尷尬“估算”-理性教學

2023年主題教學論文〔小學數(shù)學〕2023年主題教學論文〔小學數(shù)學〕【內容摘要】估算是計算教學中必不可少的重要內容，無論是估計運算的結果，還是確定數(shù)的取值范圍，都在數(shù)學學習中有著十分廣泛的應用。自“估算〞進入數(shù)學課程后，其難教、難學是不爭的事實。究其原因在于理論研究的缺乏、課程設計及實踐經驗的缺乏，以及估算在解決問題策略上的多樣性和計算結果的不確定性等因素造成的。本文通過對學生估算現(xiàn)狀分析入手，探尋切實可行的有效策略?！娟P鍵詞】估算教學理性分析應對策略【正文】估算是計算教學中必不可少的重要內容，無論是估計運算的結果，還是確定數(shù)的取值范圍，都在數(shù)學學習中有著十分廣泛的應用。估算作為小學數(shù)學課程內容最初僅限于培養(yǎng)計算能力，是計算教學的輔助手段。2023年公布的《義務教育數(shù)學課程標準》對估算教學作了具體的描述。第一學段：能結合具體情境，選擇適當?shù)膯挝贿M行簡單估算，體會估算在生活中的作用；第二學段：在解決問題的過程中，能選擇適宜的方法進行估算。但是，不可否認，自“估算〞進入數(shù)學課程后,其難教、難學已是不爭的事實。雖然教科書中參加了估算，但事實上這一內容并未真正融入數(shù)學課程，與相關內容以及教師的教和學生的學仍是一種對立關系。讓我們一起來看看估算教學中的一些現(xiàn)狀?！盀殡y〞估算【案例一】人教版《數(shù)學》三年下冊第二單元“除數(shù)是一位數(shù)的除法〞第31頁第4題如下列圖：面對此類題，大局部學生采用的是估算進行解答，因為對于學生來說，只要題中出現(xiàn)“大約〞字眼，尤其是題中的問題出現(xiàn)“大約〞字眼，肯定是要用“估算〞的。困惑：為什么學生面對問題中出現(xiàn)的“大約〞“約〞字眼就想到用估算，是老師平時錯誤數(shù)學信息的提示，還是凡“大約〞就一定要“估算〞錯誤思想的“根深蒂固〞？【案例二】一次公開課上，某老師出示了如下一道題：一班學生238人，二班學生158個學生，399個座位夠嗎？老師把學生分成6個小組進行了討論，其中有5個小組用了老師課上強調的“既湊整算得快，又與實際結果相差得盡可能小〞的思路，將238估計為240，158估計為160，240+160=400，所以399個座位不夠；而其中有1個小組進行了精確計算，發(fā)現(xiàn)399個座位夠。面對學生不同的答案，教師說道：“確實，有些問題是不能用估算解決的，必須進行精確計算〞。學生在上完課與教師的交流中這樣說道：“因為今天是公開課，所以才用到估算，平時，對于這種題目，我們的老師都讓我們用精確計算的……〞上課老師陷入了為難中。困惑：“估算〞教學只是走形式，“估算〞教學只是“做秀〞，學生既沒有感受估算其中的簡化思想，也沒有觸及估算的真正意義，學生估算意識的培養(yǎng)和估算能力的提高從所談起？【案例三】教師出示以下題目，請學生進行估算。東方書報亭10月上旬的營業(yè)額〔單元：元〕，你能估計出這個月上旬的營業(yè)額嗎？日期12345678910營業(yè)額206201206204205198196198195203生1：我把這些數(shù)都估成200，200×10=2000〔元〕生2：我把206、205看作210，其他的數(shù)都看作200，210×3+200×7=2030〔元〕，其他學生也表示同意。這時一個學生站起來：老師，我也算出來，比他們算得更準確，得2023元。困惑：在統(tǒng)計類題型中，“估算〞是不是等同于“簡算〞？“簡算〞可以代替“估算〞？【案例四】某校期末考試卷上一道估算題：每個籃球49元，要買8個籃球，請你估計400元夠嗎？閱卷時老師發(fā)現(xiàn)，全班學生幾乎都是用精算算出結果的，即49×8=392〔元〕，392﹤400，所以夠了。學生這樣解答算不算對？給不給分？大局部的教師認為：①雖然學生采用了精確計算的方法，只要結果是正確的，就應該給予肯定。②學生沒有認真審題，不能判分。困惑：“估算〞的結果是否有統(tǒng)一的標準？“估算〞評價的多樣性，尤其把精確計算也納入到“估算〞評價方法，會不會讓學生更愛“精算〞而棄“估算〞！綜合上述的案例，我們大致可以概括當前估算教學的現(xiàn)狀為：學生對估算的價值認識不夠；教師自身數(shù)學素養(yǎng)〔估算知識〕欠缺，對估算教學內容把握不準；教材編寫不夠合理，估算教學遭遇許多為難；估算教學效果難以檢測和評價；受傳統(tǒng)的精確計算占統(tǒng)治地位的影響，學生習慣精算，不愿估算；深度剖析看得出估算這一課程內容在教學實踐中存在很多問題。理論研究的缺乏、課程設計及實踐的經驗缺乏，以及估算在解決問題策略上的多樣性和計算結果的不確定性等因素都讓老師們與學生對估算“望而卻步〞。因此需要明晰估算作為課程內容的本質屬性，提示矛盾產生的原因，進而尋求估算融入數(shù)學課程與教學的途徑，實現(xiàn)估算的課程目標。一、從“大約〞看“估算〞本質“大約〞一詞是伴隨著估算進入數(shù)學教科書的。查閱《新華漢語詞典》“大約〞的解釋是，“大約〞作為副詞后接數(shù)量時，一般表示不十分準確但比擬接近的意思，“大約〞并不是一個具有嚴格意義的數(shù)學術語，因此在不同語境的使用中，其含義是會出現(xiàn)差異的?！惨弧场盁o法準確〞的“大約〞所謂的“無法準確〞的“大約〞指的是，無法用具體的精確的數(shù)字來表達其數(shù)量特征。就如上述案例一中指到的“青蛙大約活6年〞，“海龜大約活128年〞，這些所說“青蛙〞和“海龜〞，不是一只而是一類。當然不可能每一只青蛙都可以活6年，每一只海龜都可以活128年，這里所使用的“大約〞反映的是一類動物壽命的普遍現(xiàn)象，即“青蛙的壽命都近似于6年〞以及“海龜?shù)膲勖冀朴?28年〞。這里的“6年〞或“128年〞應當是動物學家對大量青蛙和海龜觀察取證后所得到的平均值，因此，這里的“大約〞實際是統(tǒng)計中的“平均〞的意思，因此也可以說“青蛙的平均壽命是6年〞以及“海龜?shù)钠骄鶋勖?28年〞。諸如此類的問題表達中外表看有“大約〞，但并不屬于需要估算的問題?！盁o法準確〞的“大約〞的另一種情況是路程、速度中的表達。比方在一些作業(yè)中經常會碰到這種題目：“小明每分鐘走65米，從學校到家走了10鐘，小明家離學校大約有多少米？〞題目中表達的“小明每分鐘走65米〞，并不說明小明每分鐘真的都剛剛好是65米，行走過程中時快時慢的速度是很正常的事情。這里的“每分鐘走65米〞也是一個統(tǒng)計意義的平均值，因此也可以表述為，“小明平均每分鐘走65米〞。題目中的問題“小明家離學校大約有多少米〞中的“大約〞，并不是要求運算估算進行解答的，而是伴隨著前面的“大約走65米〞而出現(xiàn)的。此類題目還有許多如“王亮正在看的故事書有60頁，每頁有20行字，平均每行大約有25個字，這本書大約有多少個字？〞等，這些題中的“大約〞只是承接前句中的“約〞，所以屬于精確計算，不需要估算?！捕巢煌c“近似值〞的“大約〞我們知道：如果一個數(shù)能確切地表示一個量的真正值〔準確值〕，那么這個數(shù)叫準確數(shù)，求準確數(shù)的計算叫精確計算；近似地表示某個量的準確數(shù)的數(shù)叫近似數(shù)，求近似數(shù)的計算叫近似計算。近似計算按照一定的規(guī)那么進行計算的，計算結果的誤差不能超過允許的范圍。估算，即大致推算，一般指根據(jù)實際需要、具體條件和要求，粗略地求出結果的計算。特別是“近似計算〞，一般是“無法準確〞的情況下，不得已而為之的計算，比方大家都知道的圓周率就是一個圓的周長與這個圓的直徑的比值，由于這個比值是無理數(shù)，因此無法用整數(shù)或有限的十進小數(shù)表達出來，不得已而采用四舍五入取近似值，最后只能說“圓周率大約是3.14〞或者“近似于3.14〞，雖然結果不是準確的，但人的主觀意愿還是追求盡量準確。因此近似計算與估算是有本質上的差異的，不能將二者混為一堂。上述案例二中的學生三種計算方法中，簡算是簡算，估算是估算，“估算〞不等同于“簡算〞，“簡算〞不可以代替“估算〞，只能說通過“簡算〞來求“估算〞的結果。二、從“多元性〞看“估算〞屬性估算的方法和策略是靈活多樣的，它沒有精確度的硬性要求，它的結果是多元的，一般而言，估算的結果難說對與錯，只有好與差之分。另外，由于估算受個體目標的影響，這就使得估算相對于通常計算所追求的“準確〞來說就具有了不確定性。這種不確定性自然就導致了估算方法的個性化和多樣化特征。這種不確定性和方法的個性化多樣化統(tǒng)稱為估算的開放性。〔一〕數(shù)據(jù)重塑與算式轉換估算的開放性首先表現(xiàn)在數(shù)據(jù)重塑、算式轉換。所謂數(shù)據(jù)重塑是指在進行估算時，將參加計算的數(shù)據(jù)進行改變進而進行簡算。在估算的思考過程中，數(shù)據(jù)重塑和算式轉換是經常同時出現(xiàn)的。但要注意兩者的不同，比方，對于“8946+7212+7814〞的估算，如果把注意力放在數(shù)據(jù)的改變上，就會將算式改變?yōu)椤?000+7000+8000〞，從而得到估算的結果為24000，其中只有數(shù)據(jù)發(fā)生了變化，算式的結構并沒有發(fā)現(xiàn)變化，因此，它屬于數(shù)據(jù)重塑的思維過程。如果從整體觀察算式“8946+7212+7814〞，會發(fā)現(xiàn)三個數(shù)據(jù)都非常接近8000，想到變加法為乘法，算式就變成了“8000×3〞，其結果也是24000。這樣的過程使得算式的結構發(fā)生了變化，因此，屬于算式轉換的思維過程。所以，前面的案例二，日期12345678910營業(yè)額206201206204205198196198195203當學生把這些數(shù)都估成200，200×10=2000〔元〕，這是算式轉換的思維過程，而學生把206、205看作210，其他的數(shù)都看作200，210×3+200×7=2030，也同時用到了“數(shù)據(jù)重塑〞與“算式轉換〞而進行的算簡，是非常好的估算方算，要大力表現(xiàn)學生，但要告訴學生，這是估算的一種思維方式，但不等于“簡算〞。〔二〕盈虧互補估算的開放性其次表現(xiàn)在“盈虧互補〞上。盈虧互補實際上是追求估算結果盡量準確而進行的思維過程，是伴隨在數(shù)據(jù)重塑和算式轉換之中或之后進行調整的過程。這一思維過程是與問題的情境及問題的目標緊密相關的。比方前面的案例三，“一班學生238人，二班學生158個學生，399個座位夠嗎？〞，如果將238估為240，158估為160，240+160=400，這一過程首先采用了數(shù)據(jù)重塑，如果再采用盈虧互補240估大了2，160估大了2，即240+160=400400-2-2＝396，把算多的局部減去也就輕易地估算出399個座位夠了。盈虧互補作為一種思維方法，不僅在計算中使用，在解決問題中也經常出現(xiàn)，比方“雞兔同籠〞中的假設法，也是蘊含了盈虧互補的思維過程。三、“估算〞具有“風險性〞在運用估算解決問題的過程中，策略選擇的思考中存在著諸多的不確定因素，相對于精確計算來說，這些不確定因素一方面是導致其難教、難學的主要原因。另一方面也是培養(yǎng)學生良好思維的契機和素材。比方人版二年級上冊作業(yè)本上的一道數(shù)學題：一件上衣58元，一條褲子43元，買一套大約需要花多少錢？100元夠嗎？學生在解答入時陷了困境：因為此題如果直接精確計算“58+43〞的結果為101，立刻就可以得到問題的結論“100元錢不夠〞。如果估算那么出現(xiàn)了如下的答案：將58與43都估成最接近的整十數(shù)“60〞與“40〞后，那么60+40=100，那么可以得出“大約100元〞，并且“100元夠了〞結論。這樣就出現(xiàn)了精確計算與估算結論不一樣的情況。這樣就讓學生產生了質疑，并模棱兩可，是相信估算的答案呢，還是精確定計算的答案？這樣，估算策略選擇會有“不可靠〞風險。再如，“比擬51×49與52×48〞的大小，如果用精確計算的方法，直接計算出51×49的結果為2499，52×48的結果為2496，立刻可以得到51×49﹥52×48的結論，如果運用估算，就可能將51×49與52×48的每一個數(shù)據(jù)都就近變成整十數(shù)，那么兩個算式都變成了50×50，這樣比擬的結果就是兩個算相等，這種結果自然是不對的。由此看來，估算策略還會出現(xiàn)“無效〞的風險。類似于還有不同方法得到不同結論的情況。比方，前面的案例三：每個籃球49元，要買8個籃球，請你估計400元夠嗎？如果把49放大看成50，8×50等于400，所以買8個籃球400元是夠的。如果把8看成10，49×10等于490，比400大，所以買8個籃球400元是不夠的。同樣的問題運用不同的估算方法得到了不同的結論，因此，運用估算解決問題會出現(xiàn)“多解不同果〞的風險。我們都知道學生在學習數(shù)學的過程中通常都會有“一題多解〞的經驗，同樣的問題可以用不同的方法解決，不同的方法應當?shù)玫酵瑯拥慕Y果。而不同的估算方法可能會得到不同的結論，這就使得估算方法還具有“多元〞的特點。正是估算方法所具有的多元、無效和不可靠的特點，使得估算的過程具有了不確定性的特征。因此解題者在運用估算解決問題的過程中自然會出現(xiàn)“拿不準〞的感覺，這種拿不準的感覺可能也是許多學生寧愿使用精確計算也不愿意使用估算的原因所在。所以教師也需要一定等待的心，理解的心，寬容的心看待學生的估算。理性教學有了對估算教學的深度分析后，實際教學中就會理性的對待。例如觀念上重視，深刻理會估算的價值，將估算意識的培養(yǎng)作為估算教學的核心目標。教學中落實，教給學生根本的估算方法，養(yǎng)成良好的估算習慣?！惨弧巢呗缘暮侠磉x擇新課程改革倡導學生自主探究、培養(yǎng)創(chuàng)新精神和發(fā)散思維，但并不是怎么算都可以，怎么做都行。估算教學應教給學生一定的、普遍的標準，能怎么算都對。小學生做題時就有了大方向，有了一定的標準，在面對具體題目時再根據(jù)數(shù)據(jù)特點再靈活使用具體方法，學生的估算才能算得好、算得快。在《義務教育課程標準實驗教科書教師用書》中，提出估算的兩個標準是：符合生活實際，計算方便。筆者認為，估算的標準應是三條，而且這三條標準應該有分個主次先后：1、符合生活實際；2、計算方便，能夠口算；3、盡量接近準確值。第一，估算的首要條件是符合生活實際，因為具體情境中的數(shù)學問題，即使估算再簡便、再接近準確值，如果違背了客觀規(guī)律，也是站不住腳跟的。《義務教育課程標準實驗教科書教師用書》中明確指出：什么時候應估大些，什么時候應估小些，應視實際情況而定，不能機械的采用“四舍五入法〞來取近似數(shù)，如四年級上冊83頁的第5題：有500噸貨物，每節(jié)車廂限載60噸，需要多少節(jié)車廂才能裝完？此題就必須使用“進一法〞來估算：500÷60≈9〔節(jié)〕，因為剩下的貨物再少，也需要再裝1節(jié)車廂才能“裝完〞的。第二，如果估算比擬煩瑣，這樣的估算就失去了估算的價值；所以我們要求學生在確定了估算符合生活實際后，其次就要確定自己的方法是否比準確計算簡便，能否口算出結果。如872+469的估算中，有學生將872看作870、469看作470，雖然估算得出的結果1340非常接近準確值，但計算不簡便，喪失了估算的優(yōu)越性，所以這道題可以這樣估算，都比擬簡便：872+469≈1400872+469≈1369872+469≈1372……〔900〔500〕〔900〕〔500〕第三，在滿足了前兩個條件的前提下，估算結果還必須接近準確值。例如839÷6≈，就有學生將839看作了600，結果839÷6≈100，與準確值的誤差非常大，在實際生活中，估算是不允許有這么大的偏差的。所以，我們必須要求學生再考慮了第三個要素：接近準確值，一般把數(shù)據(jù)看作比擬接近原數(shù)的整十、整百數(shù)、幾百幾十數(shù)；因此，839÷6≈，應將839看作840，所以839÷6≈140。二、意識的正確培養(yǎng)生活中所有人都在頻繁的使用估算，可在學習中學生卻沒有估算的習慣，這是因為學和用別離了。要想培養(yǎng)學生的估算意識必須把學和用結合起來。1.變“可有可無〞為“無處不在〞。長久以來，估算在小學數(shù)學的教材中一直作為選學內容，且由于這局部內容在編排時，呈現(xiàn)的形式比擬單一，沒能表達出對學生估算能力的培養(yǎng)的完整意圖，充當著一個可有可無的角色。所以教師要創(chuàng)造性地使用教材，在原來教材中沒有要求估算的地方也要創(chuàng)造時機讓學生進行估算，活化教材，讓學生感到估算無處不在。在數(shù)與代數(shù)領域，估算要滲透到計算的每一個環(huán)節(jié)中。如教師引導學生在系統(tǒng)計算前進行估算，可分析解出的得數(shù)取值大概在什么范圍內。如在計算2613÷13時，學生容易漏掉商中間的0，如果先估算一下，2600÷13=200，所以2613除以13的商肯定比200多。計算中進行估算，對于四那么混合運算式題，在計算的過程中，既要觀察運算的順序是否正確，還要對每一步單獨運算的結果進行估算，看是否符合計算的有關規(guī)律。計算后進行估算，就是對照分析解出的得數(shù)是否在估算的取值范圍內或是否符合客觀實際，從而判斷出在計算過程中有沒有錯誤。2.變“不愿估算〞為“喜歡估算〞。教師在教學中要創(chuàng)設現(xiàn)實、有趣、富有挑戰(zhàn)性的情景，使學生逐步體驗估算的可行性。當估算成為一種習慣后，發(fā)現(xiàn)在學生當中有一種現(xiàn)象：很多的同學總是會為自己估算得最接近而洋洋得意。例如：在○里填上“＞〞“＜〞或“=〞。67×98○670047×63○240027×45○32×4631×53○29×49