華師一附中2024屆高三《立體幾何》每日一題 試題含答案

華師一附中2024屆高三數(shù)學(xué)《立體幾何每日一題》一、單選題1．一個(gè)封閉的圓臺(tái)容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）的上底面半徑為2，下底面半徑為12，母線與底面所成的角為．在圓臺(tái)容器內(nèi)放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，則此正方體棱長的最大值是（

）A． B．8 C．9 D．二、多選題2．如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)（E在F的左邊）且，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得B．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得C．當(dāng)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角最小值為D．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的余弦值為定值．3．已知正方體的棱長為是側(cè)面內(nèi)任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若滿足，則點(diǎn)的軌跡是一條線段B．若到棱的距離等于到的距離的2倍，則點(diǎn)的軌跡是圓的一部分C．若到棱的距離與到的距離之和為6，則點(diǎn)的軌跡的離心率為D．若到棱的距離比到的距離大2，則點(diǎn)的軌跡的離心率為4．在棱長為1的正方體中，點(diǎn)滿足，其中，，則下列說法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)軌跡所在直線與平面平行B．若，則C．若，則的最小值為D．若與平面所成角的大小為，則的最大值為5．如圖，已知矩形中，，.點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將沿向上翻折到，連接，.設(shè)，二面角的大小為，則下列說法正確的有（

）

A．若，，則B．若，則存在，使得平面C．若，則直線與平面所成角的正切值的最大值為D．點(diǎn)到平面的距離的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取得該最大值6．已知四棱臺(tái)的下底面和上底面分別是邊長為4和2的正方形，則（

）

A．側(cè)棱上一點(diǎn)E，滿足，則平面B．若E為的中點(diǎn)，過，，的平面把四棱臺(tái)分成兩部分時(shí)，較小部分與較大部分的體積之比為C．D．設(shè)與面的交點(diǎn)為O，則7．如圖，已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為2，，分別為上、下底面的直徑，，為圓臺(tái)的母線，為弧的中點(diǎn)，則（

）

A．圓臺(tái)的體積為B．直線與下底面所成的角的大小為C．異面直線和所成的角的大小為D．圓臺(tái)外接球的表面積為8．如圖，在棱長為的正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，以下四個(gè)命題中正確的是（

）

A．平面截正方體所得的截面圖形是五邊形B．直線到平面的距離是C．存在點(diǎn)，使得D．面積的最小值是9．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在平面內(nèi)且，延長交平面于點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（

）

A．線段長度的最小值為B．點(diǎn)到的距離的最大值為2C．直線與所成的角的余弦值的最大值為D．直線與平面所成的角正弦值的最大值為三、填空題10．在三棱錐中，平面平面ABC，，為等邊三角形，，則該三棱錐外接球的表面積為.四、解答題11．如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，線段的中點(diǎn)為且底面，，，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.12．如圖，三棱臺(tái)中，，，D為線段AC上靠近C的三等分點(diǎn)

(1)在線段BC上求一點(diǎn)E，使平面，并求的值：(2)若，，點(diǎn)到平面ABC的距離為，且點(diǎn)在底面ABC的射影落在內(nèi)部，求直線與平面所成角的正弦值．13．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且.

(1)證明：平面；(2)若平面，為的中點(diǎn)，，，求二面角的正切值.14．如圖，在斜三棱柱中，是邊長為2的正三角形，且四棱錐的體積為2.(1)求三棱柱的高；(2)若，平面平面為銳角，求平面與平面的夾角的余弦值.華師一附中2024屆高三數(shù)學(xué)《立體幾何每日一題》參考答案1．B【分析】根據(jù)題意可求出圓臺(tái)內(nèi)能放置的最大球的半徑，使正方體外接于球即可求出正方體的最大棱長.【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可知；又母線與底面所成的角為，即，易得；設(shè)圓臺(tái)內(nèi)能放置的最大球的球心為，且與底面和母線分別切于兩點(diǎn)，所以可知球的半徑，此時(shí)球的直徑為，即此時(shí)球與圓臺(tái)上底面不相切，因此圓臺(tái)內(nèi)能放置的最大球的直徑為;若放置一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體，要求正方體棱長最大，需要正方體的中心與球心重合，且該球是正方體的外接球，設(shè)正方體的最大棱長為，滿足，解得.故選：B2．ABD【分析】利用垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求解選項(xiàng)A；利用平行關(guān)系求解選項(xiàng)B；利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，表示出二面角的余弦值求解選項(xiàng)C,D.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，則，由于，設(shè)則，則，所以E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得，A錯(cuò)誤;對(duì)B，若，則四點(diǎn)共面，與與是異面直線矛盾，B錯(cuò)誤;對(duì)C，設(shè)平面的法向量為.又,,令，可得，平面的法向量可取為，故，因?yàn)?，所以函?shù)在單調(diào)遞減，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為，設(shè)二面角的平面角為，所以有最大值為，即二面角的最小值為，C正確;對(duì)于D，連接，平面即為平面,平面即為平面，取平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為，，令，則，設(shè)二面角的平面角為，則，觀察可知二面角的平面角為為銳角，所以，D錯(cuò)誤；故選:ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來判斷選項(xiàng).3．ABC【分析】由平面即可判斷A；由正方體的性質(zhì)可將到棱的距離與到的距離轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)，M到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)B的距離，據(jù)此求出軌跡方程判斷B，根據(jù)橢圓的定義、離心率判斷C，根據(jù)雙曲線的定義、離心率判斷D.【詳解】對(duì)于A，如圖連接，則平面，平面平面，則，，，平面，則平面，平面，則，同理：，，平面，則平面，故此時(shí)的軌跡為線段，即A正確，對(duì)于B，由正方體可知到棱的距離等于到的距離的2倍，即在平面內(nèi)，到點(diǎn)的距離等于到點(diǎn)的距離的2倍，連接，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，由可得，整理得，，易知點(diǎn)的軌跡是圓的一部分，所以B正確；對(duì)于C，到棱的距離與到的距離之和為6，可轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)，到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的和為6，大于，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓的一部分，其中，所以橢圓的離心率，故C正確；對(duì)于D，到棱的距離比到的距離大2，轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)，到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離大2，，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分，該雙曲線的實(shí)軸長為2，焦距為，所以離心率，所以D錯(cuò)誤；故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：結(jié)合正方體的性質(zhì)可將到棱的距離與到的距離轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)，M到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)B的距離是解題的關(guān)鍵.4．ABD【分析】A、B、C根據(jù)條件確定點(diǎn)軌跡，結(jié)合線面平行判定、線面垂直的判定及性質(zhì)、平面上兩點(diǎn)距離最短判斷；D由條件得在線段上運(yùn)動(dòng)，令，則，結(jié)合三角恒等變換及正弦型函數(shù)性質(zhì)求最值判斷.【詳解】A：若為中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)在線段上運(yùn)動(dòng)，而，面，面，則面，A對(duì)；B：由，則在線段上運(yùn)動(dòng)；在正方體中易知，且面，面，則，，面，則面，面，所以，同理可證，又，面，所以面，面，則，B對(duì)；

C：若，則在線段上運(yùn)動(dòng)；

將面翻折至與面共面，如下圖，，

所以共線時(shí)的最小值為，C錯(cuò)；D：若與平面所成角的大小為，連接，又面，結(jié)合正方體性質(zhì)，要使線面角恒為，只需在面中以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)；

如上圖，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，D對(duì).故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)條件確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為關(guān)鍵.5．AD【分析】根據(jù)翻折前后的幾何關(guān)系，利用面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合余弦定理求解選項(xiàng)A；利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理判斷選項(xiàng)B；利用翻折前后的幾何關(guān)系，結(jié)合線面角的定義求解選項(xiàng)C；利用幾何關(guān)系，以及線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理求解選項(xiàng)D.【詳解】

對(duì)A，取中點(diǎn)，連接，，,則有,且，所以，又平面平面，平面平面，平面,所以平面，平面，故，，在直角三角形中，，所以，在中，由余弦定理得：，A正確；對(duì)B，同選項(xiàng)A，知，若平面，且平面,則，且平面，所以平面，平面，所以，顯然矛盾，B錯(cuò)誤；

對(duì)C，連接交于點(diǎn),因?yàn)閹缀侮P(guān)系可知，,所以,又因?yàn)?所以所以,即，則，，平面,所以平面，平面，所以平面平面，故所求線面角為.又點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，從而當(dāng)直線與圓相切時(shí)，最大，故，從而，C錯(cuò)誤；對(duì)D,點(diǎn)到平面的距離，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)平面，因?yàn)槠矫?，所?從而，且矩形中，平面,所以平面，過作于點(diǎn).

連接，在直角三角形中，由等面積法可得，,所以,所以，因?yàn)橐云矫?，平面?平面，所以平面，由翻折知，故，解得，即.又由二面角的面積射影知：,D正確；故選:AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于利用翻折前后的幾何關(guān)系，結(jié)合直線與平面、平面與平面的判定定理、性質(zhì)定理證明相應(yīng)的結(jié)論.6．AC【分析】選項(xiàng)A：先把平面與四棱錐的截面補(bǔ)全，從而得到G為BC中點(diǎn)，進(jìn)而判斷得四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可判斷；選項(xiàng)B：通過兩個(gè)多面體的體積和計(jì)算可以判斷；選項(xiàng)C：利用空間向量的線性計(jì)算即可判斷；選項(xiàng)D：利用等體積法計(jì)算求得點(diǎn)D、到平面的距離，再利用直線與面所成角的定義可得的比值，從而得以判斷.【詳解】對(duì)于A：連結(jié)，并延長交DC于F，，連AF交BC于G點(diǎn)，則G為BC中點(diǎn)，連，

由四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)可知，，所以四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，面，故A正確；對(duì)于B：設(shè)四棱臺(tái)的高為h，若E為中點(diǎn)，則，，，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：連接AC、BD交于點(diǎn)P，連接，，

由四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可得，，故四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，，，，故點(diǎn)D、到平面的距離相等，設(shè)直線與面所成角為，則，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間向量的綜合問題：①掌握線性運(yùn)算：加法口訣“首尾相連，從頭到尾”、減法口訣“共起點(diǎn)，從后向前”；②幾何體的體積：線面平行或面面平行時(shí)，線或面上的點(diǎn)到平面的距離都相等；③點(diǎn)到平面的距離：等體積轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用；④線面平行的判定：注意事項(xiàng)，標(biāo)注線不在平面內(nèi).7．BC【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，算出圓臺(tái)上底面圓、下底面圓的面積和高即可求出圓臺(tái)的體積；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)線面角的定義計(jì)算即可；對(duì)于C選項(xiàng)，取中點(diǎn)，連接，，，得到四邊形為平行四邊形，根據(jù)異面直線所成角的定義求解即可；對(duì)于D選項(xiàng)，找出外接球半徑并求出即可求解.【詳解】A.做圓臺(tái)的軸截面如圖所示，做，，得到四邊形為平行四邊形，

因?yàn)樯系酌鎴A的面積為，下底面圓的面積為，圓臺(tái)的高，則圓臺(tái)的體積為，故A錯(cuò)誤；B.與下底面所成的角為，且，則，且，則，所以，故B正確；C.取中點(diǎn)，連接，，，由為弧中點(diǎn)可得，過點(diǎn)作，連接，則，且，且，則四邊形為平行四邊形，所以，則異面直線和所成的角為與所成角，即為，又，，所以，在中，，，則為等腰直角三角形，則，故C正確；

取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，在上找一點(diǎn)，使得，

設(shè)，則，由勾股定理得，解得，即圓臺(tái)外接圓的半徑為，所以圓臺(tái)外接球的表面積為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.8．ACD【分析】作出截面圖形判斷A；利用等積法可判斷B，利用坐標(biāo)法可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，如圖直線與、的延長線分別交于、，連接、分別交、于、，連接、，

則五邊形即為所得的截面圖形，故A正確；對(duì)于B，由題可知，平面，平面，所以平面，故點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由正方體的棱長為，可得，，，所以，，所以由，可得，所以直線到平面的距離是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，

設(shè)，其中，所以，又、、，所以，，，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，，整理得，所以（舍去）或，故存在點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)于D，由上知，所以點(diǎn)在的射影為，所以點(diǎn)到的距離為：，所以當(dāng)時(shí)，，故面積的最小值是，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)考查直線到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來求解，求點(diǎn)到平面的距離，方法如下：（1）等體積法：先計(jì)算出四面體的體積，然后計(jì)算出的面積，利用錐體的體積公式可計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離；（2）空間向量法：先計(jì)算出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)到平面的距離為.9．BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由P的軌跡位置判斷A，根據(jù)點(diǎn)線距離公式判斷B，根據(jù)結(jié)合線面角的概念得線線角的范圍判斷C，根據(jù)線面角的向量公式結(jié)合基本不等式求解最值判斷D.【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，設(shè)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由可得.因?yàn)?，，所以點(diǎn)到的距離為，由正方體性質(zhì)易知，平面，設(shè)平面，所以，所以點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，而易知為邊長為的正三角形，其內(nèi)切圓半徑為，所以點(diǎn)的軌跡為的內(nèi)切圓，設(shè)其與三邊的切點(diǎn)依次為，如圖所示，

當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，此時(shí)在處，，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)在處，的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離，B正確；設(shè)直線與所成的角為，因?yàn)?，所以直線與所成的角為，由線面角的概念可知，斜線平面所成的角是直線與平面內(nèi)任何直線所成角中的最小的角，即，所以，當(dāng)點(diǎn)為過點(diǎn)且與平行的直線與內(nèi)切圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，C正確；設(shè)直線與平面所成的角為，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，又，所以，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于空間幾何中的探究問題、軌跡問題、較難的夾角和距離問題，往往建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算方法解決，減少空間想象能力的依賴，可借助函數(shù)等知識(shí)求解最值范圍等.10．【分析】通過題意畫出圖像，通過三棱錐圖像性質(zhì)以及三棱錐外接球的相關(guān)性質(zhì)確定圓心位置，最后根據(jù)各邊所滿足的幾何關(guān)系列出算式，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，

設(shè)外接圓的圓心為，外接圓的圓心為，取AB的中點(diǎn)為E，連接PE，則，因?yàn)闉榈冗吶切危栽赑E上，又因?yàn)?，所以在AC的中點(diǎn)處，則，過點(diǎn)作平面PAB的垂線，過點(diǎn)作平面ABC的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)為球心O，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，所以平面ABC，所以，所以設(shè)三棱錐外接圓的半徑為R，則，所以該三棱錐外接球的表面積．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過三棱錐的幾何特征確定外接球的球心和半徑,利用球的表面積公式即可.11．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù)即可證明平面；（2）由點(diǎn)到平面距離的向量表示公式，代入數(shù)據(jù)即可求解；（3）由直線與底面所成角的正弦值為可求出，然后根據(jù)兩平面的法向量求所成角的余弦值即可.【詳解】（1）連接，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）由（1）知，，，所以，且平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離.（3）由題意知，底面的法向量為，因?yàn)?，，且，，所以，所以由題意知：，解得：，所以，因?yàn)?，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，所以，又平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.12．(1)取BC的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)為E，(2)【分析】（1）取BC的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)E，連接，，，證出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可得出平面，由此可得出結(jié)論.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】（1）取BC的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)E，連接，，，

則，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，，，平面，平面，平面，平面，平面平面，平面，平面，?dāng)時(shí)，平面（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，由，即，解得，點(diǎn)在底面的射影落在內(nèi)部，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令得，，由，又，得，因?yàn)?，所以，，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.13．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）在上取一點(diǎn)G，使得，可證平面，再證平面，可得平面平面，得證；（2）由題意建系用向量法求解或用幾何法找出二面角的平面角