福州市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

保密★啟用前準(zhǔn)考證號(hào)姓名(在此卷上答題無效)福州市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題2024.1.24本試卷共4頁(yè),22小題,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級(jí)和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.2.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑.3.非選擇題的答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.4.考試結(jié)束后，考生上交答題卡.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知z·i=z+1(i為虛數(shù)單位),則|z|=A.12B.22C.12.設(shè)集合M={x|-2≤x≤2},N={y|y=2*+1},則M∪N=A.[-2,+∞)B.(1,2]C.[1,2]D.(1,+∞)3.已知直線l與曲線y=x3-x在原點(diǎn)處相切，則l的傾斜角為A.π6B.π/4C.4.已知a,b為單位向量,若||a+b|=|a-b|,則a+b與a-b的夾角為A.π3B.π/2C5.已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),fx=x2-2x+1,則f(2)+fA.2B.1C.-8D.-96.已知a=x+1A.?x∈[-1,1],a>cB.?x∈[-1,1],b>cC.?x∈[-1,1],a<cD.?x∈[-1,1],b<c7.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖所示的1，5，12，22被稱為五邊形數(shù)，將所有的五邊形數(shù)從小到大依次排列，則其第8個(gè)數(shù)為A.51B.70C.92D.117數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,?x,y∈R,f(x+1)f(y+1)=f(x+y)-f(x-y),若f(0)≠0,則f(2024)=A.-2B.-4C.2D.4二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知函數(shù)fxA.f(x)的最小正周期為πB.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2π3C.f(x)在區(qū)間0πD.若f(x)的圖象關(guān)于直線x=x?對(duì)稱,則si10.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為:20,21,22,23,24,25和a,23,24,25,26,27,若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大3，則A.甲組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為23B.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同C.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24.5D.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同11.設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1ab>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?,過F?的直線與C交于A,BA.a=2B.C的離心率為1C.|AB|可以為πD.∠BAF?可以為直角12.如圖所示,在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是矩形,△ABF和△DCE均是等邊三角形,且AB=23A.EF∥平面ABCDB.二面角A-EF-B隨著x的減小而減小C.當(dāng)BC=2時(shí),五面體ABCDEF的體積V(x)最大值為27D.當(dāng)BC=32時(shí)，存在x使得半徑為3ABCDEF數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.若sinα+π14.《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種.15.已知平面α的一個(gè)法向量為n=(1,0,1),且點(diǎn)A(1,2,3)在α內(nèi),則點(diǎn)B(1,1,1)到α的距離為.16.設(shè)△ABC是面積為1的等腰直角三角形，D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi),記△PCD與△PAB的面積分別為S?,S?,且,S?-S?=1.當(dāng)|PB|=10,且|PA|>|PB|時(shí),|PA|=;記|PA||PB|=a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(注:第空2分,第二空3四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(10分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a2cosB+abcosA=2c.(1)求a;(2)若A=2π3,且△ABC的周長(zhǎng)為2+5,,求18.(12分)如圖,在四棱錐E-ABCD中,ADBC,2AD=BC=2,AB=2,AB⊥AD,EA⊥平面ABCD,過點(diǎn)B作平面(1)證明:平面α∥平面EAC;(2)已知點(diǎn)F為棱EC的中點(diǎn),若EA=2,求直線AD與平面FBD所成角的正弦值.數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))19.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a?=2a?=4,當(dāng)n∈N°,且n≥2時(shí),Sn+1=3Sn-2Sn-1(1)證明:{an}為等比數(shù)列;(2)設(shè)bn=anan-1an+1-1,記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T20.(12分)已知甲、乙兩支登山隊(duì)均有π名隊(duì)員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者a，b，c，d將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊(duì)，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱中放有紅球和黑球各2個(gè)，小球除顏色不同之外，其余完全相同.先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個(gè)放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，如此重復(fù)，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢.新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊(duì)，否則被分至乙隊(duì).(1)求a，b，c三人均被分至同一隊(duì)的概率；(2)記甲、乙兩隊(duì)的最終人數(shù)分別為n?，n?，設(shè)隨機(jī)變量X=|n?-n?|,求E(X).21.(12分)已知函數(shù)fx=alnx-x-1x+1有兩個(gè)極值點(diǎn)(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明:f22.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1，0)，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為直徑的圓與y軸相切，記A的軌跡為Γ，直線AP交Γ于另一點(diǎn)B，(1)求Γ的方程;(2)△OAB的外接圓交Γ于點(diǎn)C(不與O,A,B重合),依次連接O,A,C,B構(gòu)成凸四邊形OACB,記其面積為S.(i)證明:△ABC的重心在定直線上;(ii)求S的取值范圍.數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))絕密★啟用前試卷類型：A福州市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考2024.1一、單項(xiàng)選擇題：題號(hào)12345678答案BACBDDCA二、多項(xiàng)選擇題：題號(hào)9101112答案BCBDACACD三、填空題：13.-35;14.24;15.2;三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.(10分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.a2cosB+abcosA=2c.(1)求a;(2)若A=2π3,且△ABC的周長(zhǎng)為2+5,,求解:(1)∵a2cosB+abcosA=2c,∴a(acosB+bcosA)=2c,…1分由正弦定理,得a(sinAcosB+sinBcosA)=2sinC,?2分即asin(A+B)=2sinC,?3分∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sinC,…4分∴asinC=2sinC,∵0<C<π,∴sinC>0,∴a=2.……………5分(2)由(1)知a=2,在△ABC中,由余弦定理,得cosA=b∴b2+c2-42bc=-∴a+b+c=5+2,∴b+c=5②,考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁(yè)共10頁(yè)由①,②得b2+c2+bc=b+c2-bc=4,∴bc=1,記△ABC的面積為S,∴S=12bc18.(12分)如圖,在四棱錐E-ABCD中,AD//BC,2AD=BC=2,AB=2,AB⊥AD,EA⊥平面ABCD,過點(diǎn)B作平面α⊥(1)證明:平面α∥平面EAC;(2)已知點(diǎn)F為棱EC的中點(diǎn),若EA=2,求直線AD與平面FBD所成角的正弦值.證明:(1)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,∵AD∥BC,且AB⊥AD,∴AB⊥BC,∵AD=1,AB=2且AB=∴△ABD~△BCA,……2分∴∠ABD=∠BCA,∴∠BAC+∠ABD=∠BAC+∠BCA,∵AB⊥BC,∴∠BAC+∠BCA=90°,∴∠BAC+∠ABD=90°,即∠BAO+∠ABO=90°,∴∠AOB=90°,∴AO⊥BO,即AC⊥BD,…………………4分∵EA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁(yè)共10頁(yè)∴EA⊥BD,∵EA∩AC=A,EA,AC?平面EAC,∴BD⊥平面EAC,又∵α⊥BD,且B?平面EAC,∴平面α∥平面EAC,??????????????????????????????5分(2)(方法一)∵AB⊥AD,EA⊥平面ABCD,∴AB,AD,AE兩兩垂直.如圖,以A為原點(diǎn),AB,AD,AE分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),D(0,1,0),B(-2,0,0),E(0,0,2),C(-2,2,0),∴AD=∵點(diǎn)F為棱EC的中點(diǎn),∴BF=1設(shè)平面FBD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),貝BD取x=2,得y=-2∴平面FBD的一個(gè)法向量為n=2-22記直線AD與平面FBD所成角為θ，則si∴直線AD與平面FBD所成角的正弦值為277(方法二)如圖,取AC中點(diǎn)M,連接FM,∵F為棱EC的中點(diǎn),∴FM=EA2=1,且FM∥∵EA⊥平面ABCD,高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第3∴FM⊥平面ABCD,???????????6分∵OM?平面ABCD,∴FM⊥OM,∵AB⊥AD,AB⊥BC,∴BD=AB2+A易知△OBC~△ODA,∴∴OA=OC2=6又AM=∵FM=1,且FM⊥OM,∴OF=1+16∵BD⊥平面EAC,OF?平面EAC,∴BD⊥OF,∴SFBD=∵AD=1,AB=2,且AB⊥AD,∴SABD=設(shè)h為A到平面BFD的距離，∵即144×h=22×1,解得h=記直線AD與平面FBD所成角為θ，則si∴直線AD與平面FBD所成角的正弦值為277.19.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，S?,a?=2a?=4,當(dāng)n∈N*,且n≥2時(shí),(1)證明:{an}為等比數(shù)列;(2)設(shè)bn=anan-1an+1-1,記數(shù)列{b?}的前解:(1)∵當(dāng)n∈N?,且n≥2|時(shí),S高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4頁(yè)共10頁(yè)∴當(dāng)n≥2時(shí),S∴an??=2a∵a2=2∴{an}是以首項(xiàng)為2，且公比也為2的等比數(shù)列.…………5分(2)由(1)易知{an}的通項(xiàng)公式為an=2∴bn=∴Tn∵∴2???-1>7×2??2,即8×2??2-1>7×2??2,…………………10分∴2??2>1,∴m-2>0,∴m>2,∴m≥3,即正整數(shù)m的最小值為3,…………12分20.(12分)已知甲、乙兩支登山隊(duì)均有n名隊(duì)員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者a，b，c，d將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊(duì)，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱中放有紅球和黑球各2個(gè)，小球除顏色不同之外，其余完全相同.先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個(gè)放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，如此重復(fù)，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢.新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊(duì)，否則被分至乙隊(duì).(1)求a，b，c三人均被分至同一隊(duì)的概率；(2)記甲、乙兩隊(duì)的最終人數(shù)分別為n?，n?，設(shè)隨機(jī)變量.X=|n?-n?|,求E(X).解：(1)a，b，c三人均被分至同一隊(duì)當(dāng)且僅當(dāng)三人同分至甲隊(duì)或同分至乙隊(duì).設(shè)事件A=“a被分至甲隊(duì)”,B=“b被分至甲隊(duì)”,C=“c被分至甲隊(duì)”,當(dāng)a即將摸球時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則a被分至甲隊(duì)即a摸出紅球的概率為PA=22+2當(dāng)a被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，則b被分至甲隊(duì)即b摸出紅球的概率為PB|A=22+3高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁(yè)共10頁(yè)當(dāng)a，b均被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，則c被分至甲隊(duì)即c摸出紅球的概率為PC|AB=∴P∴PABC=PAB同理可知，新增登山愛好者a，b，c均被分至乙隊(duì)的概率也為1∴a，b，c三人均被分至同一隊(duì)的概率為115+115由題設(shè)可知,X的可能取值為4,2,0,????????????????6分X=4表明新增的4名登山愛好者均被分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，∴PX=4=2×X=2表明新增的4名登山愛好者中有3名均被分至同一隊(duì)，其余1名則被分至另一隊(duì)，設(shè)新增的第k(k=1，2，3，4)名登山愛好者被單獨(dú)分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，則PP………9分∴PX=2=P1X=0表明新增的4名登山愛好者中各有2名被分至甲隊(duì)和乙隊(duì)，∴PX=0=1-PX=2∴X的數(shù)學(xué)期望EX=4×410521.(12分)已知函數(shù)fx=alnx-x-1x+1有兩個(gè)極值點(diǎn)x(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明:f解:(1)易知f'x=ax-2x+12=ax2+2a-1高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第6頁(yè)共10頁(yè)∴f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，與題設(shè)矛盾，∴a>0,????2分∵f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x?,x?,∴關(guān)于x的方程.ax2+2a-1x+a=0a0)有兩個(gè)相異的正實(shí)數(shù)根：x?,x?∴Δ=4a-12解得0<a<∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為012.(2)由(1)知,0<a<12,且x不妨設(shè)0<x?<1<x?,化簡(jiǎn)可得...=∴fx1欲證fx1-fx2x1-x2只需證2x1+x2令t=x1x2(0<t<1),則需證由(1)知,當(dāng)a=12時(shí),ax2+2高三數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第7頁(yè)共10頁(yè)∴fx=12lnx-x-1∵0<t<1,∴f(t)<f(1)=0,即12lnt-t-1∴fx122.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1，0)，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為直徑的圓與y軸相切，記A的軌跡為Γ，直線AP交Γ于另一點(diǎn)B.(1)求Γ的方程;(2)△OAB的外接圓交Γ于點(diǎn)C(不與O,A,B重合),依次連接O,A,C,B構(gòu)成凸四邊形OACB，記其面積為S.(i)證明:△ABC的重心在定直線上;(ii)求S的取值范圍.解:(1)設(shè)A(x,y),則線段AP的中點(diǎn)坐標(biāo)為x+12y2∵以線段AP為直徑的圓與y軸相切，∴x+12=12|AP|=1(2)(i)如圖,設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?),C(x?,y?),(方法一)∵O,A,C,B四點(diǎn)共圓,∴∠OAB=∠OCB,……4分由對(duì)稱性可知直線OA,AB,OC,BC的斜率存在,不妨設(shè)其分別為k?,k?,k?,k?,且OA,AB,OC,BC的傾斜角為α?,α?,α?,α?,∴∠OAB=α?-α?,∠OCB=α?