數(shù)學(xué)：312《用二分法求方程的近似解3》課件新人教A版必修

數(shù)學(xué)312《用二分法求方程的近似解3》新人教A版必修目錄CONTENTS二分法的基本概念二分法的計算過程二分法的誤差分析二分法的實(shí)際應(yīng)用練習(xí)與思考01CHAPTER二分法的基本概念0102二分法的定義它是一種迭代算法，每次迭代將搜索區(qū)間縮小一半，直到達(dá)到所需的近似精度。二分法，也稱為二分搜索或二分逼近法，是一種通過不斷將搜索區(qū)間一分為二來逼近目標(biāo)值的方法。二分法的原理二分法基于函數(shù)的單調(diào)性原理，即函數(shù)在其定義域內(nèi)某區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加或單調(diào)減少。在每次迭代中，通過比較目標(biāo)值與區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值，確定目標(biāo)值所在的子區(qū)間，從而縮小搜索區(qū)間。二分法廣泛應(yīng)用于求解方程的近似根，特別是那些難以直接求解的方程。它也可以用于求解函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)或最優(yōu)解等問題，只要函數(shù)在所關(guān)心的區(qū)間內(nèi)單調(diào)或有明顯的拐點(diǎn)。·二分法的應(yīng)用場景02CHAPTER二分法的計算過程選擇一個初始區(qū)間，其端點(diǎn)為方程的根的可能取值范圍。根據(jù)實(shí)際情況和精度要求，確定初始區(qū)間的長度。確定初始區(qū)間確定初始區(qū)間的長度確定初始區(qū)間的端點(diǎn)計算初始區(qū)間的中點(diǎn)中點(diǎn)是區(qū)間兩個端點(diǎn)的平均值。計算中點(diǎn)處的函數(shù)值將中點(diǎn)代入方程，求出對應(yīng)的函數(shù)值。計算中點(diǎn)比較中點(diǎn)處的函數(shù)值與零的大小關(guān)系如果函數(shù)值為零，則中點(diǎn)即為方程的根；如果函數(shù)值異號，則說明根在初始區(qū)間的某一側(cè)。確定新的區(qū)間根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)情況，將初始區(qū)間縮小為較小的區(qū)間。判斷中點(diǎn)處的函數(shù)值在新的區(qū)間上重復(fù)上述步驟，不斷縮小區(qū)間長度，直到滿足精度要求。重復(fù)計算當(dāng)區(qū)間長度小于預(yù)設(shè)的精度要求時，認(rèn)為找到了方程的近似解。判斷是否達(dá)到精度要求重復(fù)計算03CHAPTER二分法的誤差分析

誤差的來源初始近似值的選取初始近似值的選擇對二分法的收斂速度和最終結(jié)果精度有重要影響。如果初始近似值選擇不當(dāng)，可能導(dǎo)致算法收斂速度變慢或無法收斂。迭代過程中的舍入誤差在每次迭代過程中，需要對函數(shù)值進(jìn)行近似計算，這可能導(dǎo)致舍入誤差的積累，影響最終結(jié)果的精度。分段線性逼近的誤差二分法通過分段線性逼近來逼近函數(shù)，每一段都是線性函數(shù)，這可能導(dǎo)致在函數(shù)值變化劇烈的地方產(chǎn)生較大的誤差。表示實(shí)際值與近似值之間的差值，衡量了結(jié)果的精度。絕對誤差表示絕對誤差與實(shí)際值的比值，衡量了結(jié)果的相對精度。相對誤差由于計算機(jī)的浮點(diǎn)數(shù)表示方式，存在一定的精度限制，稱為機(jī)器精度。機(jī)器精度決定了舍入誤差的上限。機(jī)器精度誤差的表示方法使用高精度的計算方法在迭代過程中，可以使用更高精度的計算方法來減小舍入誤差的積累，例如使用多項(xiàng)式逼近代替分段線性逼近。增加迭代次數(shù)增加迭代次數(shù)可以減小舍入誤差的積累，但同時也會增加計算時間。因此需要在精度和計算時間之間進(jìn)行權(quán)衡。選擇合適的初始近似值選擇一個接近真實(shí)解的初始近似值，可以加快算法的收斂速度，并提高最終結(jié)果的精度。減小誤差的策略04CHAPTER二分法的實(shí)際應(yīng)用二分法常用于求解實(shí)數(shù)方程的根，通過不斷將區(qū)間縮小，逼近方程的解。求解實(shí)根求解非線性方程多重根求解對于非線性方程，二分法同樣適用，通過迭代過程找到滿足方程的近似解。對于具有多重根的方程，二分法可以用來找到所有根所在的區(qū)間，然后進(jìn)一步細(xì)化求解。030201在求解方程中的應(yīng)用二分法可以用于求解某些函數(shù)的最大值或最小值，通過迭代過程找到滿足最優(yōu)解的區(qū)間。函數(shù)優(yōu)化在組合優(yōu)化問題中，二分法可以用來解決一些具有二分特征的問題，如背包問題、圖著色問題等。組合優(yōu)化對于一些整數(shù)規(guī)劃問題，二分法可以用來找到滿足條件的整數(shù)解的區(qū)間，然后進(jìn)一步細(xì)化求解。整數(shù)規(guī)劃在優(yōu)化問題中的應(yīng)用風(fēng)險管理通過二分法，金融機(jī)構(gòu)可以對風(fēng)險進(jìn)行量化和管理，確定風(fēng)險控制區(qū)間。金融計算在金融領(lǐng)域中，二分法可以用于計算一些復(fù)雜的金融衍生品的價格，如期權(quán)、期貨等。投資組合優(yōu)化利用二分法，投資者可以找到最優(yōu)的投資組合方案，實(shí)現(xiàn)風(fēng)險和收益的平衡。在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用05CHAPTER練習(xí)與思考用二分法求方程$x^2-=0$在區(qū)間$[1,2]$內(nèi)的近似解?；A(chǔ)練習(xí)題1用二分法求方程$x^3-x-=0$在區(qū)間$[0,1]$內(nèi)的近似解?；A(chǔ)練習(xí)題2用二分法求方程$e^x-x-=0$在區(qū)間$[0,1]$內(nèi)的近似解。基礎(chǔ)練習(xí)題3基礎(chǔ)練習(xí)題進(jìn)階練習(xí)題1用二分法求方程$lnx-x+1=0$在區(qū)間$(0,1)$內(nèi)的近似解。進(jìn)階練習(xí)題2用二分法求方程$sinx-x=0$在區(qū)間$(0,pi)$內(nèi)的近似解。進(jìn)階練習(xí)題3用二分法求方程$cosx-x+1=0$在區(qū)間$(0,pi)$內(nèi)的近似解。進(jìn)階練習(xí)題123如何根據(jù)函數(shù)的變化情況判斷二分