高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.1 空間幾何體的表面積和體積精練-人教版高三數(shù)學(xué)試題

8.1空間幾何體的表面積和體積【真題典例】挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)2016天津,11空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征三視圖★★★2015天津,102014天津,102.空間幾何體的表面積和體積理解球、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式)2018天津,11空間幾何體的表面積和體積正方體的性質(zhì)★★★分析解讀1.理解多面體、棱柱、棱錐、棱臺的概念,牢記它們的幾何特征;2.理解圓柱、圓錐、圓臺、球等幾何體的形成過程,正確把握軸截面、中截面的含義及掌握將圓柱、圓錐、圓臺的空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的方法;3.理解柱、錐、臺、球(無側(cè)面積)的側(cè)面積、表面積和體積的概念;4.結(jié)合模型,在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握柱、錐、臺、球的表面積公式和體積公式;5.備考時關(guān)注以柱、錐與球的接、切問題為命題背景,突出空間幾何體的線面位置關(guān)系的試題;6.高考對本節(jié)內(nèi)容的考查以計算幾何體的表面積和體積為主,分值約為5分,屬于中檔題.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.下列結(jié)論正確的是()A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等,則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線答案D考點(diǎn)二空間幾何體的表面積和體積2.(2015北京,5,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的表面積是()A.2+5B.4+5C.2+25D.5答案C3.(2015安徽改編,19,13分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.求三棱錐P-ABC的體積.解析由AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=12·AB·AC·sin60°=3由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱錐P-ABC的高,又PA=1,所以三棱錐P-ABC的體積V=13·S△ABC·PA=3煉技法【方法集訓(xùn)】方法1空間幾何體表面積與體積的求解方法1.(2016課標(biāo)Ⅱ文,4,5分)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12πB.323答案A2.(2016北京,6,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A.16B.13C.答案A3.(2015課標(biāo)Ⅰ,6,5分)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B4.(2018江蘇,10,5分)如圖所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為.

答案45.(2014山東文,13,5分)一個六棱錐的體積為23,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為.

答案12方法2與球有關(guān)的切、接問題的求解方法6.(2015課標(biāo)Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36πB.64πC.144πD.256π答案C7.(2017課標(biāo)Ⅱ,15,5分)長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為.

答案14π8.(2017天津,11,5分)已知一個正方體的所有頂點(diǎn)在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為.

答案92過專題【五年高考】A組自主命題·天津卷題組1.(2016天津,11,5分)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所示(單位:m),則該四棱錐的體積為m3.

答案22.(2015天津,10,5分)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.

答案833.(2014天津,10,5分)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.

答案20π4.(2018天津,11,5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為.

答案1B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2017課標(biāo)Ⅲ,8,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為()A.πB.3π4C.π2答案B2.(2014課標(biāo)Ⅱ,7,5分)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,D為BC中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為()A.3B.32C.1D.答案C3.(2014大綱全國,8,5分)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為()A.81π4B.16πC.9πD.答案A4.(2014陜西,5,5分)已知底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個球面上,則該球的體積為()A.32π3B.4πC.2πD.答案D5.(2018課標(biāo)Ⅱ,16,5分)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為78,SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為515,則該圓錐的側(cè)面積為答案402π6.(2015江蘇,9,5分)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個,則新的底面半徑為.

答案77.(2018課標(biāo)Ⅰ,18,12分)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC為折痕將△ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且AB⊥DA.(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=23解析(1)證明:由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22如圖,作QE⊥AC,垂足為E,則QE13由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱錐Q-ABP的體積為13·S△ABP·QE=13×12規(guī)律總結(jié)證明空間線面位置關(guān)系的一般步驟:(1)審清題意:分析條件,挖掘題目中平行與垂直的關(guān)系;(2)明確方向:確定問題的方向,選擇證明平行或垂直的方法,必要時添加輔助線;(3)給出證明:利用平行、垂直關(guān)系的判定或性質(zhì)給出問題的證明;(4)反思回顧:查看關(guān)鍵點(diǎn)、易漏點(diǎn),檢查使用定理時定理成立的條件是否遺漏,符號表達(dá)是否準(zhǔn)確.解題關(guān)鍵(1)利用平行關(guān)系將∠ACM=90°轉(zhuǎn)化為∠BAC=90°是求證第(1)問的關(guān)鍵;(2)利用翻折的性質(zhì)將∠ACM=90°轉(zhuǎn)化為∠ACD=90°,進(jìn)而利用面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的性質(zhì)定理得出三棱錐Q-ABP的高是求解第(2)問的關(guān)鍵.8.(2017課標(biāo)Ⅱ文,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12(1)證明:直線BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面積為27,求四棱錐P-ABCD的體積.解析本題考查線面平行的判定和體積的計算.(1)證明:在平面ABCD內(nèi),因?yàn)椤螧AD=∠ABC=90°,所以BC∥AD,又BC?平面PAD,AD?平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM.由AB=BC=12因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因?yàn)镃M?底面ABCD,所以PM⊥CM.設(shè)BC=x,則CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中點(diǎn)N,連接PN,則PN⊥CD,所以PN=142因?yàn)椤鱌CD的面積為27,所以12×2x×142x=2解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱錐P-ABCD的體積V=13×2×(2+4)29.(2016課標(biāo)Ⅱ文,19,12分)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)證明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=22解析(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CF由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)(2)由EF∥AC得OHDO=AEAD=由AB=5,AC=6得DO=BO=AB所以O(shè)H=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(22)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以O(shè)D'⊥平面ABC.(8分)又由EFAC=DHDO得EF=五邊形ABCFE的面積S=12×6×8-12×92所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=13×694×22=C組教師專用題組1.(2014湖北,8,5分)《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn),計算其體積V的近似公式V≈136L2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式V≈275LA.227B.258C.157答案B2.(2013課標(biāo)Ⅰ文,15,5分)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為.

答案9π3.(2013江蘇,8,5分)如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1∶V2=.

答案14.(2016江蘇,17,14分)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,則倉庫的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m,則當(dāng)PO1為多少時,倉庫的容積最大?解析(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.因?yàn)锳1B1=AB=6m,所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐=13·A1B12·PO1=13×6正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以倉庫的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3).(2)設(shè)A1B1=a(m),PO1=h(m),則0<h<6,O1O=4h(m).如圖,連接O1B1.因?yàn)樵赗t△PO1B1中,O1B12+PO1所以2a22+h2=36,即a2于是倉庫的容積V=V柱+V錐=a2·4h+13a2·h=133a2h=263(36h-h3),0<h<6,從而V'=263(36-3h令V'=0,得h=23或h=-23(舍).當(dāng)0<h<23時,V'>0,V是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)23<h<6時,V'<0,V是單調(diào)減函數(shù).故h=23時,V取得極大值,也是最大值.因此,當(dāng)PO1=23m時,倉庫的容積最大.評析本題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力.5.(2015課標(biāo)Ⅱ文,19,12分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點(diǎn)E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH所以S梯形A1EHA=12(A1S梯形B1BHE=12(HB+EB1又長方體被平面α分成兩個等高的直棱柱,高為10,所以其體積的比值為S梯形A1EHAS【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2019屆天津新華中學(xué)期中,3)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.13+πB.23+πC.13答案A2.(2018天津紅橋一模,4)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A.223πB.π2答案C二、填空題(每小題5分,共35分)3.(2019屆天津七校聯(lián)考,11)一個幾何體的正視圖由2個全等的矩形組成,側(cè)視圖也是矩形,俯視圖由兩個全等的直角三角形組成,數(shù)據(jù)如圖所示,則該幾何體的體積為.

答案124.(2019屆天津南開中學(xué)開學(xué)考,11)已知一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積為cm3.

答案205.(2018天津河?xùn)|一模,11)某幾何體的三視圖如圖(其中側(cè)視圖中的圓弧是半圓),則該幾何體的表面積為.

答案92+14π6.(2018天津十二區(qū)縣一模,10)如圖是一個空間幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積是.

答案48π7.(2018天津部分區(qū)縣一模,13)在三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,BD⊥CD,BD=DC=4,AB=3,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為.

答案41π8.(2018天津河?xùn)|二模,11)麻團(tuán)又叫煎堆,呈球形,華北地區(qū)稱麻團(tuán),是一種古老的中華傳統(tǒng)特色油炸面食,寓意團(tuán)圓.制作時以糯米粉團(tuán)炸起,加上芝麻而制成,有些包入麻茸、豆沙等餡料,有些沒有.一個長方體形狀的紙盒中恰好放入4個球形的麻團(tuán),它們彼此相切,同時與長方體紙盒上下底