2024屆湖南省常德市淮陽中學等校聯(lián)考高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆湖南省常德市淮陽中學等校聯(lián)考高一數(shù)學第二學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設函數(shù)，其中為已知實常數(shù)，，則下列命題中錯誤的是（）A．若，則對任意實數(shù)恒成立；B．若，則函數(shù)為奇函數(shù)；C．若，則函數(shù)為偶函數(shù)；D．當時，若，則（）．2．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若的面積為，則角=（）A． B．C． D．3．在中，已知，則等于()A． B．C．或 D．或4．已知點，則P在平面直角坐標系中位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．如圖是一個射擊靶的示意圖，其中每個圓環(huán)的寬度與中心圓的半徑相等.某人朝靶上任意射擊一次沒有脫靶，則其命中深色部分的概率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．圖像的對稱中心是B．在定義域內(nèi)是增函數(shù)C．是奇函數(shù)D．圖像的對稱軸是8．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則滿足的正整數(shù)的最大值為（）A．16 B．17 C．18 D．199．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞10．有一個容量為200的樣本，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)為（）A．48 B．60 C．64 D．72二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓：，若對于圓：上任意一點，在圓上總存在點使得，則實數(shù)的取值范圍為__________．12．已知銳角、滿足，，則的值為______.13．已知，，則______，______.14．在數(shù)列中，，，若，則的前項和取得最大值時的值為__________．15．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則公差________.16．如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，則的平均數(shù)是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知四棱錐的底面是菱形，底面，是上的任意一點求證：平面平面設，求點到平面的距離在的條件下，若，求與平面所成角的正切值18．如圖，已知平面，為矩形，分別為的中點，.（1）求證：平面；（2）求證：面平面；（3）求點到平面的距離.19．如圖，在半徑為、圓心角為的扇形的弧上任取一點，作扇形的內(nèi)接矩形，使點在上，點在上，設矩形的面積為,（1）按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：①設，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；②設，將表示成的函數(shù)關(guān)系式，（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系式，求出的最大值．20．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最小值和取得最小值時的取值.21．設函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知△ABC中，角A．B．C的對邊分別為A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

利用兩角和的余弦公式化簡表達式.對于A選項，將化簡得到的表達式代入上述表達式，可判斷出A選項為真命題.對于B選項，將化簡得到的表達式代入上述表達式，可判斷出為奇函數(shù)，由此判斷出B選項為真命題.對于C選項，將化簡得到的表達式代入上述表達式，可判斷出為偶函數(shù)，由此判斷出C選項為真命題.對于D選項，根據(jù)、，求得的零點的表達式，由此求得（），進而判斷出D選項為假命題.【題目詳解】.不妨設．為已知實常數(shù).若，則得；若，則得．于是當時，對任意實數(shù)恒成立，即命題A是真命題；當時，，它為奇函數(shù)，即命題B是真命題；當時，，它為偶函數(shù)，即命題C是真命題；當時，令，則，上述方程中，若，則，這與矛盾，所以．將該方程的兩邊同除以得，令（），則，解得（）．不妨取，（且），則，即（），所以命題D是假命題．故選：D【題目點撥】本小題主要考查兩角和的余弦公式，考查三角函數(shù)的奇偶性，考查三角函數(shù)零點有關(guān)問題的求解，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于中檔題.2、C【解題分析】

由三角形面積公式,結(jié)合所給條件式及余弦定理,即可求得角A.【題目詳解】中,內(nèi)角,,所對的邊分別為,,則由余弦定理可知而由題意可知,代入可得所以化簡可得因為所以故選:C【題目點撥】本題考查了三角形面積公式的應用,余弦定理邊角轉(zhuǎn)化的應用,屬于基礎題.3、C【解題分析】在中，已知，由余弦定理，即，解得或，又，或，故選C.4、B【解題分析】

利用特殊角的三角函數(shù)值的符號得到點的坐標，直接判斷點所在象限即可．【題目詳解】，．在平面直角坐標系中位于第二象限．故選B．【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)值的符號，考查了三角函數(shù)的誘導公式的應用，是基礎題．5、D【解題分析】

結(jié)合題意，結(jié)合直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，得到兩個直角三角形，取斜邊的一半，即為外接球的半徑，結(jié)合球表面積計算公式，計算，即可．【題目詳解】過P點作，結(jié)合平面ABC平面PAC可知，，故，結(jié)合可知，，所以，結(jié)合所以,所以，故該外接球的半徑等于，所以球的表面積為，故選D．【題目點撥】考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，難度偏難．6、D【解題分析】

分別求出大圓面積和深色部分面積即可得解.【題目詳解】設中心圓的半徑為，所以中心圓的面積為，8環(huán)面積為，射擊靶的面積為，所以命中深色部分的概率為.故選：D【題目點撥】此題考查幾何概型，屬于面積型，關(guān)鍵在于準確求解面積，根據(jù)圓環(huán)特征分別求出面積即可得解.7、A【解題分析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可．【題目詳解】．，由得，，的對稱中心為，，故正確；．在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故錯誤；．為非奇非偶函數(shù)，故錯誤；．的圖象不是軸對稱圖形，故錯誤．故選．【題目點撥】本題考查了正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了整體思想，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬基礎題．8、C【解題分析】

先由，得到，，，公差大于零，再由數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【題目詳解】由得，，，，所以公差大于零.又，，，故選C.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的應用，熟記等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式即可，屬于?？碱}型.9、B【解題分析】

設塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．10、B【解題分析】

由，求出，計算出數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率，即可求解.【題目詳解】由,解得，所以數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)，故選B.【題目點撥】本題主要考查了頻率分布直方圖，頻率、頻數(shù)，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由，知為圓的切線，所以兩圓外離，即圓心距大于兩半徑之和，代入方程即可?！绢}目詳解】由，知為圓的切線，即在圓上任意一點都可以向圓作切線，當兩圓外離時，滿足條件，所以，，即，化簡，得：，解得：或.【題目點撥】和圓半徑所成夾角為，即是圓的切線，兩圓外離表示圓心距大于兩半徑之和。12、【解題分析】

計算出角的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計算出的值和的值，然后利用兩角差的余弦公式可計算出的值.【題目詳解】由題意可知，，，，則，.因此，.故答案為.【題目點撥】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，同時也考查了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求值，解題時要明確所求角與已知角之間的關(guān)系，合理利用公式是解題的關(guān)鍵，考查運算求解能力，屬于中等題.13、【解題分析】

由的值，可求出的值，再判斷角的范圍，可判斷出，進而將平方，可求出答案.【題目詳解】由題意，，因為，所以，即；又因為，所以，即，而，由于，可知，所以，則，即.故答案為：；.【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應用，考查二倍角公式的應用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

解法一：利用數(shù)列的遞推公式，化簡得，得到數(shù)列為等差數(shù)列，求得數(shù)列的通項公式，得到，，得出所以，，，，進而得到結(jié)論；解法二：化簡得，令，求得，進而求得，再由，解得或，即可得到結(jié)論．【題目詳解】解法一：因為①所以②，①②，得即，所以數(shù)列為等差數(shù)列．在①中，取，得即，又，則，所以．因此，所以，，，所以，又，所以時，取得最大值．解法二：由，得，令，則，則，即，代入得，取，得，解得，又，則，故所以，于是．由，得，解得或，又因為，，所以時，取得最大值．【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列的綜合應用，以及數(shù)列的最值問題的求解，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，對考生計算能力要求較高，解答中確定通項公式是基礎，合理利用數(shù)列的性質(zhì)是關(guān)鍵，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計算能力等，屬于中檔試題.15、1【解題分析】

利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．【題目詳解】設等差數(shù)列公差為，∵，，∴，解得＝1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了計算能力，屬于基礎題．16、5【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)的定義計算．【題目詳解】由題意，故答案為：5.【題目點撥】本題考查求新數(shù)據(jù)的均值．掌握均值定義是解題關(guān)鍵．實際上如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）（3）【解題分析】

（1）由平面，得出，由菱形的性質(zhì)得出，利用直線與平面垂直的判定定理得出平面，再利用平面與平面垂直的判定定理可證出結(jié)論；（2）先計算出三棱錐的體積，并計算出的面積，利用等體積法計算出三棱錐的高，即為點到平面的距離；（3）由（1）平面，于此得知為直線與平面所成的角，由，得出平面，于此計算出，然后在中計算出即可．【題目詳解】（1）平面，平面，，四邊形是菱形，，平面；又平面，所以平面平面.（2）設，連結(jié)，則，四邊形是菱形，，，，設點到平面的距離為平面，，，解得，即點到平面的距離為；（3）由（1）得平面，為與平面所成角，平面，，與平面所成角的正切值為．【題目點撥】本題考查平面與平面垂直的證明、點到平面的距離以及直線與平面所成的角，求解點到平面的距離，常用的方法是等體積法，將問題轉(zhuǎn)化為三棱錐的高來計算，考查空間想象能力與推理能力，屬于中等題．18、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解題分析】

(1)利用線面平行的判定定理，尋找面PAD內(nèi)的一條直線平行于MN，即可證出；（2）先證出一條直線垂直于面PCD，依據(jù)第一問結(jié)論知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可證出；（3）依據(jù)等積法，即可求出點到平面的距離．【題目詳解】證明：（1）取中點為，連接分別為的中點，是平行四邊形，平面，平面，∴平面證明：（2）因為平面，所以，而,面PAD，而面，所以,由,為的終點，所以由于平面，又由（1）知，平面，平面，∴平面平面解：（3），，，則點到平面的距離為（也可構(gòu)造三棱錐）【題目點撥】本題主要考查線面平行、面面垂直的判定定理以及等積法求點到面的距離，意在考查學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算能力．19、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：（1）①通過求出矩形的邊長，求出面積的表達式；②利用三角函數(shù)的關(guān)系，求出矩形的鄰邊，求出面積的表達式；（2）利用（1）②的表達式，化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，根據(jù)的范圍確定矩形面積的最大值.試題解析：（1）①因為，所以，所以，．②當時，，則，又，所以，所以，（）．（2）由②得，，當時，取得最大值為．考點：1.三角函數(shù)中的恒等變換；2.兩角和與差的正弦函數(shù).【方法點睛】本題主要考查的是函數(shù)解析式的求法，三角函數(shù)的最值的確定，三角函數(shù)公式的靈活運用，計算能力，屬于中檔題，此題是課本題目的延伸，如果（2）選擇（1）①中的解析式，需要用到導數(shù)求解，麻煩，不是命題者的本意，因此正確的選擇是選擇（1）②中的解析式，化成一個角的一個三角函數(shù)的形式，根據(jù)的范圍確定矩形面積的最大值,此類題目選擇正確的解析式是求解容易與否的關(guān)鍵.20、（1）；（2）當時，.【解題分析】

（1）利用二倍角公式將函數(shù)的解析式化簡得，再利用周期公式可得出函數(shù)的最小正周期；（2）由可得出函數(shù)的最小值和對應的的值.【題目詳解】（1），因此，函數(shù)的最小正周期為；（2）由（1）知，當，即當時，函數(shù)取到最小值.【題目點撥】本題考查利用二倍角公式化簡，同時也考查了正弦型函數(shù)的周期和最值的求解，考查學生的化簡運算能力，屬于基礎題.21、（1）周期為π，最大值為2.（2）【解題分析】

（1）利用倍角公式降冪，展開兩角差的余弦，將函數(shù)的關(guān)系式化簡余弦型函數(shù)，可求出函數(shù)的周期及最值；（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和