2022-2023學年安徽省合肥一中高一（下）期末數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學年安徽省合肥一中高一（下）期末數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（5分）已知復數(shù)z滿足z＝（3﹣2i）（1+2i），i為虛數(shù)單位，則＝（）A．7+4i B．7﹣4i C．﹣1+4i D．﹣1﹣4i2．（5分）某班有30位同學，他們依次編號為01，02，….29，30，現(xiàn)利用下面的隨機數(shù)表選取5位同學組建“文明校園督查組”．選取方法是從隨機數(shù)表的第1行的第5列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5位同學的編號為（）417927351686081621579562394159495427495512835983788351347870207993212241A．20 B．21 C．27 D．123．（5分）在△ABC中，點D是線段AC上一點，點P是線段BD上一點，且＝，＝λ+，則λ＝（）A． B． C． D．4．（5分）木楔子在傳統(tǒng)木工中運用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝2，則該木楔子的體積為（）A． B． C． D．5．（5分）先后拋擲兩枚骰子，甲表示事件“第一次擲出正面向上的點數(shù)是1”，乙表示事件“第二次擲出正面向上的點數(shù)是2”，丙表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是7”，丁表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是8”，則（）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立 C．乙與丁相互獨立 D．丙與丁相互獨立6．（5分）某地一年之內(nèi)12個月的降水量分別為：71，66，64，58，56，56，56，53，53，51，48，46，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)（）A．61 B．53 C．58 D．647．（5分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，Q為AD的中點，P為正方體內(nèi)部及其表面上的一動點，且PQ⊥BD1，則滿足條件的所有點P構成的平面圖形的周長是（）A． B． C． D．8．（5分）為了普及黨史知識，某校舉行了黨史知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為p，乙同學答對每題的概率都為q（p＞q），且在考試中每人各題答題結果互不影響．已知每題甲、乙兩人同時答對的概率為，恰有一人答對的概率為．則甲、乙兩人共答對至少3道題的概率是（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）下列說法正確的是（）A．甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是0.5，0.25，則題被解出的概率是0.625 B．若A，B是互斥事件，則P（AB）＝P（A）P（B） C．某校200名教師的職稱分布情況如下：高級占比20%，中級占比50%，初級占比30%，現(xiàn)從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則初級教師應抽取15人 D．一位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生相鄰的概率是（多選）10．（5分）《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年，在《九章算術》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬，將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖在塹堵ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，CC1＝BC＝2，D，E分別為棱AA1，B1C1的中點，則（）A．四面體C1﹣ABC不為鱉臑 B．DE∥平面ABC1 C．若，則AB與DE所成角的正弦值為 D．三棱錐C1﹣ABC的外接球的體積為定值（多選）11．（5分）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA＝sinB，且（acosC+ccosA）＝2bsinB，D是△ABC外一點，DC＝2，DA＝6，則下列說法正確的是（）A．△ABC是等邊三角形 B．若AC＝2，則A，B，C，D四點共圓 C．四邊形ABCD面積最大值為10+12 D．四邊形ABCD面積最小值為10﹣12（多選）12．（5分）如圖，在圓錐SO中，A，B是圓O上的動點，BB′是圓O的直徑，M，N是SB的兩個三等分點，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），記二面角N﹣OA﹣B，M﹣AB′﹣B的平面角分別為α，β，若α≤β，則θ的值可能為（）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知，，，則m＝．14．（5分）對某中學高一年級學生身高（單位：cm）的調(diào)查中，采用分層隨機抽樣的方法，抽取了男生23人，其身高的平均數(shù)為170.6，抽取了女生27人，其身高的平均數(shù)為160.6，則可估計高一年級全體學生身高的平均數(shù)為．15．（5分）已知△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且＝2，CD＝1，（a﹣b）sinA＝（c+b）（sinC﹣sinB），則a+2b的最大值為．16．（5分）在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，AD⊥AB，AB＝，AD＝6，BC＝4，PA＝PB＝PD＝4，則三棱錐P﹣BCD外接球的表面積為．四、解答題：本小題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）“一切為了每位學生的發(fā)展”是新課程改革的核心理念．新高考取消文理分科，采用選科模式，賦予了學生充分的自由選擇權．新高考模式下，學生是否選擇物理為高考考試科目對大學專業(yè)選擇有著非常重要的意義．某校為了解高一年級600名學生物理科目的學習情況，將他們某次物理測試成績（滿分100分）按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這600名學生中物理測試成績在[50，60）內(nèi)的頻數(shù)，并且補全這個頻率分布直方圖；（2）學校建議本次物理測試成績不低于a分的學生選擇物理為高考考試科目，若學校希望高一年級恰有65%的學生選擇物理為高考考試科目，試求a的估計值．（結果精確到0.1）18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求cosB．（2）若點D在邊AC上，且，求．19．（12分）第33屆夏季奧林匹克運動會于2024年7月27日至8月12日在法國巴黎舉辦，我國男子乒乓球隊為備戰(zhàn)本屆奧運會，在河北正定國家乒乓球訓練基地進行封閉式訓練．為了提高訓練效果，甲、乙兩位隊員進行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個球者獲勝．通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．（1）求該局打4個球甲贏的概率；（2）求該局打5個球結束的概率．20．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，（1）求證：AD⊥PB；（2）求直線BC與平面PBD所成角的余弦值．21．（12分）已知銳角△ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足sinBsinC＝（sin2B+sin2C﹣sin2A）tanA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的外接圓的圓心是O，半徑是1，求?（+）的取值范圍．22．（12分）在多面體ABCDE中，BC＝BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC＝2DE，F(xiàn)為AB的中點．（1）求證：EF∥平面ACD；（2）若EA＝EB＝CD，求二面角B﹣AD﹣E的平面角正弦值的大小．

2022-2023學年安徽省合肥一中高一（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．（5分）已知復數(shù)z滿足z＝（3﹣2i）（1+2i），i為虛數(shù)單位，則＝（）A．7+4i B．7﹣4i C．﹣1+4i D．﹣1﹣4i【分析】由復數(shù)的乘法運算，先化簡復數(shù)z，再結合共軛復數(shù)的定義可得出答案．【解答】解：由z＝（3﹣2i）（1+2i），可得z＝3+4+4i＝7+4i，所以．故選：B．【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及共軛復數(shù)的定義，屬于基礎題．2．（5分）某班有30位同學，他們依次編號為01，02，….29，30，現(xiàn)利用下面的隨機數(shù)表選取5位同學組建“文明校園督查組”．選取方法是從隨機數(shù)表的第1行的第5列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5位同學的編號為（）417927351686081621579562394159495427495512835983788351347870207993212241A．20 B．21 C．27 D．12【分析】利用隨機數(shù)表法直接求解．【解答】解：依次從數(shù)表中讀出的有效編號為：27，16，08，16，21，27，12，去掉重復的，得到選出來的第5位同學的編號為12．故選：D．【點評】本題主要考查簡單隨機抽樣的應用，屬于基礎題．3．（5分）在△ABC中，點D是線段AC上一點，點P是線段BD上一點，且＝，＝λ+，則λ＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)三點共線即可得出結論．【解答】解：∵，∴，∴，又∵B、P、D三點共線，∴，∴，故選：C．【點評】考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，以及三點共線的充要條件，屬于基礎題．4．（5分）木楔子在傳統(tǒng)木工中運用廣泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥CD，EF＝2，則該木楔子的體積為（）A． B． C． D．【分析】分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，取AD的中點O，連接GO，求出，結合三棱錐和三棱柱的體積公式計算即可．【解答】解：如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，則由題意等腰梯形ABEF全等于等腰梯形CDEF，則．取AD的中點O，連接GO，因為AG＝GD，所以GO⊥AD，則，∴．因為AB∥EF，AG⊥EF，所以AB⊥AG，因為四邊形ABCD為正方形，所以AB⊥AD，又AD∩AG＝A，AD，AG?平面ADG，所以AB⊥平面ADG，所以EF⊥平面AGD，同理可證EF⊥平面BCH，∴多面體的體積V＝V三棱錐E﹣ADG+V三棱錐F﹣BCH+V三棱柱AGD﹣BHC＝2V三棱錐E﹣ADG+V三棱柱AGD﹣BHC＝．故選：D．【點評】本題考查組合體的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．5．（5分）先后拋擲兩枚骰子，甲表示事件“第一次擲出正面向上的點數(shù)是1”，乙表示事件“第二次擲出正面向上的點數(shù)是2”，丙表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是7”，丁表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是8”，則（）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立 C．乙與丁相互獨立 D．丙與丁相互獨立【分析】先根據(jù)古典概型的概率公式分別求出四個事件的概率，再利用獨立事件的定義P（AB）＝P（A）P（B）判斷各選項的正誤．【解答】解：由題意可知，先后拋擲兩枚骰子出現(xiàn)點數(shù)的所求可能情況為36種，則P（甲）＝＝，P（乙）＝＝，丙事件包含的基本事件有{1，6}，{6，1}，{2，5}，{5，2}，{3，4}，{4，3}，共7種，所以P（丙）＝＝，丁事件包含的基本事件有{2，6}，{6，2}，{3，5}，{5，3}，{4，4}，共5種，所以P（?。剑逷（甲丙）＝＝P（甲）P（丙），∴甲與丙相互獨立，故選項A正確，∵P（甲?。?≠P（甲）P（?。?，∴甲與丁不相互獨立，故選項B錯誤，∵P（乙丁）＝≠P（乙）P（?。?，∴乙與丁不相互獨立，故選項C錯誤，∵P（丙?。?≠P（丙）P（丁），∴丙與丁不相互獨立，故選項D錯誤，故選：A．【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了獨立事件的定義，是基礎題．6．（5分）某地一年之內(nèi)12個月的降水量分別為：71，66，64，58，56，56，56，53，53，51，48，46，則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)（）A．61 B．53 C．58 D．64【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解．【解答】解：將降水量從小到大排列：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，i＝12×75%＝9，該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為．故選：A．【點評】本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎題．7．（5分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，Q為AD的中點，P為正方體內(nèi)部及其表面上的一動點，且PQ⊥BD1，則滿足條件的所有點P構成的平面圖形的周長是（）A． B． C． D．【分析】判斷BD1⊥平面AB1C，BD1⊥平面A1C1D，確定過點Q的截面與正方體各棱的交點，可知截面圖形是邊長為的正六邊形，求得結果即可．【解答】解：連接A1D、C1D、A1C1、AC、AB1、B1C、BD，如圖所示：因為四邊形ABCD為正方形，則AC⊥BD，因為DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥DD1，又DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1，因為BD1?平面BDD1，所以BD1⊥AC，同理可得BD1⊥AB1，又AC∩AB1＝A，所以BD1⊥平面AB1C，同理可證BD1⊥平面A1C1D，設過點Q且垂直于BD1的平面為平面α，則α與平面AB1C、平面A1C1D都平行，因為α∥平面ACB1，平面ABCD∩平面α＝QN，平面ABCD∩平面ACB1＝AC，所以QN∥AC，因為Q為AD的中點，所以N為CD的中點，同理可知，平面α分別與棱CC1、B1C1、A1B1、AA1交于中點，所以六邊形EFGHNQ為正六邊形，且其邊長為，所以滿足條件的所有點P構成的平面圖形的周長是．故選：C．【點評】本題考查了正方體截面周長的計算問題，解題的關鍵是利用正方體的幾何性質(zhì)，找出體對角線的垂面，確定截面與垂面平行，并以此作出截面．8．（5分）為了普及黨史知識，某校舉行了黨史知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為p，乙同學答對每題的概率都為q（p＞q），且在考試中每人各題答題結果互不影響．已知每題甲、乙兩人同時答對的概率為，恰有一人答對的概率為．則甲、乙兩人共答對至少3道題的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，利用相互獨立事件、互斥事件概率公式求出p，q，再利用利用相互獨立事件、互斥事件求解作答．【解答】解：根據(jù)題意，每題甲、乙兩人同時答對的概率為，恰有一人答對的概率為．則有，而p＞q，解得，，設Ai＝“甲同學答對了i題”，Bi＝“乙同學答對了i題”，（i＝0，1，2），則，，，，甲、乙兩人共答對至少3道題的事件C＝A1B2+A2B1+A2B2，因此，所以甲、乙兩人共答對至少3道題的概率是．故選：C．【點評】本題考查概率的應用，注意分析事件之間的關系，屬于基礎題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）下列說法正確的是（）A．甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是0.5，0.25，則題被解出的概率是0.625 B．若A，B是互斥事件，則P（AB）＝P（A）P（B） C．某校200名教師的職稱分布情況如下：高級占比20%，中級占比50%，初級占比30%，現(xiàn)從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則初級教師應抽取15人 D．一位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生相鄰的概率是【分析】先求此題不能解出的概率，再利用對立事件可得此題能解出的概率可判斷A；由P（A∪B）＝P（A）+P（B），P（AB）＝0可判斷B；計算出初級教師應抽取的人數(shù)可判斷C；由列舉法得出兩位女生相鄰的概率可判斷D．【解答】解：對于A，∵他們各自解出的概率分別是，，則此題不能解出的概率為，則此題能解出的概率為，故A對；對于B，若A，B是互斥事件，則P（A∪B）＝P（A）+P（B），P（AB）＝0，故B錯；對于C，初級教師應抽取50×30%＝15人，故C正確；對于D，由列舉法可知，用1、2表示兩名女生，a表示男生，則樣本空間Ω＝{12a，1a2，21a，2a1，a12，a21}，兩位女生相鄰的概率是，故D錯．故選：AC．【點評】本題主要考查概率與統(tǒng)計的知識，屬于基礎題．（多選）10．（5分）《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年，在《九章算術》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬，將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖在塹堵ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，CC1＝BC＝2，D，E分別為棱AA1，B1C1的中點，則（）A．四面體C1﹣ABC不為鱉臑 B．DE∥平面ABC1 C．若，則AB與DE所成角的正弦值為 D．三棱錐C1﹣ABC的外接球的體積為定值【分析】由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可判斷A；連接B1C、C1B相交于點O，可得四邊形ADEO為平行四邊形，DE∥AO，再由線面平行的判定定理可判斷B；由B選項知AB與DE所成角即AB與AO所成角為∠BAC或其補角，求出AO、BO，在△ABO中由余弦定理得cos∠BAO，再求出sin∠BAO可得∠BAO正切值可判斷C；由△C1AB、△C1CB均為直角三角形可得點O是三棱錐C1﹣ABC的外接球的球心，求出外接球的半徑可判斷D．【解答】解：對于A，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC、BC、AB?平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，CC1⊥AB，所以△C1AC、△C1CB均為直角三角形，因為AB⊥AC，所以△ABC為直角三角形，且CC1∩AC＝C，CC1、AC?平面ACC1，所以AB⊥平面ACC1，AC1?平面ACC1，所以AB⊥AC1，所以△ABC1為直角三角形，所以四面體C1﹣ABC為鱉臑，故A錯誤；對于B，如圖，連接B1C、C1B相交于點O，所以點O為C1B的中點，連接EO、AO，所以EO∥B1B，，因為AD∥B1B，，所以AD∥EO，AD＝EO，所以四邊形ADEO為平行四邊形，所以DE∥AO，因為DE?平面ABC1，AO?平面ABC1，所以DE∥平面ABC1，故B正確；對于C，，由B選項知，DE∥AO，所以AB與DE所成角即AB與AO所成角∠BAC或其補角，因為CC1＝BC＝2，所以，連接A1E，所以，所以，所以，在△ABO中，由余弦定理得，所以∠BAO為銳角，則，則AB與DE所成角的正切值為，故C錯誤；對于D，如下圖，連接AO，由A選項可知，△C1AB、△C1CB均為直角三角形，且∠C1AB＝90°，△C1CB＝90°，且點O為C1B的中點，所以，所以點O是三棱錐C1﹣ABC的外接球的球心，且外接球的半徑為，因為AB⊥AC，所以△ABC為直角三角形，所以三棱錐C1﹣ABC的外接球的體積為，與AB、AC長度無關，故D正確．故選：BD．【點評】本題考查線面平行的判定定理，異面直線所成角的求解，三棱錐的體積問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．（多選）11．（5分）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA＝sinB，且（acosC+ccosA）＝2bsinB，D是△ABC外一點，DC＝2，DA＝6，則下列說法正確的是（）A．△ABC是等邊三角形 B．若AC＝2，則A，B，C，D四點共圓 C．四邊形ABCD面積最大值為10+12 D．四邊形ABCD面積最小值為10﹣12【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求sinB，再利用a＝b，可知△ABC為等邊三角形，從而判斷A；利用四點A，B，C，D共圓，四邊形對角互補，從而判斷B；設AC＝x，x＞0，在△ADC中，由余弦定理可得x2＝40﹣24cosD，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的，可求S四邊形ABCD，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值，即可判斷CD．【解答】解：∵（acosC+ccosA）＝2bsinB，∴（sinAcosC+sinCcosA）＝2sinB?sinB，即sin（A+C）＝sinB＝2sinB?sinB，∴由sinB≠0，可得sinB＝，∴B＝或．又∵sinA＝sinB，可得a＝b．∴B＝∠CAB＝∠ACB＝，故A正確；若四點A，B，C，D共圓，則四邊形對角互補，由A正確知D＝，在△ADC中，∵DC＝2，DA＝6，∴AC＝＝2，故B正確；等邊△ABC中，設AC＝x，x＞0，在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2+CD2﹣2AD?CD?cosD，由于AD＝6，DC＝2，代入上式，得x2＝40﹣24cosD，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝x?xsin+?6?2sinD＝x2+6sinD＝12sin（D﹣）+10，∵D∈（0，π），D﹣∈（﹣，），∴﹣＜sin（D﹣）≤1，∴四邊形ABCD面積的最大值為12+10，無最小值，故C正確，D錯誤，故選：ABC．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．（多選）12．（5分）如圖，在圓錐SO中，A，B是圓O上的動點，BB′是圓O的直徑，M，N是SB的兩個三等分點，∠AOB＝θ（0＜θ＜π），記二面角N﹣OA﹣B，M﹣AB′﹣B的平面角分別為α，β，若α≤β，則θ的值可能為（）A． B． C． D．【分析】設出圓錐底面圓的半徑為r，高SO，分別過點M，N作直線SO的平行線交OB于點P，Q，由此作出二面角N﹣OA﹣B，M﹣AB′﹣B的平面角，并表示出tanα，tanβ，由α≤β建立關系求解即可．【解答】解：在圓錐SO中，令底面圓半徑r＝3，高SO＝3h，過點M，N分別作MP∥SO，NQ∥SO，交OB于點P，Q，如圖所示，因為AM＝MN＝NB，所以OP＝PQ＝QB＝1，MP＝2h，NQ＝h，因為SO⊥平面AOB，OA，OB?平面AOB，所以SO⊥OA，SO⊥OB，因為MP∥SO，NQ∥SO，所以MP⊥OA，MP⊥OB，NQ⊥OA，NQ⊥OB，因為OA，OB?平面AOB，OA∩OB＝O，所以MP⊥平面AOB，NQ⊥平面AOB，過P作PF⊥AB′于F，連接MF，因為AB′?平面AOB，MP⊥平面AOB，所以MP⊥AB′，因為MP∩PF＝P，MP，PF?平面MPF，所以AB′⊥平面MPF，因為MF?平面MPF，所以AB′⊥MF，所以∠MFP是二面角M﹣AB′﹣B的平面角，即∠MFP＝β，過Q作QE⊥直線OA于點E（時，點E與點O重合，當時，點E在AO的延長線上），連接NE，同理可證得∠NEQ是二面角N﹣OA﹣B的平面角，即∠NEQ＝α，因為∠AOB＝θ（0＜θ＜π），所以，QE＝OQsin∠AOB＝2sinθ，在Rt△MFP和Rt△NEQ中，，，顯然α，β均為銳角，由α≤β，得tanα≤tanβ，所以，得，所以，因為，所以，所以，所以，所以選項ABC符合條件，D不符合條件．故選：ABC．【點評】本題考查二面角的大小的求法，考查空間思維能力與空間想象能力，考查三角函數(shù)的應用，考查圓錐的性質(zhì)的應用，屬難題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知，，，則m＝﹣6．【分析】由向量共線定理的坐標表示，列出方程解得m的值．【解答】解：因為，，所以，，由，得5（6﹣m）+4（2m﹣3）＝0，解得m＝﹣6．故答案為：﹣6．【點評】本題考查向量共線定理的坐標表示等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．14．（5分）對某中學高一年級學生身高（單位：cm）的調(diào)查中，采用分層隨機抽樣的方法，抽取了男生23人，其身高的平均數(shù)為170.6，抽取了女生27人，其身高的平均數(shù)為160.6，則可估計高一年級全體學生身高的平均數(shù)為165.2．【分析】根據(jù)平均數(shù)公式計算可得．【解答】解：依題意可得，高一年級全體學生身高的平均數(shù)為．故答案為：165.2．【點評】本題考查平均數(shù)公式，屬于基礎題．15．（5分）已知△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且＝2，CD＝1，（a﹣b）sinA＝（c+b）（sinC﹣sinB），則a+2b的最大值為2．【分析】結合正弦定理及余弦定理進行化簡可求C，然后結合向量的線性表示及數(shù)量積的性質(zhì)可得a，b的關系，再由基本不等式可求．【解答】解：因為（a﹣b）sinA＝（c+b）（sinC﹣sinB），由正弦定理得，（a﹣b）a＝（c+b）（c﹣b），整理得，a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理得，cosC＝＝，因為C為三角形內(nèi)角，所以C＝60°，因為＝2，所以＝＝＝＝，所以＝+，即1＝，所以a2+4b2+2ab＝9，所以（a+2b）2＝a2+4ab+4b2＝9+2ab，當且僅當a＝2b＝時取等號，解得a+2b≤2，即最大值2．故答案為：2．【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，向量的線性表示及基本不等式在求解三角形中的應用，屬于中檔題．16．（5分）在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，AD⊥AB，AB＝，AD＝6，BC＝4，PA＝PB＝PD＝4，則三棱錐P﹣BCD外接球的表面積為80π．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，取AD的兩個三等分點O1，E，連接BD，O1C，CE，設BD∩O1C＝H，連接PH，AH，可證得O1是△BCD的外接圓的圓心，且PH⊥平面ABCD，設O為三棱錐P﹣BCD外接球的球心，連接OO1，OP，OD，過O作OF⊥PH于點F，求出外接球的半徑R，即可求得三棱錐P﹣BCD外接球的表面積．【解答】根據(jù)題意畫出圖形，取AD的兩個三等分點O1，E，連接BD，O1C，CE，設BD∩O1C＝H，連接PH，AH，則AO1＝O1E＝ED＝2，所以BC＝O1D＝4，因為BC∥O1D，所以四邊形BCDO1為平行四邊形，所以，所以，所以O1是△BCD的外接圓的圓心，，因為PA＝PB＝，PH為公共邊，所以△PAH≌△PBH≌△PDH，所以∠PHA＝∠PHB＝∠PHD，因為∠PHB+∠PHD＝π，所以，所以PH⊥BH，PH⊥AH，因為BH∩AH＝H，BH，AH?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD，且，設O為三棱錐P﹣BCD外接球的球心，連接OO1，OP，OD，則O1O⊥平面ABCD，過O作OF⊥PH于點F，則三棱錐P﹣BCD外接球的半徑R滿足，設O1O＝x，則x2+16＝（6﹣x）2+4，解得x＝2，所以R2＝22+42＝20，所以三棱錐P﹣BCD外接球的表面積為4πR2＝80π，故答案為：80π．【點評】本題考查三棱錐的外接球問題，球的表面積公式的應用，屬難題．四、解答題：本小題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）“一切為了每位學生的發(fā)展”是新課程改革的核心理念．新高考取消文理分科，采用選科模式，賦予了學生充分的自由選擇權．新高考模式下，學生是否選擇物理為高考考試科目對大學專業(yè)選擇有著非常重要的意義．某校為了解高一年級600名學生物理科目的學習情況，將他們某次物理測試成績（滿分100分）按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這600名學生中物理測試成績在[50，60）內(nèi)的頻數(shù)，并且補全這個頻率分布直方圖；（2）學校建議本次物理測試成績不低于a分的學生選擇物理為高考考試科目，若學校希望高一年級恰有65%的學生選擇物理為高考考試科目，試求a的估計值．（結果精確到0.1）【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各個小矩形面積之和為1，求出[50，60）的頻率，進而求出[50，60）的頻數(shù)，再補全這個頻率分布直方圖即可．（2）先判斷出要使高一年級恰有65%的學生選擇物理為高考考試科目，則a∈[60，70），再根據(jù)（a﹣60）×0.015＝0.1求出a的近似值即可．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，成績在[50，60）內(nèi)的頻率為：1﹣10×（0.010+0.015+0.030+0.025+0.005）＝0.15，所以這600名學生中物理成績在[50，60）內(nèi)的頻數(shù)為600×0.15＝90，補全的頻率分布直方圖如圖所示：（2）學生物理測試成績在[40，60）的頻率為0.25＜0.35，物理測試成績在[40，70）的頻率為0.4＞0.35．故要使高一年級恰有65%的學生選擇物理為高考考試科目，則a∈[60，70），且（a﹣60）×0.015＝0.1，解得a≈66.7．【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了學生的計算能力，屬于基礎題．18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求cosB．（2）若點D在邊AC上，且，求．【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行角換邊得，結合余弦定理，即可得出答案；（2）利用轉(zhuǎn)化法得，兩邊同平方得，結合（1）中整理的式子，即可得出答案．【解答】解：（1）∵，∴在△ABC中，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，則，∵ac＞0，∴；（2）∵AD＝2DC，∴，即，∴，即，∴，故，即3c2﹣4ac＝0，∵c＞0，∴3c﹣4a＝0，則．【點評】本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．19．（12分）第33屆夏季奧林匹克運動會于2024年7月27日至8月12日在法國巴黎舉辦，我國男子乒乓球隊為備戰(zhàn)本屆奧運會，在河北正定國家乒乓球訓練基地進行封閉式訓練．為了提高訓練效果，甲、乙兩位隊員進行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個球者獲勝．通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為，乙發(fā)球甲贏的概率為，不同球的結果互不影響，已知某局甲先發(fā)球．（1）求該局打4個球甲贏的概率；（2）求該局打5個球結束的概率．【分析】（1）先設甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲蠃為事件B，然后分析這4個球的發(fā)球者及輸贏者，即可得到所求事件的構成，利用相互獨立事件的概率計算公式即可求解；（2）先將所求事件分成甲贏與乙贏這兩個互斥事件，再分析各事件的構成，利用互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式即可求得概率．【解答】解：（1）設甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，該局打4個球甲贏為事件C，由題知，，∴，∴，∴該局打4個球甲贏的概率為；（2）設該局打5個球結束時甲贏為事件D，乙贏為事件E，打5個球結束為事件F，易知D，E為互斥事件，，∴＝，＝，∴，∴該局打5個球結束的概率為．【點評】本題考查古典概型，考查學生的運算能力，屬于中檔題．20．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，（1）求證：AD⊥PB；（2）求直線BC與平面PBD所成角的余弦值．【分析】（1）先證明AD⊥平面PBE，再由線面垂直得到線線垂直；（2）過A點作平面PBD的垂線，垂足為H，運用等體積法求出A點到平面PBD的距離，解三角形ADH即可．【解答】（1）證明：取AD的中點E，連接PE，BE，如下圖：∵PA＝PD，∴PE⊥AD，又∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，即AD⊥BE，PE，BE?平面PBE，PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PBE，PB?平面PBE，∴AD⊥PB；（2）解：