函數(shù)與角度有關(guān)問題【考點(diǎn)精講】（解析版）

專題19函數(shù)與角度有關(guān)問題

Q知識(shí)導(dǎo)航

丁

題型1：等角問題題型3：其他角度問題

函數(shù)與角度有關(guān)問題

題型2：二倍角問Q

方法技巧

1.（特殊角）若點(diǎn)P在拋物線上，且/PBD=90。，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

利用直線8。的解析式及勾股定理，數(shù)形結(jié)合，列出有關(guān)的方程，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

g題型精講

題型一：等角問題

【例1】（2021.四川自貢市）如圖，拋物線y=（x+l）（x-。）（其中。＞1）與x軸交于4、

B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C.

（1）直接寫出NOC4的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)（用a表示）；

（2）若點(diǎn)。為AABC的外心，且△以?與△ACO的周長(zhǎng)之比為，而：4,求此拋物線

的解析式；

（3）在（2）的前提下，試探究拋物線y=（x+l）（x-a）上是否存在一點(diǎn)P,使得

NC4P=ZDB4?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)/OCA=45°,AB=a+\(2)y=x2-x-2；(3)存在，P\(-----),

;24

P2(1.-2).

【分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù)解析式可得A(。，0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出O4=0B=m

08=1,即可證明是等腰直角三角形，可得/OC4H5。，根據(jù)線段的和差關(guān)系可表示

A8的長(zhǎng)；

(2)如圖，作AA8C的外接圓。。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得4C=0a，利用兩點(diǎn)

間距離公式可用”表示出BC的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可得/O=2/O4C=90。，可得AOBC是

等腰直角三角形，即可證明AQBCS/X0C4,根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比列方程求

出“值即可得答案；

(3)如圖，過點(diǎn)。作于“，過點(diǎn)C作AC的垂線，交x軸于E過點(diǎn)。作OGLAC

于G,連接AP交C尸于E,可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系數(shù)法可得直線C尸

的解析式，根據(jù)外心的定義及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)。坐標(biāo)，即可得出84、DH

的長(zhǎng)，根據(jù)NC4P=NDA4，/BHO=/ACE=90?？勺C明△根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)可求出CE的長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線

AE解析式，聯(lián)立直線AE與拋物線的解析式求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可得答案.

【詳解】

(1)?.?拋物線y=(x+l)(x-a)(其中a>l)與X軸交于4、8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

.?.當(dāng)x=0時(shí)，y=-a,

當(dāng)y=0時(shí)，(x+l)(x-a)=0,

解得：％=-1,超=。，

；.A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

OB=I,OA=OC=a,

...△OC4是等腰直角三角形，

/0CA=45°,A8=OA+O8=o+1.

(2)如圖，作△ABC的外接圓。。，

???點(diǎn)。為AABC的外心，

:.DB=DC,

是等腰直角三角形，0A=a,

ZOAC=45°,AC=Oa，

■:NBDC和/BAC是BC所對(duì)的圓心角和圓周角，

???N8QC=2N8AC=90。，

NDBC=45。,

???NDBC=NOAC,

：./\DBC^AOCAt

VABCD與/XACO的周長(zhǎng)之比為Ji6:4，

2

.BCMHI1yja+lV10

??-----=-------f即——=-------，

AC4y/2a4

解得：a=±2,

經(jīng)檢驗(yàn)：a=±2是原方程的根，

,/a>l,

67=2,

拋物線解析式為：y=(X+l)(x-2)=爐—x—2.

(3)如圖，過點(diǎn)。作于〃，過點(diǎn)C作AC的垂線，交x軸于R過點(diǎn)。作OGLAC

于G,連接AP交CF于E,

a=2,

：.C(0,-2),4(2,0),AC=2五,

,：ZOCA=45°,

/Ob=45。，

...△OCF是等腰直角三角形，

：.F(-2,0),

設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b,

-2k+b=0

[b=-2

{k=-\

直線CF的解析式為y=-x-2,

?.'△OCA是等腰直角三角形，OGJ_HC,

...OG所在直線為AC的垂直平分線，點(diǎn)G為AC中點(diǎn),

:點(diǎn)。為AA3c的外心，

.??點(diǎn)D在直線OG上，

VA(2,0),C(0,-2),

：.G(1,-1),

設(shè)直線OG的解析式產(chǎn)加r,

.??直線OG的解析式尸-x,

?.?點(diǎn)。為△ABC的外心，

...點(diǎn)。在AB的垂直平分線上，

-1+21

，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-----=-,

22

把戶;代入戶-X得＞=-；,

??D(一,--),

22

113

:?DH=—,—=一，

222

ZCAP=ZDBA,NBHD=/ACE=90。,

:ABHDSMCE,

13

DHBH

-----=-----，即2_2

CEAC~CE~2^2

解得：CE=2叵

3

???點(diǎn)E在直線CF上，

???設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(〃，-〃-2),

:?CE=折+(_如_2+2)2=半,

解得：n=±-,

3

248

Ey(----,-----),一)

333

設(shè)直線AEi的解析式為y=kx+",

2K+1=0

L=-

解得：r2,

隊(duì)=-1

二直線A￡i的解析式為y=g無一1,

同理：宜線A&的解析式為y=2x-4,

1,

y=-x_1

聯(lián)立直線解析式與拋物線解析式得2

y=x2-x-2

1

X＞一-2缶=2

解得：：，＜八（與點(diǎn)A重合，舍去），

、，二[%=。

5

----),

4

y=2x—4

聯(lián)立直線AE解析式與拋物線解析式得＜

2y=x2-x-2

Xi—1X,--2

解得：\c，《-八（與點(diǎn)A重合，舍去），

[Ji=-2[%=0

E2

綜上所述：存在點(diǎn)P,使得NC4P=/D區(qū)4,點(diǎn)尸坐標(biāo)為Pi,P（1,-2）.

242

題型二：二倍角問題

【例2】(2021?山東泰安市)二次函數(shù);；=0?+法+4(。力0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-4,0),

8(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC,交于點(diǎn)。,

過點(diǎn)P作PDJ_x軸于點(diǎn)D.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接BC,當(dāng)N￡)P3=2NBCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式；

(3)請(qǐng)判斷：冬是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒有請(qǐng)說明理由.

1515PO4

【答案】(1)》=一/一3工+4；(2)y=-—；(3)就?有最大值為:，P點(diǎn)、

885

坐標(biāo)為(—2,6)

【分析】

(1)將A(-4,0),8(1,0)代入丁=欠2+加+4(。*())中，列出關(guān)于內(nèi)匕的二元一次方程

組，求出“、％的值即可；

(2)設(shè)BP與>?軸交于點(diǎn)E,根據(jù)PDUy軸可知，ZDPB=NOEB,當(dāng)ZDPB=2ZBCO.

即NQEB=2N8CO,由此推斷AOEB為等腰三角形，設(shè)OE=a,則CE=4—。，所以

BE=4-a,由勾股定理得BE?=0￡2+0§2,解出點(diǎn)E的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法確定出

BP的函數(shù)解析式即可：

(3)設(shè)PD與AC交于點(diǎn)M過B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M.由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)

可得AC所在直線表達(dá)式，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，則BM=5,由BM//PN,可得

PQPNPN,

△APNQsAAgMQ,謂==設(shè);>(%,-42-34+4)(-4</<0),則

(70DMJ

N(%，%+4)條=乜-3竺4-4+4)=幺當(dāng)=，根據(jù)二次函數(shù)

QB555

性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：(1)由題意可得：

。?(-4日+力(-4)+4=()

a+8+4=0

ci——1

解得：〈

b=-3'

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2-3x+4；

(2)設(shè)8P與y軸交于點(diǎn)E,

,/PO//y軸，

："DPB=NOEB,

■:/DPB=2NBC0,

:"0EB=2/BC0,

：.ZECB=ZEBC,

：.BE=CE,設(shè)OE=a,

則CE=4—a,BE=4-a,

在RtABOE中，山勾股定理得BE2=OE2+OB2，

.\(4-?)2=?2+l2

解得a=—

8

???E吟

設(shè)BE所在直線表達(dá)式為y=kx+e(k^O)

__I5

,八15

k-O+e=—,

8解得，

15

k\+e=O.

T-

直線BP的表達(dá)式為y———x+—.

88

(3)設(shè)P￡>與AC交于點(diǎn)N.

過8作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M.

由4、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-4,0),(0,4)

可得AC所在直線表達(dá)式為y=尤+4

點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5),BM=5

由BM//PN，可得△PNQ^ABMQ,

.PQPNPN

設(shè)P(g,一a/一3ao+4)(—4<a0<0),則N(q),4+4)

.PQ_-3ao+4?-(4+4)__aj_4ao_-(4+2廠+4

,?透一5一5一5-

...當(dāng)/=-2時(shí)，黑有最大值0.8,

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(—2,6).

【例3】如圖①，四邊形0ABe是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6),

點(diǎn)尸從點(diǎn)O出

發(fā)，沿線段。4以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB

以每秒2個(gè)單

位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)8移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)移動(dòng)停止.設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為1秒.

(1)當(dāng)△CBQ與ABAQ相似時(shí)，求/的值；

(2)當(dāng)f=l時(shí)，拋物線y=7+bx+c經(jīng)過P,。兩點(diǎn)，與)，軸交于點(diǎn)M,拋物線的頂點(diǎn)為K,

如圖②所示，該拋物線上是否存在點(diǎn)。，使若存在，請(qǐng)求出所有滿足條

件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)級(jí)&QBCs?PAQ、△CBQ^APAQ,兩種情況分別求解；

1

(2)證明/MKE=NQKE=*NMKQ.(i)當(dāng)點(diǎn)D在直線MQ的上方時(shí)，證明

3

MHMEMH7

△HMQ^/XMEK.：.—=(ii)當(dāng)點(diǎn)O在直線MQ的下方時(shí)，y

4

軸上存在點(diǎn)”，如圖③所示，使N”QM=*/MKQ=N/WKE.即可求解.

【解析】解：(1)如圖①，???當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，且△粗?？梢詷?gòu)成三角

形，

?..四邊形OA8c是矩形，

：.ZB=ZPAQ=900.

當(dāng)4CBQ與4PAQ相似時(shí)，存在兩種情況:

①當(dāng)△Q8CS/\R1Q時(shí)，

.BCBQ36-2t

""AQ~AP'"2t—3-t'

A4?-15r+9=0.

?*.ri=3（舍），t2=T：

②當(dāng)△CBQs△以。時(shí)，

.CBBQ

PA~A。'

.36-2t

"3-t-2t

/.?-9t+9=Q.

...U筆9+3也而(舍入夫,-9-+-3--7-5),

22

綜上所述，當(dāng)△CBQ與△w。相似時(shí)，或上上芳：

(2)當(dāng)f=l時(shí)，P(1,0),Q(3,2).

把P(1,0),Q(3,2)代入拋物線y=/+bx+c中并解得:

拋物線：y=/-3x+2.

；?頂點(diǎn)k(―,—^),

連接MQ,

VQ(3,2),M(0,2),

軸，

作拋物線對(duì)稱軸，交MQ于E,

：.KM=KQ.J.KELMQ.

圖②

1

，NMKE=ZQKE=^ZMKQ.設(shè)DQ交)，軸于H.

(i)當(dāng)點(diǎn)。在直線MQ的上方時(shí)，如圖②所示，

則NQQM=寺NMKQ=NMKE.

"：4HMQ=NMEK=9Q°,

MHME

MQ-EK

3

MH7

—=解得M〃=2.

32+1

：.H(0,4).

/.直線HQ的解析式為y=—

由方程組7=—/+4得/-3x+2=—1xr+4.

V=%2-3%+2

解得XI=3（舍），X2=-|.

240

AD（―｝，—）;

39

（ii）當(dāng)點(diǎn)D在直線MQ的下方時(shí)，y軸上存在點(diǎn)H,如圖③所示，使NHQM=；NMKQ

圖③

由對(duì)稱性得”（0,0）,即，與原點(diǎn)重合.

直線0。的解析式產(chǎn)泰

r2

由方程組y=/得#-1ix+6=o.

y=%2-3x4-2

o

解得XI=3（舍），X2=y

24

?\D（一，一）.

39

74024

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一名—）或（;，-）.

3939

題型三：其他角度問題

【例4】（2021.四川）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線卜=加+云+4（。片0）經(jīng)過

點(diǎn)A（-2,0）和點(diǎn)8（4,0）.

（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)尸為該拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），直線CP將AA3C的面積分成2：1兩部分,

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，當(dāng)

NOC4=NOa?-NOM4時(shí)，，求f的值.

【答案】（1）y=~x2+x+4；（2）點(diǎn)2（6,-8）；（3）當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒

1個(gè)單位的速度沿V軸正方向移動(dòng)時(shí)，，=2秒；沿C。方向在V軸移動(dòng)時(shí)，f=10秒.

【分析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法將AB兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可；

（2）在AABC的A8邊上找到將AB分成2：1兩部分的點(diǎn)Q,此時(shí)C。將AABC的面積分成

2：1兩部分，求出直線C。與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)即是點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）先利用圖形在NOCB內(nèi)構(gòu)造乙4'CB=NOCB—NOC4,求出tan/A'CB,在RMOAM中

由tan/OM4=tanNA'a3,0A=2,求出OM長(zhǎng)即可解答，

【詳解】

解：（1）由拋物線丁=以2+云+4（。/0）經(jīng)過點(diǎn)A（-2,0）和點(diǎn)8（4,0）,得：

j4?-2/7+4=0

[16〃+4/?+4=0'

_1

解得：\a~~2

b=\

即：條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=-g/+x+4；

（2）由（1）可知點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,4）

?.?點(diǎn)4（-2,0）和點(diǎn)8（4,0）.

AB=6>

.?.將48分成2：1兩部分的點(diǎn)有原點(diǎn)和。（2,0）,此時(shí)C。將AA3C的面積分成2：1兩部

分，如解（2）圖，

?.?點(diǎn)戶為該拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），

直線CP經(jīng)過。點(diǎn)，

設(shè)直線CP解析式為：y=kx+b,經(jīng)過C（0,4）,Q（2,0）兩點(diǎn)，得：

任=4

[2k+b=0f

上4,

[k=-2

即可設(shè)直線CP解析式為：＞=-21+4,

聯(lián)立函數(shù)解析式為：,y2——x2+x+4,

y=-2x+4

玉=0x=6

解得:2

48

71=y2=-

故P點(diǎn)坐標(biāo)為（6,-8）,

（3）如解（3）圖取點(diǎn)A關(guān)于），軸對(duì)稱點(diǎn)連接C4',過點(diǎn)4作垂足為H,

山軸對(duì)稱性質(zhì)可知：OA'=OA=2,ZA'CO=ZACO,

ZA'CB=ZBCO-ZA'CO=ZBCO-ZACO,

,?NOCA=ZOCB-ZOMA,即Z.OMA=NOCB-ZOCA,

/.ZOMA=ZA'CB

VOB=OC=4,ZBOC=90°,

AZOCB=ZOBC=45°,BA=2,BC=4也

HB=HA!=0，

HC=BC-BH=30,

4Hi

tanZOMA=tanZA'CB=——=-,

CH3

.八&“OA仁1,

??OM=---------=24--=6

tanZ.OMA3

點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度遠(yuǎn)動(dòng)：

當(dāng)沿y軸正方向移動(dòng)時(shí)，MC=0M-0C=6-4=2,則f=2秒，

當(dāng)沿y軸CO方向移動(dòng)時(shí)，MC^OM+OC=6+4=10,則r=10秒，

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向移動(dòng)時(shí)，f=2秒；沿

co方向在y軸移動(dòng)時(shí)，，=io秒.

【例5】拋物線y=-/+2X+3與y軸交于B,與x軸交于點(diǎn)。、A,點(diǎn)A在點(diǎn)。的右邊，頂

點(diǎn)為凡C(0,1)

(1)直接寫出點(diǎn)從A、F的坐標(biāo)；

(2)設(shè)。在該拋物線上，且SA8AF=SABAQ，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)對(duì)大于1常數(shù)根，在x軸上是否存在點(diǎn)使得sin/BMC=2?若存在，求出點(diǎn)M

坐標(biāo)；若不存在，說明理由？

【分析】(1)y=-/+2x+3,令y=0,解得：x=3或-1,即可求解；

(2)連接A8,過點(diǎn)尸作直線機(jī)平行于直線48交拋物線與點(diǎn)Q,在84下方作直線〃,

使直線機(jī)、”與直線AB等距離，過點(diǎn)尸作x軸的垂線交AB于點(diǎn)“、交直線”與點(diǎn)尸,

直線”與拋物線交于點(diǎn)。'、Q",即可求解;

2CH

⑶由SABCM=|xBCxOM=IxCHxMB,貝ijCH=與》?-fsinNBMC=

ZZIV1D—+9CM

2

=即可求解.

【解析】解：⑴尸-f+2r+3…①,

令y=0,解得：x=3或-1,

令x=0,則y=3,故點(diǎn)B(0,3),

同理點(diǎn)尸(I,4)；

(2)連接A3,過點(diǎn)F作直線加平行于直線48交拋物線與點(diǎn)Q,在區(qū)4下方作直線小

使直線制、"與直線AB等距離，

過點(diǎn)尸作x軸的垂線交AB于點(diǎn)”、交直線〃與點(diǎn)產(chǎn)，直線”與拋物線交于點(diǎn)Q、Q",

直線BA的表達(dá)式為：y=-x+3,

則直線m的表達(dá)式為：y=-x+b,將點(diǎn)尸坐標(biāo)代入上式并解得:

直線m的表達(dá)式為：y=-x+5…②，

聯(lián)立①②并解得：x=l或2（舍去1）,

故點(diǎn)。(2,3)；

則點(diǎn)〃(1,2),則F4=4-2=2,

故直線〃的表達(dá)式為：y=-x+3-2=-x+1…③，

聯(lián)立①③并解得：》=岑上,

乂上八……，3+g23-V17-1+V17

故點(diǎn)。坐標(biāo)為（---，---）或（---，---

綜上，點(diǎn)。⑵3)或、3+A/17+-1-717或3(-x丁/17’—-1+V17

（3）過點(diǎn)C作于點(diǎn)4,

設(shè)：OM=a,則MB=近2+9,CM=y/a2+l,

2a

SABCM=ILxBLCxOM=|xCHxMB,則[VICDH=，鏢”

解得：a=±(2m-5)+2Vm2—5m4-4,

即點(diǎn)M(J(2m-5)+2Vm2-5m+4,0)或(一(2m-5)+2Vm2-57n+4,0).

M提分訓(xùn)練

1.如圖拋物線y=ax2+bx+6的開口向下與x軸交于點(diǎn)4(-6,0)和點(diǎn)8(2,0),與y

軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AP。的面積為12,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,拋物線的頂點(diǎn)為。，在拋物線上是否存在點(diǎn)E,使得NEAB=2ND4C,若

存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x+6)(x-2)=a(f+4x-12),即可求解；

(2)8PCA=/GXAC=|X爭(zhēng)Gx6位=12,解得：P4=4,直線AC的表達(dá)式為：尸x+6,

即可求解；

12

(3)smZDAC=—=—,sin2/ZMC=sin/OAD'=吧=善=3=sin/EAB,則

AD10AD/V805

tanZEAfi=",即可求解.

4

【解析】解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=〃(x+6)(x-2)=a(x2+4x-12),

-12a=6,解得：a=

函數(shù)的表達(dá)式為：y=-|x2-2什6…①，

頂點(diǎn)。坐標(biāo)為(-2,8)；

(2)如圖1所示，過點(diǎn)P作直線用〃AC交拋物線于點(diǎn)/，在直線AC下方等距離處作

直線〃交拋物線與點(diǎn)嚴(yán)、P'",

過點(diǎn)P作/W〃y軸交AC于點(diǎn)4,作PGLAC于點(diǎn)G,

；OA=OC,:.NPHG=NCAB=45。,則"P=&PG,

SAPCA=，GX4C=：X￥PGX6&=12,解得：PH=4,

直線AC的表達(dá)式為：y=x+6,

則直線m的表達(dá)式為：），=/10…②，

聯(lián)立①②并解得：*=-2或-4,

則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2,8）或（-4,6）；

直線”的表達(dá)式為：產(chǎn)"2…③

同理可得點(diǎn)P（尸"、P"）的坐標(biāo)為（-3-VT7,或（-3+67,717-1）,

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,8）或（-4,6）或（-3-舊，-V17-1）或（-3+g,

V17-1）.

（3）點(diǎn)A、B、C、。的坐標(biāo)為（-6,0）、（2,0）、（0,6）、（-2,8）,

則AC=V72,CD=V8,AD=V80,

則NACZ）=90。，

sinZDAC=—=—,

AD10

延長(zhǎng)DC至。使CD=CO,連接47,過點(diǎn)。作

圖2

則。。'=2倔AD=AD'=V80,

5AADD'=-XDD'^AC=-DHxAD',

22

即：2V8xV72=DHxV80,解得：縈，

12

sin2/￡>4C=sin/OA￡>'=—=^=-=smZEAB,

AD（\1805

則tan/EAB=

4

①當(dāng)點(diǎn)E在A8上方時(shí)，

則直線AE的表達(dá)式為：y=|r+b,

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式并解得：

直線AE的表達(dá)式為：y=%+?…④，

42

聯(lián)立①④并解得：x=|（不合題意值已舍去），

即點(diǎn)E（；,?）；

28

②當(dāng)點(diǎn)E在A8下方時(shí)，

同理可得：點(diǎn)E（:,—?）,

28

綜上，點(diǎn)E（p募）或—￡）.

2.已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線>=一9+〃與x軸交于點(diǎn)A,與y

軸交于點(diǎn)C.經(jīng)過點(diǎn)A,C的拋物線yn/+Bax-S與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B.

（1）如圖1,求a的值；

（2）如圖2,點(diǎn)D,E分別在線段AC,AB上，且8E=2AO,連接。E,將線段繞點(diǎn)。

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段。凡且旋轉(zhuǎn)角NECF=NO4C,連接CF,求tan/ACF的值；

（3）如圖3,在（2）的條件下，當(dāng)/OFC=135。時(shí)，在線段AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,過點(diǎn)

M作交拋物線于點(diǎn)M連接。N,EM,若MN=DF,求點(diǎn)N的橫坐標(biāo).

(2)證明△AOEg/\GF￡),即可求解；

(3)證明△DEMAMSN(MS),則MS=DT=NS=ET=設(shè)點(diǎn)M(x,--x-3),

424

則點(diǎn)-當(dāng)一日)，將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解.

244

【解析】解：(1)丫=底+3皿-3,當(dāng)x=0,y=-3,故點(diǎn)C(0,-3),

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式并解得：h=-3,

則宜線AC的表達(dá)式為：y=-：x-3,則點(diǎn)A(-4,0),

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式并解得：a=-

4

(2)在直線AC上取點(diǎn)G使OG=AE,連接/G,過點(diǎn)尸作

VZFDC+ZFDE=ZBAC+ZAED,1^ZBAC=ZEDF,

：.ZFDH=NAED,

而OG=AE,DF=DE,

：.AADE^AGFD,

:?AD=GF,

\UAB=AC=5,BE=2AD,

：.AD=GF=CGf

VtanZBAC=",設(shè)/77=3m,則"G=4m,FG=5m=GC,

4

tanZACF=~~=~<

(3)如圖3,過點(diǎn)。作。R_LFC交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,過點(diǎn)尸作/7/J_C。交于點(diǎn)，,

由(2)知tanZAC尸=1,

在RtACDR'V，設(shè)DR=V10r,則CR=3VIU/,CD=10t,

VZDFC=135°,則△￡>「/?是等腰直角三角形，則//?=。/?=舊3

CF=CR-CF=2V10/,

在RtA尸，C中，tanNACF=%

則F4=27,CH=6t,DH=CD-CH=10/-6t=4t,

則tanNFO”=—DH=-2=tanZAED,

在RsACT中，tan/BAC=m,

4

設(shè)：DT=3n,則AT=4",AD=5n,

在RSDTE中，tanZAED=~2,

則ET=2DT=6〃，BE=2AD=1On,

'：AT+TE+BE=AB,即4〃+6"+10〃=5,

解得：〃=；，

4

則E7=|,OT=*

,:MN=EF=DE,AMN//DE,

：.四邊形MNDE為平行四邊形，；.NDEM=NDNM,

過點(diǎn)N作x軸的平行線交直線AC于點(diǎn)K,過點(diǎn)M作MSLNK于點(diǎn)S,

則NAEW=NKN￡>,:.NTED=NMNS,

而MN=DE,/ETD=NMSN=90。,

：.ADET94MSN(AAS),

:?MS=DT=±3,NS=ET=3

42

設(shè)點(diǎn)M(x,--x-3),則點(diǎn)N(x-J----),

4244

將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：

3x153/3、2，9/3、

=-\xz~+-xx)—3,

444242

解得：》=二磬(舍去負(fù)值)，

故點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：字.

3.如圖，直線產(chǎn)夕-2與1軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)A,拋物線產(chǎn)以2_1+。經(jīng)過A,B

兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)M為拋物線上一點(diǎn)，直線AM與x軸交于點(diǎn)M當(dāng)空=，時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

AN2

(3)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP,當(dāng)/以8與AAOB的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，直接寫出點(diǎn)尸

的坐標(biāo).

x

2

【分析】（1）直線y=1-2與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別

為：（0,-2）、（4,0）,即可求解；

（2）直線MA的表達(dá)式為：y=（；〃]-：）x-2,則點(diǎn)N,0）,當(dāng)?shù)?:時(shí)，則黑=

-22m-3AN2ON2

即：叱回=：,即可求解：

g2

（3）分/以B=NAOB=90。、ZPAB=OAB,NB4B=OBA三種情況，分別求解即可.

【解析】解：（1）直線）=》-2與x軸交于點(diǎn)B,與），軸交于點(diǎn)A,則點(diǎn)4、8的坐標(biāo)

分別為：（0,-2）、（4,0）,

則c=-2,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：a=

故拋物線的表達(dá)式為：尸卡-|x-2…①；

（2）設(shè)點(diǎn)M（m,9-|*2）、點(diǎn)A（0,-2）,

卻

將點(diǎn)例、A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：丫=履+匕并解得:

直線MA的表達(dá)式為:y=（1?-|）x-2,

則點(diǎn)N（工，0）,

m-3

當(dāng)絲底時(shí)，則處=三，即：巴病=三，

AN2ON2I—I2

'm-31

解得：，〃=5或-2或2或I,

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（5,3）或（-2,3）或（2,-3）或（1,-3）；

（3）①NE4B=NAO8=900時(shí)，

則直線AP的表達(dá)式為：y=-2x-2…②，

聯(lián)立①②并解得：x=-1或0（舍去0）,

故點(diǎn)P(-1,0)；

②當(dāng)/物8=048時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在AB上方時(shí)，無解;

當(dāng)點(diǎn)尸在AB下方時(shí)，

將4OAB沿AB折疊得到4OAB,直線。4交x軸于點(diǎn)H、交拋物線為點(diǎn)尸，點(diǎn)P為所

求，

則80=08=4,OA=OA=2,設(shè)O"=x,

則sin/H=罌=罌，即：-^―=-r=>解得：x=J，則點(diǎn)H(-：0),

HBHA4+xVx2+433

則直線A”的表達(dá)式為：y=—…③，

聯(lián)立①③并解得：戶：，故點(diǎn)P(1,-?);

③當(dāng)時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在A8上方時(shí)，

則AH=BH,

設(shè)OH=a,則4H=8，=4-a,AO=2,

故(4-a)2=(+4,解得：a=|,

故點(diǎn)H(|,0),

則直線AH的表達(dá)式為：產(chǎn)*2…③,

聯(lián)立①③并解得：x=0或藍(lán)(舍去0),

故點(diǎn)P(1,；

39

當(dāng)點(diǎn)P在AB下方時(shí),

同理可得：點(diǎn)P(3,-2)；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(-1,0)或(|,-j)或彳，f)或(3,-2).

4.如圖，拋物線y=-/+6x+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1,若點(diǎn)尸在線段OC上，且OF=O4,經(jīng)入過點(diǎn)尸的直線在第一象限內(nèi)與拋物

線交于點(diǎn)D,與線段8c交于點(diǎn)￡求黑的最大值；

EF

(3)如圖2,若P為拋物線的頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)NQCO=NPBC時(shí)，請(qǐng)直接寫

出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=-(x+1)(x-3),即可求解；

(2)作QN〃CF,則竺="=三(-x2+2x+3+x-3),即可求解：

EFCF2

(3)AP8c為直角三角形，tan/P8C=^=3當(dāng)/QC0=/P8C時(shí)，tan/QCO=tana=

CB3

【解析】解：(I)函數(shù)的表達(dá)式為：y=-(x+1)(x-3)=-r+2%+3,

則點(diǎn)C(0,3)；

(2)過點(diǎn)D作y軸的平行線交BC于一點(diǎn)N,

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得:

函數(shù)BC表達(dá)式為：y=-x+3,

。尸=OA=1,則點(diǎn)尸(0,1),CF=2,

設(shè)點(diǎn)力(x,-jr+2r+3),則點(diǎn)N(x,-x+3),

DN//CF,則絲=—=1（-x2+2x+3+x-3）=--x2+-x,

EFCF222

V-i<0,則需有最大值，此時(shí)x=|,

裝的最大值為；;

EF8

（3）連接PC,點(diǎn)尸坐標(biāo)（1,4）,

則PC=VLV20,BC=V18,

則4PBC為直角三角形，lanZPBC=^=7,

CB3

過點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)兒

設(shè)點(diǎn)。（x,-/+2x+3）,

則tan/HCQ=tana=|=3+/_3

解得：x=0或5或-1（舍去0）,

故點(diǎn)。（-1,0）或（5,-12）.

5.(2021?四川中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線了=0^+桁+4(4片0)經(jīng)

過點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)3(4,0).

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸為該拋物線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，直線CP將的面積分成2：1兩部分,

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)例從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿)‘軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，當(dāng)

NOC4=NOCB—NQM4時(shí)，求/的值.

2

【答案】（1）y=~x+x+4;（2）點(diǎn)P（6,-8）；（3）當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒

1個(gè)單位的速度沿V軸正方向移動(dòng)時(shí)，f=2秒；沿C。方向在V軸移動(dòng)時(shí)，f=10秒.

【分析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法將AB兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可；

（2）在AABC的A8邊上找到將AB分成2：1兩部分的點(diǎn)Q,此時(shí)C。將AABC的面積分成

2：1兩部分，求出直線C。與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)即是點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）先利用圖形在NOCB內(nèi)構(gòu)造乙4'CB=NOCB—NOC4,求出tan/A'CB,在R/A。!"中

由tan/OM4=tanNA'a3,0A=2,求出OM長(zhǎng)即可解答，

【詳解】

解：（1）由拋物線丁=以2+云+4（。/0）經(jīng)過點(diǎn)A（-2,0）和點(diǎn)8（4,0）,得：

j4?-2/7+4=0

[16〃+4/?+4=0'

_1

解得："F

b=\

即：條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=-g/+x+4；

（2）由（1）可知點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,4）

?.?點(diǎn)4（-2,0）和點(diǎn)8（4,0）.

AB=6,

.?.將48分成2：1兩部分的點(diǎn)有原點(diǎn)和。（2,0）,此時(shí)C。將AA3C的面積分成2：1兩部

分，如解（2）圖，

?.?點(diǎn)戶為該拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），

直線CP經(jīng)過。點(diǎn)，

設(shè)直線CP解析式為：y=kx+b,經(jīng)過c（0.4）,Q（2,0）兩點(diǎn)，得：

b-4

2&+b=0

b=4

\k=-2f

即可設(shè)直線CP解析式為：y=-2x+4,

y=-—X2+x+4

聯(lián)立函數(shù)解析式為:2

y=-2x+4

玉=0芻=6

解得:

X=4,2=-8,

故P點(diǎn)坐標(biāo)為（6,-8）,

（3）如解（3）圖取點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)4,連接CA',過點(diǎn)4作AH_L3C,垂足為”,

山軸對(duì)稱性質(zhì)可知：OA=OA=2,ZA'CO=ZACO,

：.NA'CB=ZBCO-ZA'CO=ZBCO-ZACO,

---NOCA=ZOCB-NOMA,即ZOMA=NOCB-ZOC4,

NOMA=ZACB

VOB=OC=4,ZBOC=90°,

：.ZOCB=ZOBC=45°,BA'=2,BC=4也

???HB=HA!=叵,

HC=BC-BH=3五,

4Hi

tanZOMA=tanNA'CB=——=-,

CH3

.八一OA入1,

..OM=---------=2-r--=6,

tan4OMA3

點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度遠(yuǎn)動(dòng)：

當(dāng)沿丁軸正方向移動(dòng)時(shí)，MC=OM—OC=6-4=2,則f=2秒，

當(dāng)沿y軸CO方向移動(dòng)時(shí)，MC=OM+OC=6+4=10,則f=10秒，

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)”從點(diǎn)c出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸正方向移動(dòng)時(shí)，工=2秒；沿

co方向在y軸移動(dòng)時(shí)，r=io秒.

6.（2021?內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-d+4x經(jīng)過坐標(biāo)原

點(diǎn)，與X軸正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）如圖1,當(dāng),">0,n>0,且〃=3加時(shí)，

①求點(diǎn)M的坐標(biāo)：

②若點(diǎn)在該拋物線上，連接。M,BM,C是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)M,B

不重合），過點(diǎn)C作CD//MO,交x軸于點(diǎn)O,線段0。與MC是否相等？請(qǐng)說明理由；

（2）如圖2,該拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)K,點(diǎn)在對(duì)稱軸上，當(dāng)伍〉2,〃>0,

且直線EM交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)尸時(shí)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線EM于點(diǎn)N,G為y

軸上一點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0弓），連接GF.若EF+NF=2MF，求證:射線FE平分ZAFG.

圖1圖2

【答案】（1）①M(fèi)（L3）；@OD=MC,見解析；（2）見解析

【分析】

（1）①直接將點(diǎn)加（抽〃）代入解析式，又有〃=3機(jī)，

即可解出坐標(biāo)；②相等，先求出點(diǎn)3,由兩點(diǎn)求出直線的方程，添加輔助線構(gòu)建直角三角形,

利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，證明三角形是等腰三角形即可；

（2）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出所在直線的解析式，求出直線與y軸的交點(diǎn),

添加輔助線，利用三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，找到邊與邊之間的關(guān)系，在直角三角形中利用

勾股定理建立等式求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩條線之間的距離相等，即可判斷出

為角平分線.

【詳解】

解：（1）如答案圖6.

①?.?點(diǎn)M（見〃）在拋物線上，且〃=3〃?,

-nr+4/n=3m>解得〃4=°，(舍去)

m2=1,

n-3,M(l,3).

②OD=MC,

???點(diǎn)9?y）在該拋物線上,

_15?,1515、

”=后?。ú挥洠?

設(shè)直線M8交x軸于點(diǎn)，，解析式為卜=%/+〃,

f3

k[+b[=3,K———

14'

'15,,15解得，

——k.+&=——.,15

[411164=不

/.V=——X+—

“44

當(dāng)尸0時(shí)，x=5,

.*.H(5,0),/.OH=5.

過點(diǎn)M作砂_Lx軸，垂足為七

: