人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題12.3 角平分線的性質(zhì)測(cè)試卷（解析版）

專題12.3角平分線的性質(zhì)一、選擇題（本大題共14個(gè)小題，每題2分，共28分，在每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（2022·河北省金華中學(xué)初二期中）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的到刻度分別與點(diǎn)M、N重合，過角尺頂點(diǎn)C作射線OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【解析】∵在△ONC和△OMC中，∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠BOC=∠AOC，故選：A．2．（2020·廣東省初二期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點(diǎn)D，CD＝2，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PD的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．無法確定【答案】A【解析】當(dāng)DP⊥AB時(shí)，根據(jù)垂線段最短可知，此時(shí)DP的值最?。勺鲌D可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值為2，故選：A．3．（2020·河北省石家莊新世紀(jì)外國(guó)語學(xué)校初三二模）已知△ABC,兩個(gè)完全一樣的三角板如圖擺放，它們的一組對(duì)應(yīng)直角邊分別在AB,AC上，且這組對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)M，點(diǎn)M一定在（）.A．∠A的平分線上 B．AC邊的高上 C．BC邊的垂直平分線上 D．AB邊的中線上【答案】A【解析】如圖，∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，

∴M在∠BAC的角平分線上，

故選：C．4．（2020·山東省初三一模）如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，連接AP，交CD于點(diǎn)M，若∠ACD＝110°，則∠CMA的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．70° D．45°【答案】B【解析】解：由作法得AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∵AB∥CD，∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣110°＝70°，∴∠BAM＝∠BAC＝35°，∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠BAM＝35°．故選：B．5．（2020·河北省初二期末）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【答案】C【解析】∵O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，AB，BC，CA長(zhǎng)分別是20，30，40，∴．故答案選C．6．（2022·山東省青島第七中學(xué)初二期中）到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的（）．A．三條中線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條角平分線的交點(diǎn)【答案】D【解析】到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)7．（2020·廣東省初二開學(xué)考試）如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫，要求油庫到這三條公路的距離相等，那么選擇油庫的位置有（）處．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：油庫到三條公路的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，油庫應(yīng)建在這三條公路交角的平分線上，如圖，符合條件的油庫所在位置有4處，三角形內(nèi)部1處，是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的角點(diǎn)，三角形的外部3處，分別是三角形的兩個(gè)外角和其不相鄰的內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，故選D．8．（2020·河南省淮濱縣第一中學(xué)初三二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點(diǎn)P．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2a，b+1），則a與b的數(shù)量關(guān)系為（）A．a(chǎn)=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1【答案】B【解析】根據(jù)作圖方法可得點(diǎn)P在第二象限角平分線上，則P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的和為0，即2a+b+1=0，∴2a+b=﹣1．故選B．9．（2022·黑龍江省初二期末）如圖所示，在中，平于，如果,那么等于()A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，

∴CE=DE，

∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm，

故選：C．10．（2020·福州四十中金山分校初二月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列結(jié)論：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④BE=DE；⑤SBDE：S△ACD=BD：AC，其中正確的個(gè)數(shù)（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【解析】解：①正確，∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴CD＝ED；②正確，因?yàn)橛蒆L可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB；③正確，因?yàn)椤螧DE和∠BAC都與∠B互余，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，所以∠BDE＝∠BAC；④錯(cuò)誤，因?yàn)椤螧的度數(shù)不確定，故BE不一定等于DE；⑤錯(cuò)誤，因?yàn)镃D＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．故選：C．11．（2020·貴州省中考真題）如圖，中，，利用尺規(guī)在，上分別截取，，使；分別以，為圓心、以大于為長(zhǎng)的半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，若，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．無法確定 B． C．1 D．2【答案】C【解析】解：由題意可知，當(dāng)GP⊥AB時(shí)，GP的值最小，根據(jù)尺規(guī)作圖的方法可知，GB是∠ABC的角平分線，∵∠C=90°，∴當(dāng)GP⊥AB時(shí)，GP=CG=1，故答案為：C．12．（2020·山東省初三一模）數(shù)學(xué)課上，小明進(jìn)行了如下的尺規(guī)作圖（如圖所示）：（1）在△AOB（OA＜OB）邊OA、OB上分別截取OD、OE，使得OD=OE；（2）分別以點(diǎn)D、E為圓心，以大于DE為半徑作弧，兩弧交于△AOB內(nèi)的一點(diǎn)C；（3）作射線OC交AB邊于點(diǎn)P．那么小明所求作的線段OP是△AOB的（）A．一條中線 B．一條高 C．一條角平分線 D．不確定【答案】C【解析】利用作法可判斷OC平分∠AOB，所以O(shè)P為△AOB的角平分線．故選C．13．（2020·沈陽市尚品學(xué)校初一月考）如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，以下結(jié)論：①∠AED＝90°;②點(diǎn)E是BC的中點(diǎn);③DE＝BE;④AD＝AB＋CD;其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】過E作EF⊥AD于F，如圖，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠AFE＝∠DFE＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠BAE＝∠FAE，∠DAE＝∠BAD，∠CDE＝∠FDE，∠ADE＝∠ADC，∴∠AED＝180°-(∠DAE+∠ADE)＝90°，所以①正確．∵∴Rt△ABE≌Rt△AFE(AAS)∴BE＝EF，AB＝AF，∵∴Rt△DCE≌Rt△DFE(AAS)∴CE＝EF，CD＝DF，∴EC＝EF＝BE，所以③錯(cuò)誤；∴E是BC的中點(diǎn)，所以②正確；∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正確；故選B．14．（2020·湖北省中考真題）如圖，在和中，，，，．連接、交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正確；作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴平分，④正確；∵∠AOB＝∠COD，∴當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM∵△AOC≌△BOD，∴∠COM＝∠BOM，∵M(jìn)O平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB∴OA＝OC與矛盾，∴③錯(cuò)誤；正確的有①②④；故選B．二、填空題（本題共4個(gè)小題；每個(gè)小題3分，共12分，把正確答案填在橫線上）15．（2020·湖南省中考真題）如圖，點(diǎn)是的角平分線上一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，且，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】3【解析】解：根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)PM⊥OC時(shí)，PM最小，當(dāng)PM⊥OC時(shí)，又∵OP平分∠AOC，，，∴PM=PD=3故答案為：316．（2020·廣東省初二期中）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，且到三邊、、的距離，若，_______度．【答案】125【解析】解：∵，

∴OB、OC為三角形的角平分線，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）

=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-（180°-∠BAC）

=90°+∠BAC=125°．

故答案為：125．17．（2020·成都西川中學(xué)初三三模）如圖，四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝3，DC＝4，則△ABD的面積為_____．【答案】6【解析】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵∠ABD＝∠DBC，DC⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝4，∴△ABD的面積＝，故答案為：6．18．（2020·揚(yáng)中市外國(guó)語中學(xué)初一期中）如圖，若ΔABC的三條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)I，過I作DE⊥AI分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，則圖中與∠ICE一定相等的角(不包括它本身)有____________________個(gè)．【答案】2【解析】①根據(jù)角平分線的性質(zhì)易求∠1=∠2；

②∵△ABC的三條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)I，

∴∠BIC=180°-(∠3+∠2)

=180°-(∠ABC+∠ACB)

=180°-(180°-∠BAC)

=90°+∠BAC；

∵AI平分∠BAC，

∴∠DAI=∠DAE．

∵DE⊥AI于I，

∴∠AID=90°．

∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC．

∴∠BIC=∠BDI．

∴180°-(∠4+∠5)=180°-(∠2+∠3)．

又∵∠3=∠4，

∴∠2=∠5，

∴∠5=∠1，

綜上所述，圖中與∠ICE一定相等的角(不包括它本身)有2個(gè)．

故答案為：2．三、解答題（本題共8道題，19-21每題6分，22-25每題8分，26題10分，滿分60分）19．（2020·黑龍江省初一期末）如圖，AE∥CF，∠A＝∠C．（1）若∠1＝35°，求∠2的度數(shù)；（2）判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AD平分∠BDF，試說明BC平分∠DBE.【答案】（1）∠2=145°；（2）BC∥AD，證明見解析；（3）見解析【解析】（1）∵AE∥CF，

∴∠BDC=∠1=35°，

又∵∠2+∠BDC=180°，

∴∠2=180°-∠BDC=180°-35°=145°；

（2）BC∥AD．

理由：∵AE∥CF，∴∠A+∠ADC=180°，

又∵∠A=∠C，∴∠C+∠ADC=180°，

∴BC∥AD．

（3）∵AE∥CF，∴∠BDF=∠DBE．

∵BC∥AD，∴∠ADB=∠DBC．

∵AD平分∠BDF，∴∠ADB=∠BDF，∴∠DBC=∠EBD．

∴BC平分∠DBE．20．（2020·天津初三一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，A，B，C均為格點(diǎn)．（1）的面積等于；（2）請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中畫出的角平分線BD，并在AB邊上畫出點(diǎn)P，使得，并簡(jiǎn)要說明的角平分線BD及點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）【答案】（1）6；（2）見解析【解析】解：（1）；（2）如圖，取格點(diǎn)M，N，連接MN，MN與網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，連接BD即為所求；BD與網(wǎng)格線交于點(diǎn)E，取格點(diǎn)G，H，GH與網(wǎng)格線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E，F(xiàn)畫直線，直線EF交AB于點(diǎn)P即為所求．21．（2020·北京初三二模）下面是小明設(shè)計(jì)的“在已知三角形的一邊上取一點(diǎn)，使得這點(diǎn)到這個(gè)三角形的另外兩邊的距離相等”的尺規(guī)作圖過程：已知：△ABC．求作：點(diǎn)D，使得點(diǎn)D在BC邊上，且到AB，AC邊的距離相等．作法：如圖，作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)D．則點(diǎn)D即為所求．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；（2）完成下面的證明．證明：作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，∴=()(填推理的依據(jù))．【答案】（1）詳見解析；（2）DE，DF，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．【解析】解：（1）作∠BAC的角平分線，如圖：（2）作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)．故答案為：DE，DF，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．22．（2020·甘肅省靖遠(yuǎn)五中初二期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，且BD=DF．（1）求證：CF=EB；（2）試判斷AB與AF，EB之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析（2）AB＝AF＋2BE【解析】（1）證明：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∠C＝90，∴DC＝DE，在Rt△FCD和Rt△BED中，，∴Rt△FCD≌Rt△BED，∴CF＝EB；（2）解：在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AF＋FC＋BE＝AF＋2BE．23．（2022·山東省初二期中）如圖所示點(diǎn)在上且．求證：．若，求證：平分．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【解析】證明：（1）∵∴即∵∴在和中∴∴（2）∵∴∵∴在和中∴∴∴平分．24．（2017·河南省初二期中）如圖，在ABC中，∠C＝90o，BD是ABC的一條角一平分線，點(diǎn)O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形，（1）求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上；（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的長(zhǎng)【答案】（1）證明見解析；（2）2.【解析】解：（1）過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M∵正方形OECF∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E∴OM＝OE＝OF∵OM⊥AB于M，OE⊥BC于E∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°∵∴Rt△AMO≌Rt△AFO∴∠MA0＝∠FAO∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12∴AB＝13∴BE＝BM，AM＝AF又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE∴BE＝12－OE，AF＝5－OE∴BM＋AM＝AB即BE＋AF＝1312－OE＋5－OE＝13解得OE＝225．（2022·河北省初二期末）如圖，已知∠AOB，以O(shè)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA，OB于F，E兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，作射線OP，過點(diǎn)F作FD∥OB交OP于點(diǎn)D.(1)若∠OFD＝116°，求∠DOB的度數(shù)；(2)若FM⊥OD，垂足為M，求證：△FMO≌△FMD.【答案】（1）32°；（2）見解析.【解析】（1）∵OB∥FD，∴∠OFD+∠AOB=18O°，又∵∠OFD=116°，∴∠AOB=180°﹣∠OFD=180°﹣116°=64°，由作法知，OP是∠AOB的平分線，∴∠DOB=∠AOB=32°；（2）證明：∵OP平分∠AOB，∴∠AOD=∠DOB，∵OB∥FD，∴∠DOB=∠ODF，∴∠