集合間的基本關系

2021-2022學年高一上數學必修一1．2集合間的基本關系【學習目標】1?理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2?能用符號和Venn圖表達集合間的關系.3?掌握列舉有限集的所有子集的方法.知識tst理 抜理救材勢實基礎知識點一子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等定義符號表示圖形表示子集如果集合A中的任意一個兀素都是集合B中的元素，就稱集合A是集合B的子集AQB（或B2A）真子集如果集合AQB,但存在兀素x^B,且x年A，就稱集合A是集合B的真子集A_B（或B_A）集合相等如果集合A的任何一個兀素都是集合B的兀素，同時集合B的任何一個兀素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等A=BVenn圖用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖.子集的性質任何一個集合是它本身的子集，即ACA.對于集合A,B,C,如果ACB,且BUC,那么ACC.知識點二空集定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為色規(guī)定：空集是任何集合的子集.思考｛0｝與0相等嗎？答案不相等.｛0｝表示一個集合，且集合中有且僅有一個元素0；而0表示空集，其不含有任何元素，故｛0｝工0.-思考辨桁判斷正誤 空集中不含任何元素，所以0不是集合.(X)任何一個集合都有子集.(V)若A=B，則ACB且BCA.(V)空集是任何集合的真子集.(X)題型探究 探究童點素養(yǎng)提升 rt. v一、集合間關系的判斷例1(1)下列各式中，正確的個數是()｛0｝丘｛0,1,2｝:②｛0,1,2｝匸｛2,1,0｝；③0匸｛0,1,2｝；④0｛0｝；⑤｛0,1｝=｛(0,1)｝；⑥0=｛0｝.A.1B.2C.3D.4答案C解析對于①，是集合與集合的關系，應為｛0｝｛0,1,2｝；對于②，實際為同一集合，任何一個集合是它本身的子集；對于③，空集是任何集合的子集；對于④，｛0｝是含有單元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以0｛0｝；對于⑤，｛0,1｝是含有兩個元素0與1的集合，而｛(0,1)｝是以有序實數對(0,1)為元素的單點集，所以｛0,1｝與｛(0,1)｝不相等；對于⑥，0與｛0｝是“屬于與否”的關系，所以0丘｛0｝.故②③④是正確的.(2)指出下列各組集合之間的關系：?A=｛-1,1｝,B=｛(-1,-1),(T,1),(1,-1),(1,1)｝；?M=｛xlx=2n—1,n^N*｝,N=｛xlx=2n+1,n^N*｝.解①集合A的代表元素是數，集合B的代表元素是有序實數對，故A與B之間無包含關系.方法一兩個集合都表示正奇數組成的集合，但由于nGN*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N胚方法二由列舉法知M=｛1,3,5,7,…｝,N=｛3,5,7,9,…｝，所以NM.反思感悟判斷集合間關系的方法用定義判斷任意x￡A時，xGB，貝UACB.當AQB時，存在x^B,且x年A,則AB.若既有ACB，又有BCA，貝UA=B.數形結合判斷對于不等式表示的數集，可在數軸上標出集合，直觀地進行判斷，但要注意端點值的取舍.跟蹤訓練1能正確表示集合M=｛xGRl0WxW2｝和集合N=｛x￡Rlx2-x=0｝關系的Venn圖是()

答案B解析x2—x=0得x=l或x=0,故N={O,1},易得NM,其對應的Venn圖如選項B所示.二、 子集、真子集的個數問題例2已知集合M滿足{1,2}M{123,4,5}，寫出集合M所有的可能情況.解由題意可以確定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一個，因此依據集合M的元素個數分類如下：含有3個元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4個元素：{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}；含有5個元素：{1,2,3,4,5}.故滿足條件的集合M為{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.反思感悟公式法求有限集合的子集個數含n個元素的集合有2n個子集.⑵含n個元素的集合有(2n-1)個真子集.(3)含n個元素的集合有(2n-1)個非空子集.⑷含n個元素的集合有(2n-2)個非空真子集.跟蹤訓練2已知集合A={xlOWxv5，且x￡N}，則集合A的子集的個數為()A.15B.16C.31D.32答案D解析A={0,1,2,3,4},含有5個元素的集合的子集的個數為25=32.三、 集合間關系的應用例3已知集合A={xl—2WxW5},B={xlm+1WxW2m—1}，若BA,求實數m的取值范圍.m+1三一2,<m+1三一2,<2m一1<5,、2m—1三m+1m+1>—2,或'2m—1W5,、2m—1三m+1,解這兩個不等式組，得2WmW3.

（2）當B=0時，由m+l>2m—l,得m<2.綜上可得，m的取值范圍是{mlmW3}.延伸探究1.若本例條件“A={xl—2WxW5}”改為“A={xl—2<x<5}”，其他條件不變，求m的取值范圍.解（1）當B=0時，由m+1>2m—1,得m<2.（2）當BM0時，如圖所示.m>—m>—3,解得<m<3,、m三2,舊41—2 52^-1m+1>—2,<2m—1<5，、m+1W2m—1,即2Wm<3,綜上可得，m的取值范圍是{mlm<3}.2.若本例條件“BA”改為“ACB”，其他條件不變，求m的取值范圍.解當AQB時，如圖所示，此時BM0.m>2,即'mW—3,m>2,即'mW—3,、m±3.<m+1W—2,、2m—1三5,.*.m不存在.即不存在實數m使AQB.反思感悟（1）利用數軸處理不等式表示的集合間的關系問題時，可化抽象為直觀，要注意端點值的取舍，“含”用實心點表示，“不含”用空心點表示.⑵涉及到“ACB”或“AB且BM0”的問題，一定要分A=0和AM0兩種情況討論，不要忽視空集的情況.跟蹤訓練3若集合A={xl1<x<2},B={xlx>a}，滿足AB,則實數a的取值范圍是（ ）A.{ala三2} B.{alaW1}C.{ala三1} D.{alaW2}答案B解析如圖所示，AB,H A—i ?ti] 2 K所以aWl.隨堂演練 恙咄鞏固學琳致用 m 下列四個集合中，是空集的是（）A.{0} B.{xlx>8,且x<5}C.{x￡N1x2—1=0} D.{xlx>4}答案B解析選項A,C,D都含有元素，而選項B中無元素，故選B.已知集合A={xl—1—x<0}，則下列各式正確的是（）A.0CAB.{0}GAC.0GAD.{0}CA答案D解析集合A={xl-1-x<0}={xlx>-1}，所以0GA,{0}CA,0CA,D正確.已知A={xlx是菱形},B={xlx是正方形},C={xlx是平行四邊形},那么A,B,C之間的關系是（）A.ACBCC B.BCACCC.ABCC D.A=BQC答案B解析集合A,B,C關系如圖.已知集合A={—1,3,m},B={3,4},若BQA，則實數m= .答案4解析???BCA,?°?元素3,4必為A中元素，?°.m=4.已知集合A={xlx21或xW—2},B={xlx2a},若BA,則實數a的取值范圍是 .答案a三1解析?BA,?a三1.-課堂小結 知識清單：（1）子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合間關系的判斷.（2） 求子集、真子集的個數問題.（3） 由集合間的關系求參數的值或范圍.方法歸納：數形結合、分類討論.常見誤區(qū)：忽略對集合是否為空集的討論，忽視是否能夠取到端點.課時對點練 注垂服基侵化落窩 \ M基礎鞏固1.已知集合A={O,1},則下列式子錯誤的是（）A.0GA B.{1}GAC.0CA D.{0,1}CA答案B解析???{1}CA,???{1}WA錯誤，其余均正確.2?集合{1,2}的子集有（）A.4個B.3個C.2個D.1個答案A解析集合{1,2}的子集有0,{1},{2},{1,2}共4個.下列表述正確的有（）空集沒有子集；任何集合都有至少兩個子集；空集是任何集合的真子集；若0A,則AM0.A.0個B.1個C.2個D.3個答案B解析0匸0,故①錯；0只有一個子集，即它本身?所以②錯；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以③錯；而④正確，故選B.已知集合A={xlx2-3x+2=0,xWR},B={xl0<xv5,x^N},則滿足條件ACCCB的集合C的個數為（）A.1B.2C.3D.4答案D解析由題意知：A={1,2},B={1,2,3,4}.又AQCQB，則集合C可能為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.設集合A={x,y},B={0,x2}，若A=B，貝V2x+y等于（ ）A.0B.1C.2D.-1答案C解析由A=B,得x=0或y=0.當x=0時，X2=O,此時B={0,0}，不滿足集合中元素的互異性，舍去；當y=0時，x=x2，則x=0或x=l.由上知x=0不合適，故y=0,x=1,經驗證，符合題意，則2x+y=2.集合0和{0}的關系表示正確的有 .(把正確的序號都填上)TOC\o"1-5"\h\z①{0}=0；②{0}丘0:③{0}匸0；④? {0}.答案④解析0沒有任何元素，而{0}中有一個元素，顯然0工{0},又0是任何非空集合的真子集，故有0 {0},所以④正確，①②③不正確.集合A={xl1<x<6},B={xlx<a}，若ACB，貝Va的取值范圍為 .答案{ala三6}解析VA={xl1<x<6},B={xlx<a}，由ACB，結合數軸可知a三6.已知集合A={xlax2+2x+a=0,a^R},若集合A有且僅有2個子集，則a的取值構成的集合為 .答案{0,1,-1}解析因為集合A有且僅有2個子集，所以A中僅有一個元素，當a=0時，方程化為2x=0,方程只有一個根x=0,符合題意.當aM0時，方程ax2+2x+a=0有兩個相等的實數根，A=22—4?a?a=0,即a2=1,?°.a=±1.此時A={—1}或A={1}，符合題意./.a=0或a=±1.已知集合A={(x,y)lx+y=2,x,y^N}，試寫出A的所有子集.解因為A={(x,y)lx+y=2,x,y^N}.所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有：，{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.已知集合A={xl1WxW2},B={xl1WxWa,a三1}.(1)若AB,求a的取值范圍；⑵若BCA,求a的取值范圍.解(1)若AB,由圖可知，a>2.fi0-1；X故實數a的取值范圍為{ala>2}.⑵若BA,由圖可知，lWaW2.A0]￡f> X故實數a的取值范圍為{al1WaW2}.M綜合運用若集合A={xlx=2k+1,kWZ},B={xlx=2k-1,kWZ},C={xlx=4k—1,k^Z},則A,B,C的關系是( )A.CA=B B.ACCCBC.A=BC D.BCACC答案A解析VA={xlx=2(k+1)-1,kWZ},B={xlx=2k-1,k^Z},C={xlx=2?2k—1,k^Z},:.CA=B，故選A.設集合M={(x,y)lx+yvO,xy>0}和P={(x,y)lx<0,y<0},那么M與P的關系為 .答案M=P解析因為xy>0,所以x,y同號，又x+yvO,所以x<0,y<0,即集合M表示第三象限內的點，而集合P表示第三象限內的點，故M=P.已知集合P={xlx2=1}，集合Q={xlax=1}，若QUP，那么實數a的值是 .答案0,±1解析由題意得P={—1,1},又因為QQP,若Q=0,則a=0,此時滿足QUP,若Q豐0，則Q=xx=a爲由題意知，+=1或2=—1，解得a=±1.綜上可知，實數a的值u a a是0,±1.已知集合A={x￡Rlx2+x=0}，則集合A= 若集合B滿足{0}BCA,則集合B答案{—1,0} {—1,0}解析解方程X2+x=0,得x=—1或x=0,???集合A={xGRlx