高考第一輪復習講義 第34講 數(shù)列的概念及簡單表示法（原卷版+解析版 ）

第34講數(shù)列的概念及簡單表示法學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·全國·高三專題練習）設數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·北大附中三模）已知數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列（

）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項3．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，當時，，則（

）A． B． C．5 D．4．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B．C． D．5．（2022·海南中學高三階段練習）已知數(shù)列滿足，則（

）A．50 B．75 C．100 D．1506．（2022·全國·高三專題練習）已知為數(shù)列的前項和，，，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20247．（2022·全國·高三專題練習）數(shù)列的前項的和滿足，則下列選項中正確的是（

）A．數(shù)列是常數(shù)列B．若，則是遞增數(shù)列C．若，則D．若，則的最小項的值為8．（2022·全國·高三專題練習）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，則此數(shù)列的第21項是（

）A．200 B．210 C．220 D．2429．（多選）（2022·廣東惠州·高三階段練習）數(shù)列的首項為1，且，是數(shù)列的前n項和，則下列結論正確的是（

）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．10．（多選）（2022·江蘇南京·高三開學考試）已知數(shù)列滿足，則（

）A．≥2 B．是遞增數(shù)列C．{-4}是遞增數(shù)列 D．11．（多選）（2022·廣東·模擬預測）已知數(shù)列滿足，為其前n項和，則（

）A． B．C． D．12．（多選）（2022·江蘇泰州·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，前n項和為，則（

）A． B． C． D．13．（2022·福建·廈門雙十中學模擬預測）在數(shù)列中，，，則的值為__________.14．（2022·湖北·高三開學考試）記數(shù)列的前項和為，若，則使得取得最小值時的值為________.15．（2022·福建·莆田八中高三開學考試）已知數(shù)列滿足：①先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增：②當時取得最小值．寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項公式_________．16．（2022·河北·滄縣中學模擬預測）已知為數(shù)列的前n項和，，則___________，若的前n項和為，則___________．17．（2022·廣東廣州·高三開學考試）已知集合，，將A與B中的所有元素按從小到大的順序排列構成數(shù)列（若有相同元素，按重復方式計入排列）為1，3，3，5，7，9，9，11，….,設數(shù)列的前n項和為.(1)若，求m的值；(2)求的值.18．（2022·湖北·宜城市第二高級中學高三開學考試）已知數(shù)列滿足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項和為，證明：．【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·模擬預測）已知數(shù)列{}滿足，則（

）A． B． C． D．3．（多選）（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）若數(shù)列滿足：對，若，則，稱數(shù)列為“鯉魚躍龍門數(shù)列”.下列數(shù)列是“鯉魚躍龍門數(shù)列”的有（

）A． B． C． D．4．（2022·上海長寧·二模）已知數(shù)列滿足：對任意，都有，．設數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為__________．第34講數(shù)列的概念及簡單表示法學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·全國·高三專題練習）設數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，可得，從而有恒成立，由，可求得的取值范圍.【詳解】解：由題意得：由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，即（）恒成立，又因為數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列所以當時，取得最大值，所以.故選：C.2．（2022·北京·北大附中三模）已知數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列（

）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】A【分析】求得數(shù)列的通項公式，再分析數(shù)列的單調(diào)性即可【詳解】依題意，因為，其中，當時，，當時，，，兩式相除有，易得隨著的增大而減小，故，且，故最小項為，最大項為故選：A3．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，當時，，則（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】直接由遞推關系式得出數(shù)列的周期，再利用周期性即可求解.【詳解】由題意得：，則數(shù)列的周期為3，則.故選：B.4．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，利用數(shù)列的通項和前n項和的關系，得到，再利用累乘法求解.【詳解】解：由①②，①②得：，即：，所以，所以故選：．5．（2022·海南中學高三階段練習）已知數(shù)列滿足，則（

）A．50 B．75 C．100 D．150【答案】A【分析】由已知得，，兩式相減得，由此代入可求得答案.【詳解】解：∵，∴，.兩式相減得.則，，…，，∴，故選：A.6．（2022·全國·高三專題練習）已知為數(shù)列的前項和，，，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2024【答案】C【分析】利用化簡可得出，則可求出答案.【詳解】當時，，當時，由得，兩式相減可得，即，所以，可得，所以.故選：C.7．（2022·全國·高三專題練習）數(shù)列的前項的和滿足，則下列選項中正確的是（

）A．數(shù)列是常數(shù)列B．若，則是遞增數(shù)列C．若，則D．若，則的最小項的值為【答案】D【分析】由題設可得且()，進而可知時偶數(shù)項、奇數(shù)項的值分別相等，再結合各項的描述判斷正誤.【詳解】當時，，當時，，則，而不一定成立，故不一定是常數(shù)列，A錯誤；由，顯然且，即不單調(diào)，B錯誤；若，則，，故，偶數(shù)項為3，奇數(shù)項為，而，C錯誤；若，則，，故，偶數(shù)項為，奇數(shù)項為2，故的最小項的值為，D正確.故選：D8．（2022·全國·高三專題練習）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，則此數(shù)列的第21項是（

）A．200 B．210 C．220 D．242【答案】C【分析】由數(shù)列奇數(shù)項的前幾項可歸納出奇數(shù)項上的通項公式，從而得到答案.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列的前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇數(shù)項為0、4、12、24、40，有故其奇數(shù)項上的通項公式為故，故選：C9．（多選）（2022·廣東惠州·高三階段練習）數(shù)列的首項為1，且，是數(shù)列的前n項和，則下列結論正確的是（

）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意可得，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項，再根據(jù)分組求和法即可求出，即可得出答案.【詳解】解：∵，可得，又∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故B正確；則，∴，故C錯誤；則，故A正確；∴，故D錯誤.故選：AB.10．（多選）（2022·江蘇南京·高三開學考試）已知數(shù)列滿足，則（

）A．≥2 B．是遞增數(shù)列C．{-4}是遞增數(shù)列 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)所給的遞推公式，結合選項構造對應的表達式推導即可【詳解】對于A，因為，故，所以，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，由A可得為正數(shù)數(shù)列，且，則，故為遞增數(shù)列，且，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，為遞增數(shù)列，故B正確；對于C，由，由題意，，即可知不是遞增數(shù)列；對于D，因為，所以，所以，所以，即.故選：ABD11．（多選）（2022·廣東·模擬預測）已知數(shù)列滿足，為其前n項和，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)條件依次可得，，，，，…，，然后可得，，，然后可逐一判斷.【詳解】因為，，，，，…，，所以，，，累加得，∴，，因為，，所以，故選：ABC．12．（多選）（2022·江蘇泰州·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，前n項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)首項判斷A，由遞推關系式可推出數(shù)列為遞減數(shù)列，據(jù)此放縮后可判斷D，再由放縮可得，據(jù)此可判斷BC.【詳解】由知，A錯；∵，，∴，，∴，時，；時，，D對；，∴，∴，∴，∴，∴；，∴，∴，∴，∴時，，，B對．，C對．故選：BCD13．（2022·福建·廈門雙十中學模擬預測）在數(shù)列中，，，則的值為__________.【答案】【分析】根據(jù)條件求出數(shù)列的周期即可求解.【詳解】因為，，所以，，，，所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以.故答案為：.14．（2022·湖北·高三開學考試）記數(shù)列的前項和為，若，則使得取得最小值時的值為________.【答案】16【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可判斷的最小時的值.【詳解】由得,當時，單調(diào)遞減，且，當時，，故當時，，當時，，且，所以當時，最小.故答案為：1615．（2022·福建·莆田八中高三開學考試）已知數(shù)列滿足：①先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增：②當時取得最小值．寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項公式_________．【答案】【分析】利用數(shù)列單調(diào)性的定義進行判斷，從而得到數(shù)列的最值.【詳解】設，則，，當，數(shù)列單調(diào)遞減，當，數(shù)列單調(diào)遞增，即，可得當時數(shù)列取得最小值，故答案為：16．（2022·河北·滄縣中學模擬預測）已知為數(shù)列的前n項和，，則___________，若的前n項和為，則___________．【答案】

【分析】根據(jù)（）即可得到，再對分奇偶兩種情況討論，即可得到，從而得解；【詳解】解：當時，，由得，當為偶數(shù)時，，則，即當為奇數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，則，即當為偶數(shù)時，．所以，，所以．故答案為：；17．（2022·廣東廣州·高三開學考試）已知集合，，將A與B中的所有元素按從小到大的順序排列構成數(shù)列（若有相同元素，按重復方式計入排列）為1，3，3，5，7，9，9，11，….,設數(shù)列的前n項和為.(1)若，求m的值；(2)求的值.【解】（1）因為，所以數(shù)列中前項中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，共有14項，數(shù)列中前項中含有B中的元素為3，9，27，共有3項，排列后為1，3,3,，5，7，9，9，…，27，27，29，…，所以或17.（2）因為，，，所以數(shù)列中前50項中含有B中的元素為3，9，27，81共有4項，它們都是正奇數(shù)，均屬于A，所以數(shù)列中前50項中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，29，…，79，81，83，…，，共有46項，所以.18．（2022·湖北·宜城市第二高級中學高三開學考試）已知數(shù)列滿足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項和為，證明：．【解】（1）單調(diào)遞減，理由如下：．∵，∴，∴數(shù)列單調(diào)遞減；（2）∵，，，∴，又，則.∵，，∴，則，當，累加可得，則，則，則，∴，則．【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過遞推關系式確定除去，其他項都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．

2．（2022·浙江·模擬預測）已知數(shù)列{}滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由判斷出是遞增數(shù)列且，再由結合累加法求得；再由結合累加法求得，即可求解.【詳解】由，得，，所以，又，所以數(shù)列是遞增數(shù)列且，，所以，所以，所以，.當，得，由得，則，同上由累加法得，所以，所以，則.故選：C.3．（多選）（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）若數(shù)列滿足：對，若，則，稱數(shù)列為“鯉魚躍龍門數(shù)列”.下列數(shù)列是“鯉魚躍龍門數(shù)列”的有（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】舉特例，可說明A不符合題意，同理可說明C不符合題意；依據(jù)“鯉魚躍龍門數(shù)列”的定義，可說明B,D.【詳解】對于A,不妨取，但，不滿足，故A錯誤；對于B,,對，若,則，則,即，故B正確；對于C，不妨取，但，不滿足，故C錯誤；對于D,,對，若,則，則，故，即，故D正確；故選：BD4．（2022