2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（特殊）平行四邊形復(fù)習(xí)

（特殊）平行四邊形復(fù)習(xí)

【知識(shí)回顧】

的平行四邊形叫做矩形。矩形的四個(gè)角都是，對(duì)角線。

個(gè)角是直角的四邊形式矩形，對(duì)角線相等的是矩形

相等的平行四邊形叫做菱形，菱形的條邊都相等，對(duì)角線，并且每條對(duì)角線平分。

,對(duì)角線的平行四邊形是菱形。

相等，并且有一個(gè)角是的平行四邊形叫做正方形，正方形的個(gè)角都是直角，四條邊都。

,并且，每條對(duì)角線平分一組。

是正方形，有一個(gè)角是直角的是正方形。

8.在線段、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的共

有個(gè)

【（特殊）平行四邊形的性質(zhì)與判定應(yīng)用】

1.如圖，在cABCD中，下列說法一定正確的是（〉

[A]AC=BD[B]AC1BD[C]AB=CD[D]AB=BC

2.以下四個(gè)命題正確的是（）

[A]任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓【B】菱形對(duì)角線相等

[C]平行四邊形對(duì)角線垂直【D】矩形的對(duì)角線相等

3.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B=BC,②/ABC=90。，③AC=BD,?AC±BD四個(gè)條件

中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（）

[A]選①②【B】選②③【C】選①③【D】選②④

（中垂線在平行四邊形中的應(yīng)用】

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=6,AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,則^CDE的周長(zhǎng)是（）

[A]7[B]10[C]11[D]12

5.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1,CE=3,H是AF的中點(diǎn)，那么CH的

長(zhǎng)是（）

[B]V5IC]看?【D]2

【平行四邊形中關(guān)于高線的分類討論問題】

6.在面積為15的平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE垂直于直線BC于點(diǎn)E,作AF垂直于直線CD于

點(diǎn)F,若AB=5,BC=6,則CE+CF的值為（）

?,1173?,1173,11百少11A/3,11百一叢

[A]11+----[B]11------[Cr]11+------或11------[DR]11-------或1+—

222222

【課堂提升訓(xùn)練】

7.如圖，D為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，E、F兩點(diǎn)分別在AB、BC上，且四邊形DEBF為矩形，直線CD交AB

于G點(diǎn).若CF=6,BF=9,AG=8,則△ADC的面積為何？（）

[A]16[B]24[C]36[D]54

8.如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)F是矩形ABCD外兩點(diǎn)，AELCF于點(diǎn)H,AD=3,

DC=4,DE=-,ZEDF=90°,則DF長(zhǎng)是（）

2

,15,11,10,16

r[Al——r[B]—r[C]—[rD]—

8335

9.如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得正方形A'B-C'D",圖中陰影部分面積為（）

[A]-U2[B]—a2[C]（1-—）a2[D]（1-—）a2

2343

10.在矩形ABCD中，AB=1,AD=73,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,CE_LBD于E,AF平分/BAD交

A77J3

BC于F,延長(zhǎng)AF與EC交于點(diǎn)H,下列結(jié)論中：①AC=CH；②BO=BF；③BE=3DE；④——=—,

FH3

正確的是（）

[A]①②③[B]①③④【C】②③④【D】①②③④

11.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和的3倍多180°,則它的邊數(shù)是.

12.如圖矩形ABCD中，AD=5,AB=7,點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把AADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)D，落在/ABC的角平分線上時(shí);DE的長(zhǎng)為.

13.如圖，是將菱形ABCD以點(diǎn)O為中心按順時(shí)針方向分別旋轉(zhuǎn)90°,180°,270。后形成的圖形.若

ZBAD=60°,AB=M，則圖中陰影部分的面積為.

14.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm,E為CD邊上一點(diǎn)，NDAE=30。，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直

線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q.若PQ=AE,則AP等于cm.

16.如圖1,將正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與CD重合，折痕為EF.如圖2,展開后再折疊一次，使

點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,EM交AB于N,則tan/ANE=.

17.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,過點(diǎn)C的直線MN〃AB,D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE_LBC,

垂足為F,交直線MN于E,連接CD、BE.

（1）求證：CE=AD；

（2）當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；

（3）當(dāng)D為AB中點(diǎn)，當(dāng)NA的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說明你的理由.

18.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上的任一點(diǎn)，連接AM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到線段MN,在CD邊上取點(diǎn)P使CP=BM,連接NP,BP.

(1)求證：四邊形BMNP是平行四邊形：

(2)線段MN與CD交于點(diǎn)Q,連接AQ,若△MCQs/^AMQ,則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)

說明理由.

19.(1)如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,H分別在BC,AB±,若AELDH于點(diǎn)0,求證：AE=DH；

(2)如圖2,在正方形ABCD中，點(diǎn)H,E,G,F分別在AB,BC,CD,DA上，若EF_LHG于點(diǎn)O,

探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

綜合運(yùn)用：(3)在(2)條件下，HF〃GE,如圖3所示，已知BE=EC=2,E0=2F0,求圖中陰影部分面積.

20.已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M,過M作ME_LCD于

點(diǎn)E,Z1=Z2.(1)若CE=1,求BC的長(zhǎng)；(2)求證：AM=DF+ME.

21.已知：如圖1,拋物線Ci：y--(x-m)2+n(m>0)的頂點(diǎn)為A,與y軸相交于B,拋物線C2：

y=§(x+m)2-〃的頂點(diǎn)為C,并與y軸相交于D,其中A、B、C、D中任意三點(diǎn)都不在同一直線

(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

(2)如圖2,若拋物線y=；(x—m)2+〃(m>0)的頂點(diǎn)A落在x軸上時(shí)，四邊形ABCD恰好是正方

形，請(qǐng)你確定m,n的值；

(3)是否存在m,n的值，使四邊形ABCD是鄰邊之比為1：73的矩形？若存在，請(qǐng)求出m,n的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

(特殊)平行四邊形復(fù)習(xí)

【知識(shí)回顧】

的平行四邊形叫做矩形。矩形的四個(gè)角都是，對(duì)角線。

個(gè)角是直角的四邊形式矩形，對(duì)角線相等的是矩形

相等的平行四邊形叫做菱形，菱形的條邊都相等，對(duì)角線，并且每條對(duì)角線平分。

,對(duì)角線的平行四邊形是菱形。

相等，并且有一個(gè)角是的平行四邊形叫做正方形，正方形的個(gè)角都是直角，四條邊都。

,并且，每條對(duì)角線平分一組.

是正方形，有一個(gè)角是直角的是正方形。

8.在線段、等邊三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的共

有個(gè)

1.如圖，在。ABCD中，下列說法一定正確的是()

[A]AC=BD

[B]AC1BD

[C]AB=CD

[D]AB=BC

【考點(diǎn)】L5：平行四邊形的性質(zhì).

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)容易得出結(jié)論.

【解答】解：...四邊形ABCD是平行四邊形，

...AB=CD；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)；熟記平行四邊形的對(duì)邊相等是解決問題的關(guān)鍵.

2.以下四個(gè)命題正確的是（）

[A]任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓

[B]菱形對(duì)角線相等

[C]平行四邊形對(duì)角線垂直

[D]矩形的對(duì)角線相等

【考點(diǎn)】01：命題與定理.

【分析】利用確定圓的條件、菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)判斷后

即可確定答案.

【解答】解：A、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故錯(cuò)誤；

B、菱形的對(duì)角線垂直但不一定相等，故錯(cuò)誤；

C、平行四邊形的對(duì)角線互相平分但不一定相等也不一定垂直，故錯(cuò)誤；

D、正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解確定圓的條件、菱形的性質(zhì)、直角三角形的性

質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，難度一般.

3.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B=BC,②NABC=90。，③AC=BD,?AC±BD四個(gè)條件

中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（）

[A]選①②

[B]選②③

[C1選①③

[D]選②④

【考點(diǎn)】L5：平行四邊形的性質(zhì)；LF：正方形的判定.

【分析】要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形.

【解答】解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩

形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出

平行四邊形ABCD是正方形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；

C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊

形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行

四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角.

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定.

4.如圖,在平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=6,AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,則^CDE的周長(zhǎng)是（）

[A]7

[B]10

[C]11

[D]12

【考點(diǎn)】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=EC,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DC=ABH,AD=BC=6,

進(jìn)而可以算出△CDE的周長(zhǎng).

【解答】解：：AC的垂直平分線交AD于E,

，AE=EC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

，DC=AB=4,AD=BC=6,

二△CDE的周長(zhǎng)為：EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形兩組對(duì)邊分

別相等.

5.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1,CE=3,H是AF的中點(diǎn)，那么CH的

[D]2

【考點(diǎn)】KP：直角三角形斜邊上的中線；KQ：勾股定理.

【分析】連接AC、CF,根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45°,再求出/ACF=90。，然后利

用勾股定理列式求出AF,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.

【解答】解：如圖，連接AC、CF,

?.,正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=LCE=3,

，AC=亞，CF=3亞，

NACD=NGCF=45。，

ZACF=90°,

由勾股定理得，AF={AC2+CF2=4加2+（版）2=2泥,

是AF的中點(diǎn)，

??.CH總AF=*x2^=心

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各

性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

6.在面積為15的平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE垂直于直線BC于點(diǎn)E,作AF垂直于直線CD于

點(diǎn)F,若AB=5,BC=6,則CE+CF的值為（）

r,115/3

[A]11+------

2

r,11V3

[B]11---------

2

r,Il8一11石

[C]11+-------或11-----------

22

r,11月_V3

[D]11-------或1+—

22

【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；L5：平行四邊形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)平行四邊形面積求出AE和AF,有兩種情況，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相

加即可得出答案.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB=CD=5,BC=AD=6,

①如圖：過點(diǎn)A作AELBC垂足為E,過點(diǎn)A作AFLDC垂足為E

由平行四邊形面積公式得：BCXAE=CDXAF=15,

4,5

求出AE=—,AF=3,

2

在RtAABE和RtAADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2,

c5c

把AB=5,AE=±代入求出BE=----，

22

同理DF=36>5,即F在DC的延長(zhǎng)線上（如上圖），

，CE=6--,CF=3>/3-5,

2

73

B即nCE+CF=1+—,

2

②如圖：過點(diǎn)A作AF_LDC垂足為E過點(diǎn)A作AEJ_BC垂足為E,

55/3

VAB=5,AE=一，在△ABE中，由勾股定理得：BE二——，

22

同理DF=36，

由①知：CE=6H---------,CF=5+3,

2

11百

/.CE+CF=11+-----.

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，注意：要

分類討論啊.

7.如圖，D為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，E、F兩點(diǎn)分別在AB、BC上，且四邊形DEBF為矩形，直線CD交AB

于G點(diǎn).若CF=6,BF=9,AG=8,則△ADC的面積為何？（）

[A]16

[B]24

[C]36

[D]54

【考點(diǎn)】K3：三角形的面積；LB：矩形的性質(zhì).

【分析】由于SAADC=SAAGC-SAADG，根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式計(jì)算即可求解.

【解答】解：SAADC=SAAGC-SAADG

II

=—xAGxBC——xAGxBF

22

=—x8x(6+9)x8x9

22

=60-36

=24.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形的面積和矩形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是活用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算.

8.如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)F是矩形ABCD外兩點(diǎn)，AE±CF于點(diǎn)H,AD=3,

DC=4,DE=-,ZEDF=90°,則DF長(zhǎng)是()

2

15

[A]T

11

T

10

T

16

[DlT

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】幾何綜合題.

【分析】設(shè)DF和AE相交于O點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)和已知條件可證明NE=NF,NADE=NFDC,

進(jìn)而可得到△ADEs^CDF,由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可求出DF的長(zhǎng).

【解答】解：設(shè)DF和AE相交于O點(diǎn)，I?四邊形ABCD是矩形，,NADC=90。，；NEDF=90。，

,NADC+NFDA=/EDF+NFDA,即/FDC=/ADE,：AE_LCF于點(diǎn)H,AZF+ZFOH=90°,

；NE+NEOD=90°,NFOH=NEOD,NF=NE,A△ADE^ACDF,AAD：CD=DE：DF,

510.”，

VAD=3,DC=4,DE=—，ADF=—.故選：C.

23

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)，題目

的綜合性加強(qiáng)，難度中等

9.如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到正方形A，BO,圖中陰影部分的面積為

()

[A]

732

[B]------a2

3

(1-T)a2

[D](1-)a2

3

【考點(diǎn)】LE：正方形的性質(zhì)；R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【分析】設(shè)B'C'與CD交于點(diǎn)E.由于陰影部分的面積=S正方彩ABCD-S皿邊彩AB'ED，又S正方彩ABCD=a?,所以關(guān)

鍵是求S四邊形ABED.為此，連接AE.根據(jù)HL易證△AB'E絲AADE'得出NB'AE=NDAE=30°.在直

角AADE中，由正切的定義得出DE=AD?tanNDAE=#a.再利用三角形的面積公式求出S四地彩

AB'ED=2SAADE-

【解答】解：設(shè)BC與CD交于點(diǎn)E,連接AE.

在4ABT與4ADE中，ZAB,E=ZADE=90°,

[AE=AE

IAB?=AD,

.,.△ABT^AADE(HL),

r.ZB,AE=ZDAE.

?.?/BAB，=30。，ZBAD=90°,

/.ZB,AE=ZDAE=30°,

石

/.DE=AD?tanZDAE=a.

3

.1百G,

--S四邊舷AB'ED=2SAADE=2X—xax----a=-----a".

233

陰影部分的面積=$正方畛ABCD-SWil?AB'ED-(1-~~)a2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的判定及性質(zhì)，圖形的面積以及三角函數(shù)等知

識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.

10.在矩形ABCD中，AB=1,AD=百，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,CE_LBD于E,AF平分NBAD交

AF也

BC于F,延長(zhǎng)AF與EC交于點(diǎn)H,下列結(jié)論中：①AC=CH；②BO=BF；③BE=3DE；④——=—,

FH3

正確的是()

[A]①②③

[B]①③④

[C]②③④

[D]①②③④

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LB：矩形的性質(zhì).

【分析】求出OA=OC=OD=BD,求出NADB=30。，求出NABO=60。，得出等邊三角形AOB,求出

AB=BO=AO=OD=OC=DC,推出BF=AB,求出NH=NCAH=15。，求出DE=EO,根據(jù)以上結(jié)論推出即

可.

【解答】解：：/AFC=135。，CF與AH不垂直，

.?四邊形ABCD是矩形，

,.ZBAD=90°,

ZAD=V3>AB=1,

，.tanNADB=:貨,

V33

,.ZADB=30o,

\NABO=60°,

.?四邊形ABCD是矩形，

，.AD〃BC,AC=BD,AC=2A0,BD=2B0,

AO=BO,

?.△ABO是等邊三角形，

\AB=BO,ZAOB=ZBAO=60°=ZCOE,

??AF平分NBAD,

\ZBAF=ZDAF=45°,

「AD〃BC,

??NDAF=NAFB,

\ZBAF=ZAFB,

*.AB=BF,

.*AB=BO,

,?BF=BO,?,?②正確；

/ZBAO=60°,ZBAF=45°,

\ZCAH=15°,

ZCE±BD,

\ZCEO=90°,

??ZEOC=60°,

??ZECO=30°,

.ZH=ZECO-ZCAH=30°-I5°=15°=ZCAH,

AAC=CH,

???①正確；

VAAOB是等邊三角形，

AAO=OB=AB,

丁四邊形ABCD是矩形，

AOA=OC,OB=OD,AB=CD,

ADC=OC=OD,

VCE±BD,

DE=EO=—DO=—BD,

24

即BE=3ED,...③正確；

作HGXBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

VAB=1,AD=73,

二BC=CH=2,

AHG=CHcosZCHG=2x—=73,

2

,.,△ABF^AHGF,

.ABAF

AFV3

t0!n|J-------=——

FH3

④正確

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線定義，定義三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形

的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，難度偏大，對(duì)學(xué)生提出較高的要求.

11.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和的3倍多180°,則它的邊數(shù)是9.

【考點(diǎn)】L3：多邊形內(nèi)角與外角.

【分析】多邊形的內(nèi)角和比外角和的3倍多180。,而多邊形的外角和是360。,則內(nèi)角和是3x360。+180。.n

邊形的內(nèi)角和可以表示成(n-2)780。，設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n,得到方程，從而求出邊數(shù).

【解答】解：根據(jù)題意，得

(n-2)?180°=3x360°+180°,

解得:n=9.

則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】考查了多邊形內(nèi)角與外角，此題只要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解.

12.如圖矩形ABCD中，AD=5,AB=7,點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把AADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)D，落在NABC的角平分線上時(shí)，DE的長(zhǎng)為3或號(hào).

2-_3

【考點(diǎn)】PB：翻折變換(折疊問題).

【分析】連接BDT過D，作MNJ_AB,交AB于點(diǎn)M,CD于點(diǎn)N,作D，P1_BC交BC于點(diǎn)P,先利用勾

股定理求出MD\再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

【解答】解：如圖，連接BD，，過D彳乍MNLAB,交AB于點(diǎn)M,CD于點(diǎn)N,作DPLBC交BC于點(diǎn)P

?點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，落在NABC的角平分線上，

/.MD,=PD,,

設(shè)MD'=x,則PD'=BM=x,

；.AM=AB-BM=7-x,

又折疊圖形可得AD=AD，=5,

/.x2+(7-x)2=25,解得x=3或4,

即MD'=3或4.

在RSEND中，設(shè)ED，=a,

①當(dāng)MD，=3時(shí)，AM=7-3=4,0?4=5-3=2,EN=4-a,

/.a2=22+(4-a)2,

解得a±,即DE1，

22

②當(dāng)MD，=4時(shí)，AM=7-4=3,DTM=5-4=1,EN=3-a,

Aa2=l2+(3-a)2,

解得a=互，即DE=區(qū).

33

故答案為：?1或號(hào).

23

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對(duì)應(yīng)相等的.

13.如圖，是將菱形ABCD以點(diǎn)0為中心按順時(shí)針方向分別旋轉(zhuǎn)90。，180。，270。后形成的圖形.若

ZBAD=60°,AB=V3＞則圖中陰影部分的面積為9-3?.

【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【分析】圖中陰影部分由4個(gè)全等的等腰三角形和一個(gè)正方形組成，如圖，作DHLAE于H,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)得/DAF=90。，ZEAF=ZBAD=60°,AB=AE=6，則/DAE=30。，在RsADH中，利用含30

度的直角三角形三邊的關(guān)系可得DH==AD=B,AH=V3DH=4-所以HE=AE-AH=5^-鳥，接著

2222

在RtADHE中，利用勾股定理得到DE2=DH2+HE2=6-3百，所以圖中陰影部分的面積=4SAADE+6-3

#)=9-3A/3.

【解答】解：如圖，作DHLAE于H,

,菱形ABCD以點(diǎn)O為中心按順時(shí)針方向分別旋轉(zhuǎn)90。，180。,270°,

AZDAF=90°,ZEAF=ZBAD=60°,AB=AE=G

/DAE=30°,

?.?四邊形ABCD為菱形，

二AD=AB=G,

在RsADH中，ZDAH=30°,

，DH=LAD=^,AH=?DH=g

222

，HE=AE-AH=?-"l，

在RtADHE中，DE2=DH2+HE2=(丑)2+(G--)2=6-3\/3,

22

.,.圖中陰影部分的面積=4SAADE+6-3-/3

=4x—x6x+6-35/3

22

=9-3V3.

故答案為9-36.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于

旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了菱形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

14.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm,E為CD邊上一點(diǎn)，NDAE=30。，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直

線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q.若PQ=AE,則AP等于1或2cm.

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN_LBC,交BC于點(diǎn)N,由ABCD為正方形，得至UAD=DC=PN,

在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)

M為AE中點(diǎn)求出AM的長(zhǎng)，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊,

對(duì)應(yīng)角相等得到DE=NQ,NDAE=NNPQ=30。，再由PN與DC平行，得到NPFA=/DEA=60。，進(jìn)而

得到PM垂直于AE,在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長(zhǎng)，再

利用對(duì)稱性確定出AP，的長(zhǎng)即可.

【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN_LBC,交BC于點(diǎn)N,

?.?四邊形ABCD為正方形，

，AD=DC=PN,

在RtAADE中，ZDAE=30°,AD=3cm,

DEr

tan30°=-----，即DE=，3cm,

AD

根據(jù)勾股定理得：AE=，2+(6)2=273cm,

為AE的中點(diǎn)，

AM=—AE=也cm,

2

在RSADE和RtAPNQ中，

AD=PN

AE=PQ'

ARtAADE嶺RSPNQ(HL),

，DE=NQ,ZDAE=ZNPQ=30°,

VPN//DC,

NPFA=NDEA=60。，

NPMF=90°,即PMLAF,

AM

在RsAMP中，NMAP=30°,cos30°=------

AP

2

由對(duì)稱性得至UAP,=DP=AD-AP=3-2=lcm,

綜上，AP等于1cm或2cm.

故答案為：1或2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本

題的關(guān)鍵.

16.如圖1,將正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與CD重合，折痕為EF.如圖2,展開后再折疊一次，使

3

點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,EM交AB于N,則tan/ANE=」.

4

【考點(diǎn)】PB：翻折變換（折疊問題）.

【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a,DH=x,表示出CH,再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)表示出DE、EH,然后利用勾

股定理列出方程求出X,再根據(jù)同角的余角相等求出NANE二NDEH,然后根據(jù)銳角的正切值等于對(duì)邊

比鄰邊列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a,DH=x,

則CH=2a-x,

由翻折的性質(zhì)，DE=—AD=—x2a=a，

22

EH=CH=2a-x,

在RtADEH中，DE2+DH2=EH2,

即a2+x2=(2a-x)2,

3

解得x=-a,

4

VZMEH=ZC=90°,

???ZAEN+ZDEH=90°,

?/ZANE+ZAEN=90°,

AZANE=ZDEH,

3

n口二aq

tan/ANE=tanNDEH=----=.

DEa4

3

故答案為：一.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)，設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)，然后利用勾

股定理列出方程是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

17.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,過點(diǎn)C的直線MN〃AB,D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEJ_BC,

垂足為F,交直線MN于E,連接CD、BE.

(1)求證：CE=AD；

(2)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；

(3)當(dāng)D為AB中點(diǎn)，當(dāng)/A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說明你的理由.

【考點(diǎn)】L0：四邊形綜合題.

【分析】(1)先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；

(2)求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD,根據(jù)菱形的判定推出即可；

(3)當(dāng)NA=45。，四邊形BECD是正方形.

【解答】(1)證明：：DE_LBC,

.?.NDFB=90°,

,/ZACB=90°,

，/ACB=/DFB,

，AC〃DE,

：MN〃AB,即CE〃AD,

...四邊形ADEC是平行四邊形，

/.CE=AD；

(2)解：四邊形BECD是菱形，

理由是：：D為AB中點(diǎn)，

；.AD=BD,

VCE=AD,

，BD=CE,

：BD〃CE,

二四邊形BECD是平行四邊形，

VZACB=90°,D為AB中點(diǎn)，

；.CD=BD,

四邊形BECD是菱形；

(3)當(dāng)NA=45。時(shí)，VZACB=90°,

；.NABC=45。，

由(2)可知，四邊形BECD是菱形，

，NABC=NCBE=45。，

.,.ZDBE=90°,

四邊形BECD是正方形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

18.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是BC邊上的任一點(diǎn)，連接AM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到線段MN,在CD邊上取點(diǎn)P使CP=BM,連接NP,BP.

(1)求證：四邊形BMNP是平行四邊形；

(2)線段MN與CD交于點(diǎn)Q,連接AQ,若△MCQs/\AMQ,則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)

說明理由.

【考點(diǎn)】L7：平行四邊形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC,ZABC-ZC,然后利用“邊角邊”證明△ABM和4BCP全等，

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=BP,ZBAM=ZCBP,再求出AMJ_BP,從而得到MN〃BP,然

后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；

(2)根據(jù)同角的余角相等求出/BAM=/CMQ,然后求出△ABM和△MCQ相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)

4pAMARAM

邊成比例可得——=——，再求出△AMQs/\ABM,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得——=——

MCMQMCMQ

ARAfi

從而得到——=——，即可得解.

MCMQ

【解答】(1)證明：在正方形ABCD中，AB=BC,ZABC-ZC,

在4ABM和4BCP中，

'AB=BC

<ZABC=ZC,

CP=BM

/.△ABM^ABCP(SAS),

/.AM=BP,NBAM=/CBP,

VZBAM+ZAMB=90°,

.*.ZCBP+ZAMB=90o,

VAM并將線段AM繞M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段MN,

AAM±MN,且AM=MN,

；.MN〃BP,

，四邊形BMNP是平行四邊形；

(2)解：BM=MC.

理由如下：VZBAM+ZAMB=90°,NAMB+NCMQ=90°,

.,.ZBAM=ZCMQ,

又；/ABC=NC=90°,

/.△ABM(^AMCQ,

.ABAM

VAMCQ^AAMQ,

/.△AMQ^AABM,

.ABAM

.ABAB

，BM=MC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的

判定，（1）求出兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)相似于同一個(gè)三角形的兩個(gè)三角形相似求出

△AMQ^AABM是解題的關(guān)鍵.

19.（1）如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,H分別在BC,AB±,若AEJ_DH于點(diǎn)0,求證：AE=DH；

（2）如圖2,在正方形ABCD中，點(diǎn)H,E,G,F分別在AB,BC,CD,DA上，若EF_LHG于點(diǎn)0,

探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

綜合運(yùn)用：

（3）在（2）問條件下，HF〃GE,如圖3所示，已知BE=EC=2,E0=2F0,求圖中陰影部分的面積.

【考點(diǎn)】L0：四邊形綜合題.

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得AB=DA,ZABE=90°=ZDAH.所以/HAO+/OAD=90。，又知

ZADO+ZOAD=90°,所以NHA0=NAD0,于是△ABE絲△DAH,可得AE=DH；

（2）EF=GH.將FE平移到AM處，則AM〃EF,AM=EF,將GH平移到DN處,則DN〃GH,DN=GH.根

據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN,所以EF=GH；

（3）易得AAHFszXCGE,所以絲線?上由EC=2得AF=1,過F作FPLBC于P,根據(jù)勾股定

CEEG0E2

理得EF=JT?,因?yàn)镕H〃EG,所以H■春，根據(jù)（2）①知EF=GH,所以F0=H0,再求得三角形

F0H與三角形E0G的面積相加即可.

【解答】解：（1）：四邊形ABCD是正方形，

；.AB=DA,ZABE=90°=ZDAH.

.,.ZHAO+ZOAD=90°.

VAE±DH,

,,.ZADO+ZOAD=90°.

r.ZHA0=ZAD0.

/.△ABE^ADAH（ASA）,

.,.AE=DH.

（2）EF=GH.

將FE平移到AM處，則AM〃EF,AM=EF.

將GH平移到DN處，則DN〃GH,DN=GH.

VEF1GH,

，AM_LDN,

根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN,所以EF=GH；

(3)??,四邊形ABCD是正方形,

???AB〃CD

/.ZAHO=ZCGO

???FH〃EG

:.ZFHO=ZEGO

AZAHF=ZCGE

AAAHF^ACGE

,AF_FH_F0

VEC=2

AAF=1

過F作FP_LBC于P,

根據(jù)勾股定理得EF=JP?,

：FH〃EG,

.FOHO

"~FE~~HG

根據(jù)(2)知EF=GH,

；.FO=HO.

/.S^FOH=-FO2=-x{-EF?=—,

22318

c1「八21/2,268

SAEOG——EO——x(—EF)=—,

22318

???陰影部分面積為史.

18

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的綜合知識(shí).用到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股

定理等綜合性較強(qiáng)，難度較大.

20.已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M,過M作ME_LCD于

點(diǎn)E,Z1=Z2.

(1)若CE=1,求BC的長(zhǎng)；

(2)求證：AM=DF+ME.

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；L8：菱形的性質(zhì).

【分析】(1)根據(jù)菱形的對(duì)邊平行可得AB〃CD,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得N1=NACD,所以

NACD=N2,根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得CM=DM,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=DE,

然后求出CD的長(zhǎng)度，即為菱形的邊長(zhǎng)BC的長(zhǎng)度；

(2)先利用“邊角邊”證明4CEM和4CFM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ME=MF,延長(zhǎng)AB交

DF于點(diǎn)G,然后證明N1=NG,根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AM=GM,再利用“角角邊”證明△CDF和

△BGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GF二DF,最后結(jié)合圖形GM=GF+MF即可得證.

【解答】(1)解：???四邊形ABCD是菱形，

，AB〃CD,

AZ1=ZACD,

VZ1=Z2,

AZACD=Z2,

:.MC=MD,

VME±CD,

???CD=2CE,

VCE=1,

???CD=2,

ABC=CD=2；

(2)證明：如圖，???F為邊BC的中點(diǎn)