數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)專題16.3 二次根式的加減-重難點(diǎn)題型（人教版）（教師版）

專題16.3二次根式的加減-重難點(diǎn)題型【人教版】【知識(shí)點(diǎn)1同類二次根式】把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．①同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)；②幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡(jiǎn)之前，被開方數(shù)完全可以互不相同；③判斷兩個(gè)二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同．【題型1同類二次根式的概念】【例1】（2021春?河西區(qū)校級(jí)月考）在8，12，A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化成最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可．【解答】解：∵8=22，12=23，18=32，48∴與3是同類二次根式的有12，48，共2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本考查了同類二次根式的定義，注意：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式．【變式1-1】（2020秋?內(nèi)江期末）下列各組二次根式，屬于同類二次根式的是（）A．3與18 B．63與28 C．0.5與23 D．12與【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，根據(jù)同類二次根式的概念判斷．【解答】解：A、∵18=32∴3與18不屬于同類二次根式；B、∵63=37，28=2∴63與28屬于同類二次根式；C、∵0.5=12∴0.5與23D、∵12=23，72=6∴12與72不屬于同類二次根式；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同類二次根式的概念，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2020秋?浦東新區(qū)期末）下列二次根式中，與ab(a＞0，b＞0)A．ba B．a(chǎn)2b24 【分析】先將各選項(xiàng)化簡(jiǎn)，再根據(jù)同類二次根式的定義解答．【解答】解：A、ba=abB、a2b2C、a2b3D、2ab=2ab故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查同類二次根式的定義，正確對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，以及正確理解同類二次根式的定義是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2020春?青山區(qū)校級(jí)月考）若最簡(jiǎn)二次根式3m?1與13?4m可以合并，則m的值是（）A．?27 B．2 C．7 【分析】根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，列出方程求解．【解答】解：最簡(jiǎn)二次根式3m?1與13?4m可以合并，得3m﹣1＝13﹣4m．解得m＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．【題型2二次根式的加減運(yùn)算】【知識(shí)點(diǎn)2二次根式的加減法則】二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．【例2】（2020秋?扶風(fēng)縣期末）計(jì)算下列各題：（1）(32（2）（24?0.5+32【分析】（1）直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案；（2）直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案．【解答】解：（1）原式=4=7（2）原式=2=46【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2020春?江岸區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（1）212?613+（2）23【分析】（1）（2）先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝43?23+＝143；（2）原式＝2x+3x?＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減法：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．【變式2-2】（2021春?新洲區(qū)期中）計(jì)算：（1）239x+（2）312?418?【分析】（1）根據(jù)二次根式加減法則二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（2）解法同（1）．【解答】解：（1）原式=23×3x+6×12（2）原式＝3×23?4×＝63?2＝53+【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的加減，熟練掌握二次根式的加減法則進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2021春?江岸區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（1）（24+0.5）﹣（（2）239x+6x4?2【分析】（1）直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案；（2）直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案．【解答】解：（1）原式＝26＝36+（2）原式=23?3x+6?x2＝2x+3x?＝3x．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【題型3二次根式的混合運(yùn)算】【例3】（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期中）計(jì)算（1）(8（2）(2+3【分析】（1）先根據(jù)二次根式的乘法法則運(yùn)算，然后化簡(jiǎn)即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算．【解答】解：（1）原式=＝43+32（2）原式＝4+43+＝7+43+＝8+43．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式3-1】（2021春?云陽縣期中）計(jì)算（1）12（2）（5+1）（5?1）+613?（1【分析】（1）先根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算，然后把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式候合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算．【解答】解：（1）原式=12=6+2＝36；（2）原式＝5﹣1+23?（1+23＝4+23?4﹣2＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式3-2】（2021春?渝中區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（48?50+（2）（5+23）×(5?23【分析】（1）先化簡(jiǎn)各二次根式，再利用乘法分配律計(jì)算，最后計(jì)算加減即可；（2）先利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算，再去括號(hào)、計(jì)算加減即可．【解答】解：（1）原式＝（43?52+53）×（＝﹣122+103?＝﹣272+103（2）原式＝52﹣（23）2﹣（28+47+＝25﹣12﹣28﹣47?＝﹣16﹣47．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【變式3-3】（2021春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）化簡(jiǎn)（1）（3?2）2+12+（2）（7+5）（7?5）﹣（2【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式計(jì)算，然后把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算．【解答】解：（1）原式＝3﹣43+4+23+＝7；（2）原式＝7﹣5﹣（4+42+＝2﹣6﹣42＝﹣4﹣42．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【題型4二次根式的化簡(jiǎn)求值】【例4】（2021春?長興縣月考）已知x＝3+22，y＝3﹣22．求下列各式的值：（1）x2﹣y2；（2）1x【分析】（1）根據(jù)平方差公式，可以即將所求式子化簡(jiǎn)，然后將x、y的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題；（2）根據(jù)分式的加法可以將所求式子化簡(jiǎn)，然后將x、y的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【解答】解：（1）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），當(dāng)x＝3+22，y＝3﹣22時(shí)，原式＝[（3+22）+（3﹣22）][（3+22）﹣（3﹣22）]＝（3+22+3﹣22）（3+22?3+2＝6×42＝242；（2）1=y=x+y當(dāng)x＝3+22，y＝3﹣22時(shí)，原式==6=6＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值、分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法．【變式4-1】（2021春?麻城市校級(jí)月考）已知x=12（7+5），y（1）x+y和xy的值；（2）yx【分析】（1）根據(jù)二次根式的加法法則、乘法法則計(jì)算；（2）根據(jù)分式的加法法則、完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵x=12（7+5），y∴x+y=12（7+5）+1xy=12（7+5）×12（（2）yx【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的加法法則、乘法法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2021春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）已知x=12+3，（1）求代數(shù)式2x2+2y2﹣xy的值；（2）求代數(shù)式x2?x【分析】（1）先將原式化為2x2+4xy+2y2﹣5xy，然后求出x+y與xy的值，最后代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝2x2+4xy+2y2﹣5xy＝2（x+y）2﹣5xy，當(dāng)x=12+3，∴x+y＝2?3+2xy=1∴原式＝2×42﹣5×1＝2×16﹣5＝27．（2）x=12+3原式=x(x?1)=x(x?1)=x(x?1)=?x=?2?=?2=?2【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式4-3】（2020秋?閔行區(qū)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：[4(x+y)(x?【分析】先依據(jù)二次根式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再把x，y的值代入計(jì)算即可．【解答】解：[4(x＝[4xyxy=?(x?2=?(=?1=?x當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，原式=?1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．【題型5二次根式的應(yīng)用】【例5】（2020春?福州期末）如圖，將長方形分成四個(gè)區(qū)域，其中A，B兩正方形區(qū)域的面積分別是1和6，則剩余區(qū)域的面積是．【分析】直接求出A，B兩正方形邊長，進(jìn)而求出剩余區(qū)域的面積．【解答】解：∵A，B兩正方形區(qū)域的面積分別是1和6，∴A，B兩正方形邊長分別是1和6，故剩余區(qū)域的面積是：6（6+＝6+6=6故答案為：6?【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確得出正方形的邊長是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2021春?拱墅區(qū)期中）如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為8cm2和18cm2的兩個(gè)小正方形，則留下的陰影部分面積和為．【分析】直接利用正方形的性質(zhì)得出兩個(gè)小正方形的邊長，進(jìn)而得出大正方形的邊長，即可得出答案．【解答】解：∵兩個(gè)小正方形面積為8cm2和18cm2，∴大正方形邊長為：8+18=22+3∴大正方形面積為（52）2＝50，∴留下的陰影部分面積和為：50﹣8﹣18＝24（cm2）故答案為：24cm2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確得出大正方形的邊長是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2021春?海淀區(qū)期中）如示意圖，小宇利用兩個(gè)面積為1dm2的正方形拼成了一個(gè)面積為2dm2的大正方形，并通過測(cè)量大正方形的邊長感受了2dm的大?。疄榱烁兄酂o理數(shù)的大小，小宇利用類似拼正方形的方法進(jìn)行了很多嘗試，下列做法不能實(shí)現(xiàn)的是（）A．利用兩個(gè)邊長為2dm的正方形感知8dm的大小 B．利用四個(gè)直角邊為3dm的等腰直角三角形感知18dm的大小 C．利用一個(gè)邊長為2dm的正方形以及一個(gè)直角邊為2dm的等腰直角三角形感知6dm的大小 D．利用四個(gè)直角邊分別為1dm和3dm的直角三角形以及一個(gè)邊長為2dm的正方形感知10dm的大小【分析】在拼圖的過程中，拼前，拼后的面積相等，所以我們只需要分別計(jì)算拼前，拼后的面積，看是否相等，就可以逐個(gè)排除．【解答】解：A.2×22＝8，（8）2＝8，不符合題意；B.4×（3×3÷2）＝18，（18）2＝18，不符合題意；C．（2）2+2×2÷2＝4，（6）2＝6，符合題意；D.4×（1×3÷2）+22＝10，（10）2＝10，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】這道題主要考查利用二次根式計(jì)算面積，解題的關(guān)鍵是在拼圖的過程中，拼前，拼后的面積相等．【變式5-3】（2021春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）某居民小區(qū)有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為83米，寬AB為98米，現(xiàn)要在長方形綠地中修建一個(gè)長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為13+1米，寬為13（1）長方形ABCD的周長是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）（2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/m2的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購買地磚需要花費(fèi)多少元？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）【分析】（1）根據(jù)長方形ABCD的周長列出算式，再利用二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）先計(jì)算出空白部分面積，再計(jì)算即可，【解答】解：（1）長方形ABCD的周長＝2×（83+98）＝2（83+72）＝16答：長方形ABCD的周長是163+142（2）通道的面積=(8＝566?＝566?12購買地磚需要花費(fèi)＝6×（566?12）＝3366答：購買地磚需要花費(fèi)3366?【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及其性質(zhì)．【題型6二次根式中數(shù)式規(guī)律問題】【例6】（2020春?潛江期末）觀察下列各式：①1+11②1+12③1+132請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算1+11【分析】觀察已知等式得到一般性規(guī)律，計(jì)算即可求出值．【解答】解：根據(jù)題意得：原式＝1+11×2+1+12×3+1+1故答案為：9910【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的加減法，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2021春?開福區(qū)期中）觀察下列各式及其變形過程：a1=12+21=1?12，a（1）按照此規(guī)律和格式，請(qǐng)你寫出第五個(gè)等式的變形過程：a5==（2）請(qǐng)通過計(jì)算驗(yàn)證（1）中a5變形過程的正確性；（3）按照此規(guī)律，計(jì)算（a1+a2+a3+…+an）（a1﹣a2﹣a3﹣…﹣an+2【分析】（1）利用題中等式的規(guī)律求解；（2）利用分母有理化和二次根式的除法法則進(jìn)行證明；（3）先合并括號(hào)內(nèi)的二次根式，然后利用平方差公式計(jì)算．【解答】解：（1）a5=1故答案為15（2）a5=1（3）原式＝（1?12+12?1＝（1?1n+1）（1＝1?=n【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式6-2】（2021春?阜陽月考）觀察下列等式，解答下列問題：第1個(gè)等式：1+13=第2個(gè)等式：2+14=第3個(gè)等式：3+15=…（1）請(qǐng)直接寫出第5個(gè)等式：（不用化簡(jiǎn)）．（2）根據(jù)上述規(guī)律猜想：若n為正整數(shù)，請(qǐng)用含n的式子表示第n個(gè)等式，并給予證明．