高考第一輪復(fù)習(xí)講義 第35講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（原卷版+解析版 ）

第35講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（

）A．10 B．11 C．12 D．132．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．3．（2022·福建·莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）2022年4月26日下午，神州十三號(hào)載人飛船返回艙在京完成開(kāi)艙．據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神十三”的“長(zhǎng)征二號(hào)”遙十三運(yùn)載火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過(guò)的路程為2千米，以后每秒鐘通過(guò)的路程都增加2千米，在達(dá)到離地面380千米的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過(guò)程需要的時(shí)間大約是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒4．（2022·福建省德化第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．145．（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．66．（2022·全國(guó)·高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.97．（2022·重慶·二模）等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，若，則的最大值為（

）A．3 B．6 C．9 D．128．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．9．（2022·廣東·華南師大附中三模）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．351 B．353 C．531 D．53310．（多選）（2022·河北滄州·二模）已知數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．11．（多選）（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則12．（2022·北京·101中學(xué)三模）已知等差數(shù)列中，則_______．13．（2022·山東青島·二模）將等差數(shù)列中的項(xiàng)排成如下數(shù)陣，已知該數(shù)陣第n行共有個(gè)數(shù)，若，且該數(shù)陣中第5行第6列的數(shù)為42，則___________.a1a2a3a4a5a6a7……14．（2022·遼寧·撫順一中模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則______，______．15．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式始于24節(jié)氣倒計(jì)時(shí)，它將中國(guó)人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩(shī)歌、現(xiàn)代生活的畫(huà)面和諧統(tǒng)一起來(lái).我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，夏至日晷長(zhǎng)最短，周而復(fù)始.已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日晷長(zhǎng)的和為_(kāi)_____尺16．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項(xiàng)和為_(kāi)_____．17．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知和均為等差數(shù)列，若，則的值是__________.18．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和是，，，則數(shù)列{||}中值最小的項(xiàng)為第___項(xiàng)．19．（2022·湖北·大冶市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．20．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在“①，，；②，；③”三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且__________．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前n項(xiàng)和為，求證：．【素養(yǎng)提升】1．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知依次組成嚴(yán)格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．依次可組成等差數(shù)列 B．依次可組成等差數(shù)列C．依次可組成等差數(shù)列 D．依次可組成等差數(shù)列2．（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且3．（多選）（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)等差數(shù)列和，其公差分別為和，其前項(xiàng)和分別為和，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，則 B．若為等差數(shù)列，則C．若為等差數(shù)列，則 D．若，則也為等差數(shù)列，且公差為4．（多選）（2022·福建南平·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.則（

）A． B． C． D．5．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)一模）在數(shù)列中，，，，則_______；的前2022項(xiàng)和為_(kāi)______．6．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（a為常數(shù)），則________；設(shè)函數(shù)且，則__________.第35講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式求解.【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以，故選：B．2．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】C【分析】利用等差中項(xiàng)，及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：在等差數(shù)列中，，，故，又，故，則，故.故選：C.3．（2022·福建·莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）2022年4月26日下午，神州十三號(hào)載人飛船返回艙在京完成開(kāi)艙．據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神十三”的“長(zhǎng)征二號(hào)”遙十三運(yùn)載火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過(guò)的路程為2千米，以后每秒鐘通過(guò)的路程都增加2千米，在達(dá)到離地面380千米的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過(guò)程需要的時(shí)間大約是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒【答案】D【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的定義可知每秒鐘通過(guò)的路程構(gòu)成數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)求和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)每秒鐘通過(guò)的路程構(gòu)成數(shù)列，則是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，由求和公式有，解得．故選：D.4．（2022·福建省德化第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡(jiǎn)得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，由等差?shù)列的性質(zhì)和求和公式得，即，則.故選：C.5．（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可得.【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.6．（2022·全國(guó)·高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D7．（2022·重慶·二模）等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，若，則的最大值為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和一元二次函數(shù)求其最值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)?，且，所以，解得，則，即取最大值為9.故選：C.8．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列、的公差分別為、,由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系,可得結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差分別為和,即,即①,即②由①②解得故選：C9．（2022·廣東·華南師大附中三模）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．351 B．353 C．531 D．533【答案】B【分析】根據(jù)題意討論的奇偶，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得，按等差數(shù)列理解處理，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得，按并項(xiàng)求和理解出來(lái)，則按奇偶分組求和分別理解處理．【詳解】依題意，，顯然，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有，即有，，…，，令，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，故；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有，即，，…，，于是，，故選：B．10．（多選）（2022·河北滄州·二模）已知數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由條件可得當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，然后可逐一判斷.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤；又因?yàn)椋?，選項(xiàng)B正確；故C正確，選項(xiàng)D正確.故選：BCD11．（多選）（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及等差中項(xiàng)，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則對(duì)于A，由數(shù)列是等差數(shù)列及，所以可取，所以不成立，故A正確；對(duì)于B，由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以恒成立，故B不正確；對(duì)于C,由數(shù)列是等差數(shù)列，可取，所以不成立，故C正確；對(duì)于D，由數(shù)列是等差數(shù)列，得，無(wú)論為何值，均有所以若，則恒不成立，故D正確.故選：ACD.12．（2022·北京·101中學(xué)三模）已知等差數(shù)列中，則_______．【答案】4【分析】設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到方程組，求出公差，求出答案.【詳解】設(shè)公差為，則，解得：，所以故答案為：413．（2022·山東青島·二模）將等差數(shù)列中的項(xiàng)排成如下數(shù)陣，已知該數(shù)陣第n行共有個(gè)數(shù)，若，且該數(shù)陣中第5行第6列的數(shù)為42，則___________.a1a2a3a4a5a6a7……【答案】【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式確定42為數(shù)列中的第幾項(xiàng)，可以求出公差，從而確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】解：設(shè)公差為，因?yàn)樵摂?shù)陣第n行共有個(gè)數(shù)，則前4行共有個(gè)數(shù)，所以第5行第6列數(shù)為，則，所以．故答案為：．14．（2022·遼寧·撫順一中模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則______，______．【答案】

0

0【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)可得，代入即可求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，即可求出答案.【詳解】等差數(shù)列中，，所以，即，所以，故答案為：①0；②0.15．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式始于24節(jié)氣倒計(jì)時(shí)，它將中國(guó)人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩(shī)歌、現(xiàn)代生活的畫(huà)面和諧統(tǒng)一起來(lái).我國(guó)古人將一年分為24個(gè)節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，冬至日晷長(zhǎng)最長(zhǎng)，夏至日晷長(zhǎng)最短，周而復(fù)始.已知冬至日晷長(zhǎng)為13.5尺，芒種日晷長(zhǎng)為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日晷長(zhǎng)的和為_(kāi)_____尺【答案】60【分析】因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，所以每個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，所以夏至到立冬的日晷長(zhǎng)的和可以用等差數(shù)列求和公式得到.【詳解】因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)變化量相同，所以每個(gè)節(jié)氣的日晷長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)冬至日晷長(zhǎng)13.5尺為，則芒種日晷長(zhǎng)2.5尺為，所以，所以夏至日晷長(zhǎng)為1.5尺，記夏至日晷長(zhǎng)1.5尺為，小暑為，大暑為，……，立冬為則.故答案為：60.16．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前13項(xiàng)和為_(kāi)_____．【答案】【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得，再代入求和公式可求得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，，則，故答案為：．17．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知和均為等差數(shù)列，若，則的值是__________.【答案】6【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)楹途鶠榈炔顢?shù)列，所以，所以，即，所以.故答案為：6.18．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和是，，，則數(shù)列{||}中值最小的項(xiàng)為第___項(xiàng)．【答案】10【分析】根據(jù)題意判斷等差數(shù)列{}的，，，由此可判斷數(shù)列的項(xiàng)的增減情況，進(jìn)而確定答案.【詳解】由題意得：，∴，，∴，，∴，故等差數(shù)列{}為遞減數(shù)列，即公差為負(fù)數(shù)，因此的前9項(xiàng)依次遞減，從第10項(xiàng)開(kāi)始依次遞增，由于，∴{||}最小的項(xiàng)是第10項(xiàng)，故答案為：1019．（2022·湖北·大冶市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解】(1)由題意得：由題意知，則又，所以是公差為2的等差數(shù)列，則；(2)由題知?jiǎng)t20．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在“①，，；②，；③”三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且__________．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前n項(xiàng)和為，求證：．【解】(1)若選擇①，因?yàn)?，，，，解得，，設(shè)公差為d，則有，，解得，，所以．若選擇②，設(shè)公差為d，，即，結(jié)合，解得，，所以．若選擇③，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)亦滿足上式，所以．(2)證明：由（1）得，所以，因?yàn)?，（），所以，所以．【素養(yǎng)提升】1．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知依次組成嚴(yán)格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．依次可組成等差數(shù)列 B．依次可組成等差數(shù)列C．依次可組成等差數(shù)列 D．依次可組成等差數(shù)列【答案】B【分析】取，即可判斷A；利用反證法，假設(shè)依次可組成等差數(shù)列，則有，，兩式相加，整理即可判斷B；取，從而可判斷CD.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，此時(shí)依次組成嚴(yán)格遞增的等差數(shù)列，則依次組成等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)依次可組成等差數(shù)列，則有，又因，兩式平方相加得，則，故，所以，所以，與題意矛盾，所以依次不可能組成等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，若，則為等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，若，則為等差數(shù)列，故D正確.故選：B.2．（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)的關(guān)系即可確定答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，則為奇函數(shù)，且，所以在R上遞減，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以，.故選：C.3．（多選）（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)等差數(shù)列和，其公差分別為和，其前項(xiàng)和分別為和，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，則 B．若為等差數(shù)列，則C．若為等差數(shù)列，則 D．若，則也為等差數(shù)列，且公差為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，利用化簡(jiǎn)可得答案；對(duì)于B，利用化簡(jiǎn)可得答案；對(duì)于C，利用化簡(jiǎn)可得答案；對(duì)于D，根據(jù)可得答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，所以，化簡(jiǎn)得，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以或，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以也為等差?shù)列，且公差為，故D正確.故選：ABD4．（多選）（2022·福建南平·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的一系列格點(diǎn)，其中且.記，如記為，記為，記為，以此類推；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由圖觀察可知第圈的個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的這項(xiàng)的和為0，則，同時(shí)第圈的最后一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，設(shè)在第圈，則圈共有個(gè)數(shù)，可判斷前圈共有個(gè)數(shù)，所在點(diǎn)的坐標(biāo)為，向前推導(dǎo)，