高考第一輪復(fù)習(xí)講義 第19講 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（原卷版+解析版 ）

第19講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，若，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測(cè)）下列大小比較中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．3．（2022·河北衡水中學(xué)一模）已知實(shí)數(shù)，且，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．（2022·福建福州·高三期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)有極大值為C．若，則D．若，且，則5．（多選）（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．6．（2022·河北滄州·二模）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．7．（2022·北京市第九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)求證：.8．（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)，討論的單調(diào)性.(2)若函數(shù)，證明：.9．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）已知.(1)求的最大值；(2)求證：（i）存在，使得；（ii）當(dāng)存在，使得時(shí)，有.10．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)證明：．11．（2022·天津市咸水沽第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)……自然對(duì)數(shù)底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，（i）證明：存在唯一的極值點(diǎn)：（ii）證明：【素養(yǎng)提升】1．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的極值點(diǎn)．(2)若有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足．（i）求k的取值范圍（ⅱ）證明．3．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，①證明：；②證明：．（注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）第19講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，若，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A.由題得所以該選項(xiàng)正確；B.由題得，，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足，所以，所以該選項(xiàng)正確；C.由前面得，，所以也適合，所以.設(shè)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以所以，所以，，，所以所以，所以該選項(xiàng)正確；D.,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D2．（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測(cè)）下列大小比較中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)D,構(gòu)造函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）則令，則，化簡得，故，故，故，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)A，，在中，令，則，化簡得，故，所以.所以，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,在中，令，則，所以，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,所以，所以選項(xiàng)C正確.故選：D3．（2022·河北衡水中學(xué)一模）已知實(shí)數(shù)，且，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，函?shù)在上單調(diào)遞增，且，因?yàn)樗?，所以，即，又，所以，所以，即，綜上，.故選：D4．（2022·福建福州·高三期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)有極大值為C．若，則D．若，且，則【答案】A【解析】A.，故正確；B.求導(dǎo)，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值為，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)椋?，則，，，令，則，令，得或，當(dāng)或，，當(dāng)時(shí)，，故無最小值，故錯(cuò)誤；D.，因?yàn)椋?，所以，由B知在上遞減，在上遞增，所以，因?yàn)榈拇笮〔淮_定，故無法判斷的大小，故錯(cuò)誤；故選：A5．（多選）（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；由得，即，∵，∴，∴，即，∴，即，∴，A正確；由知，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由知，所以選項(xiàng)C正確．由，知，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：AC．6．（2022·河北滄州·二模）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由得，又，所以，所以，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，所以，選項(xiàng)正確，因?yàn)椋?，所?令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，即，選項(xiàng)正確.故選：BCD7．（2022·北京市第九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)求證：.【解】(1)當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以在R上單調(diào)遞增，而，即0是的唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1.(2)，令，則，因，則，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以當(dāng)時(shí)，成立.8．（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)，討論的單調(diào)性.(2)若函數(shù)，證明：.【解】(1)解：因?yàn)?，所以，的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),f(x)在(0,1-a)上單調(diào)遞減，在(1-a,+)上單調(diào)遞增；(2)證明：.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因此，從而，則，因?yàn)?，所以中的等?hào)不成立，故.9．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）已知.(1)求的最大值；(2)求證：（i）存在，使得；（ii）當(dāng)存在，使得時(shí)，有.【解】(1)法一：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減..法二：，由在上均為減函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減..(2)過的直線方程為，令，則.，易知在單調(diào)遞減.（i）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，則，這與矛盾，不符題意；同理可證，當(dāng)時(shí)不符題意.，故存在，使，即.（ii）要證，即證，由在單調(diào)遞減，即證，即證，即證，，可證，其中.在單調(diào)遞減，式得證，故.10．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)證明：．【解】(1)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，即當(dāng)時(shí)，取最大值1．(2)依題意，，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，因此的值域是，方程有解，有，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.(3)由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，，

所以．11．（2022·天津市咸水沽第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)……自然對(duì)數(shù)底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，（i）證明：存在唯一的極值點(diǎn)：（ii）證明：【解】(1)，構(gòu)建當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)（i）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減∴在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為∴存在唯一的極值點(diǎn)（ii）由（i）可知：∵，即，且∵在單調(diào)遞減則構(gòu)建，則當(dāng)時(shí)恒成立則在上單調(diào)遞增，則則，即∴【素養(yǎng)提升】1．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】,令,由題意可得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；所以函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；.①當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,因此至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意,應(yīng)舍去；②當(dāng)時(shí),令,解得,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),

,函數(shù)單調(diào)遞減,所以是函數(shù)的極大值點(diǎn),則>0,即>0,解得，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故選項(xiàng)C正確；又，所以，==，令，則，當(dāng)，，單調(diào)遞增，而，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)（符合，此時(shí)仍有兩個(gè)極值點(diǎn)），此時(shí)，解得，所以，故正負(fù)不確定，因此選項(xiàng)B錯(cuò)誤；綜上所述，AC為正確答案；故選：AC.2．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的極值點(diǎn)．(2)若有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足．（i）求k的取值范圍（ⅱ）證明．【解】(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增.所以為的極值點(diǎn).(2)因?yàn)橛星覂H有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足，所以.（i）問題轉(zhuǎn)化為在(0,+∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),則.當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.若有兩個(gè)零點(diǎn),則必有,解得：.若k≥0,當(dāng)時(shí),,無法保證有兩個(gè)零點(diǎn)；若,又,，,故存在使得,存在使得.綜上可知,.（ⅱ）設(shè)則t∈(1,+∞).將代入,可得，（*）.欲證:，需證即證，將（*）代入，則有，則只需要證明：，即.構(gòu)造，則，.令，則.所以，則，所以在內(nèi)單減.又，所以當(dāng)時(shí)，有，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，單調(diào)遞減；所以，因此，即.綜上所述，命題得證.3．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，①證明：；②證明：．（