鎮(zhèn)江中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

第16頁/共16頁鎮(zhèn)江中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（每題5分共40分）1.若集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】化簡A＝{x|﹣1≤x＜4，x∈N}＝{0，1，2，3}即可．【詳解】A＝{x|﹣1≤x＜4，x∈N}＝{0，1，2，3}，故集合A中元素的個(gè)數(shù)為4，故選：B．2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定，存在變?nèi)我?，范圍不變，結(jié)論相反即可得到答案.【詳解】命題“，”為存在量詞命題，根據(jù)其命題的否定為，存在變?nèi)我?，范圍不變，結(jié)論相反，其否定為：，；故選：D.3.若函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于求解的定義域，再由在的定義域內(nèi)求得的范圍，即可得到的定義域．【詳解】解：要使原函數(shù)有意義，則，解得．由，得．∴函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：D．4.已知是定義在上的函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，則，則（）A. B.2 C. D.98【答案】B【解析】【分析】得到函數(shù)的周期，從而利用函數(shù)的周期求出.【詳解】函數(shù)滿足，則函數(shù)周期為2，則.故選：B5.已知,,,則的最小值是（）.A.3 B. C. D.9【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得,從而根據(jù),展開后利用基本不等式可得解.【詳解】,,,所以,即,則當(dāng)且僅當(dāng)且即,時(shí)取等號,則的最小值是3.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及利用基本不等式求解最值,要注意應(yīng)用條件的配湊.屬于中檔題.6.若一元二次不等式的解集為，則的值為（）A. B.0 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由不等式與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為，從而解得．【詳解】解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集為{x|x≠m}，∴，解得，k＝﹣1，m＝﹣1，故m+k＝﹣2，故選：C．7.如果關(guān)于的方程的兩根分別是，，則的值是（）A. B. C. D.15【答案】C【解析】【分析】對原方程分解因式，求得兩根，再求結(jié)果即可.【詳解】原方程等價(jià)于因式分解得：，所以，，所以方程的兩根分別為，，所以.故選：.8.圍棋棋盤共19行19列，361個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)上可能出現(xiàn)黑、白、空三種情況，因此有種不同的情況，我國北宋學(xué)者沈括在他的著作《夢溪筆談》中也討論過這個(gè)問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”種，即，下列最接近的是（注：）（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，取對數(shù)得，得到，分析選項(xiàng)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，對于，可得，可得，分析選項(xiàng)，可得D中與其最接近.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用，其中解答中掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查計(jì)算與求解能力.二、多選題（每題5分共20分）9.下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式分別求解即可求出值域，得出結(jié)果.【詳解】對A，因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的值域?yàn)?，故A正確；對B，（），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的值域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；故C，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，又，所以等號不成立，故C錯(cuò)誤；對D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的值域?yàn)椋蔇正確.、故選：AD.10.下列四個(gè)選項(xiàng)中，p是q的充分不必要條件的是（）A.p：x＞y，q：x3＞y3B.p：x＞3，q：x＞2C.p：2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，q：2＜2a+b＜5D.p：a＞b＞0，m＞0，q：【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)判斷A，利用子集思想結(jié)合充分必要條件的定義判斷B，利用舉例說明判斷CD.【詳解】A：因?yàn)?，所以p是q的充分必要條件，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)?，反之不成立，所以p是q的充分不必要條件，故B正確；C：當(dāng)時(shí)，成立.反之，當(dāng)時(shí)，滿足，所以p是q的充分不必要條件，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，則，即.反之，當(dāng)時(shí)，滿足，所以p是q的充分不必要條件，故D正確.故選：BCD.11.設(shè)函數(shù)，當(dāng)為上增函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的值可能是（）A. B.1 C.0 D.【答案】ABD【解析】【分析】由每一段上為增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，從而可求出實(shí)數(shù)的范圍，進(jìn)而可得答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，增函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，若為增函數(shù)，則，且，解得，所以，實(shí)數(shù)的值可能是內(nèi)的任意實(shí)數(shù).故選：ABD.12.對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在區(qū)間，使得同時(shí)滿足，①在上是單調(diào)函數(shù)，②當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，的值域也為，則稱區(qū)間為該函數(shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”.下列說法正確的是（）A.是函數(shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”B.函數(shù)存在“和諧區(qū)間”C.函數(shù)的所有“和諧區(qū)間”為、、.D.若函數(shù)存在“和諧區(qū)間”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】本題為新定義題目，即在定義域內(nèi)滿足時(shí)，則區(qū)間就為函數(shù)的一個(gè)和諧區(qū)間.【詳解】對于A中函數(shù)在區(qū)間單調(diào)函數(shù)，但是值域?yàn)椴环项}意故A錯(cuò)誤對于B中函數(shù)在，單調(diào)遞增，由，則為方程的兩個(gè)根，這樣解得且故存在“和諧區(qū)間”B正確.對于C中函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，則是關(guān)于方程的兩根得，，，所以函數(shù)的所有“和諧區(qū)間”為，，，故C正確.對于D中函數(shù)存在“和諧區(qū)間”∵在上單調(diào)增∴∴是方程的兩個(gè)不等實(shí)根令∴在上有兩個(gè)不相等實(shí)根，令對稱軸為，則，解得故D錯(cuò)誤故選：BC三、填空題（每題5分共20分）13計(jì)算：_____________.【答案】2【解析】【詳解】由題意得.14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__．【答案】[﹣2，2]【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】令g（x）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16，令g（x）≥0，解得：﹣2≤x≤6，而g（x）的對稱軸是：x=2，故g（x）在遞增，在（2，6]遞減，故函數(shù)f（x）在[﹣2，2]遞增，故答案為：[﹣2，2]【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求解時(shí)注意函數(shù)的定義域，屬于易錯(cuò)題.15.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，若，則的解集為____________.【答案】【解析】【分析】由偶函數(shù)判斷另一半?yún)^(qū)間的單調(diào)性，在由與的符號相反就可得到不等式的解集.【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，∴函數(shù)在上是增函數(shù)∵，∴不等式等價(jià)于或，∴或故不等式的解集為.故答案為：16.已知函數(shù)，若存在互不相等的實(shí)數(shù)，,滿足，且，則__________；的取值范圍為______________.【答案】①.②.【解析】【分析】畫出分段函數(shù)的圖象，作出與圖象相交，因?yàn)橛?個(gè)根，則由可得的值.為與一次函數(shù)的交點(diǎn)，為與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理和的范圍就可以得到的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象：可得時(shí)，的圖象是二次函數(shù)的一部分，頂點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，是一次函數(shù)的一部分，令，則實(shí)數(shù)，,即為與有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，對應(yīng)的三個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)，結(jié)合，可知；令，是方程的兩根，則，則，又故答案為：6，.四、解答題（共70分）17.已知或，，（1）求B和C；（2）若全集，求.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）解分式不等式求出集合，解一元二次不等式求出集合；（2）根據(jù)補(bǔ)集、并集的定義計(jì)算可得.【小問1詳解】解：由，等價(jià)于，解得，所以，由，即，解得，所以；【小問2詳解】解：因?yàn)?，，所以或，又或所以?8.命題p：“，”，命題q：“，”.（1）當(dāng)p為假命題時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若p和q中有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)全稱命題的否定，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（2）利用分類討論的解題思想，可得答案.【小問1詳解】由p為假命題，則為真命題，即，，令，開口向上，則，解得.【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)p為真命題時(shí)，；當(dāng)p為假命題時(shí)，.當(dāng)q真命題時(shí)，，解得；當(dāng)q為假命題時(shí)，.當(dāng)p為真命題，q為假命題時(shí)，；當(dāng)p為假命題，q為真命題時(shí)，；則p和q中有且只有一個(gè)是真命題時(shí)，.19.已知函數(shù)（，）．（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若，，求關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，且，3是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理得到方程組，求出，，進(jìn)一步可得不等式等價(jià)于，即，最后求解不等式即可；（2）當(dāng)時(shí)，時(shí)，不等式等價(jià)于，從而分類討論，，三種情況即可求出不等式所對應(yīng)的解集．【小問1詳解】解：的不等式的解集為，，且，3是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，解得，，不等式等價(jià)于，即，故，解得或，所以該不等式的解集為；【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，又，所以不等式等價(jià)于，當(dāng)，即時(shí)，不等式為，解得；當(dāng)，即時(shí)，解不等式得或；當(dāng)，即時(shí)，解不等式得或，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．20.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，（1）求函數(shù)的解析式；（2）用定義證明：在上是遞減函數(shù)；（3）若，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)知，代入求解即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；（3）利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性解不等式即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)則有，解得即，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足所以函數(shù)的解析式為．【小問2詳解】證明：任取，且，，所以，即，所以在上是遞減函數(shù)．【小問3詳解】由于且為上的奇函數(shù)，則又由（2）知：在上是遞減函數(shù)所以，解得則實(shí)數(shù)m的范圍是．21.為打好扶貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，突出幫扶對象，落實(shí)幫扶措施，村為某幫扶對象建設(shè)豬圈，購置豬崽，幫助養(yǎng)豬致富．現(xiàn)在要建成完全一樣的長方體豬圈兩間（每間留一個(gè)面積為平方米的門），一面利用原有的墻（墻長米，），其他各面用磚砌成（如圖）．若每間豬圈的面積為平方米，高米，如果砌磚每平方米造價(jià)元（豬圈的地面和頂部不計(jì)費(fèi)用），磚的寬度忽略不計(jì)；每個(gè)門造價(jià)元，設(shè)每間豬不圈靠墻一邊的長為米，豬圈的總造價(jià)為元．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為多少米時(shí)，可使建成的兩間豬圈的總造價(jià)最低？并求出最低造價(jià)．【答案】（1）（2）答案見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型即可得答案；（2）根據(jù)基本不等式，結(jié)合對勾函數(shù)分和兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】解：因?yàn)槊块g豬圈靠墻一邊的長為米，豬圈的總造價(jià)為元，則，【小問2詳解】解：①若，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，．故當(dāng)為米時(shí)，豬圈的總造價(jià)最低，最低造價(jià)元．②若，函數(shù)在上遞減，所以，當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)為米時(shí)，豬圈的總造價(jià)最低，最低造價(jià)為元．綜上，當(dāng)，時(shí)，最低造價(jià)元；當(dāng)，時(shí)，最低造價(jià)為元.22.已知函數(shù)[1，2]．（1）求函數(shù)的值域;（2）設(shè)，，，求函數(shù)的最小值．（3）對（2）中的，若不等式對于任意的時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性等于判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解值域即可．（2）利用換元法，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最小值即可．（3）結(jié)合（2）利用函數(shù)的最值的關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）在，任取，且，則，，所以，，即，所以是，上增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值0，所以函數(shù)的值域?yàn)?，．?），，，令，，，