獨(dú)立性檢驗(yàn) 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)新授課

本題中要得P(A)，P(B)，P(AB)的準(zhǔn)確值需耗費(fèi)巨大的人力、物力等，比較難確定，甚至是不可能的.P(AB)=P(A)P(B)任意抽取某市的一名學(xué)生，記A：喜歡長跑，B：是女生.如果事件A，B獨(dú)立，P(A)，P(B)，P(AB)滿足的充要條件是什么？P(A)，P(B)，P(AB)的準(zhǔn)確值易得嗎?如何判斷A、B是否獨(dú)立？1.通過實(shí)例理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.2.了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.

因?yàn)檫@個(gè)表格中，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個(gè)格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表.通過調(diào)查，我們獲取了下述數(shù)據(jù)：抽查了110人，其中女生有50人；且這110人中，喜歡長跑的有60人，其中女生有20人.

將數(shù)據(jù)整理成如下表格形式.喜歡長跑不喜歡長跑總計(jì)女203050男402060總計(jì)6050110喜歡長跑不喜歡長跑總計(jì)女203050男402060總計(jì)6050110喜歡長跑的概率P(A)可以估計(jì)為是女生的概率P(B)可以估計(jì)喜歡長跑且是女生的概率P(AB)可以估計(jì)為由2×2列聯(lián)表可知：

因?yàn)镻(A),P(B),P(AB)都是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到的估計(jì)值,而估計(jì)是有誤差的,因此直接用是否成立來判斷A與B是否獨(dú)立是不合理的.

思考：由上表可得P(A),P(B),P(AB)的估計(jì)值,此時(shí)可以用P(AB)=P(A)P(B)是否成立來判斷A與B是否獨(dú)立嗎？為什么？

如果A與B獨(dú)立，那么P(A)P(B)應(yīng)該可以作為P(AB)的近似值，這是從統(tǒng)計(jì)意義上做出的合理推斷，即盡管隨機(jī)性會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性帶來影響，但理論上，如果A與B是獨(dú)立的，則這種影響也一定不會(huì)太大.因此從理論上可知，如果A，B獨(dú)立，喜歡長跑的女生數(shù)可以估計(jì)為110P(A)P(B)而實(shí)際上，喜歡長跑的女生數(shù)為

110P(AB)，不會(huì)太大.①因此②③④不會(huì)太大.

若記①+②+③+④=χ2(讀作“卡方”)，代入數(shù)據(jù)算得χ2=7.8.概率學(xué)上可以證明，如果A與B獨(dú)立，則χ2≥6.635的概率只有1%，即P(χ2≥6.635)=1%.因?yàn)棣?=7.8>6.635，所以若A與B獨(dú)立(即“喜歡長跑”與“是女生”獨(dú)立)，則此事件的概率不超過1%.

即：在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，可以認(rèn)為“喜歡長跑”與“是女生”不獨(dú)立(也稱為是否喜歡長跑與性別有關(guān))；或說有99%的把握認(rèn)為是否喜歡長跑與性別有關(guān).一般情況下，如果隨機(jī)事件A與B的樣本數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表如下A合計(jì)Baba+bcdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d記n=a+b+c+d，則由表可知：(1)

(2)

(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)概念生成此時(shí)P(AB)與P(A)P(B)的估計(jì)值相差不大，因此不會(huì)太大.

都不會(huì)太大，也不會(huì)太大.因此這四個(gè)數(shù)的和提出假設(shè)H0：A與B獨(dú)立.另外，任意給定一個(gè)α(稱為顯著性水平，通常取為0.05，0.01等)，可以找到滿足條件的數(shù)k(稱為顯著性水平α對(duì)應(yīng)的分位數(shù)).

若χ2≥k成立，就稱在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下，可以認(rèn)為A與B不獨(dú)立(也稱為A與B有關(guān))；或說有1-α的把握認(rèn)為A與B有關(guān).即假設(shè)H0不成立.若χ2<k成立，就稱不能得到前述結(jié)論.這一過程通常稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).P(χ2≥k)=α反證法獨(dú)立性檢驗(yàn)要證明結(jié)論A在A不成立的前提下進(jìn)行推理推出矛盾，意味著結(jié)論A成立沒有找到矛盾，不能對(duì)A下任何結(jié)論.歸納總結(jié)提出假設(shè)H0在H0成立的條件下進(jìn)行推理與H0相矛盾的小概率事件發(fā)生，意味著H0不成立H0相矛盾的小概率事件沒有發(fā)生，接受原假設(shè).A與B獨(dú)立時(shí)，也稱為A與B無關(guān).當(dāng)χ2<k成立時(shí)，一般不直接說A與B無關(guān)，獨(dú)立性檢驗(yàn)得到的結(jié)果或者是有1-α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)；或者沒有1-α的把握認(rèn)為A與B有關(guān).常用顯著性水平α以及對(duì)應(yīng)的分位數(shù)k如下表.α=P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828幸福感強(qiáng)幸福感弱總計(jì)閱讀量多541872閱讀量少364278總計(jì)9060150

例1為了了解閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱之間的關(guān)系，一個(gè)調(diào)查機(jī)構(gòu)得到了如下調(diào)查數(shù)據(jù)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)回答，在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，可以認(rèn)為閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān)嗎？α=P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解：由題意可知幸福感強(qiáng)幸福感弱總計(jì)閱讀量多541872閱讀量少364278總計(jì)9060150又因?yàn)椴楸砜傻肞(χ2≥6.635)=0.01，由于12.981>6.635，所以在犯錯(cuò)概率不超過1%的前提下，可以認(rèn)為閱讀量多少與幸福感強(qiáng)弱有關(guān).

例2

報(bào)刊對(duì)男女學(xué)生是否喜歡書法進(jìn)行了一個(gè)隨機(jī)調(diào)查，調(diào)查的數(shù)據(jù)如下表所示.

喜歡書法不喜歡書法男學(xué)生2432女學(xué)生1624根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)回答：有95%的把握認(rèn)為性別與是否喜歡書法有關(guān)嗎？α=P(χ2≥k)0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828解：由題意可知又因?yàn)?-95%=5%，而且查表可得P(χ2≥3.841)=0.05，由于0.078<30841，所以沒有95%的把握認(rèn)為性別與是否喜歡書法有關(guān).

喜歡書法不喜歡書法男學(xué)生2432女學(xué)生1624歸納總結(jié)利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：(1)列表：列出2×2列聯(lián)表；(2)求值：求出χ2；(3)判斷：與顯著性水平對(duì)應(yīng)的分位數(shù)比較，作出判斷.

為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下:理科對(duì)外語有興趣的有138人，無興趣的有98人，文科對(duì)外語有興趣的有73人，無興趣的有52人.能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語的興趣有關(guān)”?練一練解：根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:

理科文科總計(jì)有興趣13873211無興趣9852150總計(jì)236125361根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)由公式計(jì)算得隨機(jī)變量的觀測(cè)值

理科文