2024屆江西省贛州市十八縣（市、區(qū)）二十三校高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE3江西省贛州市十八縣（市、區(qū)）二十三校2024屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.命題“對任意的個位數(shù)字不等于2”的否定是（）A.的個位數(shù)字等于2B.的個位數(shù)字不等于2C.的個位數(shù)字等于2D.的個位數(shù)字不等于2【答案】A【解析】由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為的個位數(shù)字等于2.故選：A.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由或，所以或，且則.故選：B.3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，所以，即，解得，所以，所以，故選：A4.已知為第一象限角，且，則為（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】由題設(shè)，則，所以，而為第一象限角，所以，則,所以，即為第四象限角.故選：D.5.已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，令的公差為且，則，可得，所以，故.故選：D6.若，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，，顯然時，不成立，充分性不成立；由，，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C.7.某工廠新購置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，以減少對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：）與過濾時間（單位：）的關(guān)系為（是正常數(shù)）.若經(jīng)過過濾后消除了的污染物，則污染物減少大約需要（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，經(jīng)過過濾后還剩余的污染物，則，解得，設(shè)污染物減少用時小時，于是，即，則，即，兩邊取對數(shù)得，因此，所以污染物減少大約需要.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為R，由是偶函數(shù)，得，即，由為奇函數(shù)，得，即，顯然，因此，即，有，，，而的值都不確定，ABC錯誤，D正確.故選：D.二?多選題9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于中心對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】因為，所以的最小正周期，故A正確；因為，所以不是的對稱軸，是的對稱中心，故B錯誤，C正確；因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD.10.若數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)為等差數(shù)列，則稱數(shù)列為“二階等差數(shù)列”.若不是等比數(shù)列，但中存在不相同的三項可以構(gòu)成等比數(shù)列，則稱是“局部等比數(shù)列”.給出下列數(shù)列，其中既是“二階等差數(shù)列”，又是“局部等比數(shù)列”的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A：由為常數(shù)列，也是等比數(shù)列，不符合“局部等比數(shù)列”；B：由不是等比數(shù)列，且，故為常數(shù)列，也為等差數(shù)列；其中可構(gòu)成等比數(shù)列，符合；C：由不是等比數(shù)列，且，故為等差數(shù)列；其中可構(gòu)成等比數(shù)列，符合；D：由不是等比數(shù)列，且，則，，，顯然不為等差數(shù)列，不符合；故選：BC.11.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是上的動點，下列說法正確的是（）A.B.三棱錐的體積是C.點到平面的距離是D.該正方體外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑之比是【答案】AC【解析】A：由面，面，則，又，而，面，則面，面，所以，對；B：由，錯；C：由，面，面，則面，又面即為面，且是上的動點，所以點到平面的距離，即為到面的距離，由⊥平面，平面，則，又，而，平面，則⊥平面，所以所求距離為，對；D：由于正方體外接球半徑為體對角線的一半，即為，正方體內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即為1，所以正方體外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑之比是，錯.故選：AC.12.若方程有兩個根，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】如圖所示，作出函數(shù)和的圖像，易知①，②，且，所以，對于A：易知，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以，A錯誤；對于B：令函數(shù).當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.由①知，即，則B正確；對于C：由②知，即，又，所以，C正確；對于D：由上可知，所以，而①+②可得，即，所以，D正確，故選：BCD.三?填空題13.__________.【答案】【解析】.故答案為：14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】令，則在上遞減，在上遞增，而在定義域上為增函數(shù)，所以在上遞減，在上遞增，又在上單調(diào)遞減，故，則.故答案為：15.在中，，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題設(shè)，外接圓半徑為，如下圖，外接圓中連接，所以為等邊三角形，且，所以，當(dāng)反向共線時最小為，當(dāng)同向共線時最大為，所以.故答案為：16.如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱貫穿構(gòu)成，正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，正四棱柱的底面邊長為是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點，則__________.【答案】2【解析】過作垂直于四棱錐底面的截面，如圖所示，由條件可知，為底面正方形的對角線，所以，所以,長度為正四棱柱底面正方形的對角線，所以，長度為正四棱柱底面正方形的對角線的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故答案為：2.四?解答題17.在等腰直角中，為內(nèi)一點，.（1）若，求；（2）若，求解：（1）由題設(shè)，則，在中，則，即，由，則，所以，則.（2）設(shè)，則，由（1）知：，在中，則，即.18.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由在處取得極值，得，解得，此時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在處取得極值，所以.（2）由（1）知，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，而，即，所以函數(shù)在上的值域為.19.如圖，在正三棱柱中，分別為的中點，.（1）求；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）設(shè)，又分別為的中點，則，由為正三棱柱，即上下底面為等邊三角形，又，所以，且，由，則，可得，所以.（2）作，構(gòu)建以為原點的空間直角坐標(biāo)系，如下圖示，則，故，若是面的一個法向量，則，令，則，而，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.20.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和及其最小值.解：（1）由，得，兩式相減得，而，，則，因此當(dāng)n為正奇數(shù)時，，當(dāng)n為正偶數(shù)時，，所以的通項公式是.（2）由（1）知，，則有，兩式相減得，因此，顯然當(dāng)時，，，當(dāng)時，，又，因此，所以數(shù)列的前項和，的最小值為.21.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若為的中點，在上存在點，使得，求的值.解：（1）由，而，所以，則，且，若，即，則，所以；若，即，則，顯然不成立；綜上，.（2）如下圖示，若且，則，同理，所以，則，由（1）易知，且，所以，整理得，綜上，，，所以，即，，即，故.22.已知函數(shù).（1）試討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，在上恒成立，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時，上單調(diào)遞減，最多只有1個零點，當(dāng)時，的最小值為，若有兩個零點，則，由，得，，令函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，又，即當(dāng)時，，則當(dāng)，即時，，令函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，，令函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)得，，即，于是當(dāng)，即時，有2個零點，所以若有兩個零點，則的取值范圍為.江西省贛州市十八縣（市、區(qū)）二十三校2024屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.命題“對任意的個位數(shù)字不等于2”的否定是（）A.的個位數(shù)字等于2B.的個位數(shù)字不等于2C.的個位數(shù)字等于2D.的個位數(shù)字不等于2【答案】A【解析】由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為的個位數(shù)字等于2.故選：A.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由或，所以或，且則.故選：B.3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，所以，即，解得，所以，所以，故選：A4.已知為第一象限角，且，則為（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】由題設(shè)，則，所以，而為第一象限角，所以，則,所以，即為第四象限角.故選：D.5.已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，令的公差為且，則，可得，所以，故.故選：D6.若，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由，，顯然時，不成立，充分性不成立；由，，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C.7.某工廠新購置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，以減少對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：）與過濾時間（單位：）的關(guān)系為（是正常數(shù)）.若經(jīng)過過濾后消除了的污染物，則污染物減少大約需要（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，經(jīng)過過濾后還剩余的污染物，則，解得，設(shè)污染物減少用時小時，于是，即，則，即，兩邊取對數(shù)得，因此，所以污染物減少大約需要.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為R，由是偶函數(shù)，得，即，由為奇函數(shù)，得，即，顯然，因此，即，有，，，而的值都不確定，ABC錯誤，D正確.故選：D.二?多選題9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于中心對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】因為，所以的最小正周期，故A正確；因為，所以不是的對稱軸，是的對稱中心，故B錯誤，C正確；因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD.10.若數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)為等差數(shù)列，則稱數(shù)列為“二階等差數(shù)列”.若不是等比數(shù)列，但中存在不相同的三項可以構(gòu)成等比數(shù)列，則稱是“局部等比數(shù)列”.給出下列數(shù)列，其中既是“二階等差數(shù)列”，又是“局部等比數(shù)列”的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A：由為常數(shù)列，也是等比數(shù)列，不符合“局部等比數(shù)列”；B：由不是等比數(shù)列，且，故為常數(shù)列，也為等差數(shù)列；其中可構(gòu)成等比數(shù)列，符合；C：由不是等比數(shù)列，且，故為等差數(shù)列；其中可構(gòu)成等比數(shù)列，符合；D：由不是等比數(shù)列，且，則，，，顯然不為等差數(shù)列，不符合；故選：BC.11.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是上的動點，下列說法正確的是（）A.B.三棱錐的體積是C.點到平面的距離是D.該正方體外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑之比是【答案】AC【解析】A：由面，面，則，又，而，面，則面，面，所以，對；B：由，錯；C：由，面，面，則面，又面即為面，且是上的動點，所以點到平面的距離，即為到面的距離，由⊥平面，平面，則，又，而，平面，則⊥平面，所以所求距離為，對；D：由于正方體外接球半徑為體對角線的一半，即為，正方體內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即為1，所以正方體外接球的半徑與內(nèi)切球的半徑之比是，錯.故選：AC.12.若方程有兩個根，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】如圖所示，作出函數(shù)和的圖像，易知①，②，且，所以，對于A：易知，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以，A錯誤；對于B：令函數(shù).當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.由①知，即，則B正確；對于C：由②知，即，又，所以，C正確；對于D：由上可知，所以，而①+②可得，即，所以，D正確，故選：BCD.三?填空題13.__________.【答案】【解析】.故答案為：14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】令，則在上遞減，在上遞增，而在定義域上為增函數(shù)，所以在上遞減，在上遞增，又在上單調(diào)遞減，故，則.故答案為：15.在中，，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題設(shè)，外接圓半徑為，如下圖，外接圓中連接，所以為等邊三角形，且，所以，當(dāng)反向共線時最小為，當(dāng)同向共線時最大為，所以.故答案為：16.如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱貫穿構(gòu)成，正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，正四棱柱的底面邊長為是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點，則__________.【答案】2【解析】過作垂直于四棱錐底面的截面，如圖所示，由條件可知，為底面正方形的對角線，所以，所以,長度為正四棱柱底面正方形的對角線，所以，長度為正四棱柱底面正方形的對角線的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故答案為：2.四?解答題17.在等腰直角中，為內(nèi)一點，.（1）若，求；（2）若，求解：（1）由題設(shè)，則，在中，則，即，由，則，所以，則.（2）設(shè)，則，由（1）知：，在中，則，即.18.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由在處取得極值，得，解得，此時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在處取得極值，所以.（2）由（1）知，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，而，即，所以函數(shù)在上的值域為.19.如圖，在正三棱柱中，分別為的中點，.（1）求；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）設(shè)，又分別為的中點，則，由為正三棱柱，即上下底面為等邊三角形，又，所以