第九屆全國周培源大學生力學競賽試題及詳細參考答案和評分標準

D1D2F OALHωb第九屆全國周培源大學生力學競賽試題D1D2F OALHωb出題學校：量為E的均質金屬片按如圖的方式安裝在軸OO′向上產生位移。兩組金屬片下方均與O′處的軸套鉸結，該軸套與軸軸套會向上升起。但軸套上升時，會使沿軸安D12p，彈性模量E的數(shù)值是σp(1)若要使每根圓桿都不會失穩(wěn)，安全因數(shù)取n，重心位置會不會因為圓桿變形而在滾動過程中產生微小的xθAH一L論上應該貼多少個應變片？應在該截面外圓的何處粘B貼？沿著什么方向粘貼？如何利用這些應變片的讀數(shù)來求應變片要用得盡可能地少，效果要盡可能地好，在理J一法測算出在各種吊掛情況下該截面的全部內力，同時要LL動起來，最終又靜止在45o的平衡角度上。小剛再次撥弄這根桿，桿運動一番后，仍然回到xθAH一L論上應該貼多少個應變片？應在該截面外圓的何處粘B貼？沿著什么方向粘貼？如何利用這些應變片的讀數(shù)來求應變片要用得盡可能地少，效果要盡可能地好，在理J一法測算出在各種吊掛情況下該截面的全部內力，同時要LL(1)試以桿的軸線與水平面的夾角α(0≤α≤90o)為參數(shù)，推導出桿(3)試分析靜止在這個容器內的各種光滑均質桿，在什么情況下受到y(tǒng)AAB定有一個極大值εmax。試用εmax表示出重物及掛鉤的總重量F。GAL/2GAL/2地上。小明“當心”的話還未說出口，就被桿件撞擊地面時的現(xiàn)象所吸引，感BCC第九屆全國周培源大學生力學競賽試題參考答案出題學校：四川大拳(1)α1o。(2)x2 195Eπd3εF=max。5248Lε(1)ε(1)另外兩個應變片ε(2)和ε(3)應該貼在J截面水平直徑的兩端處，并沿著與軸線成45°夾角的方向結果不正確，各地自行統(tǒng)一酌情給分。本文中多處用圖形解釋，若試卷中未出現(xiàn)相應圖形但已表達OOAHωL2AyYb?O′Gx?YuωL4grRxq1q0A 4gωLrAyYb?O′Gx?YuωL4grRxq1q0A 4gωLr 2LL344g322FxRRXb23G/2yXuxOFFgLgL上下兩個金屬片所受的離心力和重力在橫向上的分量，導致它們產生彎曲變形。上下兩個金屬0A處q1OAOAqq0記重力和離心力的橫向分量在A端引起的轉角數(shù)值分別為θ0和θ1，則上片轉角為θu=θ0?θ1，下片轉角為θb=θ0+θ1，上下兩片軸線的相對轉角為θb?θu=2θ1。EIEIq1AOALq1/2AOAq1/2OAO其中ξ是一個待定的無量綱常數(shù)。圖1-4(a)的荷載可分解為對稱部分和反對稱部分之和，分別如圖反對稱，梁的中點撓度和彎矩均為零，故中點可視為鉸支點。這樣ξ3=+，⑤由上式可算出ξ=，故有θ1第一種積分方案：與上述疊加法中開始的初步分析類似，q1=，4LM(x)=?q1x3+q1Lx。故有θ=?15x3+30L2x2?7L4)。45EI45EIYu25x3xu96EIL96EIL15x2Lx46LxCLxDL96EIL15x2Lx46LxCLxDL96EIL故有θu75x43x2， Y24L4L82x24L4L8b3b32xθb43， 、G15x52Lx454L2x3CL4xDL596EIL 、G15x52Lx454L2x3CL4xDL596EILD1FD2D1FD2故有θb43，①(1)若要使每根圓桿都不會失穩(wěn)，安全因數(shù)取n，重物（包含內芯）的重量F最多允許為多大(2)如果F的取值在上小題的許用范圍內，內芯的圓心位置會不會因為圓桿變形而在滾動過程一道具，使F在第(1)小題所得到的許用值得到提高？如果你認為這個設想可以實現(xiàn)，F(xiàn)的許用值2-2所示的位置上時，豎桿中承受了最大的壓力，記其軸力為F。顯然這種情況下兩斜桿的軸力相等，且為拉力，記其為FNF+2Fcos60o=F，′ABPRδ1δ1′ABPRδ1δ1δ122從該圖可看出，盡管存在著內芯，但由于內芯是剛性的，協(xié)調條件δ=2δFFPP2δ2ROAO′AO′BP′2 33δ′cos30o2FxLxδ②δxFx置為圖2-5(a)所示。在任一時刻 33δ′cos30o2FxLxδ②δxFx=Fsin?,首先考慮Fy所引起的內芯圓心在y方向上的位移δy。=2Fs?。①再考慮Fx所引起的內芯圓心在x方向上的位移δx。如2FNcos30o=Fx，yyx0?FyxFFyFFx 3FxL22FLsin?3EApd。①(2-11)FNFxFNδ′δx?FN1δ2OFN3δ3Kδ1QHSPFO′3F(?3sin?+3?FN1δ2OFN3δ3Kδ1QHSPFO′3F(?3sin?+3cos?)L在存在著預加軸力的結構中再作用以外荷載F，其軸力為預加軸力和荷載引起的軸力足拉伸強度條件。對于理想彈塑性材料，屈服極限σs=σp，故有 2F+EAδ0≤σpA，②(2-13)3LnF?≤。②(2-14)要最大限度地提高結構的許用荷載，應使式(2-13)和(2-14)都取等號并同δ0=σpA?=1?，[F?]=σpA+=1+σ2≈0.8216。②=1+≈1.767。FN1+FN2+FN3=Fcos?,(2-18a) 2=Fsin?。(2-18b)由于剛性的內芯不影響協(xié)調條件，協(xié)調條件可形后位于O′，三桿的變形量分別為δ1=OG，δ2=OH，δ3=OP，則有δ1=OG=OK+KG=2OH+KQ=2OH+SPFFN2圖=2OH+OP?OS=OH+OP=δ2+δ3。FN1=FN2+FN3。FFN1=Fcos?,FN3=93F(3sin?+3cos?)2FLδ1=2FLδ1=xδ①xBFN3=2FcosFFN3=2FcosFN1=Fcos?,2239EA δ3=(3sin?+3cos?)。①(2-20)δ2=9EA δ3=(3sin?+3cos?)。①(2-20) 3δδx=?sin?FL2?EA3cos?。①FL2?EA3cos?。①其對稱軸旋轉而得到的曲面。如何確定這條拋物線的方程，是小明和小剛想要解決的問題。他們手里還有一根長度為400mm的同樣光滑的均質直桿AB，能不能借助這根桿件來做這件事呢？數(shù)次將這根桿件隨意放入容器之中時，他們意外發(fā)現(xiàn)，盡管各次放入后桿件說不定桿的平衡狀態(tài)有很多，利用這根桿件來確定拋物線方程的想法不可靠。小明有些懊喪，一賭氣把那根靜止的水平桿撥弄了一下，那根桿立刻滑動起來，最終又靜止在45o的平衡角度上。小剛再次撥弄這根桿，桿運動一番后，仍然回到45o的平衡角度上。兩人就此進行了激烈的爭論，反復(1)試以桿的軸線與水平面的夾角α(0≤α≤90o)為參數(shù)，推導出桿件所有可能的平衡位置。y(3)試分析靜止在這個容器內的各種光滑均質桿，在什yC=tan2α+yC=tan2α+cos2α。⑥(3-5)設桿AB質心C的坐標為(xC,yC)，桿與水平面的夾角為α,如圖3-2，則A和B的坐標分別為x=x?LcosαACx=x?LcosαACBCyB=yC?Lsinα和yA=yC+Lsinα和將A和B的坐標代入拋物線方程x2=2py可得(xC+Lcosα)2=2p(yC+Lsin(xC?Lcosα)2=2p(yC?Lsinα)，x+L2cos2α=2pyC，xC=ptanα。將式(3-4b)代入式(3-4a)，即可得以α為參數(shù)所表U=mgtan2α+cos2α。=mg?cosαsinα,即有=p23cs4αsinα=0。④p2?L2cos4α=0，yAαCBmgBxcosα=±，即α2=arccos。②(3-9)oα2事實上確定了除α1=0以外唯一的平衡角度。 pL= 2,2x2=200yDNBmgNAθAAHCBxDNBmgNAθAAHCBx tanα+ tanα+cosα22pyC=sinα?L2cosαδα=0。④x2=2py。①設桿AB重力mg和NA、NB的作用線的交點為D，θA為點A處切線與x軸正方向的夾角，θB為點B處切線與x軸負方向的夾角。同時注意到幾何關系：∠BDC=θB，∠BDC=θB，NALsin(90o?θA+α)?NBLsin(90o?θB?α)由主矢在x方向上的投影為零可得?θ?θ sinθB yθθB2=2py上某點K(x0,y0)處的切線斜率為，故A和B處切線x+x AB2px+x AB2pxA+xB≠0，由上式即可得22xAxB=?p設此時桿AB質心的坐標為(xC,yC)，則A和B的坐標分別為將A和B的坐標代入拋物線方程x2=2py可得(xC+Lcosα)2=2p(yC+Lsinα)，(3-20a)(xC?Lcosα)2=2p(yC?Lsinα)，(3-20b)并且xAxB=(xC+Lcosα)(xC?Lcosα)=?p2。(3-20c)cosα=±，即α2=arccos。④(3-21)顯然，要使桿AB在傾斜時仍然保持平衡，則應滿足條件注意：考生可能在試卷中同時采用了不同的方法進行解答，這種情況只能按得分最高的一種解法進明平衡是穩(wěn)定的；不能回到初始的平衡角度上，說明平衡是不穩(wěn)定的。平衡的穩(wěn)定性可以通過勢能 =mgp(cos22α)?(cos2α?sin2α)。②(3-23)若L>p，則d2Udα2y不穩(wěn)定穩(wěn)定α2Fp/2xpGLJL/2AHLGLJL/2AHLd2Udα2d2Udα2o圖4-1是一個吊裝設備的示意圖。水平平面內的直角剛架由塑性材料的實心圓桿制成，其兩個部位。已知剛架各部分圓桿橫截面的直徑均為d，其他尺寸如圖所示。材料的彈性模量為E，泊松的重物沒有變化，但由于吊掛的位置不同，這個應變的數(shù)值也是不同的；無須證明，在所有可能的數(shù)值中，必定有一個極大值εmax。試用εmax表示出重物及掛鉤的總重量F。(2)在出現(xiàn)這個極大值εmax時，有人直接將Eεmax作為在相應吊力，同時要求應變片要用得盡可能地少，效果要盡可能地好，在理論上應該貼多少個應變片？應在該截面外圓的何處粘貼？沿著什么方向粘貼？如何利用這些應變片的讀數(shù)來求得J截面上各個內力LLLL)0D)0CBzGADzGF/2AxBDEI。①yFSCCxTCzGADzGF/2AxBDEI。①yFSCCxTC彎矩趨于減小。所以作用點在B處時，應變值為極大值。這樣，便可以只研究集中力作用在左邊拐角處B時的情況。易于看出，這種情況下，長桿的外伸部分DH區(qū)段沒有任何內力，也不對其他部分的內力產生影響，因而可以不予考慮。剩yyBxF/2BxF/2yyF/2y0=FL。②?2?3EI2EI3EIGIP3=TCL2+FSCL3+(FSCL)?2?3EI2EI3EIGIPT=FL，F(xiàn)SC=F。②③zAABF/2FLX1=1X1LX3AGFX2TFLX1=1X1LX3AGFX2 37+44ν+12ν2F (5+4ν)F2(37+44ν+12ν2)4=F。C所引起的彎矩My1=?FSCL，引起的扭矩Mx=FSCL；扭矩TC引起的彎矩My2=?TC；荷載引起的彎矩My3=FL。所以，在截面A處，總彎矩：MA=My=My0+My1+My2+My3=FL。①(4-5)總扭矩：TA=Mx=FSCL=4FL。①(4-6)MA164FLε==，maxEW195EW故有F= 195EWε 195195Eπd3εmax=5248L其中紅色箭頭表示矩矢量。分別作出X1=1、X2=1、X3=1，以及外荷載F在靜定基上引起的彎矩P2EIP2EIδ1F=LLL1D1BB11FX3=11111ε(2)K4FX=1Xε(2)K4FX=1X2=T①δ3F=0。X1?X2?X1+X29L21?X12EI9L23?X32EI9L3+X32EI?65L?2190?27??X1???FL?0??X2?27??X1???FL?XX3=。③MMA=FL，①MA=EWεmax，TA=EWεmax。(4-8)故A處橫截面上危險點的屈服強度準則（第三強度準maxmax2≈1.002Eεmax。(4-9b)σMJEEW1ε(1)=EEW1故MJ=32Eπd3ε(1)。①(4-10)另外兩個應變片應該貼在J截面水平直徑的兩端ε(1)εε(1)εε(3) JJJθAKKK′K′τQτTT=Eπd3(ε(2)+ε(3))J32(1+ν)在J截面水平直徑的兩個端點K和K′處，只有扭轉切應力τT和彎曲切應力τQ，彎曲正應力θAKKK′K′τQτTT=Eπd3(ε(2)+ε(3))J32(1+ν)τQ反向（記該處應變片數(shù)值為ε(3)例如圖4-6所示。K和K′兩點均處于純剪狀態(tài)。從結構外平JJε(3)JFF=3Eπd2(ε(2)?ε(3))；⑥SJ32(1+ν)T=Eπd3(ε(2)?ε(3))J32(1+ν)F=3Eπd2(