南京市2015-2016學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)情調(diào)研

高一數(shù)學(xué)期末調(diào)研第3頁共4頁南京市2015－2016學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)情調(diào)研高一數(shù)學(xué)2016.01注意事項：1．本試卷共4頁，包括填空題（第1題~第14題）、解答題（第15題~第20題）兩部分．本試卷滿分為100分，考試時間為100分鐘．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、學(xué)號寫在答題卡的密封線內(nèi)．試題的答案寫在答題卡上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)．考試結(jié)束后，交回答題卡．一、填空題：本大題共14小題，每小題3分，共42分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,eq\r(x–3))的定義域是▲．2．集合{0，1}的子集的個數(shù)為▲．3．求值：log345－log35＝▲．4．已知角的終邊經(jīng)過點P(2，－1)，則sin的值為▲．5．已知扇形的半徑為3cm，圓心角為2弧度，則扇形的面積為▲cm2．6．函數(shù)f(x)＝cos(x－eq\f(,3))，x[0，eq\f(,2)]的值域是▲．7．三個數(shù)a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之間的大小關(guān)系是▲（用a，b，c表示，并用“＜”連結(jié)）．ABCDEF（第9題）8．將函數(shù)y＝sin2x的圖象向右平移eq\f(,6)個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式是ABCDEF（第9題）9．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝2，且eq\o(BE,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\o(EC,\d\fo1()\s\up7(→))，eq\o(DF,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\F(1,2)eq\o(FC,\d\fo1()\s\up7(→))，則eq\o(AE,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(BF,\d\fo1()\s\up7(→))＝▲．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3,x)－log2x的零點為x0，若x0(k，k＋1)，其中k為整數(shù)，則k＝▲．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則f[f(eq\f(1,2))]＝▲．12．已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋)上是單調(diào)增函數(shù)，且f(lgx)＜f(1)，則x的取值范圍是▲．13．若函數(shù)f(x)＝m·4x－3×2x＋1－2的圖象與x軸有交點，則實數(shù)m的取值范圍是▲．14．若函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋eq\f(,3))(ω＞0)在區(qū)間[0，2]上取得最大值1和最小值－1的x的值均唯一，則ω的取值范圍是▲．二、解答題：本大題共6小題，共58分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分8分）已知sinx＝eq\f(4,5)，其中0≤x≤eq\f(,2)．（1）求cosx的值；（2）求eq\f(cos(－x),sin(eq\f(,2)－x)－sin(2－x))的值．16．（本小題滿分10分）已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，c＝(3，4)．（1）求a·(b＋c)；（2）若(a＋b)∥c，求實數(shù)的值．17．（本小題滿分10分）經(jīng)市場調(diào)查，某商品在過去20天的日銷售量和日銷售價格均為銷售時間t(天)的函數(shù)，日銷售量(單位：件)近似地滿足：f(t)＝－t＋30(1≤t≤20，tN*)，日銷售價格(單位：元)近似地滿足：g(t)＝eq\b\lc\{(\a\al(2t+40，1≤t≤10，tN*，,15，11≤t≤20，tN*．))（1）寫出該商品的日銷售額S關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系；（2）當(dāng)t等于多少時，日銷售額S最大？并求出最大值．18．（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)＝Asin(x＋)（A＞0，＞0，0＜＜2）的部分圖象如圖所示，eq\f(,6)eq\f(5,6)yxO–2eq\f(,6)eq\f(5,6)yxO–2（第18題）●●（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的解析式，并寫出它的單調(diào)增區(qū)間．19．（本小題滿分10分）已知|a|＝eq\r(10)，|b|＝eq\r(5)，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b．（1）當(dāng)bc時，求實數(shù)x的值；（2）當(dāng)|c|取最小值時，求向量a與c的夾角的余弦值．20．（本小題滿分10分）對于定義在[0，＋)上的函數(shù)f(x)，若函數(shù)y=f(x)－(ax＋b)滿足：①在區(qū)間[0，＋)上單調(diào)遞減；②存在常數(shù)p，使其值域為(0，p]，則稱函數(shù)g(x)＝ax＋b為f(x)的“漸近函數(shù)”．（1）證明：函數(shù)g(x)＝x＋1是函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋3,x＋1)，x[0，＋)的漸近函數(shù)，并求此時實數(shù)p的值；（2）若函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋1)，x[0，＋)的漸近函數(shù)是g(x)＝ax，求實數(shù)a的值，并說明理由．南京市2015－2016學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)情調(diào)研高一數(shù)學(xué)參考答案2016.01說明：1．本解答給出的解法供參考．如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則．2．對計算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給中間分?jǐn)?shù)．一、填空題：本大題共14小題，每小題3分，共42分．1．(3，＋)2．43．24．－eq\f(eq\r(5),5)5．96．[eq\f(1,2)，1]7．b＜a＜c8．y＝sin(2x－eq\f(,3))9．－410．211．eq\f(1,2)12．(eq\f(1,10)，10)13．(0，＋)14．[eq\f(7,12)，eq\f(13,12))二、解答題：本大題共6小題，共58分．15．解（1）因為sin2x＋cos2x＝1，所以cos2x＝1－sin2x＝1－(eq\f(4,5))2＝eq\f(9,25)．………2分又因為0≤x≤eq\f(,2)，故cosx≥≤0，所以cosx＝eq\f(3,5)．…4分（2）原式＝eq\f(cosx,cosx―(―sinx))＝eq\f(cosx,cosx＋sinx)………7分＝eq\f(eq\f(3,5),eq\f(3,5)＋eq\f(4,5))＝eq\f(3,7)．………8分16．解（1）因為b＋c＝(3，－2)＋(3，4)＝(6，2)，………2分所以a·(b＋c)＝(2，－1)·(6，2)＝12－2＝10．………5分（2）因為a＋b＝(2，－1)＋(3，－2)＝(2＋3，－1－2)，又(a＋b)//c，所以4(2＋3＝3(－1－2)，………8分解得＝－eq\f(11,18)．………10分17．解（1）由題意知，S＝f(t)·g(t)＝eq\b\lc\{(\a\al((2t＋40)(－t＋30)，1≤t≤10，tN*，,15(－t＋30)，11≤t≤20，tN*．))…………4分（2）當(dāng)1≤t≤10，tN*時，S＝(2t＋40)(－t＋30)＝－2t2＋20t＋1200＝－2(t－5)2＋1250．因此，當(dāng)t＝5時，S最大值為1250；………7分當(dāng)11≤t≤20，tN*時，S＝15(－t＋30)＝－15t＋450為減函數(shù)，因此，當(dāng)t＝11時，S最大值為285．………9分綜上，S的最大值為1250．答：當(dāng)t＝5時，日銷售額S最大，最大值為1250元．……………10分18．解（1）由題意知，函數(shù)圖象的一條對稱軸為x＝eq\f(0＋eq\f(5,6),2)＝eq\f(5,12)，…………2分則eq\f(T,4)＝eq\f(5,12)－eq\f(,6)＝eq\f(,4)，即T＝．所以函數(shù)的最小正周期是π．………4分（2）由圖可知，A＝2，因為T＝，所以＝eq\f(2,T)＝2．………6分又f(eq\f(5,12))＝－2，所以2sin(eq\f(5,6)＋)＝－2，即sin(eq\f(5,6)＋)＝－1，因此eq\f(5,6)＋＝2k－eq\f(,2)，即＝2k－eq\f(4,3)，k∈Z．因為0＜＜2，所以＝eq\f(2,3)．所以函數(shù)的解析式為f(x)＝2sin(2x＋eq\f(2,3))．………8分由2k－eq\f(,2)≤2x＋eq\f(2,3)≤2k＋eq\f(,2)，k∈Z，解得k－eq\f(7,12)≤x≤k－eq\f(,12)，k∈Z，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[k－eq\f(7,12)，k－eq\f(,12)]，k∈Z．………………10分19．解（1）b·c＝b·[xa＋(1－x)b]＝xb·a＋(1－x)b2＝x×(－5)＋(1－x)×5＝0，解得x＝eq\f(1,2)．………………4分（2）|c|2＝[xa＋(1－x)b]2＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2＝10x2－10x(1－x)＋5(x－1)2＝25x2－20x＋5＝25(x－eq\f(2,5))2＋1．所以，當(dāng)x＝eq\f(2,5)時，|c|2有最小值1，即|c|有最小值1．……………7分此時，c＝eq\f(2,5)a＋eq\f(3,5)b．又a·c＝a·（eq\f(2,5)a＋eq\f(3,5)b）＝eq\f(2,5)a2＋eq\f(3,5)a·b＝eq\f(2,5)×10＋eq\f(3,5)×(－5)＝1．設(shè)向量a，c的夾角為，則cos＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(1,1×eq\r(10))＝eq\f(eq\r(10),10)．………10分20．解（1）由題意知，f(x)－x－1＝eq\f(x2＋2x＋3,x＋1)－x－1＝eq\f(x2＋2x＋3－(x＋1)2,x＋1)＝eq\f(2,x＋1)．易知，函數(shù)y＝eq\f(2,x＋1)在[0，＋)上單調(diào)遞減，且值域為(0，2]．所以，函數(shù)g(x)＝x＋1是函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋3,x＋1)，x[0，＋)的漸近函數(shù)，此時p＝2．………3分（2）①當(dāng)a＞1時，考察函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)－ax，令y＝0，得eq\r(x2＋1)＝ax，兩邊平方得x2＋1＝a2x2，所以x2＝eq\f(1,a2－1)，因為x≥0，所以x＝eq\r(eq\f(1,a2－1))，即x＝eq\r(eq\f(1,a2－1))時，函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)－ax的值為0．因此，函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)－ax的值域不是(0，p]．所以g(x)＝ax不是函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋1)的漸近函數(shù)．…5分②當(dāng)a＝1時，考察函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)－x，由于eq\r(x2＋1)－x＝eq\f(1,eq\r(x2＋1)＋x)，下面考察t＝eq\r(x2＋1)＋x．任取x1，x2[0，＋)，且x1＜x2，則t1－t2＝eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)＋x1－eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1)－x2＝eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)－eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1)＋x1－x2＝eq\f(xeq\o\al(\s\up2(2),1)－xeq\o\al(\s\up2(2),2),eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)+eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1))＋x1－x2＝(x1－x2)(eq\f(x1＋x2,eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),1)＋1)＋eq\r(xeq\o\al(\s\up2(2),2)＋1))＋1)＜0，所以函數(shù)t＝eq\r(x2＋1)＋x在[0，＋)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x無限增大時，t的值也無限增大，所以t的取值范圍是[1，＋)．因為函數(shù)y＝eq\