專題01 比較大小

第3頁（共15頁）專題01專題01比較大小熱點(diǎn)研究熱點(diǎn)研究專題熱度★★★★☆命題熱點(diǎn)(1)利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖象比較大?。?2)構(gòu)造復(fù)雜函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，再利用賦值比較大?。疅衢T方法圖象法、構(gòu)造法、放縮法．熱點(diǎn)題型選擇題，解答題中往往也伴隨著比較大?。疅狳c(diǎn)突破熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)1利用單調(diào)性（或圖象）比較大小名師點(diǎn)撥1．當(dāng)?shù)讛?shù)或指數(shù)（真數(shù)）相同時(shí)，一般會(huì)求同存異，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，同時(shí)注意結(jié)合圖象．2．當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y3．當(dāng)0<a<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)【例1】（2023?沭陽縣校級(jí)模擬）設(shè)12A．a(chǎn)a＜ab＜ba B．a(chǎn)a＜ba＜ab C．a(chǎn)b＜aa＜ba D．a(chǎn)b＜ba＜aa【答案】C【分析】先由條件結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得到0＜a＜b＜1，再由問題抽象出指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)利用其單調(diào)性求解．【解答】解：∵12＜(12)b＜(12)a∴指數(shù)函數(shù)y＝ax在R上是減函數(shù)，∴ab＜aa∴冪函數(shù)y＝xa在R上是增函數(shù)，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba故選：C．【例2】（2023?秀英區(qū)校級(jí)三模）設(shè)a=(34)12，b=(A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a【答案】A【分析】先判斷b＞1，再化a、c，利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷a、c的大?。窘獯稹拷猓篴=(34)12=且0＜827＜916＜1，y=x綜上知，c＜a＜b．故選：A．【例3】（多選）（2023?河北三模）下列不等式成立的是（）A．0.30.7＜0.30.9 B．log1.33＞log1.32 C．log0.30.2＞0.【答案】BC【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷求解即可．【解答】解：對(duì)于A，y＝0.3x為減函數(shù)，0.30.7＞0.30.9，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，y＝log1.3x為增函數(shù)，log1.33＞log1.32，故B正確；對(duì)于C，0.30.2＜0.30＝1，log0.30.2＞log0.30.3＝1，故log0.30.2＞0.對(duì)于D，log33=12＜lo故選：BC．熱點(diǎn)2利用0、1比較大小名師點(diǎn)撥1．當(dāng)?shù)讛?shù)和指數(shù)（真數(shù)）都不同時(shí)，一般采用特殊介質(zhì)0，1進(jìn)行大小比較，同時(shí)注意結(jié)合圖象及特殊值．2．因?yàn)閮缰笇?duì)函數(shù)的特殊性，往往比較大小，可以借助于臨界值0與1比較大小．3．，，．【例4】（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c【答案】C【分析】通過比較三個(gè)數(shù)與0、1的大小關(guān)系即可得到答案．【解答】解：∵log0.62＜log0.653=log0.60.6﹣1＝﹣1，∴∵0＝log21＞log20.6＞log20.5＝﹣1，∴0＞b＞﹣1，∵0＜0.62＜0.60＝1．∴0＜c＜1，∴c＞b＞a．故選：C．【例5】（2023?西城區(qū)校級(jí)三模）設(shè)a＝30.7，b=(13)?0.8，c＝log0.70.8，則aA．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：∵b=(13)?0.8=30.8＞30.7＞30∵log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜1，∴c＜a＜b．故選：D．【例6】（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)a＝log20.3，b=log120.4，c＝0.40.3，則aA．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出：a＜0，b＞1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出0＜c＜1，然后即可得出a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：∵log20.3＜log21＝0，log120.4＞log∴a＜c＜b．故選：D．熱點(diǎn)3取介質(zhì)比較大小名師點(diǎn)撥1．估計(jì)比較大小的數(shù)所在的大致區(qū)間．2．利用二分法、指對(duì)互化來找合適的中間值．【例7】（2023?開封三模）設(shè)a＝log23，b＝log35，c=3A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】C【分析】可得出32=log222＜log2【解答】解：∵32=log∴b＜c＜a．故選：C．【例8】（2023?鄒平市校級(jí)模擬）對(duì)于三個(gè)不等式：①sin1＜sin2；②log32＜log23；③e3＜π0（π≈3.14；e≈2.71）．其中正確不等式的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】對(duì)于①，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性直接判斷；對(duì)于②，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則選擇中間變量23比較大小或利用換底公式合理放縮比較大??；對(duì)于③【解答】解：對(duì)于①：sin1＜sinπ3=sin對(duì)于②：log32=13log對(duì)于③：∵e3＞1，π0＝1，∴e3＞π0，故③錯(cuò)誤．綜上可知，正確不等式的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：C．【例9】（2023?白山模擬）已知a＝log53，b＝0.2﹣0.3，c=loA．c＜a＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【答案】A【分析】取中間值12【解答】解：因?yàn)?2=logb＝0.2﹣0.3＝（0.2﹣1）0.3＝50.3＞1，c=log161所以c＜a＜b．故選：A．熱點(diǎn)4利用換底公式比較大小名師點(diǎn)撥利用換底公式比較大?。簩?duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)，再利用性質(zhì)來比較．【例10】（2023?臨泉縣校級(jí)三模）已知4?3m＝3?2n＝1，則（）A．m＞n＞﹣1 B．n＞m＞﹣1 C．m＜n＜﹣1 D．n＜m＜﹣1【答案】D【分析】根據(jù)條件得出3m=14＜13，2n=13＜12，然后即可得出【解答】解：方法一：∵4?3m＝3?2n＝1，∴3m=1∴m＜﹣1，n＜﹣1，且m＝﹣log34，n＝﹣log23，∵32＞23，∴3＞232∵34＞43，∴4＜343∴l(xiāng)og23＞log34，﹣log23＜﹣log34，∴n＜m＜﹣1．方法二：∵4?3m＝3?2n＝1，∴3m=14，2n∴m=?lg2lg3=?2×0.301∴n＜m＜﹣1．故選：D．【例11】（2023?湖南模擬）已知a＝log32，b＝log53，c＝log85，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a【答案】A【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較a、b，再根據(jù)基本不等式及換底公式比較b與c的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)閘og32=log3因?yàn)閘n3ln8＜(ln3+ln82所以log53＜log85，所以b＜c，所以a＜b＜c．故選：A．【例12】（多選）（2023?宣城模擬）已知3x＝5y＝15，則實(shí)數(shù)x，y滿足（）A．x＞y B．x+y＜4 C．1x+1y【答案】AD【分析】把指數(shù)式改寫為對(duì)數(shù)式，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、換底公式變形，利用基本不等式判斷各選項(xiàng)．【解答】解：因?yàn)?x＝5y＝15，所以x＝log315，y＝log515，x＝log315＝1+log35，y＝log515＝1+log53，易知log35＞1＞log53，所以x＞y，A正確；1x+1顯然x＞0，y＞0，x≠y，x+y=(x+y)(1x+xy＝（1+log35）（1+log53）＝1+log35+log53+log35?log53=2+log35+lo故選：AD．熱點(diǎn)5作差法與作商法比較大小名師點(diǎn)撥1．作差或作商主要解決底數(shù)不統(tǒng)一的對(duì)數(shù)比較大小．2．作差或作商簡單，難點(diǎn)在于后續(xù)變形，需要一定的技巧與方法．【例13】（2023?江西二模）a＝ln2，b=1A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【答案】B【分析】ln2≈0.693，ln3≈1.098，作差，與零比較大?。窘獯稹拷猓焊鶕?jù)題意得，比較a與b的大?。產(chǎn)＝ln2≈0.693，再比較a3與13的大小，即ln32≈06933≈0.333＜13；所以a再比較a與c的大小．c﹣a＝ln3﹣ln2?1315≈1.098﹣0.693而0.4053＝0.06561＜115，所以c﹣a＜0，即c＜因此b＞a＞c．故選：B．【例14】（2023?山西模擬）已知x=6logA．x＞y＞z B．z＞x＞y C．y＞z＞x D．y＞x＞z【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，分別利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)作商即可求解．【解答】解：因?yàn)閤=6log643=6由yz=2log2由xy=log232log23綜上：x＞y＞z．故選：A．【例15】（多選）（2023?北碚區(qū)校級(jí)模擬）若實(shí)數(shù)a，b滿足lnb＜lna＜0，則下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)2＜b2 B．1aC．loga3＜logb3 D．a(chǎn)b＞ba【答案】BCD【分析】由題意可判斷0＜b＜a＜1，根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A、B；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)C、D．【解答】解：∵lnb＜lna＜0，∴0＜b＜a＜1，a2＞b2，1a＜1b，即選項(xiàng)∵loga3﹣logb3=1log3a?1由冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，ab＞bb＞ba，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD．熱點(diǎn)6構(gòu)造函數(shù)法比較大小名師點(diǎn)撥構(gòu)造函數(shù)法比較大小的總體思路：先化簡變形，再從形式上尋找共性，最終構(gòu)造函數(shù)．【例16】（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）a=1A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．a(chǎn)＜b＜c【答案】D【分析】通過構(gòu)造新函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大?。窘獯稹拷猓毫頵(x)=ln(x+1)?xx+1，x∈（﹣1，+∞），則所以當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（0.1）＞f（0）＝0，即ln(0.1+1)?0.10.1+1＞0，即ln1.1＞111令h（x）＝ln（x+1）﹣x，則?'(x)=1在x∈(0，π2)時(shí)，h′（x）＜0，則h∴h（x）＜h（0）＝0，即ln（x+1）＜x，令m（x）＝x﹣tanx，x∈(0，π2)故m（x）在x∈(0，π2)為減函數(shù)，∴m（x）＜m（0），即x令x＝0.1，則ln（0.1+1）＜0.1＜tan0.1，即b＜0.1＜c，∴b＜c，∴a＜b＜c．故選：D．【例17】（2023?寧德模擬）a＝e0.2，b＝log78，c＝log67，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞a＞b【答案】C【分析】直接利用構(gòu)造函數(shù)的關(guān)系式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系判斷a、b、c的大小關(guān)系．【解答】解：對(duì)于b＝log78，c＝log67，利用構(gòu)造函數(shù)法，令f（x）=ln(x+1)lnx，所以f'(x)=xlnx?(x+1)ln(x+1)x(x+1)ln故函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，故ln7ln6＞ln8ln7，即log67＞log78，故令g（x）＝ex﹣x﹣1（x≥0），則g′（x）＝ex﹣1≥0，在（0，+∞）恒成立，即g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；所以g（x）≥g（0）＝0，即ex≥x+1，所以e0.2令h（x）=x6?當(dāng)h′（x）＞0時(shí)，x＞6ln6，即函數(shù)h（x）在（由于h（6）＝0，所以當(dāng)x＞6時(shí)，h（x）＞h（6）＝0，所以h（7）＞h（6）＝0，即76?ln7由于76＜65，所以log6故a＞c＞b．故選：C．【例18】（2023?全國三模）若a=log23+log32，b=log2e+ln2，c=【答案】b＜c＜a．【分析】先得到對(duì)勾函數(shù)f（x）＝x+1【解答】解：a＝log23+1log23，b＝log2e設(shè)f（x）＝x+1x，（x＞1），則a＝f（log23），b＝f（log2e），c＝f（∵f′（x）＝1?1x2＞0在（1，+∞）上恒成立，∴∵log23＞log222=32，log2e＜log222=32，∴l(xiāng)og23＞32＞log故答案為：b＜c＜a．熱點(diǎn)7放縮法比較大小名師點(diǎn)撥1．指數(shù)與冪函數(shù)相結(jié)合放縮比較大?。?．對(duì)數(shù)：用單調(diào)性放縮底數(shù)或真數(shù)比較大?。?．常見的放縮不等式：指數(shù)型函數(shù)不等式、對(duì)數(shù)型函數(shù)不等式、三角函數(shù)不等式．【例19】（2023?天津模擬）已知a＝0.75，b＝2log52，c=sinπ5，則a，b，A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【答案】C【分析】將a，b化為同底的對(duì)數(shù)形式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知a＜b；利用sinπ5＜sinπ4【解答】解：∵a=0.75=34=lo又4125＜4256，∴∵c=sinπ5＜sinπ4=22=綜上所述：c＜a＜b．故選：C．【例20】（2023?鄭州模擬）已知a＝log35，b=2(13)14，A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式判斷即可．【解答】解：因?yàn)閍=log34=(81256c=3log所以c＞b＞a．故選：B．【例21】（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)a=2(eA．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行比較即可．【解答】解：令g（x）＝e2x﹣1﹣2（ex﹣1），則g（0）＝0，當(dāng)x＞0，g′（x）＝2e2x﹣2ex＞0，所以g（x）單調(diào)遞增，所以g（x）＞g（0）＝0，所以g（14）＞0，即b﹣a同理，當(dāng)x＞0，ex＞1+x，得ex＞1+x+x22，所以a＝2（e而sin14+tan14＜sinπ12+tanπ12=sin（π4所以a＞c．故選：A．熱點(diǎn)8由函數(shù)性質(zhì)比較大小名師點(diǎn)撥1．抽象函數(shù)：可借助周期、對(duì)稱性來去除f()來比較大?。?．有解析式的函數(shù)：通過求導(dǎo)或函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)的對(duì)稱性或單調(diào)性來比較大小．【例22】（2023?北辰區(qū)校級(jí)模擬）已知a＝0.20.5，b＝﹣log0.210，c＝0.20.2，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b【答案】D【分析】利用函數(shù)y＝0.2x在R上單調(diào)減，y＝log0.2x在（0，+∞）上單調(diào)減，與1比較大小即可得．【解答】解：a＝0.20.5，c＝0.20.2，則由于y＝0.2x在R上單調(diào)減，0.5＞0.2＞0，則0.20.5＜0.20.2＜0.20＝1，a＜c＜1，b＝﹣log0.210＝log0.20.1，又y＝log0.2x在（0，+∞）上單調(diào)減，∴l(xiāng)og0.20.1＞log0.20.2＝1，即b＞1，則a＜c＜b．故選：D．【例23】（2023?萬州區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝2|x|﹣1，記a＝f（log0.53），b＝f（log53），c＝f（lg6），則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【答案】C【分析】先根據(jù)偶函數(shù)的特點(diǎn)，得到f（log0.53）＝f（log23），再根據(jù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)比較即可．【解答】解：f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0，f（x）＝2x為增函數(shù)，log0.53＜log0.51＝0，f（log0.53）＝f（﹣log0.53）＝f（log23），1＝log22＜log23＜log24＝2，即1＜log23＜2，0＜log53＜1，0＜lg6＜1，log53﹣lg6=lg3lg5?lg∵lg3＜lg10=12，lg∴l(xiāng)g3﹣lg6lg5＜0，∴l(xiāng)og53﹣lg6＜0，∴l(xiāng)og53＜lg6，∴0＜log53＜lg6＜log23，∵f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴f（log53）＜f（lg6）＜f（log0.53），即b＜c＜a．故選：C．【例24】（2023?烏魯木齊模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2?x3+x，a＝log23，b＝log34，A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（c）＜f（b）＜f（a）【答案】B【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后比較a，b，c的大小，結(jié)合單調(diào)性可得答案．【解答】解：因?yàn)??x3+x則f(x)=ln2?x易知y＝ln（2﹣x）為減函數(shù)，y＝ln（3+x）為增函數(shù)，所以f(x)=ln2?x因?yàn)閍=log23＞log又b=log34＜log327所以f（a）＜f（c）＜f（b）．故選：B．熱點(diǎn)9三角函數(shù)值比較大小名師點(diǎn)撥1．將角通過誘導(dǎo)公式等化簡到一個(gè)單調(diào)區(qū)間來比較大?。?．利用正余弦的有界性、正負(fù)值，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)來比較大小．【例25】（2023?龍華區(qū)校級(jí)模擬）a＝sin2，b＝lna，c＝e﹣b，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜b＜c【答案】B【分析】可看出0＜