

由正四面體的對稱性可知截角四面體的外接球的球心O在原正四面體的高上，

，

設球O的半徑為R，在中，，

所以，

在中，，

所以，

所以，

解得，所以，③正確.

故答案為①③

四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分記內(nèi)角的對邊分別是，已知求證：；求的取值范圍.【答案】解：由得：，即，

兩邊同時除以得：

即，

所以

因此得證；

設①，其中，

代入可得②，

由三角形性質：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，

得：，

即③，

將①②代入③得，

整理得且解得，得

因為，

顯然在上單調遞增，

所以

【解析】本題考查同角三角函數(shù)基本關系，正弦定理、不等式性質的應用，屬于中檔題.

首先化簡條件中的正切等式，再將正切寫成正弦和余弦，最后利用正弦定理，角化為邊，即可證明；

首先設，利用三角形的性質的，化簡后可得k的取值范圍，再計算的取值范圍.

本小題分圖1是由矩形、等邊和平行四邊形組成的一個平面圖形，其中，，N為的中點．將其沿AC，AB折起使得與重合，連結，BN，如圖證明：在圖2中，，且B，C，，四點共面；在圖2中，若二面角的大小為，且，求直線AB與平面所成角的正弦值．【答案】證明：取AC的中點M，連接NM，BM，

因為為矩形，所以，

又因為ABC為等邊三角形，

則，，MN，平面BMN，

所以平面BMN，

又平面BMN，所以；

在圖2矩形滿足，

平行四邊形滿足，所以，

故B，C，，四點共面；

解：由知，，

故過棱上一點M，在兩個半平面內(nèi)MN，MB均與棱垂直，

所以為二面角的平面角，

以M為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

，，，，

，，，

設平面的法向量為，

由，得，

令，則，，

則，

由得，，

設直線AB與平面所成角為，

則

【解析】本題考查空間線線位置關系，線面垂直的判定與性質，考查空間線面的角度問題和二面角概念的應用，屬于中檔題.

根據(jù)所給條件，通過直線AC與平面垂直，完成線面垂直，再根據(jù)所給條件，通過平行公理，得到，完成共面證明；

構建空間直角坐標系，求出平面的法向量的一個坐標及的坐標，通過坐標運算求出其正弦值即可.

本小題分

已知數(shù)列滿足，

證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式;

若記為滿足不等式的正整數(shù)k的個數(shù)，數(shù)列的前n項和為，求關于n的不等式的最大正整數(shù)解.【答案】解：由，取倒數(shù)得，

即，

所以為公差為的等差數(shù)列，當時，，所以這樣的k有個，，，，兩式相減得：

，所以，，在定義域內(nèi)單調遞增.，，，所以最大正整數(shù)解為

【解析】本題考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的判定，錯位相減求和，屬于難題.

由數(shù)列的遞推公式，得，所以為公差為的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式得數(shù)列的通項公式；

由錯位相減法求數(shù)列的前n項和為，由函數(shù)的單調性得不等式成立時n的最大整數(shù)解.

本小題分如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，是正三角形，且平面平面ABCD，，P為棱AD的中點，四棱錐的體積為若E為棱SB的中點，求證：平面SCD；在棱SA上是否存在點M，使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點M的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.【答案】證明：

取SC中點F，連接，

分別為的中點，

，，

底面四邊形ABCD是矩形，P為棱AD的中點，

，

，，

故四邊形PEFD是平行四邊形，

又平面SCD，平面SCD，

平面

假設在棱SA上存在點M滿足題意，

在等邊中，P為AD的中點，所以，

又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，

平面ABCD，則SP是四棱錐的高．

設，則，，

，所以

以點P為原點，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，

故，，

設，

設平面PMB的一個法向量為，

則

，

取

易知平面SAD的一個法向量為，

，

，

故存在點M，位于AS靠近點S的三等分點處滿足題意.

【解析】本題主要考查線面平行的判定以及利用空間向量求面面夾角，屬于較難題.由題可得，由線面平行的判定定理即證；由題可得SP是四棱錐的高，結合條件可得AD的長，建立空間直角坐標系，設，利用條件列方程，即可解得.

本小題分作斜率為的直線l與橢圓交于兩點，且在直線l的左上方.當直線l與橢圓C有兩個公共點時，證明直線l與橢圓C截得的線段AB的中點在一條直線上；證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.【答案】解：設直線直線l與橢圓C截得的線段AB的中點為，

將代入中，化簡整理得，

于是有，代入消去m得，

即

當直線l與橢圓C有兩個公共點時，證明直線l與橢圓C截得的線段AB的中點在一條直線上.

證明：由得：

因為

所以

從而，又P在直線l的左上方，因此，的角平分線是平行于y軸的直線，

所以的內(nèi)切圓的圓心在直線上.

【解析】本題主要考查了直線與橢圓的位置關系、圓錐曲線中點的軌跡求解、與橢圓有關的定值問題，屬于中檔題.

設直線l的方程及點A，B，M的坐標，將直線方程代入橢圓方程消元后整理，利用一元二次方程