蘇州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（教師版）

第1頁(yè)/共20頁(yè)蘇州市五區(qū)四市2022-2023學(xué)年第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.1.設(shè)函數(shù)，則在處的瞬時(shí)變化率為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】，計(jì)算得到答案.【詳解】，，.故選：A2.已知（，且），則的值為（）A.30 B.42 C.56 D.72【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)公式求出，再根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，解得或（舍去），所?故選：C3.設(shè)為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，則滿足的函數(shù)的圖象可能是（）A. B.第2頁(yè)/共20頁(yè)C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】結(jié)合圖象根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：對(duì)于A：由圖可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由圖可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由圖可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由圖可得，故D正確；故選：D.4.在某項(xiàng)志愿服務(wù)中，需從來自甲、乙兩個(gè)單位的10名志愿者（甲單位6名、乙單位4名）中選出4名志愿者組成志愿者服務(wù)小組，所選4名志愿者不全來自同一個(gè)單位的選法種數(shù)為（）A.156 B.180 C.194 D.672【答案】C【解析】【分析】利用組合公式得出所選4名志愿者來自同一單位的選法，再由求解即可.【詳解】所選4名志愿者來自同一單位的共有種選法，則所選4名志愿者不全來自同一個(gè)單位的選法種數(shù)為.故選：C5.在某項(xiàng)測(cè)驗(yàn)中，假設(shè)測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布.如果按照，，，的比例將測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)從大到小分為，，，四個(gè)等級(jí)，則等級(jí)為的測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最小值可能是（）附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，】A.75 B.79 C.83 D.91第3頁(yè)/共20頁(yè)【答案】B【解析】【分析】設(shè)測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)為，依題意，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可得，即可得解.【詳解】設(shè)測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)為，依題意，則，，設(shè)等級(jí)為的測(cè)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最小值為，則，因?yàn)?，所以，所以，所以的可能取值?故選：B6.，當(dāng)時(shí)，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】依題意對(duì)，當(dāng)時(shí)恒成立，，，則問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則在上恒成立，參變分離可得的取值范圍，即可得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，都有，即，即，令，，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為.故選：B第4頁(yè)/共20頁(yè)7.講臺(tái)上有左、右兩盒粉筆，左盒中有20支白色粉筆、5支黃色粉筆，右盒中有5支紅色粉筆、6支黃色粉筆、4支藍(lán)色粉筆.某位老師從這兩盒中取粉筆，取自左盒的概率為40%，取自右盒的概率為60%.若這位老師從這兩盒粉筆中任取一支，則取到黃色粉筆的概率為（）A.0.275 B.0.28 C.0.32 D.0.6【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)全概率公式計(jì)算得到答案.【詳解】.故選：C8.設(shè)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性及最值，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】令則，令，即，解得當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.所以所以，即，令則，令即，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.第5頁(yè)/共20頁(yè)所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.因?yàn)樗约此?故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，其圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.在處取得極小值 D.在處取得極大值【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值，逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則僅在處取得極值，且為極大值，故A錯(cuò)誤，B正確，C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD.10.在的展開式中（）A.常數(shù)項(xiàng)為 B.項(xiàng)的系數(shù)為C.系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng) D.有理項(xiàng)共有5項(xiàng)【答案】BCD【解析】第6頁(yè)/共20頁(yè)【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得，對(duì)A、B：分別令、，運(yùn)算求解即可；對(duì)于C：可得第項(xiàng)的系數(shù)為，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析運(yùn)算；對(duì)于D：令，分析運(yùn)算即可.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式，對(duì)于A：令，解得，可得，即常數(shù)項(xiàng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，解得，可得，即項(xiàng)的系數(shù)為，故B正確；對(duì)于C：由通項(xiàng)公式可得：第項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；取為偶數(shù)，令，則，整理得，解得，所以系數(shù)最大項(xiàng)第3項(xiàng)，故C正確；對(duì)于D：令，則，所以有理項(xiàng)共有5項(xiàng)，故D正確；故選：BCD.11.甲、乙兩盒中各放有除顏色外其余均相同的若干個(gè)球，其中甲盒中有4個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙盒中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出1球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出1球.記“第7頁(yè)/共20頁(yè)從甲盒中取出的球是紅球”為事件A，“從甲盒中取出的球是白球”為事件B，“從乙盒中取出的球是紅球”為事件C，則（）A.A與B互斥 B.A與C獨(dú)立 C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A與B是互斥事件，A正確，，B錯(cuò)誤，利用公式計(jì)算CD正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：A與B是互斥事件，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，，，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，正確.故選：ACD12.設(shè)函數(shù)，則（）A.B.函數(shù)的圖象過點(diǎn)的切線方程為C.函數(shù)既存在極大值又存在極小值，且其極大值大于其極小值D.方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)值的定義及求過點(diǎn)處的切線方程的步驟，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟及將方程有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，再利用數(shù)形結(jié)合即可求解.第8頁(yè)/共20頁(yè)【詳解】由題意可知對(duì)于A，由得，故A正確；對(duì)于B，設(shè)切點(diǎn)為切線方程代入點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)整理得，令所以函數(shù)在的切線方程為，因?yàn)楹瘮?shù)圖象連續(xù)不斷，所以存在使得，所以過點(diǎn)的直線與函數(shù)在之間存在切點(diǎn)，所以過點(diǎn)的切線不止一條，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的定義域?yàn)榱罴矗獾没虍?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.第9頁(yè)/共20頁(yè)當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，因?yàn)樗詷O大值小于極小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C選項(xiàng)知，作出的圖象如圖所示要使方程有兩個(gè)不等實(shí)根，只需要與有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是利用求過點(diǎn)處的切線方程的方法及零點(diǎn)的存在性定理判斷方程的根，再利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值及作出函數(shù)的大致圖象，將方程有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)即可.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的相應(yīng)位置上.13.用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，在組成的四位數(shù)中，能被5整除的有________個(gè).【答案】【解析】【分析】分個(gè)位為和兩種情況討論，分別利用排列數(shù)公式求出所對(duì)應(yīng)的數(shù)字個(gè)數(shù)，即可得解.第10頁(yè)/共20頁(yè)【詳解】若個(gè)位為，則有個(gè)，若個(gè)位為，則有個(gè)，綜上可得組成的四位數(shù)中，能被整除的有個(gè).故答案為：14.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)________.①定義域?yàn)椋瘮?shù)值不恒為0，且圖象是條連續(xù)不斷的曲線；②；③為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】取，驗(yàn)證得到函數(shù)滿足條件①②，求導(dǎo)得到，滿足條件，得到答案.【詳解】取，函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)值不恒為0，且圖象是條連續(xù)不斷的曲線；，函數(shù)為奇函數(shù)；恒成立.故答案為：15.在下圖中，從第2行起，除首末兩個(gè)位置外，每個(gè)位置上的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和，最初幾行是：自左向右，第n行第個(gè)數(shù)記為（n，且）.若（且），則k的值為________；（且）的值為________.【答案】①.或；②.【解析】【分析】確定或，解得答案，根據(jù)組合公式得到原式為，計(jì)算得到答案.第11頁(yè)/共20頁(yè)【詳解】，則，或，，故或；.故答案為：或；16.已知函數(shù).若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性及最值.【詳解】∵，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線斜率，故切線方程為，整理得，又∵，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線斜率，故切線方程為，整理得，由題意可得，整理得，構(gòu)建，則，∵，可得，第12頁(yè)/共20頁(yè)令，解得；令，解得；∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于正無窮大，當(dāng)x趨近于正無窮大時(shí)，趨近于正無窮大，可得的值域?yàn)?，即?shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法定睛：公切線問題的解決方法：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求切線方程，根據(jù)切線方程之間的關(guān)系構(gòu)建方程(組)或函數(shù)求解．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.從4名男生和2名女生中任選2人參加演講比賽，（1）至少選到1名女生的的方法有多少種?（2）設(shè)隨機(jī)變量X表示所選2人中女生的人數(shù)，求X的分布列及期望、方差.【答案】（1）（2）分布列見解析；；.【解析】【分析】（1）利用間接法及組合數(shù)公式即可求解；（2）根據(jù)已知條件求出隨機(jī)變量的取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得出隨機(jī)變量的分布列，利用隨機(jī)變量的期望公式及方差公式即可求解.【小問1詳解】從4名男生和2名女生中任選2人有種方法，不含女生的方法種，所以至少選到1名女生的方法有種.【小問2詳解】隨機(jī)變量的可能取值為.第13頁(yè)/共20頁(yè)故的分布列為所以18.在①只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；②第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知，且滿足________.（1）求的值；（2）求的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及賦值法即可求解；（2）利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及賦值法即可求解.【小問1詳解】二項(xiàng)式的展開式第項(xiàng)為（且），其二項(xiàng)式系數(shù)為.選擇①，因?yàn)檎归_式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以在（且）中只有最大，即，解得.選擇②，因?yàn)檎归_式中的第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得.第14頁(yè)/共20頁(yè)選擇③，因?yàn)檎归_式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，所以，解得.所以，即在式中令，得，解得，式中令，得，解得，所以.【小問2詳解】對(duì)式兩邊求導(dǎo)得，令，得，解得，所以.19.將一個(gè)邊長(zhǎng)為米的正六邊形鐵皮的六個(gè)角截去六個(gè)全等的四邊形，再把它沿虛線折起（如圖），做成一個(gè)無蓋的正六棱柱鐵皮盒.（1）試把這個(gè)正六棱柱鐵皮盒的容積表示為盒底邊長(zhǎng)的函數(shù)；（2）多大時(shí)，盒子的容積最大?【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）求出盒子的高與底面積，即可得到盒子的容積；（2）利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得解.【小問1詳解】第15頁(yè)/共20頁(yè)如圖，易得，，，則盒子的高，所以盒子的底面積，所以盒子的容積，.【小問2詳解】由（1）可得，，所以，令，解得，（舍去），所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得極大值，即最大值，所以當(dāng)米時(shí)，盒子的容積最大.20.近年來，我國(guó)電影市場(chǎng)非?；鸨?，有多部?jī)?yōu)秀國(guó)產(chǎn)電影陸續(xù)上映，某影評(píng)網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)了100名觀眾對(duì)某部電影的評(píng)分情況，得到如下表格：評(píng)價(jià)等級(jí)★★★★★★★★★★★★★★★人數(shù)23101075以表中各評(píng)價(jià)等級(jí)對(duì)應(yīng)的頻率作為各評(píng)價(jià)等級(jí)對(duì)應(yīng)的概率，假設(shè)每個(gè)觀眾的評(píng)分結(jié)果相互獨(dú)立.從全國(guó)所有觀眾中隨機(jī)抽取名，（1）求恰有人評(píng)價(jià)為五星，人評(píng)價(jià)為四星的概率；（2）記其中評(píng)價(jià)為五星的觀眾人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）第16頁(yè)/共20頁(yè)（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）首先求出評(píng)價(jià)為五星、四星的頻率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意可得，利用二項(xiàng)分布的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到概率分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】依題意樣本中抽取人，評(píng)價(jià)為五星的頻率為，評(píng)價(jià)為四星的頻率為，所以從全國(guó)所有觀眾中隨機(jī)抽取名，恰有人評(píng)價(jià)為五星，人評(píng)價(jià)為四星的概率.【小問2詳解】依題意的可能取值為、、、、，且，所以，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：所以.21.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為，記在軸上的截距為，當(dāng)?shù)?7頁(yè)/共20頁(yè)的斜率為非負(fù)數(shù)時(shí)，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令求出對(duì)應(yīng)方程的根，即可得到、的變化情況表，從而求出函數(shù)的極值；（2）首先表示出，，即可表示出切線方程，再令求出，再根據(jù)求出斜率為非負(fù)數(shù)求出的取值范圍，即可得到，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較，即可求出函數(shù)的值域，從而求出的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，令，解得，，所以、的變化情況如