不等式的性質(zhì) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊(cè)

1.3.1不等式的性質(zhì)新授課1.能用作差法判斷實(shí)數(shù)（或代數(shù)式）的大小.2.掌握不等式的基本性質(zhì),會(huì)運(yùn)用基本性質(zhì)比較大小.在生活中,存在著形形色色的數(shù)量關(guān)系,既有相等關(guān)系,又有不等關(guān)系.在數(shù)學(xué)中,用不等式表示不等關(guān)系.請(qǐng)思考:生活中為什么糖水中加的糖越多越甜呢?將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題:b克糖水中含有a克糖(b>a),若再加入m(m>0)克糖,則糖水更甜了,為什么?分析:起初糖水濃度為,加入m克糖后的糖水濃度為,只要證即可,怎么證呢?實(shí)數(shù)a、b大小比較的依據(jù)如果a-b是正數(shù),那么a>b如果a-b等于0,那么a=b如果a-b是負(fù)數(shù),那么a<ba-b>0

?

a>ba-b=0

?

a=ba-b<0

?

a<b知識(shí)點(diǎn)1：實(shí)數(shù)(代數(shù)式)的大小比較結(jié)論：確定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系，只需確定它們的差a-b與0的大小關(guān)系.思考：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小可以采取什么辦法？例1.試比較(x+1)(x+5)與(x+3)2的大小.解：因?yàn)?x+1)(x+5)-(x+3)2=(x2+6x+5)-(x2+6x+9)=-4<0,所以(x+1)(x+5)<(x+3)2.方法歸納比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(或代數(shù)式)大小的步驟：作差對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式子)作差變形對(duì)差進(jìn)行變形(因式分解、通分、配方等)判號(hào)結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)定論根據(jù)符號(hào)判斷大小練一練1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.練一練解:(x-3)2-(x-2)(x-4)=x2-6x+9-x2+6x-8=1＞0所以(x-3)2＞(x-2)(x-4).

回顧：在初中的學(xué)習(xí)中，你還記得不等式有哪些基本性質(zhì)嗎？知識(shí)點(diǎn)2：不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1

如果a>b,b>c,那么a>c.性質(zhì)2

若a>b,則a±c>b±c.性質(zhì)3

若a>b，c>0，則ac>bc(或);若a>b，c<0，則ac<bc

(或

).思考：根據(jù)前面比較實(shí)數(shù)大小的方法，你能證明上述不等式嗎？分析

要證a>c,只需證a-c>0.證明:因?yàn)閍>b,且b>c,所以a-b>0,b-c>0,從而a-c=(a-b)+(b-c)>0,即a>c.性質(zhì)1

如果a>b,b>c,那么a>c.（傳遞性）分析要證a+c>b+c,只需證(a+c)-(b+c)>0.證明:因?yàn)閍>b,所以a-b>0,所以(a+c)-(b+c)=a-b>0,即a+c>b+c.性質(zhì)2

如果a>b,那么a+c>b+c.(可加性)分析(1)要證ac>bc,只需證ac-bc>0.證明:(1)因?yàn)閍>b,所以a-b>0.又因?yàn)閏>0,所以(a-b)c>0,ac-bc>0,即ac>bc.試用(1)的方法完成(2)的證明.(可乘性)性質(zhì)3

(1)如果a>b,c>0,那么ac>bc;(2)如果a>b,c<0,那么ac<bc.

思考：由該性質(zhì)可得ac>bc?a>b嗎？

又a<b,所以b-a>0.

證明:又b>0,m>0,故練一練

因此故又0<a<b,所以a-b<0,證明：證明:因?yàn)閍>b,所以a+c>b+c.又因?yàn)閏>d,所以b+c>b+d.由不等式的性質(zhì)1,得a+c>b+d.性質(zhì)4

如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(同向可加性)性質(zhì)拓展想一想：當(dāng)c=d時(shí)，結(jié)合前面所學(xué)的性質(zhì)，你發(fā)現(xiàn)了什么？實(shí)際上，性質(zhì)2和性質(zhì)4可以合并在一起表達(dá)為：如果a>b,c≥d,那么a+c>b+d.證明(1)因?yàn)閍>b,c>0,所以ac>bc.又因?yàn)閏>d,b>0,所以bc>bd.由不等式的性質(zhì)1,得ac>bd.試用(1)的方法完成(2)的證明.性質(zhì)5

(1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.(2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd.(同向可乘性)特殊地，當(dāng)a>b>0時(shí)，an>bn,其中n∈N+,n≥2.注意：該性質(zhì)不能逆推,如ac>bd?a>b,c>d.當(dāng)時(shí)，可得

，即a<b與已知條件a>b>0矛盾.當(dāng)時(shí)，可得，即a=b與已知條件a>b>0矛盾.所以不成立，即

以上不等式的性質(zhì)是解決不等式問題的基本依據(jù).（反證法）證明:假設(shè)③

例3.給出下列結(jié)論：①若ac>bc，則a>b；

②若a<b，則ac2<bc2；③若

<0，則a>b；

④若a>b，c>d，則a－c>b－d；⑤若a>b，c>d，則ac>bd.其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.判斷不等式是否成立的方法:(1)運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷.要注意不等式成立的條件,不要弱化條件,尤其是不能憑想象捏造性質(zhì).(2)特殊值法.取特殊值時(shí),要遵循如下原則:一是滿足題設(shè)條件;二是取值要簡單,便于驗(yàn)證計(jì)算.歸納總結(jié)練一練

B

證明:(1)因?yàn)閍b>0,所以>0.又因?yàn)閍>b,所以由不等式的性質(zhì)3,得