新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破學(xué)案5.1《計(jì)數(shù)原理與概率》（原卷版）

第1講計(jì)數(shù)原理與概率[考情分析]1.主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，時(shí)常與概率相結(jié)合，以選擇題、填空題為主.2.二項(xiàng)式定理主要考查通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)等知識(shí)，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯考查.3.概率重點(diǎn)考查古典概型、條件概率的基本應(yīng)用.考點(diǎn)一排列與組合問(wèn)題核心提煉解決排列、組合問(wèn)題的一般過(guò)程(1)認(rèn)真審題，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時(shí)進(jìn)行，確定分多少步及多少類；(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問(wèn)題還是組合(無(wú)序)問(wèn)題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素.例1(1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申請(qǐng)?jiān)趪?guó)慶期間到A，B，C三個(gè)路口協(xié)助交警值勤，他們申請(qǐng)值勤路口的意向如下表：交通路口ABC志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁這4名志愿者的申請(qǐng)被批準(zhǔn)，且值勤安排也符合他們的意向，若要求A，B，C三個(gè)路口都要有志愿者值勤，則不同的安排方法有()A.14種B.11種C.8種D.5種(2)2022年2月4日，中國(guó)北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式以二十四節(jié)氣的方式開(kāi)始倒計(jì)時(shí)，創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾，某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“清明”、“立夏”、“芒種”、“小暑”六張知識(shí)展板分別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？()A.192B.240C.120D.288規(guī)律方法排列、組合問(wèn)題的求解方法與技巧(1)合理分類與準(zhǔn)確分步；(2)排列、組合混合問(wèn)題要先選后排；(3)特殊元素優(yōu)先安排；(4)相鄰問(wèn)題捆綁處理；(5)不相鄰問(wèn)題插空處理；(6)定序問(wèn)題除法處理；(7)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部；(8)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.跟蹤演練1(1)2021年1月18號(hào)，國(guó)家航天局探月與航天工程中心表示，中國(guó)首輛火星車全球征名活動(dòng)已經(jīng)完成了初次評(píng)審.評(píng)審委員會(huì)遴選出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、風(fēng)火輪、追夢(mèng)、天行、星火共10個(gè)名稱，將其作為中國(guó)首輛火星車的命名范圍.某同學(xué)為了研究這些初選名稱的涵義，計(jì)劃從中選3個(gè)名稱依次進(jìn)行分析，其中有1個(gè)是祝融，其余2個(gè)從剩下的9個(gè)名稱中隨機(jī)選取，則祝融不是第3個(gè)被分析的情況有()A.144種B.336種C.672種D.1008種(2)現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國(guó)家高山滑雪館、國(guó)家速滑館、首鋼滑雪大跳臺(tái)三個(gè)場(chǎng)館參加活動(dòng)，要求每個(gè)場(chǎng)館都有人去，且這四人都在這三個(gè)場(chǎng)館，則甲和乙都沒(méi)被安排去首鋼滑雪大跳臺(tái)的種數(shù)為()A.12B.14C.16D.18考點(diǎn)二二項(xiàng)式定理核心提煉1.求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題的思路(1)利用通項(xiàng)公式將Tk＋1項(xiàng)寫(xiě)出并化簡(jiǎn).(2)令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出k.(3)代回通項(xiàng)公式即得所求.2.對(duì)于兩個(gè)因式的積的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般對(duì)某個(gè)因式用通項(xiàng)公式，再結(jié)合因式相乘，分類討論求解.例2(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開(kāi)式中x2y6的系數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答).(2)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x4)))n的展開(kāi)式中第四項(xiàng)的系數(shù)為120，所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.易錯(cuò)提醒二項(xiàng)式(a＋b)n的通項(xiàng)公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an﹣kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)；其中Ceq\o\al(k,n)是二項(xiàng)式展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)，要區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù).跟蹤演練2(1)若(1﹣x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，則a6等于()A.﹣448B.﹣112C.112D.448(2)(多選)已知(1﹣2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，則()A.展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為1B.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22023C.a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝﹣2D.a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝0考點(diǎn)三概率核心提煉1.古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù),試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)).2.條件概率公式設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).3.全概率公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai).例3(1)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)(2)(多選)甲和乙兩個(gè)箱子中各有質(zhì)地均勻的9個(gè)球，其中甲箱中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以A1，A2，A3表示從甲箱中取出的球是紅球、白球、黑球的事件，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示取出的球是紅球的事件，則()A.A1，A2，A3兩兩互斥B.P(B|A2)＝eq\f(2,5)C.P(B)＝eq\f(1,2)D.B與A1相互獨(dú)立(3)甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如框圖所示，其中編號(hào)為i的方框表示第i場(chǎng)比賽，方框中是進(jìn)行該場(chǎng)比賽的兩名棋手，第i場(chǎng)比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i”，第6場(chǎng)為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為eq\f(2,3)，而乙、丙、丁之間相互比賽，每人勝負(fù)的可能性相同.則甲獲得冠軍的概率為()A.eq\f(8,27)B.eq\f(16,27)C.eq\f(32,81)D.eq\f(40,81)規(guī)律方法求概率的方法與技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解.(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解.(3)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對(duì)應(yīng)事件的概率公式求解.跟蹤演練3(1)某市在文明城市建設(shè)中，鼓勵(lì)市民“讀書(shū)好，好讀書(shū)，讀好書(shū)”.在各閱覽室設(shè)立茶座，讓人們?cè)谛蓍e中閱讀有用有益圖書(shū).某閱覽室為了提高閱讀率，對(duì)于周末前來(lái)閱讀的前三名閱讀者各贈(zèng)送一本圖書(shū)，閱讀者從四種不同的書(shū)籍中隨意挑選一本，則他們有且僅有2名閱讀者挑選同一種書(shū)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(4,9)C.eq\f(3,4)D.eq\f(9,16)(2)(多選)一次“智力測(cè)試”活動(dòng)，在備選的10道題中，甲能答對(duì)其中的6題，乙能答對(duì)其中的8題，測(cè)試時(shí)從備選的10道題中隨機(jī)抽出3題由甲、乙分別作答，至少答對(duì)2題者被評(píng)為“智答能手”.設(shè)甲被評(píng)為“智答能手”為事件A，乙被評(píng)為“智答能手”為事件B，若P(B|A)＝P(B)，則下列結(jié)論正確的是()A.P(A|B)＝P(A)B.P(eq\x\to(B)|A)＝eq\f(1,15)C.甲、乙至多有一人評(píng)為“智答能手”的概率為eq\f(16,45)D.甲、乙至少有一人評(píng)為“智答能手”的概率為eq\f(44,45)專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1.(eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.﹣540B.﹣15C.15D.1352.某人民醫(yī)院召開(kāi)抗疫總結(jié)表彰大會(huì)，有7名先進(jìn)個(gè)人受到表彰，其中有一對(duì)夫妻.現(xiàn)要選3人上臺(tái)報(bào)告事跡，要求夫妻兩人中至少有1人報(bào)告，若夫妻同時(shí)被選，則兩人的報(bào)告順序需要相鄰，這樣不同的報(bào)告方案共有()A.80種B.120種C.130種D.140種3.(a﹣x)(2＋x)6的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是12，則實(shí)數(shù)a的值為()A.4B.5C.6D.74.從4雙不同尺碼的鞋子中隨機(jī)抽取3只，則這3只鞋子中任意兩只都不成雙的概率為()A.eq\f(1,14)B.eq\f(3,7)C.eq\f(4,7)D.eq\f(3,4)5.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1h，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8)D.eq\f(3,4)6.為響應(yīng)國(guó)家鼓勵(lì)青年創(chuàng)業(yè)的號(hào)召，小王開(kāi)了兩家店鋪，每個(gè)店鋪招收了兩名員工，若某節(jié)假日每位員工休假的概率均為eq\f(1,3)，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家店鋪無(wú)人休假，則從無(wú)人休假的店鋪調(diào)劑1人到員工全部休假的店鋪，使得該店鋪能夠正常營(yíng)業(yè)，否則該店就停業(yè).則兩家店鋪該節(jié)假日都能正常營(yíng)業(yè)的概率為()A.eq\f(1,9)B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9)D.eq\f(8,9)7.定義：兩個(gè)正整數(shù)a，b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對(duì)于模m同余，記作a＝b(modm)，比如：26＝16(mod10).已知n＝Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)·8＋Ceq\o\al(2,10)·82＋…＋Ceq\o\al(10,10)·810，滿足n＝p(mod7)，則p可以是()A.23B.31C.32D.198.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是()A.Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＝165B.在第2022行中第1011個(gè)數(shù)最大C.第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于第9行的第8個(gè)數(shù)D.第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為2∶3二、多項(xiàng)選擇題9.已知(a＋b)n的展開(kāi)式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的值可以為()A.7B.8C.9D.1010.拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A＝“x＋y＝7”，事件B＝“xy為奇數(shù)”，事件C＝“x＞3”，則下列結(jié)論正確的是()A.A與B互斥B.A與B對(duì)立C.P(B|C)＝eq\f(1,3)D.A與C相互獨(dú)立11.A，B，C，D，E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法正確的有()A.若A，B兩人站在一起，則共有24種排法B.若A，B不相鄰，則共有72種排法C.若A在B左邊，則共有60種排法D.若A不站在最左邊，B不站在最右邊，則共有78種排法12.甲、乙兩個(gè)均勻且完全一樣的四面體，每個(gè)面都是正三角形，甲四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，乙四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字5,6,7,8，同時(shí)拋擲這兩個(gè)四面體一次，記事件A為“兩個(gè)四面體朝下一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件B為“甲四面體朝下一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“乙四面體朝下一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是()A.P(A)＝P(B)＝P(C)B.P(BC)＝P(AC)＝P(AB)C.P(ABC)＝eq\f(1,8)D.P(B|A)＝eq\f(1,2