正弦定理（備作業(yè)）2021-2022學年高一數(shù)學系列（人教A版2019必修第二冊）（解析版）

6.43.2正弦定理

一、單選題

1.在AABC中，角A,8,C對應的邊分別為a、b、c,若A=120。，。=3,b=+,則B等于()

.7C_57t7t_p.54_

A.—B.—C.2或hD.3

6666

【答案】A

【詳解】

由正弦定理可知一J=4，sin8=MA：

smAsinBa

因為A=120。，a=3,b=6

所以.bsinA1.

sinB=------=------=-

a32

因為Be（O,R,所以8=m或8=學（舍）.

oo

故選：A.

3

2.在△ABC中，角4B,C所對的邊分別是a,b,c,若c=l,8=45。，cos>4=1,則b等于（）

A5R10_5n5夜

A."D.—C.-D.--------

37714

【答案】C

【詳解】

3i--------4

因為cosA=g,所以sinA=Jl-cos2A=g,

所以sinC=sin［冗一（A+B）］=sin（A+3）=sinAcos3+cosAsinB

ZJ=—^sin45°=-

b_c

由正弦定理:得:7&7.

sinBsinCIo-

故選：c

,IBC的面積為"理，則6=()

3.在AABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=5,B=

4

A.7GB.7C.6石.6

【答案】B

【詳解】

因為c=5,B==,A4?C的面積為巨叵，

34

所以SMC

2234

解得a=3,

由余弦定理得〃="+/一2qc、cos/，

=9+25-2x5x3xcos—=49,

3

所以b=7,

故選：B

A

4.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2c-cos?b+c,則dBC的形狀為()

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【詳解】

.Ac+bcosA+l1b

由已知可得cos2-7=一-,-----------=—?-----，

22c222c

即cosA=—,h=ccosA.

由正弦定理得：sinB=sinCeos/I.

在△ABC中，sinB=sin（A+C）,

從而有sinAcosC+cosAsinC=sinCeosA,

即sinAcosC=0.在中，sinAwO,所以cosC=0.

由此得C=1,故AABC為直角三角形.

故選：B.

5.在AABC中，若"4=2B,貝iJcosB等于（）

A.-B.—C.-D

444-T

【答案】C

【詳解】

因為4=結合正弦定理知sinA=gsin8,

而A=28,所以sin2B=；sinB,即2sinBcosB=gsinB,

由于8?0,不），即sinB>0,故2cos8=L因此cosB=L

故選：C.

6.已知在AABC中，a=x,b=2,B=30°,若三角形有兩解，X的取值范圍是()

A.x>2B.0<x<2C.2<x<3D.2<x<4

【答案】D【詳解】

如圖所示：

因為AC=b=2,若三角形有兩個解,

則以C為圓心，以2為半徑的圓與8A有兩個交點,

當NA=90時，圓叮BA相切，不合題意；

當乙4=30。時;圓與8A交于8點，不合題意；

所以30<4<150,且ZAH9(T,

所以g<sinA<1由正弦定理得：

11

,(2sinB1<X<

sinA=-------=—x,2-4-

b4

解得2cx<4,

故選：D

7.在AABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,根據(jù)下列條件解三角形，其中只有一解的是()

A.A=45°,c=3,a=2忘B.?=5,c=2>/3,C=60°

3

C.4=夜,6=6,8=45。D.6=2,C=K,AABC的面積為5

【答案】C

【詳解】

對于A,rcsinAcavc,.,.此三角形有兩個解；

對于B,?「a=5,c=20,C=6O。，由正弦定理可得工=M_,sinA=<>1,.?.此三角形無解；

sinAsin6004

對于C,,「&>“，且6>asin瓦.,.此三角形只有一個解；

對于D,；AABC的面積=；0csinA=GsinA=?,sinA=*，A=60?；?20。，」.此三角形有兩個解.

故選：C.

8.若“8C的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,"c,已知bsin2A=asin8,且c=?,貝()

A.3B.1C.與D.73

【答案】D

【詳解】

因為6sin2A=asin8,所以27?sinAcosA=asin8,利用正弦定理可得：2a6cosA=ab,所以cos4=,，

2

又cm所以COSA=J±G=3F=L解得：：=瓜

2hc4h22b

故選：D

9.AABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c.若cosA=g,b=3,c=2,則AABC的面積為()

A.1B.2C.2&D.—

3

【答案】C

【詳解】

解：因為cos4=：,所以sinA=2巨，

33

所以Sfc=gbcsinA=20.

故選：C.

10.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,AC=2&且bcosA=c?-半a，則公抽。的

外接圓面積為()

A.4萬B.6/rC.8〃D.16〃

【答案】A

【詳解】

因為6cosA=c-X^a>結合正弦定理得sin8cosA=sinC——-sinA,

22

sinBcosA=sinBcos4+cosBsinA------sinA,

2

0=cosBsinA-sinA,又因為sinA>0,所以=cos8,

22

又因為8?0,萬），所以8=2，

_AC_2y/2_

設AABC的外接圓的半徑為，則高萬一五一，即/'=2,

V

則AABC的外接圓面積為勿，=41，

故選：A.

22

11.在AA8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sinC=2sin（A+C）,a-b=2bc,則cosB的

值為（）

A.還B.正C.1D.-1

5534

【答案】A

【詳解】

因為A+B+C="，所以sin（A+C）=sinB,

乂因為sinC=2sin（A+C）,所以sinC=2sinB,所以由正弦定理，得c=2A,

又因為4一。。=2Z?c,所以/=5必,

a2+c2-b25b2+4b2-b22石

由余弦定理，可知cos8=

lac4回25

故選：A.

二、多選題

12.在AA8c中，角A,B,C所對的邊分別為“，h,c,給出下列命題，其中正確的命題為（）.

A.若A>B>C,則sinA>sinB>sinC；

B.若a=40,6=20,8=25。，則滿足條件的AABC有兩個；

C.若0<131140118<1,則AA8C是銳角三角形；

D.存在角A,B,C,使得tanAtan8lanC<tanA+tan8+tanC成立;

【答案】AB

【詳解】

A.若A>8>C,二。>?！?。，由正弦定理可得：-A-=^—=,貝！JsinA>sin8>sinC,所以該選項正

sinAsmBsinC

確；

B.若a=40,6=20,8=25。，JfllJ40sin25°<40sin300=20,因此滿足條件的AABC有兩個，所以該選項

正確；

C.若OctanAlanbcl,則一tanC=tan(A+B)=」'"'［土—tanC<0,CG(O,^-),Ce(—,^,),4ABe

1-tanAtanB2

是鈍角三角形，所以該選項不正確；

D.由于當CH生時，-tanC=tan(A+B)=1ali+的8,tantanBtanC=tanA+tanB+tanC,所以該選項不

21-tanAtanB

正確.

故選：AB

13.設AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若/cosAsin3=從sinAcosB,則“8C的形狀

為()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】AC

【詳解】

?cosAsinB=b2sinAcosB

*e?由正弦定理得sin?AcosAsinB=sin2BsinAcosB，

sinAcosAwO

sinAcosA=sinBcosB,E|Jsin2A=sin2B

，2A=28或2A+25=%，即該三角形為等腰三角形或直角三角形.

故選：AC.

三、填空題

14.在△ABC中，8=120。，AB=6,4的角平分線AD=g,則AC=

【答案】屈

【詳解】

如圖，在△ABD中，由正弦定理，

,曰ADAB.re&

得----=--------,/.smZADB=——，

smBsinZ.ADB2

Z408=45°,/.ZB^D=180o-45o-120o=15°,

???Z84c=30°,ZC=30°,

??BC--AB--^2，

在△48C中，由正弦定理，

得上=—'.AC=46.

sin8sinZBAC

故答案為：逐.

15.在AABC中，若面積S='+L-〃,貝IJZA=________

4

【答案】7

4

【詳解】

解：由三角形的面積公式得s=4AsinA,S=

24

二匚I、1"+C'2―/1..

所以--------=-bcsinA,

42

因為〃+c?—a?=2Z?ccosA,

所以一"（：os4=;〃八后A,BPsinA=cosA,

因為A￡（0/）,所以A=?

故答案為：￡

4

16.中，。是BC上的點，AO平分N8AC,△ABO面積是AADC面積的2倍，AD=I,DC=—,

2

則AC=.

【答案】1

【詳解】

解：因為A。平分NBAC,△M￡＞面積是AADC面積的2倍，

所以NC4T）=/aW,S^ABD=^ABADsinABAD,SAADC=^-AC-ADsinZCAD,

所以AB=2AC,

設AABC中8c邊上的高為力，

因為山打二］。/,S皿=g.DCh,

所以8O=2DC=血，

因為AD=1,

AD2+BD2-AB23-4AC2

所以在△ABQ中，cosZBDA=

2ADBD2A/2

3_

在“OC中，csi"仁二4r2

2ADDCa

因為cosABDA=cos（萬一ZCQ4）=-cosZ.CDA,

二一40)

所以cosNBOA+cosNCDA=0,即23-4AC"_解得AC=1

故答案為：1

四、解答題

17.記A/WC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知cos?A-sii?A+g=O.

(1)求角A的值；

(2)若AABC為銳角三角形，設a=J回，6=5,求AABC的面積.

【答案】(1)A=!?；蚓?2)兇

364

(1)

cos2A-sin2A+—=cos2A+—=0,所以cos2A=-'，因為A￡(O,TC),所以2AE(0,2TT),故2A=2?；?兀,

22233

12

即4=一?；騋■兀.

33

(2)

由第一問所求和“U3C為銳角三角形得A=g兀，

由余弦定理可得儲=。2+/一2)CCOSA,化為02一5c+6=0,解得c=2或3,

19+4-25

若。=2,則SS8=2X辰2s即B為鈍角，「。=2不成立，

當c=3,經(jīng)檢驗符合條件，△ABC的面積為S=，/?csinA=」x5x3xY^=^叵.

2224

18.已知△A8C的內(nèi)角48,C的對邊分別為a,b,c,且a(l-cosC)=ccosA.

(1)證明：“ABC是等腰三角形；

(2)若AABC的面積為延，月.cosC=：,求AABC的周長.

33

【答案】(1)證明見解析；(2)2五+港.

3

(1)在AAAC中，<7(1—cosC)=ccosA<^>a=acosC+ccosA,

由射影定理6=acosC+ccosA得，a=b>

所以△ABC是等腰二角形.

(2)

在AABC中，因cosC=gFLCw(0,7t),則sinC=M2,

33

又S^ABC=；absinC=,即必=2,由(1)知。=。，則有〃=b=也，

在中，由余弦定理得：02=/+^—2〃hcosC=2+2—2x&x&xg二g,解得c=亞，

333

又a=6=&，則。，b,c能構成三角形，符合題意，a+b+c=2&+*，

所以的周長為2&+也.

3

19.在AA8C中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且2asinA=(?+c)sin8+(2c+b)sinC.

(1)求A的大??；

(2)若sin8+sinC=l,試判斷AABC的形狀；

(3)若a=2,求AABC周長的最大值.

【答案】(1)A=y(2)等腰鈍角三角形(3)最大值為2+竽

（1）因為2asinA=（2/?+c）sinB+（2c+/?）sinC,

根據(jù)正弦定理得加2=（?+c）b+（2c+0）c,整理得層+。2-42=—加

由余弦定理可得cosA=，+f

2bc2

DTT

又Ae(O,萬)，所以4=看

(2)

由(1)知人=與，又sin8+sinC=l得sinB+sin[3-B]=l,

即sinB+—cosB一■-sinB=—sinB+—cosZJ=sinf8+生]=1,

2222I3)

因為則?<B+?〈與，

:.B+-=~,BPB=-,C=工，

3266

則AA8C為等腰鈍角三角形；

(3)

由a=2,^4=—及余弦定理知a2—b2+c2-IbccosA=[b+c^-bc>(b+cy_.("：)一=]”；)..

則e+C)?4與，知修+c)a=迪，當且僅當6=C=2叵時等號成立

3’33

所以a+/?+c42+

3

因此AABC周長的最大值為2+生叵.

3

20.在①sin2c=GcosC,②c（2+cos8）=JlbsinC,③bsin4+石。＜：058=0這三個條件中任選一個,

補充在下面的問題中，若問題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問題中的三角形不存在，說明

理由.

問題：是否存在AA3C,它的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,"C,且匕=7,c=5,?

【答案】答案見解析.

【詳解】

選擇①sin2C=6cosc

由sin2c=6cosC,得2s