專題03數(shù)軸上的動點問題壓軸題真題分類（解析版）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊重難點題型分類高分必刷題（人教版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題03數(shù)軸上的動點問題壓軸題真題分類（解析版）專題簡介：本份資料包含《有理數(shù)》這一章中動點問題壓軸題?？嫉闹髁黝}型，所選題目源自各名校月考試題、期中試題中的典型考題，按難度逐漸遞增的情況分成三類題型：簡易型求運動時間、定值問題、新定義類動點問題。適合于培訓(xùn)機構(gòu)的老師給優(yōu)等生作動點問題專題培訓(xùn)時使用或者想沖擊滿分的尖子生考前刷題時使用。【解題方法總結(jié)】第一步：用含的式子表示動點，往左運動：可以表示為“起點”，往右運動：“起點”；第二步：表示距離：數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)為分別為a、b，則A與B間的距離AB=|a－b|；第三步：列式化簡或者列方程后再解方程。題型一簡易型求運動時間1．如圖數(shù)軸上有A、B兩點，分別表示的數(shù)為－50和70，點A以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點B以每秒2個單位長度向左勻速運動．設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．（1）運動開始前，A、B兩點的距離為；（2）它們按上述方式運動，t秒后A點表示的數(shù)為；B點所表示的數(shù)為；（用含t的式子表示）（3）它們按上述方式運動至兩點相遇，則相遇點所表示的數(shù)為．【詳解】解：（1）∵A、B兩點，分別表示的數(shù)為－50和70，∴運動開始前，A、B兩點的距離為故答案為：120；（2）點A以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點B以每秒2個單位長度向左勻速運動，t秒后A點表示的數(shù)為；B點所表示的數(shù)為，故答案為：，；（3）根據(jù)題意，，解得，，故答案為：。2.（立信）點A、B在單位長度為1的數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是﹣2，點A和點B表示的數(shù)互為相反數(shù)，若點A以每秒3個單位長度向右運動，點B以每秒1個單位長度向右運動．（1）在數(shù)軸上標(biāo)出原點O，并求出點B表示的數(shù)；（2）當(dāng)點A與點B重合于點C時，求運動時間？（3）若點A運動到點M，點B運動到點N時，線段MN＝100時，求線段MN蓋住數(shù)軸上的整數(shù)點的個數(shù)是多少？【解答】解：（1）∵點A表示的數(shù)是﹣2，點A和點B表示的數(shù)互為相反數(shù)，∴點B表示的數(shù)是2．（2）設(shè)運動時間為x秒時點A與點B重合于點C，3＝4+，解得＝2．（3）設(shè)運動時間為y秒時線段MN＝100，3y＝4+y+100，解得y＝52，∴﹣2+52×3＝154，2+52＝54，∴M、N表示的數(shù)分別為154和54，∴線段MN蓋住數(shù)軸上的整數(shù)點的個數(shù)是101個．3．（青竹湖）已知在數(shù)軸上有A，B兩點，點A表示的數(shù)為8，點B在A點的左邊，且AB＝12．若有一動點P從數(shù)軸上點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，動點O從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運動，設(shè)運動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝1秒時，寫出數(shù)軸上點B、P、Q所表示的數(shù)分別為、、；（2）若點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，當(dāng)點P與點Q重合時，求t的值；（3）若M為線段AQ的中點，點N為線段BP的中點．當(dāng)點M到原點的距離和點N到原點的距離相等時，求t的值．【解答】解：（1）由題知，B點表示的數(shù)為8﹣12＝﹣4，P點表示的數(shù)為8﹣3＝5，Q點表示的數(shù)為﹣4+2＝﹣2，故答案為：﹣4，5，﹣2；（2）根據(jù)題意得，2t+3t＝12，解得t＝，即t的值為；（3）根據(jù)題意知，|﹣4+2t+8|＝|8﹣3t﹣4|，解得t＝0（舍去）或t＝8，∴當(dāng)點M到原點的距離和點N到原點的距離相等時，t的值為8．4.已知數(shù)軸上點表示的數(shù)為，是數(shù)軸上在左側(cè)的一點，且，兩點間的距離為動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為秒．(1)數(shù)軸上點表示的數(shù)是______，點表示的數(shù)是______用含的代數(shù)式表示；(2)動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點、同時出發(fā)．求：當(dāng)點運動多少秒時，點與點間的距離為個單位長度？(3)若點為中點，點為中點，在點運動過程中，求出線段的長．【詳解】（1）解：點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，故答案為：，；（2）解：表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，根據(jù)題意得：，即或，解得或，答：當(dāng)點運動秒或秒時，點與點間的距離為個單位長度；（3）解：線段的長度不發(fā)生變化，理由如下：表示的數(shù)為，點表示的數(shù)是，中點表示的數(shù)是，表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，中點表示的數(shù)是，，線段的長度不發(fā)生變化，的長度為．5．（長雅）如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示示數(shù)b，點A與點B之間的距離表示為AB．若點A與點O之間的距離OA＝2，點B與點O之間的距離OB＝6．（1）a＝，b＝；（2）如圖①，請在數(shù)軸上找一點C，使AC＝2BC，則C點表示的數(shù)為；（3）如圖①，若在原點O處放一擋板，一小球甲從點A處以1個單位/秒的速度向左運動；同時另一小球乙從點B處以2個單位/秒的速度也向左運動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點）以原來的速度向相反的方向運動，設(shè)運動的時間為t（秒）．①分別表示出甲、乙兩小球到原點的距離（用t表示）；②求甲、乙兩小球到原點的距離相等時經(jīng)歷的時間．【解答】解：（1）∵OA＝2，A在O的左側(cè)，∴a＝﹣2，∵OB＝6，B在O的右側(cè)，∴a＝6，故答案為：﹣2，6；（2）設(shè)C表示的數(shù)是c，當(dāng)點C在AB之間時有：c﹣（﹣2）＝2（6﹣c），解得：c＝，當(dāng)點C在B的右側(cè)時有：c﹣（﹣2）＝2（c﹣6），解得：c＝14，故答案為：或14；（3）①甲距原點的距離為：2+t，乙距原點的距離為：當(dāng)0≤t≤3時，6﹣2t，當(dāng)t＞3時，2（t﹣3）＝2t﹣6，②當(dāng)0≤t≤3時，2+t＝6﹣2t，解得：t＝，當(dāng)t＞3時，2+t＝2t﹣6，解得：t＝8，答：甲、乙兩小球到原點的距離相等時經(jīng)歷的時間為秒或8秒．試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁題型二定值問題6．（麓山）數(shù)軸上兩點A、B，A在B左邊，原點O是線段AB上的一點，已知AB＝4，且OB＝3OA．點A、B對應(yīng)的數(shù)分別是a、b，點P為數(shù)軸上的一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x．（1）a＝，b＝，并在數(shù)軸上面標(biāo)出A、B兩點；（2）若PA＝2PB，求x的值；（3）若點P以每秒2個單位長度的速度從原點O向右運動，同時點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，點B以每秒3個單位長度的速度向右運動，設(shè)運動時間為t秒．請問在運動過程中，3PB﹣PA的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【解答】解：（1）因為AB＝4，且OB＝3OA．A，B對應(yīng)的數(shù)分別是a、b，所以a＝﹣1，b＝3．故答案為：﹣1，3．（2）①當(dāng)P點在A點左側(cè)時，PA＜PB，不合題意，舍去．②當(dāng)P點位于A、B兩點之間時，因為PA＝2PB，所以x+1＝2（3﹣x），所以x＝．②當(dāng)P點位于B點右側(cè)時，因為PA＝2PB，所以x+1＝2（x﹣3），所以x＝7．故x的值為或7．（3）t秒后，A點的值為（﹣1﹣t），P點的值為2t，B點的值為（3+3t），所以3PB﹣PA＝3（3+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣1﹣t）]＝9+3t﹣（2t+1+t）＝9+3t﹣3t﹣1＝8．所以3PB﹣PA的值為定值，不隨時間變化而變化．7.已知、滿足.請回管問題：（1）請直接寫出、的值，______，_______.（2）當(dāng)?shù)娜≈捣秶莀________時，有最小值，這個最小值是_____.（3）數(shù)軸、上兩個數(shù)所對應(yīng)的分別為、，的中點為點，點、、同時開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒1個單位長度的速度向左運動，點和點分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，當(dāng)、兩點重合時，運動停止.①經(jīng)過2秒后，求出點與點之間的距離.②經(jīng)過秒后，請問：

的值是否隨著時間的變化而變化？若變化，請說明理由；若不變，請求其值.【解答】解：；，；重合時，重合時，運動停止，．8.如圖，在數(shù)軸上，點為原點，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，且滿足（1）兩點對應(yīng)的數(shù)分別為，；（2）若將數(shù)軸折疊，使得點與點重合，則原點與數(shù)表示的點重合；（3）若點分別以4個單位/秒和2個單位/秒的速度相向而行，則幾秒后兩點相距2個單位長度？（4）若點以（3）中的速度同時向右運動，點從原點以7個單位/秒的速度向右運動，設(shè)運動時間為秒，請問：在運動過程中，的值是否會發(fā)生變化?若變化，請用表示這個值;若不變，請求出這個定值．【解析】(1)；(2)(3)法一：分兩種情況討論：設(shè)秒后，兩點相距個單位長度①，兩點相遇前相距個單位長度，則解得：②，兩點相遇后相距個單位長度，則解得：答：經(jīng)過秒或秒后，，兩點相距個單位長度.法二：設(shè)秒后，兩點相距個單位長度.此時點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為，則：即：或解得：或答：經(jīng)過秒或秒后，，兩點相距個單位長度.(4)在運動過程中，的值不會發(fā)生變化.由題意可知：秒后，點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為則：，，所以.9．（長郡）如圖，在數(shù)軸上點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，點C表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a，b，c滿足（c﹣5）2+|a+b|＝0．回答問題：（1）點P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，若PA＝2PC，求x的值；（2）點A，B，C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和每秒5個單位長度的速度向右運動，設(shè)運動時間為t1秒．請問在運動過程中，BC﹣AB的值是否隨著時間t1的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．（3）在（2）的條件下，若點C從第2秒開始掉頭向左繼續(xù)運動，速度不變；A、B保持原來運動方向，速度不變繼續(xù)運動，設(shè)繼續(xù)運動時間為t2秒．請問在運動過程中，是否存在某個時刻，A，B，C中某一點是另外兩點的中點？如果有，請求出t2的值；如果沒有，請說明理由．【解答】解：（1）依題意得b＝﹣1，c﹣5＝0，a+b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，c＝5；∵點P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，∴PA＝|x+1|，PC＝|x﹣5|，∴|x+1|＝2|x﹣5|，解得x＝11或x＝3；（2）BC﹣AB的值不變．根據(jù)題意可知，BC﹣AB＝[5+5t1﹣（1+2t1）]﹣[1+2t1﹣（﹣1﹣t1）]＝5+5t1﹣1﹣2t1﹣1﹣2t1﹣1﹣t1＝2，故BC﹣AB的值不會隨著時間t的變化而改變；（3）存在，理由如下：第2秒時，點A對應(yīng)的數(shù)為：﹣1﹣2＝﹣3，點B對應(yīng)的數(shù)為：1+2×2＝5，點C對應(yīng)的數(shù)為：5+2×5＝15．∵繼續(xù)運動時間為t2秒，∴點A對應(yīng)的數(shù)為：﹣3﹣t2，點B對應(yīng)的數(shù)為：5+2t2，點C對應(yīng)的數(shù)為：15﹣5t2．若A，B，C中某一點是另外兩點的中點，則分三種情況：①當(dāng)點B為AC的中點，則BA＝BC，∴5+2t2﹣（﹣3﹣t2）＝（15﹣5t2）﹣（5+2t2），解得t2＝，②當(dāng)點C為AB的中點，則CA＝CB，∴15﹣5t2﹣（﹣3﹣t2）＝（5+2t2）﹣（15﹣5t2），解得tt2＝，③當(dāng)點A為BC的中點，則AB＝AC，∴（5+2t2）﹣（﹣3﹣t2）＝﹣3﹣t2﹣（15﹣5t2），解得t2＝26，綜上，若A，B，C中某一點是另外兩點的中點，則t2的值為或或26．

題型三新定義類動點問題10．（中雅）閱讀下列材料：我們給出如下定義：數(shù)軸上給定不重合兩點A，B，若數(shù)軸上存在一點M，使得點M到點A的距離等于點M到點B的距離，則稱點M為點A與點B的“雅中點”．解答下列問題：（1）若點A表示的數(shù)為﹣5，點B表示的數(shù)為1，點M為點A與點B的“雅中點”，則點M表示的數(shù)為；（2）若A、B兩點的“雅中點M”表示的數(shù)為2，且A、B兩點的距離為9（A在B的左側(cè)），則點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為；（3）點A表示的數(shù)為﹣6，點C，D表示的數(shù)分別是﹣4，﹣2，點O為數(shù)軸原點，點B為線段CD上一點（點B可與C、D兩點重合）．①設(shè)點M表示的數(shù)為m，若點M可以為點A與點B的“雅中點”，則m可取得整數(shù)有；②若點A和點D同時以每秒2個單位長度的速度向數(shù)軸正半軸方向移動．設(shè)移動的時間為t（t＞0）秒，求t的所有整數(shù)值，使得點O可以為點A與點B的“雅中點”．【解答】解：（1）（﹣5+1）＝﹣2，故答案為：﹣2；（2）2﹣4.5＝﹣2.5，2+4.5＝6.5，故答案為：﹣2.5，6.5；（3）設(shè)B表示的數(shù)為x（﹣4≤x≤﹣2），①m＝（﹣6+x），所以整數(shù)m的值為：﹣4，﹣5，故答案為：﹣4，﹣5；②由題意得：A表示的數(shù)為：﹣6+2t，D表示的數(shù)為：﹣2+2t，∵O可以為點A與點B的“雅中點”，∴B表示的數(shù)為：6﹣2t，∵點B為線段CD上一點（點B可與C、D兩點重合），∴﹣4≤6﹣2t≤﹣2+2t，解得：2≤t≤5，∵t的所有整數(shù)值為：2，3，4，5．t＝3不符合題意，舍去．故滿足條件的t的值為2，4，5．11．（廣益點）已知數(shù)軸上兩點A，B對應(yīng)的數(shù)分別為﹣8和4，點P為數(shù)軸上一動點，若規(guī)定：點P到A的距離是點P到B的距離的3倍時，我們就稱點P是關(guān)于A→B的“廣益點”．（1）若點P到點A的距離等于點P到點B的距離時，求點P表示的數(shù)是多少；（2）若點P以每秒1個單位的速度從原點O開始向右運動，當(dāng)點P是關(guān)于A→B的“廣益點”時，求點P的運動時間；（3）若點P在原點的左邊（即點P對應(yīng)的數(shù)為負數(shù)），且點P，A，B中，其中有一個點是關(guān)于其它任意兩個點的“廣益點”，請直接寫出所有符合條件的點P表示的數(shù)．【解答】解：（1）∵數(shù)軸上兩點A，B對應(yīng)的數(shù)分別為﹣8和4，∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，∵點P到點A的距離等于點P到點B的距離，∴點P是AB的中點，∴BP＝AP＝AB＝6，∴點P表示的數(shù)為﹣2；（2）設(shè)點P運動時間為t秒，根據(jù)題意可知，PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，∴t+8＝3|4﹣t|，解得：t＝1或10，∴點P運動的時間為1秒或10秒；（3）設(shè)點P表示的數(shù)為n，根據(jù)題意可得，PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，分五種情況進行討論：①當(dāng)點A是關(guān)于P→B的“廣益點”時，得PA＝3AB，即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；②當(dāng)點A是關(guān)于B→P的“廣益點”時，得AB＝3AP，即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；③當(dāng)點P是關(guān)于A→B的“廣益點”時，得PA＝3PB，即﹣n﹣8＝3（4﹣n），解得n＝10；（不符合題意，舍去），或n+8＝3（4﹣n），解得n＝1（不符合題意，舍去）；④當(dāng)點P是關(guān)于B→A的“廣益點”時，得PB＝3AB，即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；⑤當(dāng)點B是關(guān)于P→A的“廣益點”時，得BP＝3AB，即4﹣n＝36，解得n＝﹣32，綜上所述，所有符合條件的點P表示的數(shù)是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．12．（長郡）已知：點A、B、P為數(shù)軸上三點，我們約定：點P到點A的距離是點P到點B的距離的k倍，則稱P是[A，B]的“k倍點”，記作：P[A，B]＝k．例如：若點P表示0，點A表示﹣2，點B表示1，則P是[A，B]的“2倍點”，記作：P[A，B]＝2．（1）如圖，A、B、P、Q、M、N為數(shù)軸上各點，如圖圖示，回答下面問題：①P[A，B]＝；②M[N，A]＝；③若C[Q，B]＝1，則C表示的數(shù)為．（2）若點A表示﹣1，點B表示5，點C是數(shù)軸上一點，且C[A，B]＝3，求點C所表示的數(shù)．（3）數(shù)軸上，若點M表示﹣10，點N表示50，點K在點M和點N之間，且K[M，N]＝5．從某時刻開始，M、N同時出發(fā)向右勻速運動，且M的速度為5單位/秒，點N速度為2單位/秒，設(shè)運動時間為t（t＞0），當(dāng)t為何值時，M是K、N兩點的“3倍點”．【解答】解：（1）①∵A、B、P三點表示的數(shù)分別是﹣3、5、3，∴PA＝3﹣（﹣3）＝6，PB＝5﹣3＝2，∴PA＝3PB，即P[A，B]＝3；②∵MN＝7﹣（﹣5）＝12，MA＝﹣3﹣（﹣5）＝2，∴MN＝6MA，即M[N，A]＝6；③∵C[Q，B]＝1，∴CQ＝CB，∴C為線段QB的中點，∴C表示的數(shù)為＝2．故答案為：①3；②6；③2．（2）設(shè)點C在數(shù)軸上表示的數(shù)為x，∵C[A，B]＝3，∴CA＝3CB，∴|x﹣（﹣1）|＝3|x﹣5|，∴x＝3.5或8．故點C所表示的數(shù)為：3.5或8．（3）∵K[M，N]＝5，∴KM＝5KN，∵點M表示﹣10，點N表示50，點K在點M和點N之間，∴KM+KN＝MN＝60，∴KN＝MN＝10，∴點K表示的數(shù)為50﹣10＝40．由題意得，運動t秒時點M表示的數(shù)為﹣10+5t，點N表示的數(shù)為50+2t．∵M是K、N兩點的“3倍點”，∴MK＝3MN，∴|40﹣（﹣10+5t）|＝3|50+2t﹣（﹣10+5t）|，∴t＝或．即當(dāng)t為或時，M是K、N兩點的“3倍點”．13．已知在數(shù)軸上有A，B兩點，點B表示的數(shù)為最大的負整數(shù)，點A在點B的右邊，AB＝24．若有一動點P從數(shù)軸上點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，動點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運動，設(shè)運動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝1時，寫出數(shù)軸上點B，P所表示的數(shù)；（2）若點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，問當(dāng)t為何值點P與點Q相距3個單位長度？（3）若點O到點M，N其中一個點的距離是到另一