專題06 方案設(shè)計(jì)問題（精講）-2019年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破全攻略（解析版）

【課標(biāo)解讀】 方案設(shè)計(jì)問題涉及面較廣，內(nèi)容比較豐富，題型變化較多，不僅有方程、不等式、函數(shù)，還有幾何圖形的設(shè)計(jì)等.方案設(shè)計(jì)型題是通過設(shè)置一個(gè)實(shí)際問題情境，給出若干信息，提出解決問題的要求，要求學(xué)生運(yùn)用學(xué)過的知識和方法，進(jìn)行設(shè)計(jì)和操作，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案.有時(shí)也給出幾個(gè)不同的解決方案,要求判斷哪個(gè)方案較優(yōu).它包括與方程、不等式有關(guān)的方案設(shè)計(jì)、與函數(shù)有關(guān)的方案設(shè)計(jì)和與幾何圖形有關(guān)的方案設(shè)計(jì).【解題策略】常見的幾種考題類型有：1.解決與方程、不等式有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題目，通常利用方程或不等式求出符合題意的方案；2.與函數(shù)有關(guān)的方案設(shè)計(jì)一般有較多種供選擇的解決問題的方案，但在實(shí)施中要考慮到經(jīng)濟(jì)因素，此類問題類似于求最大值或最小值的問題，通常用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析；3.與幾何圖形有關(guān)的方案設(shè)計(jì)，一般是利用幾何圖形的性質(zhì)，設(shè)計(jì)出符合某種要求和特點(diǎn)的圖案.解題策略可以概括為：從實(shí)際問題入手→歸納若干信息→提出問題要求→引導(dǎo)設(shè)計(jì)操作→判斷優(yōu)化方案【考點(diǎn)深剖】★考點(diǎn)一與方程、不等式有關(guān)的方案設(shè)計(jì)方程、不等式方案設(shè)計(jì)問題主要是利用方程、不等式的相關(guān)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用列方程(組)和不等式(組)，通過有關(guān)的計(jì)算，找到方程(組)的解和不等式(組)的解集，再結(jié)合題目要求，確定未知數(shù)的具體數(shù)值.未知數(shù)有幾個(gè)值，即有幾種方案.方程、不等式方案設(shè)計(jì)的主要步驟：(1)利用方程、不等式建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2)列出方程(組)或不等式(組)；(3)通過解方程(組)或不等式(組)，確定未知數(shù)的值；(4)確定方案.【典例1】（2018?濟(jì)寧）“綠水青山就是金山銀山”，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，A，B兩村準(zhǔn)備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，每村參加清理人數(shù)及總開支如下表：村莊清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)/人清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)/人總支出/元A15957000B101668000（1）若兩村清理同類漁具的人均支出費(fèi)用一樣，求清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱的人均支出費(fèi)用各是多少元；（2）在人均支出費(fèi)用不變的情況下，為節(jié)約開支，兩村準(zhǔn)備抽調(diào)40人共同清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，要使總支出不超過102000元，且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)小于清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)，則有哪幾種分配清理人員方案？【分析】（1）設(shè)清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為x元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為y元，根據(jù)A、B兩村莊總支出列出關(guān)于x、y的方程組，解之可得；（2）設(shè)m人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，則（40﹣m）人清理捕魚網(wǎng)箱，根據(jù)“總支出不超過102000元，且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)小于清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)”列不等式組求解可得．（2）設(shè)m人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，則（40﹣m）人清理捕魚網(wǎng)箱，根據(jù)題意，得：，解得：18≤m＜20，∵m為整數(shù)，∴m=18或m=19，則分配清理人員方案有兩種：方案一：18人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，22人清理捕魚網(wǎng)箱；方案二：19人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，21人清理捕魚網(wǎng)箱．★考點(diǎn)二與函數(shù)有關(guān)的方案設(shè)計(jì)函數(shù)方案設(shè)計(jì)是指由題目提供的背景材料或圖表信息，確定函數(shù)關(guān)系式.利用函數(shù)圖象的性質(zhì)獲得解決問題的具體方法.解決此類問題的難點(diǎn)主要是正確確定函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是熟悉函數(shù)的性質(zhì)及如何通過不等式確定函數(shù)自變量的取值范圍.【典例2】（2018·浙江省臺(tái)州·12分）某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)測，井建立如下模型：設(shè)第t個(gè)月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），P與t之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖象是函數(shù)P=（0＜t≤8）的圖象與線段AB的組合；設(shè)第t個(gè)月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q（單位：萬元），Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q=（1）當(dāng)8＜t≤24時(shí)，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）設(shè)第t個(gè)月銷售該原料藥的月毛利潤為w（單位：萬元）①求w關(guān)于t的函數(shù)解析式；②該藥廠銷售部門分析認(rèn)為，336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤范圍，求此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值．【分析】（1）設(shè)8＜t≤24時(shí)，P=kt+b，將A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P=t+2；（2）①分0＜t≤8.8＜t≤12和12＜t≤24三種情況，根據(jù)月毛利潤=月銷量×每噸的毛利潤可得函數(shù)解析式；②求出8＜t≤12和12＜t≤24時(shí)，月毛利潤w在滿足336≤w≤513條件下t的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得P的最大值與最小值，二者綜合可得答案．（2）①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，w=（2t+8）×=240；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16；當(dāng)12＜t≤24時(shí)，w=（﹣t+44）（t+2）=﹣t2+42t+88；②當(dāng)8＜t≤12時(shí)，w=2t2+12t+16=2（t+3）2﹣2，∴8＜t≤12時(shí)，w隨t的增大而增大，當(dāng)2（t+3）2﹣2=336時(shí)，解題t=10或t=﹣16（舍），當(dāng)t=12時(shí)，w取得最大值，最大值為448，此時(shí)月銷量P=t+2在t=10時(shí)取得最小值12，在t=12時(shí)取得最大值14；當(dāng)12＜t≤24時(shí)，w=﹣t2+42t+88=﹣（t﹣21）2+529，當(dāng)t=12時(shí)，w取得最小值448，由﹣（t﹣21）2+529=513得t=17或t=25，∴當(dāng)12＜t≤17時(shí)，448＜w≤513，此時(shí)P=t+2的最小值為14，最大值為19；綜上，此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值為12噸，最大值為19噸．★考點(diǎn)三與幾何圖形有關(guān)的方案設(shè)計(jì)圖形方案設(shè)計(jì)題，它擺脫了傳統(tǒng)的簡單作圖，把對作圖的技能的考查放在一一個(gè)實(shí)際生活的大背景下，從而考查了學(xué)生的綜合創(chuàng)新能力，給同學(xué)們的創(chuàng)造性思維提供了廣闊的空間與平臺(tái).此類題常利用某些規(guī)則的圖形，如等腰三角形、菱形、矩形、圓等，利用圖形的性質(zhì)，或利用軸對稱和中心對稱等，拼出符合某些條件的圖形.學(xué)科*網(wǎng)【典例3】某區(qū)規(guī)劃修建一個(gè)文化廣場(平面圖形如圖所示),其中四邊形ABCD是矩形，分別以AB、BC、CD、DA邊為直徑向外作半圓,若整個(gè)廣場的周長為628米，矩形的邊長AB=y米,BC=x米.(注：取π=3.14)(1)試用含x的代數(shù)式表示y；(2)現(xiàn)計(jì)劃在矩形ABCD區(qū)域上種植花草和鋪設(shè)鵝卵石等,平均每平方米造價(jià)為428元,在四個(gè)半圓的區(qū)域上種植草坪及鋪設(shè)花崗巖,平均每平方米造價(jià)為400元；①設(shè)該工程的總造價(jià)為W元，求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②若該工程政府投入1千萬元，問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出設(shè)計(jì)方案，若不能，請說明理由.③若該工程在政府投入1千萬元的基礎(chǔ)上，又增加企業(yè)募捐資金64.82萬元，但要求矩形的邊BC的長不超過AB長的三分之二，且建設(shè)廣場恰好用完所有資金，問：能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出所有可能的設(shè)計(jì)方案，若不能，請說明理由. ②僅靠政府投入的1千萬不能完成該工程的建設(shè)任務(wù)．理由如下，由①知W=200（x﹣100）2+1.056×107＞107，所以不能；★考點(diǎn)四涉及統(tǒng)計(jì)計(jì)算的方案設(shè)計(jì)【典例4】某學(xué)校舉行演講比賽，選出了10名同學(xué)擔(dān)任評委，并事先擬定從如下4個(gè)方案中選擇合理的方案來確定每個(gè)演講者的最后得分(滿分為10分)：方案1：所有評委所給分的平均數(shù)；方案2：在所有評委所給分中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，然后再計(jì)算其余所給分的平均數(shù)；方案3：所有評委所給分的中位數(shù)；方案4：所有評委所給分的眾數(shù)．為了探究上述方案的合理性，先對某個(gè)同學(xué)的演講成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)．下面是這個(gè)同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖：(1)分別按上述4個(gè)方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)演講的最后得分；(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果，請用統(tǒng)計(jì)的知識說明哪些方案不適合作為這個(gè)同學(xué)演講的最后得分．解：(1)方案1最后得分：eq\f(1,10)×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：eq\f(1,8)×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4.(2)因?yàn)榉桨?中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水平”，所以方案1不適合作為最后得分的方案；又因?yàn)榉桨?中的眾數(shù)有兩個(gè)，從而使眾數(shù)失去了實(shí)際意義，所以方案4不適合作為最后得分的方案．【講透練活】變式1：（2018?廣州）友誼商店A型號筆記本電腦的售價(jià)是a元/臺(tái)．最近，該商店對A型號筆記本電腦舉行促銷活動(dòng)，有兩種優(yōu)惠方案．方案一：每臺(tái)按售價(jià)的九折銷售；方案二：若購買不超過5臺(tái)，每臺(tái)按售價(jià)銷售；若超過5臺(tái)，超過的部分每臺(tái)按售價(jià)的八折銷售．某公司一次性從友誼商店購買A型號筆記本電腦x臺(tái)．（1）當(dāng)x=8時(shí)，應(yīng)選擇哪種方案，該公司購買費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？（2）若該公司采用方案二購買更合算，求x的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)方案的優(yōu)惠政策，分別求出購買8臺(tái)所需費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)購買x臺(tái)時(shí)，該公司采用方案二購買更合算，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論．（2）∵若該公司采用方案二購買更合算，∴x＞5，方案一：w=90%ax=0.9ax，方案二：當(dāng)x＞5時(shí)，w=5a+（x﹣5）a×80%=5a+0.8ax﹣4a=a+0.8ax，則0.9ax＞a+0.8ax，x＞10，∴x的取值范圍是x＞10．變式2：（2018·廣西梧州·10分）我市從2018年1月1日開始，禁止燃油助力車上路，于是電動(dòng)自行車的市場需求量日漸增多．某商店計(jì)劃最多投入8萬元購進(jìn)A.B兩種型號的電動(dòng)自行車共30輛，其中每輛B型電動(dòng)自行車比每輛A型電動(dòng)自行車多500元．用5萬元購進(jìn)的A型電動(dòng)自行車與用6萬元購進(jìn)的B型電動(dòng)自行車數(shù)量一樣．（1）求A.B兩種型號電動(dòng)自行車的進(jìn)貨單價(jià)；（2）若A型電動(dòng)自行車每輛售價(jià)為2800元，B型電動(dòng)自行車每輛售價(jià)為3500元，設(shè)該商店計(jì)劃購進(jìn)A型電動(dòng)自行車m輛，兩種型號的電動(dòng)自行車全部銷售后可獲利潤y元．寫出y與m之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）該商店如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤？此時(shí)最大利潤是多少元？【分析】（1）設(shè)A.B兩種型號電動(dòng)自行車的進(jìn)貨單價(jià)分別為x元（x+500）元，構(gòu)建分式方程即可解決問題；（2）根據(jù)總利潤=A型兩人+B型的利潤，列出函數(shù)關(guān)系式即可；（3）利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；【解答】解：（1）設(shè)A.B兩種型號電動(dòng)自行車的進(jìn)貨單價(jià)分別為x元（x+500）元．由題意：=，解得x=2500，經(jīng)檢驗(yàn)：x=2500是分式方程的解．答：A.B兩種型號電動(dòng)自行車的進(jìn)貨單價(jià)分別為2500元3000元．（2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30），（3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000，∵﹣200＜0，20≤m≤30，學(xué)科*網(wǎng)變式3：（2018?萊蕪?10分）快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機(jī)器人來代替人工分揀．已知購買甲型機(jī)器人1臺(tái)，乙型機(jī)器人2臺(tái)，共需14萬元；購買甲型機(jī)器人2臺(tái)，乙型機(jī)器人3臺(tái)，共需24萬元．（1）求甲、乙兩種型號的機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格各是多少萬元；（2）已知甲型和乙型機(jī)器人每臺(tái)每小時(shí)分揀快遞分別是1200件和1000件，該公司計(jì)劃購買這兩種型號的機(jī)器人共8臺(tái)，總費(fèi)用不超過41萬元，并且使這8臺(tái)機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞件數(shù)總和不少于8300件，則該公司有哪幾種購買方案？哪個(gè)方案費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少萬元？【分析】（1）利用二元一次方程組解決問題；（2）用不等式組確定方案，利用一次函數(shù)找到費(fèi)用最低值．（2）設(shè)該公可購買甲型機(jī)器人a臺(tái)，乙型機(jī)器人（8﹣a）臺(tái)，根據(jù)題意得解這個(gè)不等式組得∵a為正整數(shù)∴a的取值為2，3，4，∴該公司有3種購買方案，分別是購買甲型機(jī)器人2臺(tái)，乙型機(jī)器人6臺(tái)購買甲型機(jī)器人3臺(tái)，乙型機(jī)器人5臺(tái)變式4：閱讀下列材料：小明遇到一個(gè)問題：5個(gè)同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形.他的做法是：按圖2所示的方法分割后，將三角形紙片①繞AB的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至三角形紙片②處，依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個(gè)新的正方形DEFG.請你參考小明的做法解決下列問題：（1）現(xiàn)有5個(gè)形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示.請將其分割后拼接成一個(gè)平行四邊形.要求：在圖3中畫出并指明拼接成的平行四邊形（畫出一個(gè)符合條件的平行四邊形即可）；（2）如圖4，在面積為2的平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，分別連結(jié)AF、BG、CH、DE得到一個(gè)新的平行四邊形MNPQ，請?jiān)趫D4中探究平行四邊形MNPQ面積的大?。ó媹D表明探究方法并直接寫出結(jié)果）.解：⑴如圖中平行四邊形即為所求.⑵如圖：平行四邊形MNPQ面積為.變式5：（2018?福建B卷?10分）空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米．（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．如圖1，求所利用舊墻AD的長；（2）已知0＜α＜50，且空地足夠大，如圖2．請你合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．【分析】（1）按題意設(shè)出AD，表示AB構(gòu)成方