2012年江蘇高考數(shù)學(xué)試題及答案_第1頁
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文檔簡介

2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)數(shù)學(xué)Ⅰ參考公式:棱錐的體積,其中為底面積,為高.1.已知集合,,則▲.2.個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本,則應(yīng)從高二年級(jí)抽取▲名學(xué)生.開始k←13.設(shè),(i為虛數(shù)單位),則的值開始k←1為▲.4.右圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的k的值是▲.k←k+1Nk2-5k+4>05k←k+1Nk2-5k+4>0Y6.現(xiàn)有10個(gè)數(shù),它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng),為公比的Y輸出k輸出k的概率是▲.結(jié)束(第4題)結(jié)束(第4題)DABC7.,,DABC則四棱錐的體積為▲cm3.8.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線的離心率(第7題)ABCEF(第7題)ABCEFD9.如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若,則的值是▲.10.設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間上,(第9題)其中.若,(第9題)則的值為▲.11.設(shè)為銳角,若,則的值為▲.12.在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是▲.13.解集為,則實(shí)數(shù)c的值為▲.14.已知正數(shù)滿足:則的取值范圍是▲.15.(本小題滿分14分)在中,已知.(1)求證:;(2)若求A的值.16.(本小題滿分14分)F不同于點(diǎn)C),且為的中點(diǎn).FE求證:(1)平面平面;E(2)直線平面ADE.ACACDDBB(第(第16題)17.(本小題滿分14分)曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程;(2)不超過多少時(shí),炮彈可以擊中它?請(qǐng)說明理由.xx(千米)y(千米)O(第17題)18.(本小題滿分16分)若函數(shù)在x=x0取得極大值或者極小值則x=x0是的極值點(diǎn)已知a,b是實(shí)數(shù),1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)求a和b的值;(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求的極值點(diǎn);(3)設(shè),其中,求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).19.(本小題滿分16分)ABPOxy(第19題).已知和ABPOxy(第19題)(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn),且直線與直線平行,與交于點(diǎn)P.(i)若,求直線的斜率;(ii)求證:是定值.20.(本小題滿分16分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足:.(1)設(shè),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設(shè),且是等比數(shù)列,求和的值.★此卷上交考點(diǎn)保存★★此卷上交考點(diǎn)保存★姓名準(zhǔn)考證號(hào)2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求:1.2.3.4.作答試題必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答,在其它位置作答一律無效。5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗。21.[選做題]本題包括A、B、C、D四小題,請(qǐng)選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做,則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.[選修41:幾何證明選講](本小題滿分10分)AEBDCO如圖,AB是圓O的直徑,D,E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),連結(jié)BD并延長至點(diǎn)C,使BD=DC,連結(jié)ACAEBDCO求證:.(第21A題)B.[選修42:矩陣與變換](本小題滿分10分)已知矩陣A的逆矩陣,求矩陣A的特征值.C.[選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)點(diǎn),求圓C的極坐標(biāo)方程.D.[選修45:不等式選講](本小題滿分10分)已知實(shí)數(shù)x,y滿足:求證:.出文字說明、證明過程或演算步驟.22.(本小題滿分10分)兩條棱平行時(shí),的值為兩條棱之間的距離;當(dāng)兩條棱異面時(shí),.(1)求概率(2)求.23.(本小題滿分10分)設(shè)集合,.記為同時(shí)滿足下列條件的集合A的個(gè)數(shù):①;②若,則;③若,則.(1)求;(2)求的解析式(用n表示).2012年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1.(5分)(2012?江蘇)已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},則A∪B={1,2,4,6}.考點(diǎn):并集及其運(yùn)算.專題:集合.分析:由題意,A,B兩個(gè)集合的元素已經(jīng)給出,故由并集的運(yùn)算規(guī)則直接得到兩個(gè)集合的并集即可解答:解:∵A={1,2,4},B={2,4,6},∴A∪B={1,2,4,6}故答案為{1,2,4,6}點(diǎn)評(píng):本題考查并集運(yùn)算,屬于集合中的簡單計(jì)算題,解題的關(guān)鍵是理解并的運(yùn)算定義2.(5分)(2012?江蘇)某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本,則應(yīng)從高二年級(jí)抽取15名學(xué)生.考點(diǎn):分層抽樣方法.專題:概率與統(tǒng)計(jì).分析:根據(jù)三個(gè)年級(jí)的人數(shù)比,做出高二所占的比例,用要抽取得樣本容量乘以高二所占的比例,得到要抽取的高二的人數(shù).解答:解:∵高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4,∴高二在總體中所占的比例是=,∵用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本,∴要從高二抽取,故答案為:15點(diǎn)評(píng):本題考查分層抽樣方法,本題解題的關(guān)鍵是看出三個(gè)年級(jí)中各個(gè)年級(jí)所占的比例,這就是在抽樣過程中被抽到的概率,本題是一個(gè)基礎(chǔ)題.3.(5分)(2012?江蘇)設(shè)a,b∈R,a+bi=(i為虛數(shù)單位),則a+b的值為8.考點(diǎn):復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算;復(fù)數(shù)相等的充要條件.專題:數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).分析:由題意,可對(duì)復(fù)數(shù)代數(shù)式分子與分母都乘以1+2i,再由進(jìn)行計(jì)算即可得到a+bi=5+3i,再由復(fù)數(shù)相等的充分條件即可得到a,b的值,從而得到所求的答案解答:解:由題,a,b∈R,a+bi=所以a=5,b=3,故a+b=8故答案為8點(diǎn)評(píng):本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是分子分母都乘以分母的共軛,復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算是復(fù)數(shù)考查的重要內(nèi)容,要熟練掌握,復(fù)數(shù)相等的充分條件是將復(fù)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算的橋梁,解題時(shí)要注意運(yùn)用它進(jìn)行轉(zhuǎn)化.4.(5分)(2012?江蘇)圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的k的值是5.考點(diǎn):循環(huán)結(jié)構(gòu).專題:算法和程序框圖.分析:利用程序框圖計(jì)算表達(dá)式的值,判斷是否循環(huán),達(dá)到滿足題目的條件,結(jié)束循環(huán),得到結(jié)果即可.解答:解:1﹣5+4=0>0,不滿足判斷框.則k=2,22﹣10+4=﹣2>0,不滿足判斷框的條件,則k=3,32﹣15+4=﹣2>0,不成立,則k=4,42﹣20+4=0>0,不成立,則k=5,52﹣25+4=4>0,成立,所以結(jié)束循環(huán),輸出k=5.故答案為:5.點(diǎn)評(píng):本題考查循環(huán)框圖的作用,考查計(jì)算能力,注意循環(huán)條件的判斷.5.(5分)(2012?江蘇)函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)椋?,].考點(diǎn):對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析:根據(jù)開偶次方被開方數(shù)要大于等于0,真數(shù)要大于0,得到不等式組,根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性解出不等式的解集,得到結(jié)果.解答:解:函數(shù)f(x)=要滿足1﹣2≥0,且x>0∴,x>0∴,x>0,∴,x>0,∴0,故答案為:(0,]點(diǎn)評(píng):本題考查對(duì)數(shù)的定義域和一般函數(shù)的定義域問題,在解題時(shí)一般遇到,開偶次方時(shí),被開方數(shù)要不小于0,;真數(shù)要大于0;分母不等于0;0次方的底數(shù)不等于0,這種題目的運(yùn)算量不大,是基礎(chǔ)題.6.(5分)(2012?江蘇)現(xiàn)有10個(gè)數(shù),它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng),﹣3為公比的等比數(shù)列,若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),則它小于8的概率是.考點(diǎn):等比數(shù)列的性質(zhì);古典概型及其概率計(jì)算公式.專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列;概率與統(tǒng)計(jì).分析:先由題意寫出成等比數(shù)列的10個(gè)數(shù)為,然后找出小于8的項(xiàng)的個(gè)數(shù),代入古典概論的計(jì)算公式即可求解解答:解:由題意成等比數(shù)列的10個(gè)數(shù)為:1,﹣3,(﹣3)2,(﹣3)3…(﹣3)9其中小于8的項(xiàng)有:1,﹣3,(﹣3)3,(﹣3)5,(﹣3)7,(﹣3)9共6個(gè)數(shù)這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),則它小于8的概率是P=故答案為:點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及古典概率的計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)試題7.(5分)(2012?江蘇)如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,則四棱錐A﹣BB1D1D的體積為6cm3.考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.專題:空間位置關(guān)系與距離;立體幾何.分析:過A作AO⊥BD于O,求出AO,然后求出幾何體的體積即可.解答:解:過A作AO⊥BD于O,AO是棱錐的高,所以AO==,所以四棱錐A﹣BB1D1D的體積為V==6.故答案為:6.點(diǎn)評(píng):本題考查幾何體的體積的求法,考查空間想象能力與計(jì)算能力.8.(5分)(2012?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線的離心率為,則m的值為2.考點(diǎn):雙曲線的簡單性質(zhì).專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:由雙曲線方程得y2的分母m2+4>0,所以雙曲線的焦點(diǎn)必在x軸上.因此a2=m>0,可得c2=m2+m+4,最后根據(jù)雙曲線的離心率為,可得c2=5a2,建立關(guān)于m的方程:m2+m+4=5m,解之得m=2.解答:解:∵m2+4>0∴雙曲線的焦點(diǎn)必在x軸上因此a2=m>0,b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵雙曲線的離心率為,∴,可得c2=5a2,所以m2+m+4=5m,解之得m=2故答案為:2點(diǎn)評(píng):本題給出含有字母參數(shù)的雙曲線方程,在已知離心率的情況下求參數(shù)的值,著重考查了雙曲線的概念與性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.9.(5分)(2012?江蘇)如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若=,則的值是.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.專題:平面向量及應(yīng)用.分析:根據(jù)所給的圖形,把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示,做出要用的向量的模長,表示出要求得向量的數(shù)量積,注意應(yīng)用垂直的向量數(shù)量積等于0,得到結(jié)果.解答:解:∵,====||=,∴||=1,||=﹣1,∴=()()==﹣=﹣2++2=,故答案為:點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算.本題解題的關(guān)鍵是把要用的向量表示成已知向量的和的形式,本題是一個(gè)中檔題目.10.(5分)(2012?江蘇)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[﹣1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若=,則a+3b的值為﹣10.考點(diǎn):函數(shù)的周期性;分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法.專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析:由于f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),由f(x)的表達(dá)式可得f()=f(﹣)=1﹣a=f()=;再由f(﹣1)=f(1)得2a+b=0,解關(guān)于a,b的方程組可得到a,b的值,從而得到答案.解答:解:∵f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),f(x)=,∴f()=f(﹣)=1﹣a,f()=;又=,∴1﹣a=①又f(﹣1)=f(1),∴2a+b=0,②由①②解得a=2,b=﹣4;∴a+3b=﹣10.故答案為:﹣10.點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的周期性,考查分段函數(shù)的解析式的求法,著重考查方程組思想,得到a,b的方程組并求得a,b的值是關(guān)鍵,屬于中檔題.11.(5分)(2012?江蘇)設(shè)α為銳角,若cos(α+)=,則sin(2α+)的值為.考點(diǎn):三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;兩角和與差的余弦函數(shù);兩角和與差的正弦函數(shù);二倍角的正弦.專題:三角函數(shù)的求值;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).分析:先設(shè)β=α+,根據(jù)cosβ求出sinβ,進(jìn)而求出sin2β和cos2β,最后用兩角和的正弦公式得到sin(2α+)的值.解答:解:設(shè)β=α+,∴sinβ=,sin2β=2sinβcosβ=,cos2β=2cos2β﹣1=,∴sin(2α+)=sin(2α+﹣)=sin(2β﹣)=sin2βcos﹣cos2βsin=.故答案為:.點(diǎn)評(píng):本題要我們?cè)谝阎J角α+的余弦值的情況下,求2α+的正弦值,著重考查了兩角和與差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式,考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,屬于中檔題.12.(5分)(2012?江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0,若直線y=kx﹣2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是.考點(diǎn):圓與圓的位置關(guān)系及其判定;直線與圓的位置關(guān)系.專題:直線與圓.分析:由于圓C的方程為(x﹣4)2+y2=1,由題意可知,只需(x﹣4)2+y2=1與直線y=kx﹣2有公共點(diǎn)即可.解答:解:∵圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0,整理得:(x﹣4)2+y2=1,即圓C是以(4,0)為圓心,1為半徑的圓;又直線y=kx﹣2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),∴只需圓C′:(x﹣4)2+y2=1與直線y=kx﹣2有公共點(diǎn)即可.設(shè)圓心C(4,0)到直線y=kx﹣2的距離為d,則d=≤2,即3k2﹣4k≤0,∴0≤k≤.∴k的最大值是.故答案為:.點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓的位置關(guān)系,將條件轉(zhuǎn)化為“(x﹣4)2+y2=4與直線y=kx﹣2有公共點(diǎn)”是關(guān)鍵,考查學(xué)生靈活解決問題的能力,屬于中檔題.13.(5分)(2012?江蘇)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域?yàn)閇0,+∞),若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m,m+6),則實(shí)數(shù)c的值為9.考點(diǎn):一元二次不等式的應(yīng)用.專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;不等式的解法及應(yīng)用.分析:根據(jù)函數(shù)的值域求出a與b的關(guān)系,然后根據(jù)不等式的解集可得f(x)=c的兩個(gè)根為m,m+6,最后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式,解之即可.解答:解:∵函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域?yàn)閇0,+∞),∴f(x)=x2+ax+b=0只有一個(gè)根,即△=a2﹣4b=0則b=不等式f(x)<c的解集為(m,m+6),即為x2+ax+<c解集為(m,m+6),則x2+ax+﹣c=0的兩個(gè)根為m,m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案為:9點(diǎn)評(píng):本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用,以及根與系數(shù)的關(guān)系,同時(shí)考查了分析求解的能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.14.(5分)(2012?江蘇)已知正數(shù)a,b,c滿足:5c﹣3a≤b≤4c﹣a,clnb≥a+clnc,則的取值范圍是[e,7].考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用;不等式的綜合.專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用;不等式的解法及應(yīng)用.分析:由題意可求得≤≤2,而5×﹣3≤≤4×﹣1,于是可得≤7;由clnb≥a+clnc可得0<a≤cln,從而≥,設(shè)函數(shù)f(x)=(x>1),利用其導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的極小值,也就是的最小值,于是問題解決.解答:解:∵4c﹣a≥b>0∴>,∵5c﹣3a≤4c﹣a,∴≤2.從而≤2×4﹣1=7,特別當(dāng)=7時(shí),第二個(gè)不等式成立.等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a:b:c=1:7:2.又clnb≥a+clnc,∴0<a≤cln,從而≥,設(shè)函數(shù)f(x)=(x>1),∵f′(x)=,當(dāng)0<x<e時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x>e時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x=e時(shí),f′(x)=0,∴當(dāng)x=e時(shí),f(x)取到極小值,也是最小值.∴f(x)min=f(e)==e.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)=e,=e成立.代入第一個(gè)不等式知:2≤=e≤3,不等式成立,從而e可以取得.等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a:b:c=1:e:1.從而的取值范圍是[e,7]雙閉區(qū)間.點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的綜合應(yīng)用,得到≥,通過構(gòu)造函數(shù)求的最小值是關(guān)鍵,也是難點(diǎn),考查分析與轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)解決問題的能力,屬于難題.二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(14分)(2012?江蘇)在△ABC中,已知.(1)求證:tanB=3tanA;(2)若cosC=,求A的值.考點(diǎn):解三角形;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.專題:三角函數(shù)的求值;解三角形;平面向量及應(yīng)用.分析:(1)利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡已知的等式左右兩邊,然后兩邊同時(shí)除以c化簡后,再利用正弦定理變形,根據(jù)cosAcosB≠0,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切即可得到tanB=3tanA;(2)由C為三角形的內(nèi)角,及cosC的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值,進(jìn)而再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切求出tanC的值,由tanC的值,及三角形的內(nèi)角和定理,利用誘導(dǎo)公式求出tan(A+B)的值,利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡后,將tanB=3tanA代入,得到關(guān)于tanA的方程,求出方程的解得到tanA的值,再由A為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù).解答:解:(1)∵?=3?,∴cbcosA=3cacosB,即bcosA=3acosB,由正弦定理=得:sinBcosA=3sinAcosB,又0<A+B<π,∴cosA>0,cosB>0,在等式兩邊同時(shí)除以cosAcosB,可得tanB=3tanA;(2)∵cosC=,0<C<π,sinC==,∴tanC=2,則tan[π﹣(A+B)]=2,即tan(A+B)=﹣2,∴=﹣2,將tanB=3tanA代入得:=﹣2,整理得:3tan2A﹣2tanA﹣1=0,即(tanA﹣1)(3tanA+1)=0,解得:tanA=1或tanA=﹣,又cosA>0,∴tanA=1,又A為三角形的內(nèi)角,則A=.點(diǎn)評(píng):此題屬于解三角形的題型,涉及的知識(shí)有:平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則,正弦定理,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,誘導(dǎo)公式,兩角和與差的正切函數(shù)公式,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.16.(14分)(2012?江蘇)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn).求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直線A1F∥平面ADE.考點(diǎn):平面與平面垂直的判定;直線與平面平行的判定.專題:空間位置關(guān)系與距離;立體幾何.分析:(1)根據(jù)三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,得到CC1⊥平面ABC,從而AD⊥CC1,結(jié)合已知條件AD⊥DE,DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線,得到AD⊥平面BCC1B1,從而平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)先證出等腰三角形△A1B1C1中,A1F⊥B1C1,再用類似(1)的方法,證出A1F⊥平面BCC1B1,結(jié)合AD⊥平面BCC1B1,得到A1F∥AD,最后根據(jù)線面平行的判定定理,得到直線A1F∥平面ADE.解答:解:(1)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC,∵AD?平面ABC,∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE,DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴AD⊥平面BCC1B1,∵AD?平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)∵△A1B1C1中,A1B1=A1C1,F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)∴A1F⊥B1C1,∵CC1⊥平面A1B1C1,A1F?平面A1B1C1,∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1,∴A1F∥AD∵A1F?平面ADE,AD?平面ADE,∴直線A1F∥平面ADE.點(diǎn)評(píng):本題以一個(gè)特殊的直三棱柱為載體,考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.17.(14分)(2012?江蘇)如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx﹣(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程;(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大?。?,其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí),炮彈可以擊中它?請(qǐng)說明理由.考點(diǎn):函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析:(1)求炮的最大射程即求y=kx﹣(1+k2)x2(k>0)與x軸的橫坐標(biāo),求出后應(yīng)用基本不等式求解.(2)求炮彈擊中目標(biāo)時(shí)的橫坐標(biāo)的最大值,由一元二次方程根的判別式求解.解答:解:(1)在y=kx﹣(1+k2)x2(k>0)中,令y=0,得kx﹣(1+k2)x2=0.由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0,k>0.∴,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào).∴炮的最大射程是10千米.(2)∵a>0,∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在k>0,使ka﹣(1+k2)a2=3.2成立,即關(guān)于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根.由韋達(dá)定理滿足兩根之和大于0,兩根之積大于0,故只需△=400a2﹣4a2(a2+64)≥0得a≤6.此時(shí),k=>0.∴當(dāng)a不超過6千米時(shí),炮彈可以擊中目標(biāo).點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用,考查基本不等式的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.18.(16分)(2012?江蘇)若函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值,則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).已知a,b是實(shí)數(shù),1和﹣1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)求a和b的值;(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f(x)+2,求g(x)的極值點(diǎn);(3)設(shè)h(x)=f(f(x))﹣c,其中c∈[﹣2,2],求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).考點(diǎn):函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件;函數(shù)的零點(diǎn).專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.分析:(1)求出導(dǎo)函數(shù),根據(jù)1和﹣1是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可.(2)由(1)得f(x)=x3﹣3x,求出g′(x),令g′(x)=0,求解討論即可.(3)先分|d|=2和|d|<2討論關(guān)于的方程f(x)=d的情況;再考慮函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn).解答:解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx,得f′(x)=3x2+2ax+b.∵1和﹣1是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),∴f′(1)=3﹣2a+b=0,f′(﹣1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=﹣3.(2)由(1)得,f(x)=x3﹣3x,∴g′(x)=f(x)+2=x3﹣3x+2=(x﹣1)2(x+2)=0,解得x1=x2=1,x3=﹣2.∵當(dāng)x<﹣2時(shí),g′(x)<0;當(dāng)﹣2<x<1時(shí),g′(x)>0,∴﹣2是g(x)的極值點(diǎn).∵當(dāng)﹣2<x<1或x>1時(shí),g′(x)>0,∴1不是g(x)的極值點(diǎn).∴g(x)的極值點(diǎn)是﹣2.(3)令f(x)=t,則h(x)=f(t)﹣c.先討論關(guān)于x的方程f(x)=d根的情況,d∈[﹣2,2]當(dāng)|d|=2時(shí),由(2)可知,f(x)=﹣2的兩個(gè)不同的根為1和一2,注意到f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=2的兩個(gè)不同的根為﹣1和2.當(dāng)|d|<2時(shí),∵f(﹣1)﹣d=f(2)﹣d=2﹣d>0,f(1)﹣d=f(﹣2)﹣d=﹣2﹣d<0,∴一2,﹣1,1,2都不是f(x)=d的根.由(1)知,f′(x)=3(x+1)(x﹣1).①當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,于是f(x)是單調(diào)增函數(shù),從而f(x)>f(2)=2.此時(shí)f(x)=d在(2,+∞)無實(shí)根.②當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)>0,于是f(x)是單調(diào)增函數(shù).又∵f(1)﹣d<0,f(2)﹣d>0,y=f(x)﹣d的圖象不間斷,∴f(x)=d在(1,2)內(nèi)有唯一實(shí)根.同理,在(一2,一1)內(nèi)有唯一實(shí)根.③當(dāng)x∈(﹣1,1)時(shí),f′(x)<0,于是f(x)是單調(diào)減函數(shù).又∵f(﹣1)﹣d>0,f(1)﹣d<0,y=f(x)﹣d的圖象不間斷,∴f(x)=d在(一1,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.因此,當(dāng)|d|=2時(shí),f(x)=d有兩個(gè)不同的根x1,x2,滿足|x1|=1,|x2|=2;當(dāng)|d|<2時(shí),f(x)=d有三個(gè)不同的根x3,x4,x5,滿足|xi|<2,i=3,4,5.現(xiàn)考慮函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn):(i)當(dāng)|c|=2時(shí),f(t)=c有兩個(gè)根t1,t2,滿足|t1|=1,|t2|=2.而f(x)=t1有三個(gè)不同的根,f(x)=t2有兩個(gè)不同的根,故y=h(x)有5個(gè)零點(diǎn).(ii)當(dāng)|c|<2時(shí),f(t)=c有三個(gè)不同的根t3,t4,t5,滿足|ti|<2,i=3,4,5.而f(x)=ti有三個(gè)不同的根,故y=h(x)有9個(gè)零點(diǎn).綜上所述,當(dāng)|c|=2時(shí),函數(shù)y=h(x)有5個(gè)零點(diǎn);當(dāng)|c|<2時(shí),函數(shù)y=h(x)有9個(gè)零點(diǎn).點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的極值,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的零點(diǎn),考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,綜合性強(qiáng),難度大.19.(16分)(2012?江蘇)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0).已知(1,e)和(e,)都在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn),且直線AF1與直線BF2平行,AF2與BF1交于點(diǎn)P.(i)若AF1﹣BF2=,求直線AF1的斜率;(ii)求證:PF1+PF2是定值.考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題;直線的斜率;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.分析:(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知(1,e)和(e,),都在橢圓上列式求解.(2)(i)設(shè)AF1與BF2的方程分別為x+1=my,x﹣1=my,與橢圓方程聯(lián)立,求出|AF1|、|BF2|,根據(jù)已知條件AF1﹣BF2=,用待定系數(shù)法求解;(ii)利用直線AF1與直線BF2平行,點(diǎn)B在橢圓上知,可得,,由此可求得PF1+PF2是定值.解答:(1)解:由題設(shè)知a2=b2+c2,e=,由點(diǎn)(1,e)在橢圓上,得,∴b=1,c2=a2﹣1.由點(diǎn)(e,)在橢圓上,得∴,∴a2=2∴橢圓的方程為.(2)解:由(1)得F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),又∵直線AF1與直線BF2平行,∴設(shè)AF1與BF2的方程分別為x+1=my,x﹣1=my.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0,∴由,可得(m2+2)﹣2my1﹣1=0.∴,(舍),∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②(i)由①②得|AF1|﹣|BF2|=,∴,解得m2=2.∵注意到m>0,∴m=.∴直線AF1的斜率為.(ii)證明:∵直線AF1與直線BF2平行,∴,即.由點(diǎn)B在橢圓上知,,∴.同理.∴PF1+PF2==由①②得,,,∴PF1+PF2=.∴PF1+PF2是定值.點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.20.(16分)(2012?江蘇)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列{an}和{bn}滿足:an+1=,n∈N*,(1)設(shè)bn+1=1+,n∈N*,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設(shè)bn+1=?,n∈N*,且{an}是等比數(shù)列,求a1和b1的值.考點(diǎn):數(shù)列遞推式;等差關(guān)系的確定;等比數(shù)列的性質(zhì).專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:(1)由題意可得,an+1===,從而可得,可證(2)由基本不等式可得,,由{an}是等比數(shù)列利用反證法可證明q==1,進(jìn)而可求a1,b1解答:解:(1)由題意可知,an+1===∴從而數(shù)列{}是以1為公差的等差數(shù)列(2)∵an>0,bn>0∴從而(*)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由an>0可知q>0下證q=1若q>1,則,故當(dāng)時(shí),與(*)矛盾0<q<1,則,故當(dāng)時(shí),與(*)矛盾綜上可得q=1,an=a1,所以,∵∴數(shù)列{bn}是公比的等比數(shù)列若,則,于是b1<b2<b3又由可得∴b1,b2,b3至少有兩項(xiàng)相同,矛盾∴,從而=∴點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用構(gòu)造法證明等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是反證法的應(yīng)用.三、附加題(21選做題:任選2小題作答,22、23必做題)(共3小題,滿分40分)21.(20分)(2012?江蘇)A.[選修4﹣1:幾何證明選講]如圖,AB是圓O的直徑,D,E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),連接BD并延長至點(diǎn)C,使BD=DC,連接AC,AE,DE.求證:∠E=∠C.B.[選修4﹣2:矩陣與變換]已知矩陣A的逆矩陣,求矩陣A的特征值.C.[選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在極坐標(biāo)中,已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P(,),圓心為直線ρsin(θ﹣)=﹣與極軸的交點(diǎn),求圓C的極坐標(biāo)方程.D.[選修4﹣5:不等式選講]已知實(shí)數(shù)x,y滿足:|x+y|<,|2x﹣y|<,求證:|y|<.考點(diǎn):特征值與特征向量的計(jì)算;簡單曲線的極坐標(biāo)方程;不等式的證明;綜合法與分析法(選修).專題:不等式的解法及應(yīng)用;直線與圓;矩陣和變換;坐標(biāo)系和參數(shù)方程.分析:A.要證∠E=∠C,就得找一個(gè)中間量代換,一方面考慮到∠B,∠E是同弧所對(duì)圓周角,相等;另一方面根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到.從而得證.B.由矩陣A的逆矩陣,根據(jù)定義可求出矩陣A,從而求出矩陣A的特征值.C.根據(jù)圓心為直線ρsin(θ﹣)=﹣與極軸的交點(diǎn)求出的圓心坐標(biāo);根據(jù)圓經(jīng)過點(diǎn)P(,),求出圓的半徑,從而得到圓的極坐標(biāo)方程.D.根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求證.解答:A.證明:連接AD.∵AB是圓O的直徑,∴∠ADB=90°(直徑所對(duì)的圓周角是直角).∴AD⊥BD(垂直的定義).又∵BD=DC,∴AD是線段BC的中垂線(線段的中垂線定義).∴AB=AC(線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等).∴∠B=∠C(等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)).又∵D,E為圓

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