2024屆安徽省阜陽市潁上縣第二中學等三校高一數(shù)學第二學期期末達標測試試題含解析

2024屆安徽省阜陽市潁上縣第二中學等三校高一數(shù)學第二學期期末達標測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖所示，等邊的邊長為2、為的中點，且也是等邊三角形，若以點為中心按逆時針方向旋轉后到達的位置，則在轉動過程中的取值范圍是（)A． B． C． D．2．設全集，集合，，則（）A． B． C． D．3．在平行四邊形中，為一條對角線，，，則＝（）A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）4．已知點是拋物線：的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．矩形中，，若在該矩形內隨機投一點，那么使得的面積不大于3的概率是（）A． B． C． D．6．在直三棱柱中，底面為直角三角形，，，是上一動點，則的最小值是（）A． B． C． D．7．已知向量，，若對任意的，恒成立，則角的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，在中，內角的對邊分別是，內角滿足，若，則的周長的取值范圍為（）A． B． C． D．9．等差數(shù)列中，若，則=()A．11 B．7 C．3 D．210．從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動，則甲被選中的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某奶茶店的日銷售收入y(單位:百元)與當天平均氣溫x(單位:)之間的關系如下:x012y5221通過上面的五組數(shù)據(jù)得到了x與y之間的線性回歸方程:；但現(xiàn)在丟失了一個數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)應為____________.12．在△ABC中,已知30,則B等于__________．13．已知直線:與直線:互相平行，則直線與之間的距離為______.14．已知的圓心角所對的弧長等于，則該圓的半徑為______.15．已知向量，滿足，與的夾角為，則在上的投影是；16．在等差數(shù)列中，，，則．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在中，，，點在邊上，且，.（1）求；（2）求的長.18．已知圓.（1）求圓的半徑和圓心坐標；（2）斜率為的直線與圓相交于、兩點，求面積最大時直線的方程.19．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，（）．（Ⅰ）求的值，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列的前項和為，求證：（）．20．某城市理論預測2020年到2024屆人口總數(shù)與年份的關系如下表所示：年份202x（年）01234人口數(shù)y（十萬）5781119（1）請在右面的坐標系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；（3）據(jù)此估計2025年該城市人口總數(shù).（參考公式：，）21．在數(shù)列中，，，數(shù)列的前項和為，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）若對恒成立，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

設，，則，則，將其展開，運用向量的數(shù)量積的定義，化簡得到，再由余弦函數(shù)的性質，即可得到范圍.【題目詳解】設，，則，則，由于，則，則．故選：D【題目點撥】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的化簡和求最值，考查運算能力，屬于中檔題.2、D【解題分析】

先求得集合的補集，然后求其與集合的交集，由此得出正確選項.【題目詳解】依題意，所以，故選D.【題目點撥】本小題主要考查集合補集、交集的概念和運算，屬于基礎題.3、C【解題分析】試題分析：,故選C.考點：平面向量的線性運算．4、C【解題分析】由題意，得，設過的拋物線的切線方程為，聯(lián)立，，令，解得，即，不妨設，由雙曲線的定義得，，則該雙曲線的離心率為.故選C.5、C【解題分析】

先求出的點的軌跡（一條直線），然后由面積公式可知時點所在區(qū)域，計算其面積，利用幾何概型概率公式計算概率．【題目詳解】設到的距離為，，則，如圖，設，則點在矩形內，，，∴所求概率為．故選C．【題目點撥】本題考查幾何概型概率．解題關鍵是確定符合條件點所在區(qū)域及其面積．6、B【解題分析】

連，沿將展開與在同一個平面內，不難看出的最小值是的連線,由余弦定理即可求解．【題目詳解】解：連，沿將展開與在同一個平面內，如圖所示，

連，則的長度就是所求的最小值．

，可得

又,

,

在中，由余弦定理可求得,故選B．【題目點撥】本題考查棱柱的結構特征，余弦定理的應用，是中檔題．7、A【解題分析】

利用數(shù)量積運算可將不等式化簡為，根據(jù)恒成立條件可得不等式組，利用三角函數(shù)知識分別求解兩個不等式，取交集得到結果.【題目詳解】當時，恒成立，則當時，即，，解得：，當時，即，，解得：，在時恒成立可得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)中的恒成立問題的求解，關鍵是能夠根據(jù)數(shù)量積將恒成立不等式轉化為兩個三角不等式的求解問題，利用輔助角公式將問題轉化為根據(jù)正弦型函數(shù)的值域求解角的范圍的問題.8、B【解題分析】

首先根據(jù)降冪公式以及輔助角公式化簡，把帶入利用余弦定理以及基本不等式即可．【題目詳解】由題意得，為三角形內角所以，所以，因為，所以，，當且僅當時取等號，因為，所以，所以選擇B【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，以及余弦定理和基本不等式．在化簡的過程中常用到的公式有輔助角、二倍角、兩角和與差的正弦、余弦等．屬于中等題．9、A【解題分析】

根據(jù)和已知條件即可得到．【題目詳解】等差數(shù)列中，故選A．【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的基本性質，屬于基礎題．10、C【解題分析】分析：用列舉法得出甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動的事件數(shù)，從而可求甲被選中的概率.詳解：從甲、乙、丙、丁四人中隨機選出人參加志愿活動，包括：甲乙；甲丙；甲??；乙丙；乙?。槐?種情況，甲被選中的概率為.故選C.點睛：本題考查用列舉法求基本事件的概率，解題的關鍵是確定基本事件，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解題分析】

根據(jù)回歸直線經過數(shù)據(jù)的中心點可求.【題目詳解】設丟失的數(shù)據(jù)為，則，，把代入回歸方程可得，故答案為：4.【題目點撥】本題主要考查回歸直線的特征，明確回歸直線一定經過樣本數(shù)據(jù)的中心點是求解本題的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).12、【解題分析】

根據(jù)三角形正弦定理得到角，再由三角形內角和關系得到結果.【題目詳解】根據(jù)三角形的正弦定理得到，故得到角，當角時，有三角形內角和為，得到，當角時，角故答案為【題目點撥】在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.13、10【解題分析】

利用兩直線平行，先求出，再由兩平行線的距離公式求解即可【題目詳解】由題意，，所以，，所以直線：，化簡得，由兩平行線的距離公式：.故答案為：10【題目點撥】本題主要考查兩直線平行的充要條件，兩直線和平行的充要條件是，考查兩平行線間的距離公式，屬于基礎題.14、【解題分析】

先將角度化為弧度，再根據(jù)弧長公式求解．【題目詳解】解：圓心角，弧長為，，即該圓的半徑長．故答案為：．【題目點撥】本題考查了角度和弧度的互化以及弧長公式的應用問題，屬于基礎題．15、1【解題分析】考查向量的投影定義，在上的投影等于的模乘以兩向量夾角的余弦值16、8【解題分析】

設等差數(shù)列的公差為，則，所以，故答案為8.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）7.【解題分析】試題分析：（I）在中，利用外角的性質，得即可計算結果；（II）由正弦定理，計算得，在中，由余弦定理，即可計算結果．試題解析：（I）在中，∵，∴∴（II）在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：∴考點：正弦定理與余弦定理．18、（1）圓的圓心坐標為，半徑為；（2）或．【解題分析】

（1）將圓的方程化為標準方程，可得出圓的圓心坐標和半徑；（2）設直線的方程為，即，設圓心到直線的距離，計算出直線截圓的弦長，利用基本不等式可得出的最大值以及等號成立時對應的的值，利用點的到直線的距離可解出實數(shù)的值.【題目詳解】（1）將圓的方程化為標準方程得，因此，圓的圓心坐標為，半徑為；（2）設直線的方程為，即，設圓心到直線的距離，則，且，的面積為，當且僅當時等號成立，由點到直線的距離公式得，解得或.因此，直線的方程為或．【題目點撥】本題考查圓的一般方程與標準方程之間的互化，以及直線截圓所形成的三角形的面積，解題時要充分利用幾何法將直線截圓所得弦長表示出來，在求最值時，可利用基本不等式、函數(shù)的單調性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.19、（Ⅰ），，（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)和項與通項關系得，利用等比數(shù)列定義求得結果（Ⅱ）利用放縮法以及等比數(shù)列求和公式證得結果【題目詳解】（Ⅰ），由得，兩式相減得故，又所以數(shù)列是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，因此，即.（Ⅱ）當時，，所以.當時，故又當時，，.因此對一切成立.【題目點撥】本題主要考查了利用和的關系以及構造法求數(shù)列的通項公式，同時考查利用放縮法證明數(shù)列不等式，解題難點是如何放縮，意在考查學生的數(shù)學建模能力和數(shù)學運算能力。20、（1）見解析；（2）；（3）2025年該城市人口總數(shù)為196萬人【解題分析】

（1）由表中數(shù)據(jù)描點即可；（2）由最小二乘法的公式得出的值，即可得出該線性方程；（3）將代入（2）中的線性方程，即可得出2025年該城市人口總數(shù).【題目詳解】（1）畫出散點圖如圖所示.（2），，，，，，則線性回歸方程.（3）時，（十萬）（萬）.答：估計2025年該城市人口總數(shù)為196萬人【題目點撥】本題主要考查了繪制散點圖，求回歸直線方程以及根據(jù)回歸方程進行數(shù)據(jù)估計，屬于中檔題.21、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）根據(jù)已知可變形為常數(shù)；（2）首先求數(shù)