廣義積分的收斂判別法

第二節(jié)廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計算,在實際應用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是不能直接計算的，有的積分雖然可以直接計算，但因為過程太復雜，也不為計算工作者采用，對這類問題計算工作者常采用數(shù)值計算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.對廣義積分而言，求其近似值有一個先決條件—積分收斂，否那么其結果毫無意義。因此，判斷一個廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的．定理9.1〔Cauchy收斂原理〕f(x)在[a,+∞〕上的廣義積分收斂的充分必要條件是：,存在A>0,使得b,>A時，恒有證明：對使用柯西收斂原理立即得此結論．同樣對瑕積分(為瑕點),我們有定理9.2〔瑕積分的Cauchy收斂原理〕設函數(shù)f(x)在[a,b)上有定義，在其任何閉子區(qū)間[a,b–]上常義可積，那么瑕積分收斂的充要條件是:,,只要0<，就有收斂，我們稱廣義積分絕對收斂〔也稱f(x)在[a,+上絕對可積];如收斂而非絕對收斂，那么稱條件收斂，也稱f(x)在[a,+上條件可積．由于，均有因此，由Cauchy收斂原理，我們得到以下定理．絕對收斂，那么廣義積分必收斂．它的逆命題不一定成立，后面我們將會看到這樣的例子。對其它形式的廣義積分，類似地有絕對收斂及條件收斂的定義及性質．下面我們先介紹當被積函數(shù)非負時，廣義積分收斂的一些判別法．比擬判別法：定理9.4〔無限區(qū)間上的廣義積分〕設在[a,+)上恒有〔k為正常數(shù)〕那么當收斂時,也收斂;當發(fā)散時,也發(fā)散．證明：由Cauchy收斂原理馬上得結論成立．對瑕積分有類似的結論判別法定理9.5設f(x),g(x)均為[a,b)上的非負函數(shù)，b為兩個函數(shù)的奇點，如存在一個正常數(shù)k,使[a,b),那么如收斂，那么也收斂。2〕如發(fā)散，那么也發(fā)散．比擬判別法在實際應用時，我們常常用以下極限形式．定理9.6如果f(x),g(x)是[a,+上的非負函數(shù),且那么(1)如果,且收斂,那么積分也收斂．(2)如果,且發(fā)散，那么積分也發(fā)散．證明：如果那么對于,存在A,當時,即成立.顯然與同時收斂或同時發(fā)散，在l=0或l=時，可類似地討論.使用同樣的方法，我們有定理9.7對以b為唯一瑕點的兩個瑕積分與如果f(x),g(x)是非負函數(shù)，且那么當,且收斂時，那么也收斂．當，且發(fā)散時，那么也發(fā)散．對無限區(qū)間上的廣義積分中，取作比擬標準，那么得到以下Cauchy判別法：設f(x)是[a,+的函數(shù)，在其任意閉區(qū)間上可積,那么:定理9.8假設0f(x)，p>1,那么積分收斂，如f(x)，p1,那么積分發(fā)散．其極限形式為定理9.9如(,p>1),那么積分收斂．如,而,1,那么發(fā)散.例9.8判斷以下廣義積分的收斂性。(1)(2)(m>0,n>0)解：〔1〕因為0由收斂推出收斂．〔2〕因為所以當n－m>1時，積分收斂.當n－m1時，積分發(fā)散．對于瑕積分，使用作為比擬標準，我們有以下柯西判別法．定理9.10設x=a是f(x)在[a,b上的唯一奇點，在其任意閉區(qū)間上可積,那么如0f(x)(c>0),p<1,那么收斂．如f(x)(c>0),p1,那么發(fā)散．瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為定理9.11設如0k<,p<1,那么收斂如0<k,p1,那么發(fā)散．例9.9判別以下瑕積分的斂散性。(1)(k2<1)(2)(p,q>0)解：〔1〕1是被積函數(shù)的唯一瑕點因為=由知瑕積分收斂．〔2〕0與都是被積函數(shù)的瑕點．先討論由知:當p<1時,瑕積分收斂;當p1時,瑕積分發(fā)散．再討論因所以當q<1時,瑕積分收斂，當q1時，瑕積分發(fā)散．綜上所述，當p<1且q<1時,瑕積分收斂;其他情況發(fā)散．例9.10求證:假設瑕積分收斂，且當時函數(shù)f(x)單調趨向于+，那么xf(x)=0.證明：不妨設,f(x)0,且f(x)在(0,1)上單調減少。收斂，由柯西收斂準那么，有,(<1),有從而0<或0<xf(x)即xf(x)=0.例9.11求證瑕積分(>0),當<時收斂當時發(fā)散.證明:∵==所以當3<1時，即<時，瑕積分收斂．當31，即時，瑕積分發(fā)散．前面討論的是非負函數(shù)的反常積分的收斂性，為了能對一般函數(shù)的反常積分的斂散性進行討論，我們先給出下面的重要結果．定理9.12〔積分第二中值定理〕設g(x)在[a,b]上可積，f(x)在[a,b]上單調，那么存在ξ[a,b]使=為了證明定理9.12，我們先討論以下特殊情況．f(x)在[a,b]上單調下降并且非負，函數(shù)g(x)在[a,b]上可積，那么存在c[a,b]，使=f(a)證明：作輔助函數(shù)=f(a)對[a,b]的任一分法P:a=x0<x1<x2<…<xn=b我們有=由此得到|－|=||△xi這里L是|g(x)|在[a,b]的上界,是在上的振幅，從這個估計式可知,當時,應當有我們來證明為此，引入記號G(x)=并作如下變換====〔〕=因為,,所以={}=同樣可證我們證明了不等式即現(xiàn)令|p|,取極限，就得到因此，存在c[a,b]，使得=〔因為在［］上是連續(xù)函數(shù)〕也就是=證畢證明：如f(x)是單調下降的，那么f(x)－f(b)單調下降且非負，由引理12.2.1知，存在c[a,b,使=即=對f(x)單調上升的情形，可作類似討論.使用積分第二中值定理，我們得到以下一般函數(shù)的廣義積分斂散性的判別法定理9.13假設以下兩個條件之一滿足，那么收斂〔1〕〔Abel判別法〕收斂，g(x)在[a,]上單調有界;〔2〕〔Dirichlet判別法〕設F(A)=在[a,]上有界，g(x)在[a,上單調,且g(x)=0.證明：〔1〕,設|g(x)|M，[a,),因收斂，由Cauchy收斂原理，,使時,有由積分第二中值定理，我們得到+=再由Cauchy收斂原理知收斂(2)設M為F(A)在[a,+上的一個上界，那么,顯然有同時,因為g(x)=0，所以存在,當x>A0時,有g(x)|<于是，對有+=由Cauchy收斂原理知收斂例9.12討論廣義積分的斂散性，解：令f(x)=,g(x)=cosx那么當x時，f(x)單調下降且趨于零，F(xiàn)(A)==在[a,上有界．由Dirichlet判別法知收斂，另一方面因發(fā)散，收斂從而非負函數(shù)的廣義積分發(fā)散由比擬判別法知發(fā)散，所以條件收斂例9.13討論廣義積分的斂散性．解：由上一題知，廣義積分收斂,而arctanx在[a,+上單調有界，所以由Abel判別法知收斂。另一方面,當時,有前面已證發(fā)散由比擬判別法知發(fā)散,所以條件收斂.對瑕積分也有以下形式的Abel判別法和Dirichlet判別法定理9.14假設以下兩個條件之一滿足，那么收斂：〔b為唯一瑕點〕〔1〕〔Abel判別法〕收斂,g(x)在[a,上單調有界(2)(Dirichlet判別法)=在[a,上有界,g(x)在(上單調,且.證明:(1)只須用第二中值定理估計讀者可以仿照定理11.2.8(1)的作法完成(1)的證明.(2)讀者可以仿照定理11.2.8(2)的作法完成(2)的證明.例9.14討論積分(0<p2)的斂散性解:對于0<p<1,因為由收斂知絕對收斂斂對于0p<2,因為函數(shù)f(x)=,當時單調趨于0,而函數(shù)g(x)=滿足所以積分收斂.但在這種情況下,是發(fā)散的,事實上由因發(fā)散,收斂,知發(fā)散從而當0p<2時,積分條件收斂.最后我們討論p=2的情形,因為當時,上式無極限,所以積分發(fā)散.值得注意的是,兩種廣義積分之間存在著密切的聯(lián)系,設中x=a為f(x)的瑕點,作變換y=,那么有=而后者是無限區(qū)間上的廣義積分.論以下積分的斂散性〔包括絕對收斂，條件收斂，發(fā)散〕(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)．2．證明：假設瑕積分收斂，且當時，函數(shù)f(x)單調趨于+，那么xf(x)=0．3.假設函數(shù)f(x)在有連續(xù)導數(shù)f/(x)，且無窮積分與都收斂，那么f(x)=0．設f(x)在上可導，且單調減少，f(x)=0