集合間的基本運(yùn)算

集合的基本運(yùn)算一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集.2.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用.3.能夠利用交集、并集的性質(zhì)解決有關(guān)問題．4.了解全集的意義和它的記法．理解補(bǔ)集的概念，能正確運(yùn)用補(bǔ)集的符號(hào)和表示形式，會(huì)用圖形表示一個(gè)集合及其子集的補(bǔ)集.5.會(huì)求一個(gè)給定集合在全集中的補(bǔ)集，并能解答簡(jiǎn)單的應(yīng)用題．二、知識(shí)梳理1．并集和交集的概念及其表示類別概念自然語言符號(hào)語言圖形語言并集由所有屬干集合A或者AUB二{xlxWA，或XWB}屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作AUB（讀作“A并B”）交集由屬干集合A且屬干集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AAB（讀作“A交B”）AAB={x|x￡A，且xWB}2.并集與交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的運(yùn)算性質(zhì)交集的運(yùn)算性質(zhì)AUB二BUAAGB二BGAAUA二AAGA二AAU0二AAA0=0A^BOAUB=BA^BOAAB^A3．全集（1）定義：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集．

⑵記法：全集通常記作U.4．補(bǔ)集文字語言對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬干集合A的所有兀素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作JA符號(hào)語言ruA={x|xeU.且x年A}圖形語言5.補(bǔ)集的性質(zhì)CoU=0,CO0=U,CU(CUA)=A.三、典型例題知識(shí)點(diǎn)一集合并集的簡(jiǎn)單運(yùn)算例1(1)設(shè)集合M二{4,568}，集合N={3,5,7,8}，那么MUN等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8}C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,8}(2)已知集合P={x|x<3},Q二{X|-1WXW4}，那么PUQ等于()A.{x|—1Wx<3} B.{X|—1WXW4}C.{x|xW4}D.{x|x^—1}答案(1)A(2)C解析(1)由定義知MUN二{345,6,7,8}.(2)在數(shù)軸上表示兩個(gè)集合，如圖.規(guī)律方法解決此類問題首先應(yīng)看清集合中元素的范圍，簡(jiǎn)化集合，若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果；若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時(shí)，應(yīng)用“空心點(diǎn)”表示．跟蹤演練1⑴已知集合A二{x|(x-1)(x+2)=0}；B二{x|(x+2)(x-3)=0}，則集合AUB是()A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3}⑵若集合M二{x|—3<xW5},N={x|x<-5，或x>5}IJMuN二 .答案⑴C(2){x|x<—5,或x>—3}解析(1)tA二{1,—2},B二{—2,3},/?AuB={1,—2,3}.(2)將-3<XW5,x<—5或x>5在數(shù)軸上表示出來.則MuN={x|x<—5，或x>—3}.知識(shí)點(diǎn)二集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算例2⑴已知集合A二{0,246},B二{2,4,8,16}IJAQB等于()A．{2}B．{4}C．{0,2,4,6,8,16}D．{2,4}(2)設(shè)集合A二{X|—1WXW2},B二{x|0WxW4}，則AQB等于()A.{x|0WxW2}B.{X|1WXW2}C.{x|0WxW4}D.{x|1WxW4}答案(1)D (2)A解析(1)觀察集合A,B,可得集合A,B的全部公共元素是24所以APB={2,4}.⑵在數(shù)軸上表示出集合A與B,如下圖.則由交集的定義可得AQB二{X|0WXW2}.規(guī)律方法求交集就是求兩集合的所有公共元素組成的集合,和求并集的解決方法類似.5跟蹤演練2已知集合A={x|-1<x^3},B={x|x^0,或XN?}，求AQB,AuB.5解vA={x|-1<x^3},B二{x|xW0,或x三刖，把集合A與B表示在數(shù)軸上，如圖.5.??AQB二{x|—1<xW3}Q{x|xW0，或x^}5={x|—1<x^0,或2WXW3}；5AUB二{x|—1<xW3}U{x|xW0或x^2}=R-知識(shí)點(diǎn)三已知集合交集、并集求參數(shù)例3已知A二{x|2awxwa+3},B={x|x<—1,或x>5}，若AnB=0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由AnB=0,(1)若A=0，有2a>a+3,.??a>3.⑵若AM0,如下圖：Saw-1,1.?.<a+3W5, 解得-2Waw2.、2awa+3,1綜上所述，a的取值范圍是{a|-2waw2,或a>3}.規(guī)律方法1.與不等式有關(guān)的集合的運(yùn)算,利用數(shù)軸分析法直觀清晰,易于理解．若出現(xiàn)參數(shù)應(yīng)注意分類討論,最后要?dú)w納總結(jié).2.建立不等式時(shí),要特別注意端點(diǎn)值是否能取到,分類的標(biāo)準(zhǔn)取決于已知集合,最好是把端點(diǎn)值代入題目驗(yàn)證.跟蹤演練3設(shè)集合A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3}且AUB二{x|-1<x<3},求a的取值范圍.解如下圖所示,由AuB={x|-1<x<3}知，1<aw3.知識(shí)點(diǎn)四簡(jiǎn)單的補(bǔ)集運(yùn)算例4(1)設(shè)全集U={12345}，集合A={1,2}，則JA等于()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{123,4,5}D.0⑵若全集U=R，集合A={x|xw1}，則JA= .答案(1)B(2){x|x<1}解析(1)vU={1,2,3,4,5}，A={1,2}，??"={3,4,5}.⑵由補(bǔ)集的定義，結(jié)合數(shù)軸可得［uA={x|x<1}.規(guī)律方法1.根據(jù)補(bǔ)集定義，當(dāng)集合中元素離散時(shí)，可借助Venn圖；當(dāng)集合中元素連續(xù)時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解.2?解題時(shí)要注意使用補(bǔ)集的幾個(gè)性質(zhì)：[卩=0,[汽二U,AU(CuA)=U.跟蹤演練1已知全集U二{x|x^-3}，集合A二{x|-3<xW4}，則JA二 .答案{x|x=-3，或x>4}解析借助數(shù)軸得JA二{x|x=-3,或x>4}.知識(shí)點(diǎn)五交集、并集、補(bǔ)集的綜合運(yùn)算例5⑴已知集合A、B均為全集U二{123,4}的子集，且J(AUB)二⑷，B={1,2}，則AQjB等于()A?{3}B?{4}C?{3,4}D?0(2)設(shè)集合S={x|x>-2},T二{X|-4WXW1}，^I」([rS)UT等于()RA?{x|—2<xW1}B?{x|xW—4}C?{X|XW1}D?{X|XN1}答案(1)A(2)C解析(1)vU={1,2,3,4},CU(AUB)={4},???AUB二{1,2,3}?又vB={1,2},???{3}UAU{1,2,3}?又初二{3,4},?An[UB={3}?⑵因?yàn)镾={x|x>-2}，所以[rS二{x|xW-2}.R而T={x|—4WXW1},所以([rS)UT二{x|xW-2}U{x|-4WxW1}二{X|XW1}?規(guī)律方法1.集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算是同級(jí)運(yùn)算,因此在進(jìn)行集合的混合運(yùn)算時(shí),有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的,然后按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算．2．當(dāng)集合是用列舉法表示時(shí),如數(shù)集,可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當(dāng)集合是用描述法表示時(shí),如不等式形式表示的集合,則可借助數(shù)軸求解．跟蹤演練2設(shè)全集為R,A={x|3^x<7},B={x|2<x<10}，求[r(AuB)及([rA)QB.RR解把全集R和集合A、B在數(shù)軸上表示如下：由圖知，AuB={x|2<x<10},???[r(AuB)二{x|xW2,或XN10}.???JA二{x|x<3，或XN7},???([rA)QB二{x|2<x<3，或7Wx<10}.要點(diǎn)六補(bǔ)集的綜合應(yīng)用例6已知全集U二R,集合A={x|x<-1},B={x|2a<x<a+3}，且Bu[A,求a的取值范圍.R解由題意得[RA={x|x三-1}.R⑴若B=0,則a+3W2a，即a^3,滿足B^[A.R⑵若BM0，則由Bu[A,得2a^—1且2a<a+3,R1即-2^a<3.1綜上可得a三-刁.規(guī)律方法1.與集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算有關(guān)的求參數(shù)問題一般利用數(shù)軸求解,涉及集合間關(guān)系時(shí)不要忘掉空集的情況；2.不等式中的等號(hào)在補(bǔ)集中能否取到,要引起重視,還要注意補(bǔ)集是全集的子集.跟蹤演練3已知集合A={x|x<a},B={x<-1，或x>0}，若An([RB)=0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解?B={x|x<-1，或x>0},???[B={x|-1WXW0},R因而要使AQ([rB)=0,結(jié)合數(shù)軸分析(如圖)，R可得aw-1.四、課堂練習(xí)1?若集合A二{0,1,2,3},B二{1,2,4}，則集合AUB等于（）A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C?{1,2}D?{0}答案A解析集合A有4個(gè)元素，集合B有3個(gè)元素，它們都含有元素1和2,因此，AUB共含有5個(gè)元素?故選A.2?設(shè)A二{XENI1WXW10},B={xER|x2+x-6=0}，則如圖中陰影部分表示的集合為（）A?{2}B?{3}C?{-3,2}D?{-2,3}答案A解析注意到集合A中的元素為自然數(shù)，因此易知A二{123456789,10},而直接解集合B中的方程可知B二{-3,2},因此陰影部分顯然表示的是AQB二{2}.3?集合P二{XEZ|OWX<3},M二{XER|X2W9}IJPQM等于（ ）A．{1,2}B．{0,1,2}C.{x|0Wx<3}D.{x|0WxW3}答案B解析由已知得P二{0,1,2},M二{X|-3WXW3},故PPM={0,1,2}.4?已知集合A={x|x>2,或x<0},B={x|—j5<x<V5},則（）A.APB=0B.AUB=RC.BCAD.AUB答案B解析vA={x|x>2，或x<0},B={x|_\；5<x<T5},???AQB二{x|—V5<x<0,或2<x<、；5},AUB=R.故選B.5?設(shè)集合M二{x|-3Wx<7},N={x|2x+k^0}，若MQNM0，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 .答案kw6“ k解析因?yàn)镹={x|2x+kw0}={x|xW—2},k且MQNM0，所以—亍三—33kw6.?若全集M二{1,2,345},N={2,4}，則［mN等于（）A.0B.{1,3,5}C?{2,4}D.{1,2,345}答案B解析Cmn={1,3,5}，所以選B.7?已知全集U={1,2,345}，集合A={1,2},B={2,3,4}，貝則BQ.A等于（）A?{2}B?{3,4}C?{1,4,5}D?{2,345}答案B解析tU={1,2,345},A={1,2},/?CuA={3,4,5},/.BnCuA={2,3,4}P{3,4,5}={3,4}?8?已知M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=MnN,則P的子集共有（）A?2個(gè)B?4個(gè)C?6個(gè)D?8個(gè)答案B解析tP二{1,3},.??子集有22=4個(gè).9.已知全集U二Z，集合A={0,1},B={-1,0,1,2},則圖中陰影部分所表示的集合為（）A.{－1,2}B.{－1,0}C.{0,1}D.{1,2}答案A解析圖中陰影部分表示的集合為（JAMB,因?yàn)锳={0,1},B={-1,0,1,2},所以（JAMB二{-1,2}.10.若全集U=R，集合A={x|xN1}U{x|xW0}嘰$二 .答案{x|0<x<1}解析tA二{x|xN1}U{x|xW0},/?CuA={x|0<x<1}.五、鞏固訓(xùn)練1?已知集合A={x|x^0},B二{x|-1WxW2}，則AUB等于（）A.{x|xN—1}B.{x|xW2}C.{x|0<xW2}D.{x|1WxW2}答案A解析結(jié)合數(shù)軸得AUB={x|xN-1}.?已知集合M二{x|（x—1）2<4,XER},N二{—1,0,123}，則MQN等于（ ）A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}C?{—1,0,2,3}D?{0,1,2,3}答案A解析集合M={x|—1<x<3,XER},N二{—1,0,123}，^I」MQN二{0,1,2},故選A.?設(shè)集合M={x|X2+2x=0,XER},N={x|X2—2x=0,xER}，則MUN等于（ ）A?{0}B?{0,2}C?{—2.0}D?{-2,0,2}答案D解析集合M={0,—2},N={0,2},故MuN={-2,0,2}，選D.4?設(shè)集合M={x|—3<x<2},N={x|1WxW3}，則MQN等于（ ）A.{x|1Wx<2}B.{x|1WxW2}C.{x|2<xW3}D.{x|2WxW3}答案A解析tM={x|—3<x<2}且N={x|1WxW3},???MQN={x|1Wx<2}?5?設(shè)A二{x|-3wxw3},B二{y|y=-x2+t}?若AnB=，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.t<—3B.tW—3C.t>3D.tN3答案A解析B={y|ywt}，結(jié)合數(shù)軸可知t<-3.?若集合A={x|xw2},B={x|x^a}，滿足AnB={2}，則實(shí)數(shù)a二 答案2解析vAnB={x|awxw2}={2}，a=2.?已知集合A={x|—1Wx<3}，B={x|2x—4三x—2}.(1)求AnB；⑵若集合C={x|2x+a>0}，滿足BuC=C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)tB二{x|xN2},.?.AQB二{x|2Wx<3}.a(2)vC={x|x>~2},BUC=COBCC,a2<2,.°.a>-4.?集合A={0,2,a},B={1,a2}，若AUB={0,1,2,4,16}，則a的值為()A.0B.1C.2D.4答案D解析tAuB={0,1,2,a,a2},又AUB={0,1,2,4,16}，「?{a,a2}={4,16},「.a=4.已知集合A={x|—2WXW7},B={x|m+1<x<2m—1}，且BM0，若AUB=A，則( )A.—3WmW4B.—3<m<4C.2<m<4 D.2<mw4答案D解析???AUB=A,.?.BUA.又BM0,"m+1三一2,.叮2m—1W7, 即2<mw4.、m+1<2m—1,.設(shè)集合A={x|—1WxW2},B={x|—1<xW4},C={x|—3<x<2}且集合AQ(BuC)={x|aWXWb},^ga= ,b= .答案—12解析?BuC={x|-3<xW4},.A療(BUC).???AQ(BUC)=A,由題意{x|awxwb}={x|—1wxw2}..a=—1,b=2.11?已知A={x|—2WxW4},B={x|x>a}.⑴若AnBMA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；⑵若AQBM0，且AQBMA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)如圖可得，在數(shù)軸上實(shí)數(shù)a在-2的右邊，可得a^—2;⑵由于AQBM0,且AQBMA,所以在數(shù)軸上，實(shí)數(shù)a在-2的右邊且在4的左邊，可得-2wa<4.12?已知集合A二{x|-2wxw5},B二{x|2awxwa+3}，若AuB=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解\-AuB=A，aBcA.若B=0時(shí)，2a>a+3，即a>3；玄三—2,若BM0時(shí)，<a+3W5,、2awa+3,解得-1waw2,綜上所述，a的取值范圍是{a|-1waw2,或a>3}.?已知集合A二{x|2a+1wxw3a-5},B={x|x<-1,或x>16},分別根據(jù)下列條件求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(1)AQB=0;(2)AU(AQB).解(1)若A=0l」AQB=0成立.此時(shí)2a+1>3a-5,即a<6.2a+1W3a-5,若AM0，如圖所示，則12a+1^-1,、3a-5W16,

解得6waw7.綜上，滿足條件AQB=0的實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|aw7}.⑵因?yàn)锳U(AQB)，且(AQB)UA,所以AnB=A，即ACB.顯然A=0滿足條件，此時(shí)a<6.若AH若AH0，如圖所示,2a+1W3a-5,3a－5<－12a+1W3a—5,或〕2a+1>16.2a+1W3a—5，由U-5<-1 解得aE0；

15解得a＞亍2a+1W3a15解得a＞亍綜上，滿足條件AU(AQB)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a<6，或a>~p.?已知全集U二{123,4}，集合A={1,2},B={2,3}，則Cu(AuB)等于()A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}答案D解析???A={1,2},B={2,3},aAUB={1,2,3},/.Cu(AUB)={4}??已知A={x|x+1>0},B={—2,—1,0,1},I」([rA)QB等于()A.{－2,－1}B.{－2}C.{-1,0,1}D.{0,1}答案A解析因?yàn)榧螦={x|x>-1},所以[RA={x|xW-1},則([A)QB={x|xW-1}Q{-2,-1,0,1}R={-2,-1}.?設(shè)u=R,A={x|x>0},B={x|x>1},則aq(Cub)等于()A.{x|0Wx<1} B.{x|0<xW1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}答案B解析[uB={x|x^1},aAQ([uB)={x|0<x^1}..設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R,M={x|x<-2,或x>2},N={x|1WxW3}?如圖所示，則陰影部分所表示的集合為()A.{x|—2Wx<1} B.{x|—2WXW3}C.{x|xW2,或x>3}D.{x|—2WXW2}答案A解析陰影部分所表示的集合為Cu(MuN)=(CuM)n(CuN)={x|—2^x^2}P{x|x<1或x>3}={x|-2Wx<1}?故選A.5?已知集合A二{X|OWXW5},B二{x|2Wx<5},則二 .答案{x|0Wx<2,或x=5}解析如圖：由數(shù)軸可知：[AB={x|0^x<2,或x=5}.17.設(shè)全集U二R，集合A={x|x^O},B={y|y^1}，則JA與JB的包含關(guān)系是 答案JA削聲解析v[uA={x|x<0},[uB={y|y<1}={x|x<1}.???”Iub-' 518?已知全集U二R,A二{X|—4WXW2},B二{x|—1<xW3},P=]x|xWO，或x^2f，（1）求AQB；⑵求（[QUP；（3）求（AnB）n（Cup）?解（1）AnB二{x|—1<xw2}.⑵???[uB二{X|XW—1,或x>3},TOC\o"1-5"\h\z' 5/.（[uB）UP=^x|x^O，或x$2>?f 5、（3）?/[uP=^x|0<x<2[,f 5'/.（AnB）n（[uP）={x|—1<xw2}n]x|0<x<2卜{X|O<XW2}.19?已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2}，且AU（[R^）=R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.aW1B.a<1C.a三2D.a>2答案C解析如圖所示，若能保證并集為R,則只需實(shí)數(shù)a在數(shù)2的右邊（含端點(diǎn)2），所以a^2.20?如圖，丨是全集，M、P、S是丨的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（）A.（MQP）riSB.（MQP）USc.（Mnp）n（［s）d