中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2022屆高三年級下冊3月診斷性考試+數(shù)學(xué)（理科）+含答案

中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2022年3月測試

理科數(shù)學(xué)試卷

本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

L設(shè)集合A={x[(x+l)(x-l)<0}，B={y|y>0},則AD(『RB)=

A.0B.[0,1)C.(-l,0)D.(-l>0]

22

2.已知雙曲線二一與=1的一條漸近線過點(diǎn)(2,1),則此雙曲線的離心率為

ab

A.GB,C.V5D.與

3.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2i—l(i為虛數(shù)單位)，則下列說法正確的是

A.z的虛部為aiB.|z|=?C.z+z=3D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

22

4

4.設(shè)a>0,b>0,則"9a+bW4”是“abW-"的

9

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是

A.f(x)=ln(l+cosx2)B.f(x)=x,ln(l—cosx2)

C.f(x)=ln(l+sinx2)D.f(x)=x,ln(l—sinx2)

TTTT

6.為了得到函數(shù)丫=411(2*+—)的圖象，可以將函數(shù)y=cos(2x+-)的圖象

34

A.向左平移三個單位B.向右平移3個單位

2424

C.向左平移三TT個單位D.向右平移三7T個單位

22

7.已知(ax+1)6(a>0)的展開式中含x”的系數(shù)為60,則(ax-Lp的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

XX

A.-160B.160C.80D.-80

8.如圖所示，已知四邊形ABCD是由一個等腰直角三角形ABC和一個有一內(nèi)角為30。的直

角三角形ACD拼接而成，將4ACD繞AC邊旋轉(zhuǎn)的過程中，下列結(jié)論中不可能成立的是

A.CD1ABB.BC1ADC.BD±ABD.BC1CD

9.已知隨機(jī)變量，的分布列如下表所示，且滿足E?)=0,則下列方差值中最大的是

4-102

1

Pab

2

A.D《)B.D(KI)C.D(2，+1)D.D(3|；|—2)

10.已知橢圓二?+與=\｛a>b>0)的離心率為—，過左焦點(diǎn)F作一條斜率為k(k>0)的直

a~b~3

線，與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，滿足|AF|=2|FB|,則實(shí)數(shù)k的值為

A.lB.V2C.x/3D.2

11.對任意的x”X2G(1,2],當(dāng)xi<X2時(shí)，X2—xi+qln上<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

2x2

是

A.(2,+oo)B.[2,+oo)C.(4,+oo)D.[4,+oo)

12.設(shè)數(shù)列｛a,｝的前n項(xiàng)和為S“，滿足2Sn=%"(n6N*),則下列說法正確的是

4

A.32021,32022<1B.3202I,32022>IC.32022<-2A/2022D.32022>2A/2022

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在長方體ABCD-AiBiCiD(中，已知AB=2,BC=t,若在線段AB上存在點(diǎn)E,使得

EC,±ED,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是。

14.平面向量a,B滿足：|a|=1,+231=—3。?B,設(shè)向量a,B的夾角為0,則sinO

的最大值為o

15.已知實(shí)數(shù)a,b滿足2a+2b+i=4a+4%則1=2口+2b的取值范圍是。

16.電影院一排有八個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)相約一起觀影，他們要求坐在同一排,

問恰有兩個連續(xù)的空座位的情況有種。

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~

21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.(12分)在aABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若b=2,且cosC=0-2。

24

(1)求角B的大小；

(2)若AABC是銳角三角形，求AABC面積的取值范圍。

18.(12分)已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,且ai?a2,aj..an=n(neN*)?

(1)求數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式；

凡?(〃-1)-(〃+1)

(2)設(shè)｛2n-n，且數(shù)列｛、｝的前n項(xiàng)和為S”若Sn23—Mn+2)恒成立，

q,(〃=l)

求入的取值范圍。

19.(12分)如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，平面PABJ_平面ABCD,四邊形ABCD是邊

長為2的菱形，ZABC=120°,PB=1,PB±ABo

(1)求證：平面PBD_L平面PAC；

(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小。

20.(12分)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+(ex—y)2+e2y=2?

(1)若x=0時(shí)，試問上述關(guān)于y的方程有幾個實(shí)根？

(2)證明：使方程x?+(ex-y)2+e2y=2有解的必要條件為：-2WxW0。

21.(12分)如圖所示，已知拋物線E：y2=2px,其焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為6,過點(diǎn)M(4,0)作直

線/i，b與E相交，其中A與E交于A,B兩點(diǎn)，6與E交于C,D兩點(diǎn)，直線AD過E的

焦點(diǎn)F,若AD,BC的斜率為ki，k2?

(1)求拋物線E的方程；

k

(2)問，是否為定值？如是，請求出此定值；如不是，請說明理由。

k2

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分。作答時(shí)請寫清題號。

22.(10分)［選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位，

已知直線I的參數(shù)方程為\(t為參數(shù),0Wa<2),曲線C的極坐標(biāo)方程為pcos20

y=2+Zsina2

=8sin0o

⑴求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)直線/與曲線C相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)a變化時(shí)，求|AB|的最小值。

23.(10分)［選修：不等式選講］

設(shè)函數(shù)f(x)=x2—x+2。

(1)若|f(x)—X2+4X+4|>3,求x的取值范圍；

(2)若|x—a|《2,求證：|f(x)—f(a)|6+4|a|。

中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2022年3月測試

理科數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考

題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)

(1)解：由余弦定理可得：cosC=----------=——，.....................................2分

4a24

2-A1

整理得4=02+1--,解得cosB="+'-..................................4分

lac2

■■■3e(O.n),故8................................................................5分

(2)由(1)可知：-----=―=■

sinBy/3

2

-^sin4c

所以有:=^c

1616(2116(61]

故〃c=—sin?smC=—sin/sin-n-A=—sin?——cosA+—sinA

33UJ322J

一(/cos4+sin-zl)=——sin2A—cos2A+-=-sinf2/1—]+—........8分

3V732223I6)3

兀

0<A<—

2

???\ABC是銳角三角形，＜,可得：AG9分

八八2n

0<C=-7T—A<—

32

7T九5兀,所以：

2A-----esin(24-

66*T

故A4BC的面積S=LacsinN=—ac

234

18.(12分)

(1)解：ax-a2an=GNe)

當(dāng)〃N2時(shí)，有:=〃一1,2分

-------(7J-1),(72+1)

〃+1

〃-1=，

(2)當(dāng)〃22時(shí)，bn

9?〃2n

9

當(dāng)〃=1時(shí)，=1=—,所以對任意的〃wN"均有b"5分

S?=4+^r+---+-?>S.23〃+1

----=1d-------+2”"②'

“212-2"22223

11-

S111w+14n+1

利用錯位相減法:①-②：y=l-

+7+7+詞一聲=1+,H+l

1-i

2

=2"F"2^T求得凡=3一擊_^^

8分

由S“N3-忒”+2)得2W9分

(〃+2卜2

〃+3

令g(〃)=

(〃+2〉2”

〃+4

則處由一把0—(學(xué)<].....................................“分

g(，)"32(〃+3y

(w+2)2n

因?yàn)間(〃)〉0,所以有：g(〃+l)<g(〃)，即隨著〃增大，g(〃)減小，

2

=^(1)=y.......................................................12分

19.(12分)

(1)證明：?.?平面平面J5CD，面PZBn面.空CD=AB,且尸81AB,

PB±平面ABCD,...........................................................2分

???/Cu面ABCD,/.ACLPB,

由菱形性質(zhì)知ACLBD,■：PBCBD=B,

AC1平面P8O............................................................4分

又4Cu平面&C,.?.平面PROJ"平面以C...................................5分

(2)如圖，設(shè)8的中點(diǎn)為E,CE=工8=1,ZBCE=60°.BC=2,:.BEA.CE,

2

BE1.4B，:平面尸他J.平面8CD,面D面相CD=AB,且3E1AB,

5￡1ffiPAB..............................................................7分

以點(diǎn)B為原點(diǎn)，以直線B4BP、BE為x、y、二軸，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,

可得3(0.0.0),*(2.0.0),P(0.1.0),C(-l,0.6),D(L0.6)

設(shè)平面尸4D的一個法向量為，”=(x,y,:),而

.4O=(-L0,6),NP=(-2.L0),

tn-AD=0…星=0,取8百

由｛-----，得

m-AP=0-2x+y=0

得，"=(0,26.1),9分

設(shè)平面依C的一個法向量為〃=(〃,瓦c),且3尸=(0,1,0),BC=(-1,0,、6)，

[it-BP=0fb=01-—,「、

由｛-----，得<，取〃=得〃=(j3,0,l),...................11分

-BC=0[-6T+y/3c=0

設(shè)平面尸亞)與平面尸BC所成銳二面角為。，則

I/一"'I"I，〃3+11

COS0=COS(77/,7/)="[.[=.-——=—,所以0=60°,

1'71川173+12+1x22

故平面P4D與平面P5C所成銳二面角為60。.........................................12分

注：其他解法酌情給分.

20.(12分)

⑴解：將x=0代入得：07)2+/=2,

不妨記/(>)=./-2y+l+e”,f(y)=2y-2+2e2r.............................2分

易知/()，)在R上遞增，且/(0)=0,

可得：當(dāng)y<0時(shí)，f(y)<0：當(dāng)y>0時(shí)，f(y)>0,

即：f(y)在(-8,0)單調(diào)遞減，(0,+8)單調(diào)遞增；.....................................4分

由于/(，)2/(0)=0,故x=。時(shí)關(guān)于V的方程有唯一的根.............................5分

(2)先證e*2x+l,令g(x)=e*-(x+1),貝i]g'(x)=e*-1,

當(dāng)xvO時(shí)，g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減：x>0時(shí)，g(.r)>0,g(x)單調(diào)遞增；

g(x)之g(0)=0,所以有e"A%+1恒成立，.......................................8分

由(e,-y)-2(e*-y)+l=(e*-y-1)>0?可得：(e'-y)>2(eT-yj-1............10分

所以有：2=x2+(e'-y)+e2'>x2+2(e'-y)-l+1+2y=x2+2ev>x2+2(1+x)?

所以/+2xW0,即-24x40......................................................12分

21.(12分)

(1)解：拋物線E：y2=2px,焦點(diǎn)廣準(zhǔn)線：x=-g.

：.焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為p=6,則拋物線E的方程為：y2=12x...........................3分

(2)設(shè)X(3r；.6r)5(3r;.6r,).C(3t；.6rJ,O(3r：,6r)

—6q29

同理左2=---

八+14…3

2

==X?①...................................................................................................................5分

42_二—A+L

,2+，3

/小'-64=廣-卜-3辦..............................................................................................................6分

將尸（3,0）代人可得：（（=-1②..........................................................................................................7分

/1月：》-6乙=-----(x-3ff)?將M(4,0)代入可得：I】?'----③

…2'3

4

同理：r3-^4=--..........................................................................................................................8分

由②??可知：L=」j,=-*小=-幺="...................................10分

?1?3rl3G3

此為定值，值為±..............................................................12分

%3

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作

答時(shí)請寫清題號.

22.（10分）

(1)解：由pcos?夕=8sin夕,得(pcose)2=80sM6，

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為/=8.y...........................................................................................3分

（2）將直線/的參數(shù)方程代入/=8.y,得（，cosQf=8（，sina+2）,

化簡得：cos2ar2-8sinar-16=0,△>()恒成立5分

設(shè)45兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為不〃，

8sina

‘1+’2=2

則C0S0,.......................................................................................................................7分