新疆維吾爾自治區(qū)2022屆高三第二診斷性測試數(shù)學(xué)（理）試題（問卷）

2022年高三年級第二次診斷性測試

理科數(shù)學(xué)(問卷)

(卷面分值：150分；考試時(shí)間：120分鐘)

注意事項(xiàng)：

1.本卷分為問卷和答卷，答案務(wù)必書寫在答卷(或答題卡)的指定位置上.

2.答卷前，先將答卷密封線內(nèi)(或答題卡中的相關(guān)信息)的項(xiàng)目填寫清楚.

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知集合4={%,>3},8={%,26},則6,出=()

A.|x|x<3}B.{尤|3cx<6}C.1x|3<x<6}D.{x|x>6}

2.已知向量。=(42),B=(-1,2),若則|a+B|=()

A.5B.6C.V41D.473

3.如圖所示是某幾何體的三視圖，則這個幾何體的側(cè)面積等于()

A.10+276B.6+2(73+76)C.6+2(V2+V6)D.10+2(72+73)

4.我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體1【?黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用強(qiáng)互作用力(SIM)

材料所制成的宇宙探測器，因?yàn)槠渫庑闻c水滴相似，所以被人類稱之為“水滴”小王是《三體》的忠實(shí)讀者,

他利用幾何作圖軟件畫出了他心目中的“水滴”：由線段AB,AC和優(yōu)弧8C圍成，AB,AC與圓弧分別切于

點(diǎn)2、C,直線與水平方向垂直(如圖)，已知''水滴”的水平寬度與豎直高度之比為9：5,貝iJcos/84C=

()

B

1204D,也

B.---C.一

16954

5.在某場新聞發(fā)布會上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記者中依次選出3名來提問，要求3人中既有

國內(nèi)記者又有國外記者，且不能連續(xù)選國內(nèi)記者，則不同的選法有（）

A.80種B.180種C.260種D.420種

6.設(shè)雙曲線C：/一V方?=1（。>0/>0）的右焦點(diǎn)為立過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線C及其漸近線

在第一象限分別交于43兩點(diǎn)，若"=2通，則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.3,2石C.y=±^x4

B.y=±------xD.y=+—x

353-5

7.已知。=1.6°,8力=108310,。=5抽1一￡：0S1,則a,h,c的大小關(guān)系是（）

A.a>h>cB.c>h>aC.h>a>cD.h>c>a

8.工業(yè)生產(chǎn)者出廠價(jià)格指數(shù)（PRoduceRPRiceIndexfoRIndustRialPRoducts,簡稱PPI）是反映工業(yè)企業(yè)產(chǎn)品

第一次出售時(shí)的出廠價(jià)格的變化趨勢和變動幅度，是反映某一時(shí)期生產(chǎn)領(lǐng)域價(jià)格變動情況的重要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，也

是制定有關(guān)經(jīng)濟(jì)政策和國民經(jīng)濟(jì)核算的重要依據(jù).根據(jù)下面提供的我國2020年1月-2021年12月的工業(yè)生產(chǎn)

者出廠價(jià)格指數(shù)的月度同比（將上一年同月作為基期進(jìn)行對比的價(jià)格指數(shù)）和月度環(huán)比（將上月作為基期進(jìn)行

對比的價(jià)格指數(shù)）漲跌情況的折線圖判斷，以下結(jié)論中正確的是（）

2020年1月一2021年12月的工業(yè)生產(chǎn)者出廠價(jià)格指數(shù)同比、環(huán)比漲跌情況

16.0%

12.0%

8.0%

4.0%

0.0%

___--…E___-—““..一......….——....-I.........—....--...."....'

-4.0%1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

2020年a,2021年

一同比增長一-一環(huán)比增長

A.2020年各月的PPI在逐月增大

B.2020年各月的PPI均高于2019年同期水平

C.2021年1月-12月各月的PPI在逐月減小

D.2021年1月-12月各月的PPI均高于2020年同期水平

9.設(shè)點(diǎn)E為正方形A5C。的中心，M為平面A5CD外一點(diǎn)，為等腰直角三角形，且/腸45=90。，

若尸是線段MS的中點(diǎn)，則（）

A.ME*DF,且直線ME：、。尸是相交直線B.ME=DF,且直線“石、。尸是相交直線

C.ME￥DF,且直線ME、。方是異面直線D.ME=DF,且直線ME、DF是異面直線

10.已知函數(shù)y（x）=asin（x—q）+石cos（x-g］是奇函數(shù)，g（x）=+,若關(guān)于x的方程

7T

g（x）=加在XG0,~有兩個不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（)

A.B.[L2)C.[V2,2)D.[G⑵

22

11.已知點(diǎn)片、尸2分別是橢圓卞+==19＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)，過馬的直線交橢圓于A、8兩點(diǎn)，0為

回一上，則該橢圓的離心率是（

坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足|04|=|0瑪|,「斌)

5

V17512272

A.------B.-C.—D.---

56133

12.已知々＞0,若在（1,+8）上存在x使得不等式e"-alnx成立，則。的最小值為（）

1

A.-B.1C.2D.e

第n卷（非選擇題共90分）

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22

題~第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

7

13.復(fù)數(shù)z=a+2i,aeR,若一+l-3i為實(shí)數(shù)，則。=______.

i

14.已知函數(shù)/（x）=2/+sinx+2,若/（a）=l,貝4/（—。）=.

15.《數(shù)書九章》三斜求積術(shù)：“以小斜累，并大斜嘉，減中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜哥乘大斜幕，減

上，余四約一，為實(shí)，一為從隅，開平方得積”.秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，“術(shù)”

即方法.以S,a,h,c分別表示三角形的面積，大斜，中斜，小斜；4,4,也分別為對應(yīng)的大斜，中斜，小

I.1,,1,

斜上的高則=5*=5物=5也若在^ABC中

4=孚，％="F，兒=4內(nèi)，根據(jù)上述公式，可以推出該三角形外接圓的半徑為

16.在棱長為6的正四面體A5CO中，點(diǎn)P為AABC所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足PA+PB=4百，則PD的

最大值為.

三、解答題：第17?21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，說明過程或

演算步驟.

17.電影《長津湖》讓那些在冰雪里為國而爭的戰(zhàn)士和他們的故事，仿佛活在了我們眼前；讓我們重回那段行

軍千里，只為保家衛(wèi)國的崢蝶歲月；也讓我們記住，今天的美好盛世，是那群最可愛的人歷經(jīng)何種困苦才奪來

的.某校高三年級8個班共400人，其中男生240名，女生160名，現(xiàn)對學(xué)生觀看《長津湖》情況進(jìn)行問卷調(diào)

查，各班觀影男生人數(shù)記為4組，各班觀影女生人數(shù)記為B組，得到如下莖葉圖.

（1）根據(jù)莖葉圖完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀看《長津湖》電影與性別有關(guān).

（2）若從高三年級所有學(xué)生中按男女比例分層抽樣選取5人參加座談，并從參加座談的學(xué)生中隨機(jī)抽取2位

同學(xué)采訪，記X為抽取的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):

P(K2>k)

00.050.0250.010.005

k。3.8415.0246.6357.879

n(ad-be)2,,

K2--------------------------,n=a+b+c+d

(?+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛a,｝滿足q=La3=3寸+2anan+l.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

⑵若,nan成等差數(shù)列,求數(shù)歹Um｝的前〃項(xiàng)和S,,,

19.如圖，在平面四邊形ABCO中，AB±BC,AB^BC,AD±AC,將AACD沿AC翻折，使點(diǎn)。到達(dá)

點(diǎn)S的位置，且平面SAC±平面ABCD.

n

(1)證明

J3

(2)若E為SC的中點(diǎn)，直線BS與平面￡鉆所成角的正弦值為2—，求二面角S—8。一。的大小.

4

20.已知尸為拋物線C:y2=2px(0>O)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AOFM的外接圓與

拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓周長為3%.

(1)求拋物線C的方程：

(2)設(shè)A(l,2),8是拋物線C上一點(diǎn)，且與力1,直線A3與直線y=x-l交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作y軸的垂

線交拋物線C于點(diǎn)M證明：直線BN恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

21.已知函數(shù)/(x)=e*-；工2-eR.

(1)求曲線/(%)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程；

(2)當(dāng)尤20時(shí)，/(x)>-?2--,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

22

選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)用23

鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.

22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系尤。)，中，曲線C的參數(shù)方程為F=2c°s0(°為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)

y=l+2sin夕

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為°cos(e+?)=-V2.

(1)分別求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為Q,點(diǎn)P(l,3),求一-。」的值.

\PA\-\PB\

23.選修4-5：不等式選講

設(shè)實(shí)數(shù)X,y,Z滿足r+y2+z2=6.

(1)證明：xy+yz-^-xz<6；

(2)若不+0〉+62K|。+2|+|。+加|對任意的實(shí)數(shù)”，y,z,Q恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

2022年高三年級第二次診斷性測試參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題:

題號123456789101112

答案BACACBCDBCAD

1.由4={%卜＞3},3={%］無之6},畫出數(shù)軸，可得亳8={工［3＜尤＜6}.

2.*.*a—(4,2),B=(—1,2),。J_b,工一X+4=0即X=4,，|a+B|=|(3,4)|=5.

3.由三視圖可知，這個幾何體是底面為直角梯形的棱雒(如圖所示)，且PCJ_3C,所以其側(cè)面積為:

-(2x2+2x272+272x273+4x2)=6+272+276.

2

4.設(shè)圓弧所在圓心為0,連接OAO8,OC，可知OBJ.A8,NQ46=，N84C,設(shè)0。的半徑為r,依題

2

r+OA9

意，有即r=—0A，

2r513

/.sinNOAB=—,ABAC=2N0AB

13

,119

...cosABAC=1-2sin2ZOAB=—.

169

5.根據(jù)題意選出三名記者的情形有：①兩名國內(nèi)記者一名外國記者(被叫到的順序是“國內(nèi)記者一國外記者

f國內(nèi)記者")CC；C：=80②一名國內(nèi)記者兩名外國記者：C\C\C\+C\C\C\+C]C;C；=180,所以共有

260種.

6.設(shè)F(c,0),此雙曲線的漸近線方程為y=

a

2

.?..?A八???iL-bc-b,口b~bc-b~b2.b2

\FA\=—\AB\=\FB\-\FA\=------，由題意得，—=2----------，得ZP4一二二，.?.一=「=

aaaac3a7t

818

7.V1.6°<1.6°<1.6,1<1.6°<1.6,710g310>log39=2,Vsin1>cos1>0

/.(sin1-cosl)2=1-2sinlcosl<1,/.0<sinl-cosl<1,:.b>a>c.

8.選項(xiàng)A,C指的是“環(huán)比”，選項(xiàng)B,D是指“同比”，由于2021年1?12月同比增長線均在0.0%的上方,

所以2021年1?12月各月的PP1均高于2020年問期水平.

9.連接所，依題意有B4_LM4,B4_LAD,M4=AB,AB=AO,二烏ALJSAD

:.BM=BD,而尸是E0的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)、，：.FM=ED,FE〃MD,即四邊形是等腰梯

形，.?.對角線感=止且相交.

4\TT~\TT7t\\71

2xH—I,由xw0,一,得2元HG-,----,

(4J3_4412

me[\/2,2).

11.\OA\=\OF2\,知"_LA苞,即耳AJ.A8,設(shè)|明|=12人,|48|=5左,則陽用=134

.?.4。=30%,即2a=154,...1481=332c=7(12A:)2+(3A:)2=3>fnk,

c3后kV17

e=-=--------=------

a15k5

12.???x"=//=e"nx,.?.不等式即為:ex-x<ea'nx-a\nx

由a>0且x>l,，alnx>0,而y=e*-無在(0,+8)上是增函數(shù)

xX(X\

1?x<alnx,即〃N----,即存在xw(l,+oo),使。N-----，?，?ciN-----

InxInxIInx人而？

設(shè)/(幻二4“〉1)，則/'(x)=J；l,xe(l,e)J'(x)<0；xe(e,+oo),/'(x)>0；

InxIn**x

???/(x)在(l,e)上遞減，在(&+8)上遞增，???/(x)mm=/(e)=e，

a>e.

二、填空題

7巧_

13.-314.315.-----16.2M

3

13.,.--+l-3i=-^^+l-3i=-1(fl+21Ul-3i=3-(a+3)i,V-+l-3ieR

iii-(-i)i

Q+3=0,即。=—3.

14.設(shè)g(x)=2x3+sinx,，/(x)=g(=+2,易知g(x)是奇函數(shù)，f(a)=g(a)+2,

由/(a)=l,得g(a)=-l,/(-a)=g(-a)+2=-g(a)+2=3.

15.由ah“=b%,=c)￡.，知a：b:c=L：L：L=8:7:5,設(shè),a=8k,b=1k,c=5k

hahbhc

則5=-a2-c2-土+〃'J」#0公)2_(20/)2=10尿2又S='x8Z?述=10&,

42222

\0\[ik2—10>/3A:,???左=1,。=8,人=7,c=5

a1+c2-b1即啖-=高=無竽，即R

/.cosB=￥

2QC2

2

16.取AB的中點(diǎn)O,連接OC,以AB為x軸，OC為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)尸在以A,B為焦點(diǎn)的

橢圓上，且。=2百,c=3,；./=3,即橢圓方程為二+2-=1,易知點(diǎn)O在底面ABC上的射影恰為短

123

軸端點(diǎn)E,：.PD=VPF+ED7=四爐+24

設(shè)尸(2石cosPosing),由E(0,同則

(?丫

PE2=12cos2^+3sin2^-6sin0+3=-9sin6+—+16,

I3j

：.(PE2y=16,當(dāng)sin6=—'取得，|PDJ=-16+24=2屈.

\/max3mu、

三、解答題：

17.（本題滿分12分）

（1）列聯(lián)表如圖

觀影人數(shù)沒觀影人數(shù)合計(jì)

男生16080240

女生12040160

合計(jì)280120400

片=_吆9?________=400x(160x40-80x120)2。工行<3,841

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)240x160x280x120

所以沒有95%的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān)，6分

（2）選出的女生人數(shù)為5x當(dāng)=2,選出的男生人數(shù)為5x生=3

400400

從參加座談的學(xué)生中隨機(jī)抽取男生人數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2

22

則P(X=0)=TC=1—；P(x=l)=C^'C^'=3—；P(X=2)=C4=3—

C；10C；5Cj10

X012

133

P

10510

aa?

EX=]x-+2x—=-12分

5105

18.(本題滿分12分)

⑴由=3。；+anan+l,得(。用+an)(an+l-3an)=O,Van>0,an+a?+1>0

所以凡M=3a“，又知q=l,所以｛%｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

故數(shù)列｛勺｝的通項(xiàng)公式為%=3"-'；6分

b

(2)由an,^-,nan成等差數(shù)列可知，bn=an+nan,

所以"=3"T+小3"T=(〃+1).3"T.

所以S“=2x3°+3x3i+4x3?+…+(〃+l).3"T,①

35?=2x3'+3x32+4x33+.■?+(?+l)-3\②

由①-②，得一2S“=2+3+32+…+3"T—(〃+1)?3n

=2+立2_1_(〃+1).3"=_3”+J.

1-322

故S”=也4-3"12分

44

19.(本題滿分12分)

(1)證明：：平面S4c，平面A8CD,A￡>_LAC,平面SACD平面A58=AC,

...SAL平面ABC,/.SALBC

又?.,3CLAB,5C_L平面SAB,

ABCLBS6分

(2)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立A-xyz空間直角坐標(biāo)系，3?！ā份S，設(shè)45=3。=2,取45=4￡>=2加,

則3(2,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2m),E(l,l,m)

由而=(2,0,0),醺=(1,1,例)

設(shè)平面E4B的法向量為A=(x,y,z)

n\-AB=2x=0

i可取〃1=(0,771,-1)

n\?AE=x+y+mz=0

設(shè)直線5s與平面E鉆所成的角為6,B5=(-2,0,2m)

2m

則sin。=[,叫==jr=坐，.?.機(jī)=G或

當(dāng)根=6時(shí)，由前=(0,2,0),旃=(-2,0,26),設(shè)平面3cs的法向量為A=(x,y,z)

n\"BC=2y=0-(―

則小一「可取〃1=(6Q1)

n\-BS=—2x+2d3z—0

由可取平面38的法向量(0,0,1),設(shè)二面角S-5C—。的平面角為e

_1^=工，所以。_71

則cos0—

V4xl2

同理，當(dāng)加=J=時(shí)，則可取加=(1,0,6),則COS6=—9—=，3,所以。=三

V35/4x126

4TT

綜上可得，二面角S-BC—O的大小為一或一12分

36

20.(本題滿分12分)

(1)設(shè)AOEM外接圓的半徑為r,圓心為O

易知圓心o在線段。尸的中垂線x=K上，

4

且圓心到準(zhǔn)線的距離="+"=羽=，所以由2萬,3p

=3萬，解得p=2,

424'4'

所以拋物線C的方程為：V=4元;5分

（2

（2）設(shè)5兒，為，由題意知，為力±2,

i47

的方程：y-2=42(x—l),即4

則直線ABy-2(x-l),與y=x-\聯(lián)立：

A-i邦+2

4

4

y-2“一1），得力=2（h+2）,由題意知:，（先+2『2（%+2）、

%+2N［（％-2）2'＞。-29分

2

y^x-1

2(y0+2)

“°%—2.4(%-2)

?k

,?%BN%+21尤+4

4

則直線RV的方程：y-y=里學(xué)二義2、

x-—

北+44J

所以當(dāng)x=—l,y=2時(shí)恒成立，所以直線BN恒過定點(diǎn)（-1,2）12分

21.（本題滿分12分）

(1)f\x)=ex-x-a,/f(0)-\-a,

Af(x)在點(diǎn)((),1)處的切線方程為y=(1—a)x+14分

11.3

(2)即e'—廠0一cixN——

222

r1913

令g(x)="_,x9,則g'(x)="—x—q,

令叭x)=g'(x),則(p'(x)=ex-I

當(dāng)xNO時(shí)，”(x)?(),...g'a)在(0,+oo)為增函數(shù)，g'(())=l—a

①若a工1,g'(O)>0,xe(0,+oo),gr(x)>0,

，g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，只需8(0)=-1/+_120即可，即ae[一6,6],

：.ae[-y/5,l]7分

②若a>1,g'(0)<0,gr(a)=ea-2a,令h(x)=ex-2x,x>1,h\x)=ex-2,

當(dāng)x>1,〃(x)>0,h(x)在(l,+oo)上為增函數(shù)，

/./?(x)>/i(l)=e-2>0,/.g\d)>0.

由零點(diǎn)存在性定理可知，存在不￡(0,〃)，使得g〈Xo)=O,且d。一/-。=0

XW(O,Xo)時(shí)，g'(x)<o；3￡(尤0,4-00)時(shí)，gf(x)>0.

???g(元)在(0,%)為減函數(shù)，(%,+8)為增函數(shù)

x[12