廣西南寧市2022年高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若直線二不平行于平面二，且二仁二，則（）

A.二內(nèi)所有直線與二異面

B.二內(nèi)只存在有限條直線與二共面

C.二內(nèi)存在唯一的直線與二平行

D.二內(nèi)存在無數(shù)條直線與二相交

2,中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝

才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起

腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.”由這個(gè)描述請(qǐng)算出這人第四天走

的路程為（）

A.6里B.12里C.24里D.48里

3.對(duì)于定義在R上的函數(shù)y=/（x）,若下列說法中有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則鎮(zhèn)堤的一個(gè)是（）

A./（X）在（-8,0］上是減函數(shù)B./（X）在（0,+8）上是增函數(shù)

c.7（x）不是函數(shù)的最小值D.對(duì)于xeR,都有/（x+l）=/（l-x）

22

4.已知雙曲線工一々=1（6>0）的漸近線方程為6x±y=0,則8=（）

4b-

A.2A/3B.V3C.正D.473

2

5.2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年，小明、小紅、小金三人以國(guó)慶為主題各自獨(dú)立完成一

幅十字繡贈(zèng)送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?huì)，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國(guó)富民強(qiáng)”、“興國(guó)之路”，為了弄清“國(guó)富民強(qiáng)”

這一作品是誰制作的，村支書對(duì)三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：

小明說：“鴻福齊天”是我制作的；

小紅說：“國(guó)富民強(qiáng)”不是小明制作的，就是我制作的；

小金說：“興國(guó)之路”不是我制作的，

若三人的說法有且僅有一人是正確的，貝心鴻福齊天”的制作者是（)

A.小明B.小紅C.小金D.小金或小明

7T

6.函數(shù)/（x）=2sin（2x-可）的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是（）

①圖象C關(guān)于直線x=且7對(duì)稱；

12

TT

②圖象c關(guān)于點(diǎn)（—§,（））對(duì)稱；

③由j=2s加2x的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.

A.①B.①②C.②③D.①②③

7TH

7.己知當(dāng)加，1）時(shí)，sin——sin—</73-/?3,則以下判斷正確的是（）

22

A.m>nB.Iml<ln\

C.m<nD."與"的大小關(guān)系不確定

8.在正方體AG中，E是棱CC的中點(diǎn)，尸是側(cè)面BCG片內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A/與平面的垂線垂直，如圖所示,

下列說法不無碗的是（）

A.點(diǎn)尸的軌跡是一條線段B.4口與BE是異面直線

C.4尸與。E不可能平行D.三棱錐E-A82的體積為定值

9.木匠師傅對(duì)一個(gè)圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個(gè)三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）

3百

主視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.24兀+9如B.487+9石C.48萬+18百D.144萬+186

10.函數(shù)y=/(x)滿足對(duì)任意xwR都有/(x+2)=/(—力成立，且函數(shù)y=/(x-l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,

/(1)=4,則/(2016)+〃2017)+/'(2018)的值為()

A.0B.2C.4D.1

<i1V0

11.的展開式中有理項(xiàng)有()

A.3項(xiàng)B.4項(xiàng)C.5項(xiàng)D.7項(xiàng)

12.過拋物線C的焦點(diǎn)且與C的對(duì)稱軸垂直的直線/與C交于A，B兩點(diǎn),|AB|=4,P為c的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則

AABP的面積為()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/(幻二四二的極大值為.

14.如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABC。中，AC與3。相交于O.剪去將剩余部分沿OC,折疊,

使。4、。8重合，則以48)、C、D、。為頂點(diǎn)的四面體的外接球的體積為.

15.已知三棱錐P-ABC,PA=PB=PC,AABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，D,E分別是~4、A8的中點(diǎn)，F(xiàn)

JI7

為棱8。上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C除外)，NCDEf若異面直線AC與。尸所成的角為。，且cos6=m，則CF=.

16.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S-AB8,該四棱錐的體積為生2,則該半球的體積為.

“\/J

AB

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，已知四邊形A4CC為矩形，M=6,AB=AC=4,

/區(qū)4。=/班4=60。，NAAC的角平分線AD交CC于￡>.

（1）求證:平面區(qū)4。，平面441G。；

（2）求二面角A-AG-A的余弦值?

18.(12分)已知x>0,y>0,z>0,x2+y2+z2=l,證明:

⑴(x+y)2+(y+z)2+(x+z)2?4；

(2)—I----1—>1+2dxy+25/xz+2Jyz,

xyz

k

19.（12分）已知函數(shù)/（同=/-萬/有兩個(gè)極值點(diǎn)網(wǎng)，々

（1）求實(shí)數(shù)攵的取值范圍;

20.（12分）如圖,在四棱錐產(chǎn)一ABC。中,四邊形ABC。是直角梯形，48_14。,45//?！?gt;,P。_1底面43。。

AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E,是P8的中點(diǎn).

(1).求證:平面E4C_L平面PBC;

(2).若二面角P-AC-E的余弦值為手，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.

2

21.(12分)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)”在橢圓C：]+丁=1(1<〃<5)上，該橢圓的左頂點(diǎn)A到直線％->+5=0

a"

的距離為逑.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若橢圓C外一點(diǎn)N滿足，麗平行于)'軸，(麗-2兩)?麗=0,動(dòng)點(diǎn)P在直線x=2百上,滿足麗.橋=2.

設(shè)過點(diǎn)N且垂直O(jiān)P的直線/,試問直線/是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)寫出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)請(qǐng)說明理由.

22.(10分)設(shè)橢圓C：%+方=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A，已知橢圓離心率為,，過點(diǎn)F且與x軸

垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3.

(I)求橢圓C的方程；

(U)設(shè)過點(diǎn)A的直線/與橢圓C交于點(diǎn)3(3不在X軸上)，垂直于/的直線與/交于點(diǎn)與〉'軸交于點(diǎn)”，若

BFLHF,且NMQ4WNM4O,求直線/斜率的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

通過條件判斷直線二與平面二相交，于是可以判斷ABCD的正誤.

【詳解】

根據(jù)直線二不平行于平面二，且二u二可知直線二與平面二相交，于是ABC錯(cuò)誤，故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.

2.C

【解析】

1%(1-:)

設(shè)第一天走％里，則僅〃｝是以為為首項(xiàng)，以彳為公比的等比數(shù)列，由題意得$6=----看一=378,求出q=192(里

21-1

2

),由此能求出該人第四天走的路程.

【詳解】

設(shè)第一天走q里，則｛4｝是以可為首項(xiàng)，以;為公比的等比數(shù)列，

a(1--)

由題意得：§6=」一產(chǎn)二=378,

1--

2

解得q=192(里)，

包=qx(g)3=192x^=24(里).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的某一項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化

思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由/(x+l)=/(l—x)得/(X)關(guān)于X=1對(duì)稱，

若關(guān)于x=1對(duì)稱，則函數(shù)/(%)在(0,+8)上不可能是單調(diào)的，

故錯(cuò)誤的可能是3或者是。，

若。錯(cuò)誤，

貝!J/(x)在(-8,。1上是減函數(shù)，在.f(x)在(0,+/)上是增函數(shù)，則7(0)為函數(shù)的最小值，與C矛盾，此時(shí)C也錯(cuò)誤,

不滿足條件.

故錯(cuò)誤的是B,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合對(duì)稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

4.A

【解析】

22L.

根據(jù)雙曲線方程3-方=1(^>0),確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)漸近線方程瓜±y=0得到￡=6求解.

【詳解】

22

因?yàn)殡p曲線二一二=1(匕>0),

4b2

所以。=2,又因?yàn)闈u近線方程為8*±y=0,

所以2=4=6,

a2

所以人=2，L

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

將三個(gè)人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.

【詳解】

依題意，三個(gè)人制作的所有情況如下所示：

123456

鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金

國(guó)富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明

興國(guó)之路小金小紅小明小金小明小紅

若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作

者是小紅，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和圖象變換的知識(shí)，判斷出正確的結(jié)論.

【詳解】

7T

因?yàn)?(x)=2sin(2x-/),

3

又/(1|)=2sin(2x||-1)=2sin^=2,所以①正確.

/(-1)=2sin(2x^-1)=2sin(-萬)=0,所以②正確.

將y=2sin2x的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=2sin[2(x—g)]=2sin(2x-*),所以③錯(cuò)誤.

所以①②正確，③錯(cuò)誤.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)/(x)=x3+sin皆,求得可得/(x)為增函數(shù)，又用，1)時(shí),

根據(jù)條件得＜/(〃)，即可得結(jié)果.

【詳解】

解：^/(x)=x3+sin^,xe[-l,l],

貝!If(x)=3x2+cos皆>0,

即/(x)=?+siny,xe[-l,l]為增函數(shù)，

又〃2,,I),sin-----sin——<rv-m

229

口口.兀m3.萬〃3

Bpsin---+m<sin——十〃，

22

所以/?</(〃),

所以加<”.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題.

8.C

【解析】

分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，體積公式分別進(jìn)行判斷.

【詳解】

對(duì)于A,設(shè)平面A￡)E與直線5c交于點(diǎn)G,連接4G、EG,則G為8c的中點(diǎn)

分別取8/、用G的中點(diǎn)M、N,連接AM、MN、AN,

Q%MUD\E,4加仁平面。14￡：,〃Eu平面。1AE,

.?.4知//平面￡>,昂同理可得MN//平面RAE,

???AM、MN是平面AMN內(nèi)的相交直線

二平面AMN//平面DAE,由此結(jié)合4///平面。?AE,可得直線4尸u平面,

即點(diǎn)尸是線段MN上上的動(dòng)點(diǎn)A正確.

對(duì)于3,?.?平面AM'//平面AAE,跖和平面AAE相交，

二A廠與座是異面直線，,8正確.

對(duì)于C,由A知，平面AMN//平面RAE,

.?.A尸與。E不可能平行，，C錯(cuò)誤.

對(duì)于。，因?yàn)镸N//EG,則E到平面AQE的距離是定值，三棱錐尸-ARE的體積為定值，所以。正確

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、空間位置關(guān)系、空間角、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

9.C

【解析】

由三視圖知幾何體是一個(gè)從圓錐中截出來的錐體，圓錐底面半徑為.卜+(竽)2,圓錐的高h(yuǎn)=J(3@2一32，截去

的底面劣弧的圓心角為M，底面剩余部分的面積為S乃《門主利用錐體的體積公式即可求得.

32323

【詳解】

由己知中的三視圖知圓錐底面半徑為r==圓錐的高/?=J(3行了一32=6,圓錐母線

l==66截去的底面弧的圓心角為120。，底面剩余部分的面積為

S--7rr2+—r2sin—=—x62+—x62xsin—=24乃+973,故幾何體的體積為：

323323

V=ls/z=-x(24^+9V3)x6-48^+1873.

33

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題，考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，難度一般.

10.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)y=/(X-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱可得"X)為奇函數(shù)，結(jié)合/(X+2)=/(—X)可得“X)是周期為4

的周期函數(shù)，利用/(0)=0及/(1)=4可得所求的值.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x—1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以》=/(力的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以/(x)為R上的奇函數(shù).

由/(x+2)=/(-x)可得/(x+2)=—/(x),故/(x+4)=—/(x+2)=/(x),

故是周期為4的周期函數(shù).

因?yàn)?016=4x504,2017=4x504+1,2018=4x504+2,

所以/(2()16)+/(2017)+/(2018)=/(0)+〃1)+/(2)=4+/(2).

因?yàn)镕(X+2)="T),故為(0+2)=f(-0)=-/(0)=。,

所以〃2016)+/(2017)+/(2018)=4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，一般地，如果R上的函數(shù)“X)滿足/(x+a)=-/(x)(aHO),那么是周期

為2a的周期函數(shù)，本題屬于中檔題.

11.B

【解析】

由二項(xiàng)展開式定理求出通項(xiàng)，求出x的指數(shù)為整數(shù)時(shí)「的個(gè)數(shù)，即可求解.

【詳解】

=(-l)2T°，0WY10，

當(dāng)r=0,3,6,9時(shí)，為有理項(xiàng)，共4項(xiàng).

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式項(xiàng)的特征，熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)2=2px(p>0),得焦點(diǎn)為產(chǎn)仁,0),對(duì)稱軸為x軸，準(zhǔn)線為這樣可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為

(稱,2,代入拋物線方程可求得P,而P到直線的距離為P,從而可求得三角形面積.

【詳解】

設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)2=2px(〃>0),

則焦點(diǎn)為尸已。］,對(duì)稱軸為x軸，準(zhǔn)線為x=-g

■:直線/經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，A,B是/與C的交點(diǎn)，

又AB'x軸，.?.可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為［§,21，

IZ7

KAy2=2px,解得。=2,

又?.?點(diǎn)戶在準(zhǔn)線上，設(shè)過點(diǎn)P的AB的垂線與AB交于點(diǎn)O,\DP\=^+--^=p=2,

???SM8P=；|OP||AB|=；X2X4=4.

故應(yīng)選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的性質(zhì)，解題時(shí)只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就能得出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得參數(shù)。的值.本題難度一

般.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.~7

e~

【解析】

先求函的定義域，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再解不等式得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得極值點(diǎn)，即可求出函數(shù)/(x)的極大值.

【詳解】

函數(shù)f(x)=-—-,XG(0,+O0),

X

、l-(lnx-V)2-lnx

...f(x)=————=——,

XX

令尸(X)=0得，

???當(dāng)XG(0,/)時(shí)，/'(x)>o,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(e2,+8)時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

???當(dāng)x=e2時(shí)，函數(shù)F(x)取到極大值，極大值為/\e2)=依=1=二.

e~e~

故答案為：—?

e~

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意定義域

優(yōu)先法則的應(yīng)用.

14.8屈兀

【解析】

將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對(duì)角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.

【詳解】

由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示

8=4,OA=OC=OD=26,故正方體體對(duì)角線長(zhǎng)為+oc?+O?=2&，

所以外接球半徑為R=",其體積為g乃/?3=8后".

故答案為：8瓜兀.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐外接球的體積問題，一般在處理特殊幾何體的外接球問題時(shí)，要考慮是否能將其置入正(長(zhǎng))方體中,

是一道中檔題.

5

15.-

2

【解析】

取AC的中點(diǎn)G,連接GP,GB,取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF,DF,直線AC與。尸所成的角為NMD廠,

計(jì)算M尸=02一2。+2,。產(chǎn)=/—4。+10,根據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案。

【詳解】

取AC的中點(diǎn)G,連接GP,GB,依題意可得AC_LGP,ACA.GB,

所以AC,平面GPB,所以AC_LPB,

TT

因?yàn)?。，E分別PA、AB的中點(diǎn)，所以DE//BP,因?yàn)?。。￡=工，所以

所以BP,平面P4C,故故PA=PB=PC=2O,

故PA,PB,PC兩兩垂直。

取PC的中點(diǎn)M，連接DM，MF,DF,因?yàn)镈M〃AC,

所以直線AC與。E所成的角為NMDP,

設(shè)b=a(O<aW4),則加尸="。2+。尸—2加℃八05?=/-20+2,

DF2^DP2+PF2=2+S+a2-2x2>/2ax—^a2-4a+W,

2

八12—2。6—a7

所以cos夕=—/==-.==一,

45/a2-4a+102>Ja2-4ci+\Q10

化簡(jiǎn)得（6a+41）（2a—5）=0,解得a=g,即b=

故答案為：|.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長(zhǎng)度，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

16.端

3

【解析】

由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關(guān)系，進(jìn)而可寫出半球的半徑與四棱錐體積

的關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)所給半球的半徑為則四棱錐的高力=尺，

則AB=BC=CD=DA=41R，由四棱錐的體積JIRJRnR=0，

半球的體積為：27配=謹(jǐn)%.

33

【方法點(diǎn)睛】

涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把空間問題

轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心

的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）見解析；（2）上叵

17

【解析】

(1)過點(diǎn)。作。E//AC交A%于E,連接CE,BE,設(shè)連接B。，由角平分線的性質(zhì)，正方形的性

質(zhì)，三角形的全等，證得CE_L8O,CELAD,由線面垂直的判斷定理證得CE,平面840,再由面面垂直的判

斷得證.

(2)平面幾何知識(shí)和線面的關(guān)系可證得平面A4,GC，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,求得兩個(gè)平面的法向量,

根據(jù)二面角的向量計(jì)算公式可求得其值.

【詳解】

(D如圖，過點(diǎn)。作OE//AC交AA于E,連接CE,BE,設(shè)AOf]CE=。，連接BO,???ACJ.A4,,.?.￡)E_LA￡,

又A￡＞為NAAC的角平分線，二四邊形AE0C為正方形，.?.C￡_LA￡),

又?.?AC=AE,ZBAC=ZBAE,BA^BA,:.ABAC^^BAE,:.BC=BE,又為CE的中點(diǎn)，:.CE1BO

又?.,M),80u平面&LD,ADC\BO=O,二CEJ■平面840,

又C￡u平面A4,GC,???平面明O_L平面GC，

(2)在MBC中，\-AB=AC=4,NB4C=60。，.?.BC=4,在RtABOC中，?.?C0=gcE=2百，.?.80=20，

又AB=4,AO=-AD^242,BO2+AO2=AB2，：.BO±AD,

又上比＜=平面。。，..平面。。，

BOCE,AD^\CE=O,40,411?80，441

故建立如圖空間直角坐標(biāo)系。一型，則A(2,—2,0),A(2,4,0),C,(-2,4,0),

4(0,6,2&),，謫=(2,2,2亞)，E=(Y,6,0),融=(4,0,0),

.而j_cB-4-X1+6V)—0

設(shè)平面MG的一個(gè)法向量為m=(/y4),貝!J,J-2,/.'廠,

\々，刀，”[慶|2XI+2y+2&Z]=0

令玉=6,得記=(6,4,-5五),

一\nA-CB

設(shè)平面44cl的一個(gè)法向量為拉=(馬,%*2)，則L給XX，

4入2=0L一L

令%=逝，得〃=((),應(yīng),-

|999rn，1)

2X2+2y2+2V2Z2=0

--mn9723717

?＜加'"＞=麗=7^^=k'由圖示可知二面角AdC3是銳角，

故二面角A-4G-4的余弦值為"7.

17

【點(diǎn)睛】

本題考查空間的面面垂直關(guān)系的證明，二面角的計(jì)算，在證明垂直關(guān)系時(shí)，注意運(yùn)用平面幾何中的等腰三角形的“三線

合一”，勾股定理、菱形的對(duì)角線互相垂直，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)先由基本不等式可得xy+yz+次,1,而(x+y)2+(y+z)2+(x+z)2=2+2(xy+yz+zx),,4,即得證；

[1II]]II

(2)首先推導(dǎo)出x+y+Z>1,再利用--1---1--=--1---1--(Y+y2+z~),展開即可得證.

xyzyxyz)x7

【詳解】

證明：(1)vx2+y2+z2=1,

2Ay+2yz+2xz,,+y~+y~+z~+z~+x~—2(%2++z2)=2,

/.xy+yz+zx,,1,

(x+yf+(y+z)2+(z+x『=2(x2+y?+2?)+2(盯+yz+zx)=2+2(盯+yz+zx)?4(當(dāng)且僅當(dāng)x=V=z時(shí)

取等號(hào)).

(2)0,y>0,z>0,x2+y2+z2=1,

/.(x+y+z>=Y+y+z2+2xy+2yz+2zx=1+2xy+2xz+2yz>1,

/.x+y+z>1,

iii111

.??一+—+-=—+——d---廠2+y2+z2

Xyz%yz

y2z2x~2z2x2y2

=x+—+—+—+y+—+—+—+z

xxyyzz

22(2

3ZXz

=(x+y+z)++一+一+一4-—4->1+2y[xy+2\fxz+2yfyz,

xy)Xzz

—l---1—＞1+2^/xy+2yjxz+2Jyz.

xyz一

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

19.(1)(e,+8)(2)證明見解析

【解析】

(D先求得導(dǎo)函數(shù)/'(X),根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)可知/'(x)=e'-依=0有兩個(gè)不等實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)g(x)="-丘，求

得g'(x)；討論％W0和女＞0兩種情況，即可確定g(x)零點(diǎn)的情況，即可由零點(diǎn)的情況確定攵的取值范圍；

(2)根據(jù)極值點(diǎn)定義可知/'(%)=/—丘1=0,/'(￡)=*-"2=0,代入不等式化簡(jiǎn)變形后可知只需證明

YYJ

玉+赴＞2；構(gòu)造函數(shù)%(x)=W，并求得〃(力，進(jìn)而判斷/?(%)=吃的單調(diào)區(qū)間，由題意可知〃(3)=〃(/)=「

C-e

并設(shè)0＜玉＜1＜々，構(gòu)造函數(shù)e(x)=〃(x)-〃(2-X),并求得°'(x),即可判斷°(x)在0cx＜1內(nèi)的單調(diào)性和最值,

進(jìn)而可得〃(％)-〃(2r)＜0,即可由函數(shù)性質(zhì)得〃(毛)＜〃(2-苞)，進(jìn)而由單調(diào)性證明

%＞2-王，即證明玉+々＞2,從而證明原不等式成立.

【詳解】

k

(1)函數(shù)/(力=6、-寸2

貝！1/，3=6「西，

因?yàn)?(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)芭，％2，

所以/'(x)=e'-"=0有兩個(gè)不等實(shí)根.

設(shè)g(x)=f'(x)^ex-kx,所以g\x)^ex-k.

①當(dāng)ZWO時(shí)，g'(x)=e*-、＞0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

②當(dāng)攵〉0時(shí)，令g'(x)=e*-Z=0得x=ln左，

X(T?,lnA)Ink(in4,+00)

g'(x)-0+

g(x)減極小值增

所以g(x)n,m=g(lnZ)=k-ZlnA:<0,即左>e.

又因?yàn)間(0)=l>0,g(k)=ek-k2>0,

所以g(x)在區(qū)間(O,lnZ)和(ln￡Z)上各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，

綜上，實(shí)數(shù)女的取值范圍為年,”).

(2)證明：由題意知/'(xj=e"一而?=0,/'(xjue的一米2=0,

X1

所以,=5,e=kx2.

要證明〃)+工區(qū)<%,

%%

px\--Y2*-

只需證明_匚+^^1=2"々%+3<后,

xtx22

只需證明玉+々>2.

因?yàn)閑f=QtI,e'z=kx,,所以：=々=

一e*,涉k

設(shè)〃(x)=。，貝"(耳二"!一^,

ee

所以〃(X)在(-8,1)上是增函數(shù)，在(1,+°0)上是減函數(shù).

因?yàn)椤?%)=〃(％)=；，

K

不妨設(shè)。<&<1<々，

設(shè)o(x)=〃(x)-〃(2-x),0<%<1,

貝(Jd(x)=〃，(x)+/(2_x)=q_M=(l_x)［；_￡),

CC\CJ

當(dāng)XW(O,1)時(shí)，1一工>0,—>—5779

ee

所以“（x）＞0,所以0（x）在（0,1）上是增函數(shù)，

所以0（%）＜0（1）=0,

所以〃（x）-〃（2—x）＜0,即〃

因?yàn)閄]€（（）,1）,所以〃（玉）＜〃（2—玉），

所以〃（赴）＜〃（2-玉）.

因?yàn)椤陘（1,+。。），2-玉€。,+8）,且人⑴在（1,+00）上是減函數(shù)，

所以彳2＞2-斗，

即％+電＞2,

所以原命題成立，得證.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)證明不等式，構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用，極值點(diǎn)偏移證明不等式成立的

應(yīng)用，是高考的?？键c(diǎn)和熱點(diǎn)，屬于難題.

20.（1）見解析；（2）—.

3

【解析】試題分析：（1）根據(jù)「。，平面438有。。，4。，利用勾股定理可證明4CL8C,故AC_L平面P8C,

再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）在。點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角AC-￡的余弦值為逅建

3

立方程求得PC=2,在利用法向量求得PA和平面E4C所成角的正弦值.

試題解析：（I）\-PCl平面ABCD,ACu平面ABCD,AC±PC

因?yàn)?5=4,AO=CO=2,所以AC==&，所以AC?+BP=AB）,所以AC_L,又3CcPC=C,所以

AC_L平面PBC.因?yàn)锳Cu平面EAC,所以平面EAC_L平面PBC.

（n）如圖，

K

B

yDc

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，礪，而，而分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則

C(0,0,0),A(2,2,0),B(2,-2,0).設(shè)P(0,0,2a)(a>0),則E[1,-1,a)

癰=(2,2,0),而=(0,0,2a),在=(1,—l,a)取沅=(1,—1,0),貝！|玩?卞=沅.而=0,玩為面PAC法向量.

設(shè)亢=(x,y,z)為面EAC的法向量，則萬?5=萬?至=0,

x+v-0

即｛,取x=a,y=-a,z=-2,則為=（〃,一。，一2）

x-y+az=0"

當(dāng)，則a=2.于是萬=(2,—2,—2),麗=(2,2,T).

依題意|COS〈泣砌=褊=/

設(shè)直線B4與平面E4c所成角為6,貝(Jsing=如〈麗昨用邛

萬

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為—.

3

21.(1)—+/=1；(2)見解析

4

【解析】

(D根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出a的值，即可得橢圓方程；

(2)由題意M(xo,yo),N(xo,yi),P(273?t),根據(jù)(麗一2兩)?麗=0,可得yi=2yo,由兩.而=2,

可得2j5xo+2yot=6,再根據(jù)向量的運(yùn)算可得標(biāo)?歷=0，即可證明.

【詳解】

(1)左頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a,0),\?與叱=3返，：.|a-5|=3,解得a=2或a=8(舍去)，，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)

V22

2

方程為￡_+y2=l,

4

(2)由題意M(xo,yo),N(xo,yi),P(2?,t),則依題意可知yi分o,'.?(ON-20MlMN=0得(xo-2xo,

yi-2y0)