五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第4講 包含與排除（教師版）

第4講包含與排除內(nèi)容概述有重疊部分酌若干對(duì)象的計(jì)數(shù)問題．能利用文氏圖進(jìn)行輔助分析，弄清文氏圖中每部分的含義；結(jié)合文氏圖理解兩個(gè)對(duì)象和三個(gè)對(duì)象酌容斥原理；靈活處理具有一些不確定性酌計(jì)數(shù)問題，以及其他形式的重復(fù)計(jì)數(shù)問題．典型問題興趣篇1．暑假里，小悅和冬冬一起討論“金陵十八景”．他們發(fā)現(xiàn)十八景中的每一處都有人去過，而且有五處是兩人都去過的．如果小悅?cè)ミ^其中的十二景，那么冬冬去過其中的幾景？冬冬去的景有18+5-12=11處2．在一群小朋友中，有12人看過動(dòng)畫片《黑貓警長》，有21人看過動(dòng)畫片《大鬧天宮》，并且有8人兩部動(dòng)畫片都看過．請(qǐng)問：至少看過其中一部的小朋友有多少人？至少看過一部的小朋友有12+21-8=25人3．五年級(jí)一班45個(gè)學(xué)生參加期末考試，成績公布后，數(shù)學(xué)得滿分的有10人，數(shù)學(xué)及語文均得滿分的有3人，這兩科都沒有得滿分的有29人．請(qǐng)問：語文成績得滿分的有多少人？至少有一科得滿分的人數(shù)是：45-29=16人，這樣語文得滿分的人數(shù)是：16+3-10=9人4．某餐館有27道招牌菜．小悅吃過其中的13道，冬冬吃過其中的7道，而且有2道菜是兩人都吃過的．請(qǐng)問：有多少道招牌菜是兩人都沒有吃過的？至少有一人吃過的菜有13+7-2=18道，這樣兩人都沒吃過的菜有27-18=9道。5．如圖4-I，已知甲、乙、丙三個(gè)圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6、8、5，同時(shí)被這三個(gè)圓覆蓋的部分的面積為2．請(qǐng)問：(1)只被甲或乙覆蓋，卻不被丙覆蓋的部分的面積是多少？(2)只被這3個(gè)圓中某一個(gè)圓覆蓋的部分的面積是多少？只被甲覆蓋的部分有30-6-5+2=21，只被乙覆蓋的部分有30-6-8+2=18，這樣只被甲或乙覆蓋的部分有21+18=39甲、乙、丙三個(gè)圓覆蓋的總面積為30×3-6-8-5+2=73，73-6-8-5+2×2=586．在一個(gè)由30人組成的合唱隊(duì)中，每個(gè)人都愛喝紅茶、綠茶、花茶中的一種或者幾種，其中有10個(gè)人愛喝紅茶，12個(gè)人不愛喝紅茶卻愛喝綠茶，請(qǐng)問：只愛喝花茶的有多少人？因?yàn)锳+D+G+F=10，B+E=12，且一共是30人，所以只喝花茶的人是C在的部分，有30-10-12=8人7．光明小學(xué)五年級(jí)課外活動(dòng)有體育、音樂、書法三個(gè)小組，參加的人數(shù)分別是54人、46人、36人．同時(shí)參加體育小組和音樂小組的有4人，同時(shí)參加體育小組和書法小組的有7人，同時(shí)參加音樂小組和書法小組的有10人，三組都參加的有2人．光明小學(xué)五年級(jí)參加課外活動(dòng)的一共有多少人？光明小學(xué)參加課外活動(dòng)的人有54+46+36-4-7-10+2=117人8．衛(wèi)生部對(duì)120種食物是否含有維生素A、C、E進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：含維生素A的有62種，含維生素C的有90種，含維生素E的有68種，同時(shí)含維生素A和C的有48種，同時(shí)含維生素A和E的有36種，同時(shí)含維生素C和E的有50種，同時(shí)含這三種維生素的有25種．請(qǐng)問：(1)這三種維生素都不含的食物有多少種？(2)僅含維生素A的食物有多少種？（1）至少含有一種維生素的食物有62+90+68-48-36-50+25=111種，所以都不含的食物有120-111=9種。（2）僅含A的食物有62-48-36+25=3種9．操場上有50名同學(xué)在跑步或跳繩，其中女生有18名，跳繩的同學(xué)有31名，跑步的男生有14名．跳繩的女生有多少名？因?yàn)檫@50人只跑步或跳繩，所以E、F都為0，這樣：B+D=18，A+B=31，C=14，所以B=18+31+14-50=13人10．學(xué)校舉行棋類比賽，分為象棋、圍棋和軍棋三項(xiàng)，每人最多參加其中兩項(xiàng)．根據(jù)報(bào)名的人數(shù)，學(xué)校決定對(duì)象棋的前9名、圍棋的前10名和軍棋的前11名發(fā)放獎(jiǎng)品．請(qǐng)問：最少有幾人獲得獎(jiǎng)品？因?yàn)槊總€(gè)人最多參加兩個(gè)項(xiàng)目，所以每個(gè)人最多活動(dòng)兩個(gè)獎(jiǎng)品，而共有9+10+11=30個(gè)獎(jiǎng)品，所以最少有30÷2=15個(gè)人獲得獎(jiǎng)品。獲獎(jiǎng)分布如下圖（橫線代表獲獎(jiǎng)）：拓展篇1．在一個(gè)辦公室中，有7個(gè)人愛喝茶，10個(gè)人愛喝咖啡，3個(gè)人既愛喝茶又愛喝咖啡，如果每個(gè)人都至少愛喝茶或咖啡中的一種，那么這個(gè)辦公室里共有多少人？辦公室有7+10-3=14人2．五年級(jí)二班有40名同學(xué)，其中有25人沒參加數(shù)學(xué)小組，有18人參加航模小組，有10人兩個(gè)小組都參加．那么只參加了這兩個(gè)小組之一的學(xué)生共有多少人？只參加航模小組的人有18-10=8人，所以什么都沒參加的人有25-8=17人，所以只參加了兩個(gè)小組之一的學(xué)生有40-17-10=13人3．在1至100這100個(gè)自然數(shù)中，既不能被2整除也不能被3整除的數(shù)有多少個(gè)？如圖，用長方形表示的全部自然數(shù)，圓表示中的倍數(shù)，圓表示中2的倍數(shù)，長方形內(nèi)兩圓外的部分表示既不是的倍數(shù)也不是的倍數(shù)的數(shù)．由可知，中的倍數(shù)有個(gè)；由100÷2=50個(gè)，可知，中2的倍數(shù)有50個(gè)；由100÷6=16?4可知，既是的倍數(shù)又是2的倍數(shù)的數(shù)有1個(gè)．由包含排除法，或2的倍數(shù)有：33+50-16=67(個(gè))．從而不是的倍數(shù)也不是2的倍數(shù)的數(shù)有100-67=33(個(gè))．4．漁鄉(xiāng)小學(xué)舉行長跑和游泳比賽，共305人參加．參加長跑比賽的有150名男生和90名女生，參加游泳比賽的有120名男生和70名女生，有110名男生兩項(xiàng)比賽都參加了，請(qǐng)問：只參加游泳比賽而沒有參加長跑比賽的女生有多少人？由A+E=150，B+F=90，E+C=120，E=110.易知C=10，C+D=305-150-90=65，所以D=65-10=55人5．森林里住著一群小白兔，每只小白兔都愛吃蘿卜、白菜和青草中的一種或者幾種．愛吃蘿卜的小白兔中有12只不愛吃白菜；愛吃白菜的小白兔中有23只不愛吃青草；愛吃青草的小白兔中有34只不愛吃蘿卜．如果三種食物都愛吃的小白兔有5只，那么這群小白兔一共有多少只？A+F=12，B+D=23，C+E=34，G=5，所以白兔的只數(shù)為12+23+34+5=74只。6．三位基金經(jīng)理投資若干只股票．張經(jīng)理買過其中66只，王經(jīng)理買過其中40只，李經(jīng)理買過其中23只．張經(jīng)理和王經(jīng)理都買過的有17只，王經(jīng)理和李經(jīng)理都買過的有13只，李經(jīng)理和張經(jīng)理都買過的有9只，三個(gè)人都買過的有6只．請(qǐng)問：這三位經(jīng)理一共買過多少只股票？由公式得：66+40+23-17-13-9+6=96只7．唐僧西天取經(jīng)共經(jīng)歷了81難，其中單獨(dú)渡過了3難，與孫悟空一起渡過了77難，與豬八戒一起渡過了65難，與沙和尚一起渡過了62難，同時(shí)與孫悟空和豬八戒一起渡過了64難，同時(shí)與孫悟空和沙和尚一起渡過了61難，同時(shí)與豬八戒和沙和尚一起渡過了60難．請(qǐng)問：師徒四人共同渡過的有多少難？因?yàn)樘粕粏为?dú)度過了3難，所以余下的78難至少有孫、豬、沙三人中的一人陪他一起度過，這樣孫、豬、沙一起度過的難有78-[77+65+62-64-61-60]=59難，而唐僧一直都在，所以師徒四人同渡的難有59難。8．培英學(xué)校有學(xué)生1000人，其中有500人訂閱了《中國少年報(bào)》，有350人訂閱了《少年文藝》，有250人訂閱了《數(shù)學(xué)報(bào)》，至少訂閱兩種報(bào)刊的有400人，訂閱了三種報(bào)刊的有100人．請(qǐng)問：培英學(xué)校有多少人沒有訂報(bào)？至少訂了一種報(bào)紙的人有500+350+250-400-100=600人，所以沒有訂報(bào)紙的人有1000-600=400人。9．五年級(jí)一班有46名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、語文、文藝三項(xiàng)課外小組．其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語文小組，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組的有10人．參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組又參加文藝小組人數(shù)的3.5倍，還是三項(xiàng)小組都參加的人數(shù)的7倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數(shù)等于三項(xiàng)小組都參加的人數(shù)的2倍．求參加文藝小組的人數(shù)．設(shè)三項(xiàng)都參加的人數(shù)有X人，則參加朗誦小組的人數(shù)為7X人，參加繪畫小組又參加朗誦小組的人數(shù)為2X人，參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)為2X人，于是有46=（24+20+7X-2X-2X-10+X），解得X=3,所以參加朗誦小組的人數(shù)為21人。10．圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名．已知這100本書中有甲、乙、丙三人簽名的分別有33本、44本和55本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書為29本，同時(shí)有甲、丙簽名的圖書為25本，同時(shí)有乙、丙簽名的圖書為36本，問：這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過？由于甲、丙共同簽名的書只有25本，所以甲、乙、丙都借過的書最多為25本，所以至少一人借過的書，最多有：33+44+55-29-25-36+25=67本，這時(shí)沒有被借過的書，至少有：100-67=33本11五年級(jí)三班有50名學(xué)生，參加語文競賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競賽的有22人，參加英語競賽的有20人．如果每人最多參加兩科競賽，那么該班未參加競賽人數(shù)最多可能有多少人？由于參賽的共有28+22+20=70人次，而每人最多只能參加兩項(xiàng)，所以最少有70÷2=35人參賽，這時(shí)沒參賽的人最多有50-35=15人。12．甲、乙、丙三人都在讀同一本故事書，書中有100個(gè)故事．已知甲讀了85個(gè)故事，乙讀了70個(gè)故事，丙讀了62個(gè)故事．請(qǐng)問：(1)甲、乙、丙三人共同讀過的故事最少有多少個(gè)？(2)如果每個(gè)人都是從某一個(gè)故事開始，按順序連續(xù)往后讀，那么甲、乙、丙三人共同讀過的故事最少有多少個(gè)？（1）甲有100-85=15個(gè)故事沒讀，乙有100-70=30個(gè)故事沒讀，丙有100-62=38個(gè)故事沒讀，所以沒讀的故事最多有15+30+38=83個(gè)，所以三人共同讀過的書至少有100-83=17個(gè)（2）三人都讀過的故事最少有100-30-38=32個(gè)超越篇1．森林里住著100只小白兔，凡是不愛吃蘿卜的小白兔都愛吃白菜．其中愛吃蘿卜的小白兔數(shù)量是愛吃白菜的小白兔數(shù)量的2倍，而不愛吃白菜的小白兔數(shù)量是不愛吃蘿卜的小白兔數(shù)量的3倍，它們當(dāng)中有多少只小白兔既愛吃蘿卜又愛吃白菜？有題意知：A+B+C=100，A+C=2×(B+C),A=3B.由第二個(gè)式子我們有A=2B+C，在結(jié)合第三個(gè)式子我們有B=C，這樣第一個(gè)式子就可以變成3B+B+B=100，所以B=20，這樣C也就等于20了。2．育才小學(xué)匭展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級(jí)的，有15幅畫不是五年級(jí)的，五、六年級(jí)共展出25幅畫．其他年級(jí)的畫共有多少幅？通過16幅畫不是六年級(jí)的可以知道，五年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是16，通過15幅畫不是五年級(jí)的可以知道六年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是15，那也就是說五年級(jí)的畫比六年級(jí)多1幅，我們還知道五、六年級(jí)共展出25幅畫，進(jìn)而可以求出五年級(jí)畫作有13幅，六年級(jí)畫作有12幅，那么久可以求出其他年級(jí)的畫作共有3幅．3．巨人學(xué)校有105名男生和75名女生參加數(shù)學(xué)競賽，有95名女生和85名男生參加作文競賽．已知該校一共有280名學(xué)生參加了競賽，其中只參加數(shù)學(xué)競賽的男生人數(shù)與只參加作文競賽的女生人數(shù)相同．請(qǐng)問：只參加數(shù)學(xué)競賽的女生有多少人？由公式知：E+F=105+75+95+85-280=80，由于A=D,所以有E-F=(A+E)-(F+D)=105-95=10.所以F=35，這樣B=75-35=40人4．冬冬和爸爸媽媽去芬蘭旅游，他們照了很多照片．回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相冊(cè)里，再把剩下的有媽媽像的照片放到媽媽的相冊(cè)里，最后把剩下的照片放到爸爸的相冊(cè)里，爸爸認(rèn)為應(yīng)該把所有有自己像的照片都放到自己相冊(cè)里，于是從冬冬和媽媽的相冊(cè)里一共拿出了37張照片放到了自己的相冊(cè)，媽媽不同意，又把放在冬冬和爸爸的相冊(cè)里所有有自己像的45張照片都拿出來放到了自己的相冊(cè)．請(qǐng)問：究竟是媽媽和冬冬的合影多，還是爸爸和冬冬的合影多？多幾張？最開始分的時(shí)候，A、D、F、G這四部分全在東東那，然后E、C在媽媽那，B在爸爸那。然后爸爸把D、G、E三部分拿到自己那了，再然后媽媽把F、G、E三部分拿回去了。這樣我們就知道D+G+E=37，F(xiàn)+G+E=45，又媽媽與東東的合影部分為F、G，爸爸與東東合影的部分為D、G，易知，與媽媽的多，多F+G+E-（D+G+E）=45-37=8張5．一次測驗(yàn)共有5道試題．測試后統(tǒng)計(jì)如下：有81%的同學(xué)做對(duì)第1題，有85%的同學(xué)做對(duì)第2題，有91%的同學(xué)做對(duì)第3題，有74%的同學(xué)做對(duì)第4題，有79%的同學(xué)做對(duì)第5題．如果做對(duì)3道或3道以上試題的同學(xué)為考試合格，請(qǐng)問：這次考試的合格率最多達(dá)百分之幾？最少達(dá)百分之幾？第一題錯(cuò)的有19%人，第二題錯(cuò)的有15%人，第三題錯(cuò)的有9%人，第四題錯(cuò)的有26%人，第五題錯(cuò)的有21%人。這樣錯(cuò)的總量為19%+15%+9%+26%+21%=90，所以要使合格率最高是，我們只要然90%的人每人錯(cuò)一道題，這時(shí)候合格率為100%。若要使得合格率最低，我就盡量讓人錯(cuò)3道題，這樣90%÷3=30%，所以最多有30%的人不合格，也就是至少有70%的人合格。6．五年級(jí)一班有22人參加語文競賽，32人參加數(shù)學(xué)競賽，27人參加英語競賽，其中同時(shí)參加語文競賽和數(shù)學(xué)競賽的有12人，同時(shí)參加語文競賽和英語競賽的有14人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)競賽和英語競賽的有15人．請(qǐng)問：五年級(jí)一班參加競賽的總?cè)藬?shù)最少是多少？假設(shè)三個(gè)比賽都參加的有a人，這樣參賽總?cè)藬?shù)=22+32+27-12-14-15+a=40+a，我要讓參賽人數(shù)盡量少，也就是要讓a盡量小。由于同