數(shù)列通項(xiàng)公式方法大全

b數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法:

(1)公式法(構(gòu)造公式法)

例1已知數(shù)列｛q｝滿足%M=2a“+3x2”,4=2,求數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式。

解：出=24+3x2"兩邊除以2"＜得需=黑+/，則翳一黑=(，故數(shù)列｛黑｝是

以號(hào)=1=1為首項(xiàng)，以I■為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得墨=1+(〃-1)5,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a,=§〃一g)2"。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a,r川i-ri=2a,ri,+3*2"轉(zhuǎn)化2〃+i為2”=2說明數(shù)列

｛々H是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出2=1+(〃-1)3,進(jìn)而求出數(shù)列

222

｛%｝的通項(xiàng)公式。

(2)累加法

例2已知數(shù)列｛4｝滿足%+1=a“+2〃+l,q=l,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

解：由all+l=q,+2,+1得a,+]=2〃+1則

aaa

n-(?—n-\)+3"-1-4-2)++(%—生)+(。2-4)+4

=[2(n-l)+l]+[2(n-2)+l]++(2x2+l)+(2xl+l)+l

=2[("-1)+(〃-2)++2+l]+(n-l)+l

=(n-l)(n+l)+1

=n2

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a“="。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式a,川=%+2〃+1轉(zhuǎn)化為a.—q=2〃+1,進(jìn)而求

出(％—a”1)+(a,i—。,一2)++(4—4)+(“2一”1)+4，即得數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式。

變式：己知數(shù)列｛4｝滿足=a“+2x3”+l,a,=3,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。

(3)累乘法

例3已知數(shù)列｛a,J滿足a.”=2(〃+1)5"x4,4=3,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

解:因?yàn)閍.”=2(〃+1)5"X4,q=3,所以a“wO,則％!■=2(〃+1)5",故

凡

=芻_.也.烏.”《

an-\an-2a24

=[2(n-1+l)5"i][2(〃-2+1)5""].?[2(2+1)X52][2(1+1)X5']X3

=2"-'[n(n-l).-3x2]x5('i)+”2)++2+43

“(〃T)

=3x2"“x52xn!

所以數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式為4=3x2"Tx5kxn!.

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系a,-I=2(“+l)5"xa“轉(zhuǎn)化為&比=2(〃+1)5”,進(jìn)而求

出&.也??&.五.“，即得數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式。

an-\41-2。24

變式：已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,4=4+2/+3q++(〃一,求｛q｝的通

項(xiàng)公式。

(4)待定系數(shù)法

例4已知數(shù)列｛凡｝滿足a”]=2%+3x5”,4=6,求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式。

解：設(shè)a,用+xx5"+i=2(%+xx5")④

將4+i=24+3x5"代入④式，得2a“+3x5"+xx5"+i=2a“+2xx5"，等式兩邊消去

2a“,得3J+x-5*i=M5,兩邊除以5",得3+5x=2x則x=—1代入④式得

a,,「5"J2Q-5⑤

由q—5i=6—5=1HO及⑤式得為一5"工0,則2,則數(shù)列｛4—5"｝是以

5"

q—5i=l為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則4一5"=2"|,故見=2恒+5"。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式m=24+3x5"轉(zhuǎn)化為4M—5向=2(4—5"),

從而可知數(shù)列｛q―5"｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛%—5"｝的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列

｛見｝的通項(xiàng)公式。

變式：

①已知數(shù)列｛q｝滿足。用=3%+5x2"+4,4=1,求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式。

②已知數(shù)列｛4｝滿足4用=2%+3/+4“+5,4=1,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

(5)對(duì)數(shù)變換法

例5已知數(shù)列｛4｝滿足a,用=2x3"xa：,q=7,求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式。

解：因?yàn)?+1=2x3"xa；,0t=7,所以q,>0,an+]>0o在。，用=2x3"xa；式兩邊取

常用對(duì)數(shù)得Iga,用=51ga“+〃lg3+lg2⑩

設(shè)lga,+i+x(〃+l)+y=5(lga“+m+y)?

將⑩式代入?式，得51ga“+〃lg$4?=5蜀劭w+y,兩邊消去

51ga,并整理，W(lg3+%)/2+x+y+lg2=5xn+5y,則

lg3+x=5x

<4

x+y+lg2=5y),=里+空

代入?式，得lga“w+殍(〃+1)+黑+殍=5(lga“+殍〃+整+殍)?

41644164

由lg%+號(hào)X1+震+號(hào)=館7+號(hào)X1+胃+竽及?式'

得皿詈+臂+宇°,

lga“+i+柜(”+1)+堡+盛

5用4'164

則=5，

,1g31g3lg2

lga+-5—H+-5—4--5—

&"4164

所以數(shù)列｛lg/+思3〃+炬+螞｝是以lg7+里+螞+處為首項(xiàng)，以5為公比的等

41644164

比數(shù)列，則lg%+豆〃+柜+但2=(lg7+姮+晝+段2)5"、因此

"41644164

1。〃no7+lg3+lg3lg2,lg3lg3lg2

lg??=(lg7+—+—+—)5-——

221n_1_2

=(lg7+lg35+lg3力+lg2b5"T—lg3彳一lg3m-lgV

_!_L'n11

=[lg(7?3>3正?2*)]5"T—lg(3"3港?2?)

=lg(7?3“3記?2")5"i—lg(3??3正?2》)

5〃Tf5"T-15"7-1

=lg(75n-'-3丁-3k-2丁)

5”一4〃一15”“-1

=lg(75"L316.2丁)

5〃一4〃-15”.-1

則4=75*'X3曠*2丁。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式a,m=2x3"xa；轉(zhuǎn)化為

lga,l+i+竽(〃+D+臀+竽=5(lg.”+號(hào)"+臀+號(hào))，從而可知數(shù)列

｛Iga“+妲〃+母+退2｝是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛lga,+柜〃+母+里2｝的通項(xiàng)

41644164

公式，最后再求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

(6)數(shù)學(xué)歸納法

例6已知數(shù)列｛q｝滿足a,,”=%+(2〃+：；；：+3產(chǎn)'%=|，求數(shù)列｛《J的通項(xiàng)公式。

8(〃+1)

解:a+及得

由H"+l=n(2〃+1)2(2〃+3/

88X2

24

4+-I),+一

-9-925-

1(2xl+l)2(2xl+3)2X25

8(2+1)248x348

3-(2X2+1)2(2X2+3>2525x4949

8(3+1)488x480

3(2X3+1)2(2X3+3)24949x8181

由此可猜測(cè)q二(；；：；)「，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，q(2xl+l)：l=§,所以等式成立。

1(2xl+l)29

(2)假設(shè)當(dāng)〃=太時(shí)等式成立，即q=(2：+1):1,則當(dāng)〃=k+1時(shí),

k(2左+1)2

8(k+l)

(2A+1>(2左+3『

(2々+1)2-18(k+l)

=----------------1------------------------

(2%+1)2(2%+1)2(2攵+3)2

[(2%+1》一1](2%+3尸+8/+1)

3+1)2(21+3)2

_(2k+(2左+3>一(2k+3>+8(2+1)

一(2%+1>(2%+3>

(2/+1)2(2%+33-(2攵+1>

(2-+1)2(24+3>

3+3)2-1

一(2%+3f

」2(%+1)+1[2]

[2(^+1)+1]2

由此可知，當(dāng)〃=左+1時(shí)等式也成立。

根據(jù)(1),(2)可知，等式對(duì)任何〃eN*都成立。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)

公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

(7)換元法

例7已知數(shù)列｛a“｝滿足<z,1+l=—(1+4%+"1+24%),%=1,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

16

解：令b"=g24a”，則⑹-1)

1.1t------------------

故6向=萬(%T)，代入4+1=-(1+4??+71+24??)得

2416

((%-1)=白1+4(斷-1)+?！?/p>

即4%=痣+3>

因?yàn)?=11+24%?0,故為T=Jl+24a『i。

13

則22+I=2+3,即2討=2勿+耳,

可化為3=；(〃—3),

所以｛〃一3｝是以e-3=Jl+24q-3=，1+24乂1-3=2為首項(xiàng),以■!■為公比的等比數(shù)

列，因此〃,—3=2(g)"T=(g)"-2,則”=(；)"-2+3,即J+24a,=(；產(chǎn)+3,得

3HV。

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過將戶玩的換元為也,，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化

13

bn+l=-bn形式，從而可知數(shù)歹(J｛"一3｝為等比數(shù)歹U,進(jìn)而求出數(shù)歹ij｛2一3｝的通項(xiàng)公式,

最后再求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

(8)不動(dòng)點(diǎn)法

21。-24

例8已知數(shù)列｛為｝滿足a.=—^——，a,=4,求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式。

也+1

21r-2421r—24

解：令尤=--------,得4x2—2)%鈿Q,則2,々=3是函數(shù)/。)=------二的

4x+l4x+l

兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?/p>

2口-242

“吐?-2=+1_____=21/-24-2(40"+1)=13a”-26=Ba「2所以數(shù)列

an+l-321%-24321a?-24-3(4a?+1)9a“一279a?-3,

44+1

仁2是以幺二2=土2=2為首項(xiàng)，以U為公比的等比數(shù)列，故生二2=2(U)"T,

a”—3q—34—3939

則4=~TT----+3。

2(—)n-'-l

9

21x-2421x-24

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)/(x)=-------的不動(dòng)點(diǎn)，即方程x=--------的兩

4x+l4x+l

個(gè)根%=2,々=3,進(jìn)而可推出"匚=上?冬二2,從而可知數(shù)列14二2]為等比數(shù)

4+1-39%—3[%—3

4-2

列，再求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

%一3

7。-2

例9已知數(shù)列｛%｝滿足凡內(nèi)=j—，4=2,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

24+3

7v_7Qr—1

解：令x=——,得2——4X+2=0,則X=1是函數(shù)/5)=:一的不動(dòng)點(diǎn)。

2x+34x+7

因?yàn)閍—1=74a—-2—1=吧5a」-5，所以

"12a?+32a“+3

?=沖+(*

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過將Jl+24a“的換元為2,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化

13

bn+l=5a+5形式，從而可知數(shù)列也-3｝為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛，-3｝的通項(xiàng)公式,

最后再求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

課后習(xí)題:

1.數(shù)列血，若,2拉,而，的一個(gè)通項(xiàng)公式是()

A、an=V3n—3B、an=A/3H—1C、an=>/3n+lD、an=5/372+3

2.已知等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為q=3—2〃，則它的公差為()

A、2B、3C、-2D、-3

3.在等比數(shù)列｛%｝中，0=-16q=8，則％=()

A、-4B、±4C、-2D、±2

4.若等比數(shù)列｛為｝的前項(xiàng)和為5“，且5。=10,520=30,則§30=

5.已知數(shù)列｛q｝通項(xiàng)公式4="—10tt+3,則該數(shù)列的最小的一個(gè)數(shù)是

6.在數(shù)列｛如｝中，4=4且。,m=〃可則數(shù)列的前99項(xiàng)和等

2〃+1-4,\[an]

于.

7.已知｛4｝是等差數(shù)列，其中q=31,公差1=一8。

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列｛?！埃龔哪囊豁?xiàng)開始小于0?

(3)求數(shù)列｛6,｝前〃項(xiàng)和的最大值，并求出對(duì)應(yīng)〃的值.

8.已知數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為5“=〃2+3”+1,

(1)求％、/、。3的值；

(2)求通項(xiàng)公式為。

9.等差數(shù)列｛外,｝中，前三項(xiàng)分別為x,2x,5x-4,前〃項(xiàng)和為5“，且S”=2550。

⑴、求1和%的值;

(2)、^T,=—+—+—+???：

5,S2S3V

教列

等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)比較一覽表

等差數(shù)列等比數(shù)列

①

4+1-an=4—a1(neN')①%1="(〃eN*)

遞a”%

②an+}-an=d(〃￡N”)

推

?^n±L=q(#0,〃￡N*)

關(guān)③--4,=%-%(〃)2)an

系Cl,d*

③如=2(n>2,n^N)

4an_{

①4=q+(〃-l)d(〃￡N*)①a=a-qn~](〃￡N")

通nx

項(xiàng)②an=pn+q(p,q為常數(shù),〃wN*)②a“=p?q"(p,q是常數(shù)，4HO,pwO,〃wN*)

2

①2S〃=+a〃)(HGN*)/,,\

①求積公式口％=(%%)"(〃eN*)

求\/=17

nci1,q-1

和②S.二叫+〃(丁)4(ne/V,)

②,(〃eN*)

公,，q*i

Ii-q

式

③S?=An2+Bn(A,3是常數(shù),〃eN*)na,.q=i

③S*QN,AwO)

A-Aqn,q1

①若p+q=s+r,p、q、s^rwN：則①若p+q=s+r,p、q、s、r￡N*,則。陷=44.

4+%=4+%.

②對(duì)任意c>O,c。1,若期恒大于0,則｛log,?！埃秊榈热?/p>

②對(duì)任意c>O,cr1,卜""｝為等比數(shù)列.

歹U.

a

主③q+1n-\=a^,n&N*,n>2.

③%+a_=2a?,neN*,n>2.

nl④若｛4｝、｛2｝為兩等比數(shù)列，則｛a/,｝為等比數(shù)歹U.

④若｛凡｝、也｝分別為兩等差數(shù)列，則

f丁]

⑤若a。恒大于0,則數(shù)歹11%「［aj為等比數(shù)歹山

｛4+〃｝為等差數(shù)列.

曲

⑥若｛2｝為正項(xiàng)等差自然數(shù)列，則｛%,｝為等比數(shù)列.

手｝為等差數(shù)列.⑦s/,,-s“,S3,,-邑“，…為等比數(shù)列.

⑤數(shù)列.

性⑥若｛b｝為正項(xiàng)等差自然數(shù)列，貝1|｛為,,｝為等差

nft/g一-

⑧彳/口《=n~2!\iY\ai，n>2m,m、nwN,

數(shù)列.Vz=lVi=fn+\

⑦2,,-5“用一邑,一一為等差數(shù)列.ctp>O,peN.

⑧&=c_q

~jn>2m,m、

質(zhì)MN*.⑨Si=S〃+/S=s〃+)5「

nn-2m

⑩若~工

⑨=Sm4-Sn+mnd.，一+”

貝ijn6=1.

⑩若黑=5”,加?！?則5,“+“=0./=l

r2ni)m

①若％,=[,%=p,p、qeN',且①S??=Sm(l+q"'+q'+-+^-)

重

則<+g=0.=S,,(l+/+/.+…

要

性

②若Sp=q,Sq=p,且p/q，則②若|q|<l,則limS“=5=4.

質(zhì)—aI-q

Sp+?=_(P+q),P'qeN.

求數(shù)列｛aj通項(xiàng)公式的方法

2.Cl=pa+q型(p、q為常數(shù))

L4+1=4+/(")型n+｝n

萬氏。〃+］a再根據(jù)等b

累加法：(1)?-P\n'J，

p-\p-\

列的相關(guān)知識(shí)求a.

?,.=a“_|)+(a?-\~an-2)+”?+(%一4)n

⑵%+「a“=P(a”-a,i)

+4再用累加法求a,.

fa\"〃+l"".q火用更力n抄去an

?丹本

=f(n-1)+f(n-2)+-+/(1)+4〃"+1-p"'"Hl，八用累加3本un.

Pn

例.已知｛凡｝的首項(xiàng)（為常數(shù)）aa

34=aa,n=2n-l+1(n￡N+,n2

例i.已知數(shù)列｛a“｝滿足4=i,a“+|=a“+2"(n￡N+),

求見.

求[解]設(shè)an—入=2（—入），則入=-1

**?4+1=2(+1)

【解1??=??-+??-i-a?_+-+a-4+4

22（an+1）為公比為2的等比數(shù)列.

Un+1=(a+1),2〃?

=2"~'+2"~2+-+2'+1

1

Cln=(a+1)?2."—1

l-2n

1-2

n

CLn=2—1(n&N+)

4.?！?產(chǎn)氏+/（〃）型（P為常數(shù)）

3.4MgS)型

卞注.期形得a,1+]"〃+/（"）

an

pn+［pnpn+i

a

一、,a”」的則｛崇n｝可用累加法求出，由此求。〃?

累乘法：an=?…?a］

an-\an-2a\

例4.已知｝滿足％=2,。"+]=2?！?2”+1.求?！?/p>

例.已知數(shù)列｛｝滿足％求%.

241?=〃(nGN+),a｝=1,a,,口a,,

［解］-=77=—+1

a.2"+|2"

an

???｛U｝為等差數(shù)列.

altan.a,

［解］冊(cè)=口----------?qT

a

n-2?1ana｝i

n

=(n—1)?(n-2)1?1=(n-1)!22

an=n?2"

Un=(n—1)!(n仁N+)

5.a〃+2=P〃〃+I型(P、q為常數(shù))6.“已知S〃，求。〃”型

特征根法：x2=px+q方法：%=S〃-S〃_](注意卬是否符合)

l3

(1)玉工々時(shí)，〃〃=G<x[+C2?%2

例6.設(shè)S“為｛?！ǎ那皀項(xiàng)和，Sn=—(an—1),求。“(n《N-

(2)X]=元2時(shí),。〃=(G+。2?n)?1：

3

s

例5.數(shù)列｛〃〃｝中，ax=2,a2=3,且2a尸%+4用(n[W]?=2(n￡N+)

求〃

￡N+,n22),Q.3

:.當(dāng)n=1時(shí)，a,=一(6Z|-1)

【解1“尸2?！ā猘-2

X2=2x-l:.九]=%2=1:.Q[=3

w當(dāng)n22時(shí)，

an=(Cj+C2?n)?1=Cj+C2?n

an=Sn-Sn-\

Cj+C=2C|=1

233

G+2c2=3C=1=—(a-\)——(an.-1)

22〃2i

.??Q〃=〃+1(〃￡心

:.CLn=3Cln_｝/.=3"(nWN+)

求數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和的方法

(1)倒序相加法(2)公式法

此種方法主要針對(duì)類似等差數(shù)列中此種方法是針對(duì)于有公式可套的數(shù)列，如等差、等

比數(shù)列，關(guān)鍵是觀察數(shù)列的特點(diǎn)，找出對(duì)應(yīng)的公式.

an+4=a,,”+4=，具有這樣特點(diǎn)的數(shù)列.

例：等差數(shù)列求和公式：

①等差數(shù)列：

5,=4+出++an

_〃(％+4)n(n-l)

=q+(4+d)++[4+(〃—l)d]①0,,——IlCli1Cl

n212

n(n-l)

把項(xiàng)的次序反過來，則：=na,--------a

"t2

S“=4+(4-d)++[4,-5-1)。]②

S?,+?=Sm+S?+mnd

①+②得：cc_c

—二—-(〃>2m,m,〃￡N*)

〃個(gè)nn-2m

2S“=(囚+a“)+(q+%)++(q+a“)②等比數(shù)列：

(l-￡)?-(3)

=〃(q+??)5n=￡1=LSi；

l-q1-q

〃(4+4)

“一2n

S〃計(jì)〃=S〃4-Smq

〃(幾+1)

(3)l+2+3+...+n--；

2

l2+22+32++川

=—n(n4-l)(2n+l)

6

l3+23+33++/

=(1+2+3++〃)2

=—Z?2(M+1)2

4

(3)錯(cuò)位相減法(4)分組化歸法

此種方法主要用于數(shù)列｛?,/“｝的求和，其中此方法主要用于無法整體求和的數(shù)列，可將其通項(xiàng)

寫成等比、等差等我們熟悉的數(shù)列分別進(jìn)行求和，再綜

｛%｝為等差數(shù)列，｛么｝是公比為q的等比數(shù)列，

合求出所有項(xiàng)的和.

只需用5“便可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和，但要

注意討論q=l和q#l兩種情況.

例：試化簡(jiǎn)下列和式：例：求數(shù)列1,1+-,1+-+-,,

224

,111—

=1+2x+3x2++nxn~l(xw0)1+++...+[的和.

242"-'

以，111

解：①若x=l,則Sn=l+2+3+…+n=解：a=1+-+-++--

2"242"''

2一業(yè).2，

②若xWl,則Sn=l+2x+3x++加~

122?-！

xS=x+2X2+3/++H1------

fl2

S“=l+(l+g)+(l+g+；)+

兩式相減得：

,111

(l—X)S=l+x+x2+…+%〃T一力工”+(z1+-+—++——r)x

n242"T

=(2-l)+(2-l)+(2-i

l-x"?

—nx22

1-X1

++(2--7r)

N

。nn

l-xnx111

”—(1-幻2l-X=2n-(l+-+-++^7T)

=2〃-2+工

2，T

(5)奇偶求和法(6)裂項(xiàng)相消法

此種方法是針對(duì)于奇、偶數(shù)項(xiàng)，要考慮符號(hào)的此方法主要針對(duì)

數(shù)列，要求Sn，就必須分奇偶來討論，最后進(jìn)行綜」一+」一++—!—這樣的求和，其中｛a0｝是等差

4a2。2a3

合.

數(shù)列.

例：求和例：｛an｝為首項(xiàng)為ai,公差為d的等差數(shù)列，求

5“=1—3+5+7++(-1),,_|(2/7-1)01111

"ata2''4%

解：當(dāng)n=2k(keN+)時(shí),

解：

5“=5呆=(1-3)+(5—7)+

?.111以+d—%

+[(4左一3)—(4左一1)]《4+1%(%+△)d%(%+d)

=-2k=-n=^(---------)=^(——^)

dakak+ddakaM

c1/11、1/11\

Sn=-(---------)+—(---------)

當(dāng)〃=2A—1/eN,)時(shí)，da[a2cla2a3

5〃=^2k-\=^2k~a2k=-