解析幾何中學(xué)

——“中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之一人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室章建躍本文的目的是介紹解析幾何發(fā)展的歷史，重點討論解析幾何的方法——坐標(biāo)法（坐標(biāo)法），及其核心思想一一數(shù)形結(jié)合思想，并在此基礎(chǔ)上，討論中學(xué)數(shù)學(xué)中解析幾何的課程結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及其處理方法，最后介紹人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材解析幾何部分的編寫特點和教學(xué)建議。由于內(nèi)容較多，我們分四個題目進行討論。眾所周知，近代數(shù)學(xué)的第一個里程碑是解析幾何的誕生。這也是因應(yīng)了時代發(fā)展的需要。文藝復(fù)興使得科技文明獲得新生，近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展使運動變化的研究成為自然科學(xué)的中心問題，由此而迫切需要一種新的數(shù)學(xué)工具。這樣，數(shù)學(xué)就再一次“扮演了先行者、奠基者的角色”，“而其中影響無比深遠者首推坐標(biāo)解析幾何和微積分，它們奠定了對于各種各樣自然現(xiàn)象作深刻的數(shù)理分析的基本工具?！?．作為“方法論”的坐標(biāo)法思想解析幾何的創(chuàng)建是為了科學(xué)發(fā)展的需要，同時，從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看，也是出于對數(shù)學(xué)方法的追求。認識清楚這一點，對于我們理解解析幾何的基本思想特別重要。這可以從追溯Descartes和Fermat在創(chuàng)立解析幾何時的心路歷程看出這種追求。（1）Descartes的坐標(biāo)法思想Descartes1596年3月31日出生于法國拉埃耶一個古老的貴族家庭。他從小體弱多病，但非常好學(xué)，勤于思考，他不僅在數(shù)學(xué)上做出了重要的開創(chuàng)性貢獻，而且在哲學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)等眾多領(lǐng)域都做出了杰出貢獻。他是機械自然觀的第一個系統(tǒng)表述者，被譽為近代哲學(xué)的開創(chuàng)者。正如克萊因指出的，“Descartes是第一個杰出的近代哲學(xué)家，是近代生物學(xué)的奠基人，是第一流的物理學(xué)家，但只偶然地是個數(shù)學(xué)家?！彼源笳軐W(xué)家的眼光審視數(shù)學(xué)，認為數(shù)學(xué)立足于公理上的證明是無懈可擊的，而且是任何權(quán)威所不能左右的。數(shù)學(xué)提供了獲得必然結(jié)果以及有效地證明其結(jié)果的方法。數(shù)學(xué)方法“是一個知識工具，比任何其他由于人的作用而得來的知識工具更為有力，因而它是所有其他知識工具的源泉 ?！彼芯繑?shù)學(xué)，目的是想尋找一種能在一切領(lǐng)域里建立真理的方法。他認為，邏輯本身對任何創(chuàng)造性的人類目標(biāo)都貧乏而毫無用處；哲學(xué)、倫理學(xué)、道德學(xué)中的證明，與數(shù)學(xué)相比，花哨而虛假。那么應(yīng)當(dāng)如何發(fā)現(xiàn)呢？這就是：通過“控制下的實驗”并對實驗結(jié)果應(yīng)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理。Descartes認為，以往的幾何、代數(shù)研究都存在很大缺陷：歐氏幾何中沒有那種普遍適用的證明方法，幾乎每一個證明都需要某種新的、技巧性很強的想法；代數(shù)的方法具有一般性，其推理程序也是機械化的，但它完全受法則和公式的控制，以至于“成為一種充滿混雜與晦暗、故意用來阻礙思想的藝術(shù)，而不像用來改進思想的科學(xué)”。所以，代數(shù)與幾何必須互相取長補短。不過，他推崇代數(shù)的力量，認為代數(shù)方法在提供廣泛的方法論方面要高出幾何方法，因此。于是，他提出了一個計劃，即他把精力集中在研究怎樣把代數(shù)方法用于解決幾何問題，其結(jié)果是創(chuàng)立了解析幾何。1637年，Descartes在朋友的勸說下出版了《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》（簡稱《方法論》），這是一本“文學(xué)和哲學(xué)的經(jīng)典著作”，包括三個著名的附錄一一《幾何學(xué)》、《屈光學(xué)》和《氣象學(xué)》，解析幾何的發(fā)明就包含在《幾何學(xué)》中。他用于說明坐標(biāo)法思想的問題是著名的Pappus問題，這是一個求與若干條給定直線具有確定關(guān)系的點的軌跡問題。他用坐標(biāo)法證明了給定的直線是四條時的Pappus結(jié)論，實際上就是通過建立平面上的坐標(biāo)系，使點與坐標(biāo)（有序?qū)崝?shù)對（x,y））——對應(yīng)，求出x,y滿足的方程：y=Ay+Bxy+Cx+Dx2,其中A，B，C，D是由已知量組成的代數(shù)式，并把這個方程看成是點的軌跡（曲線）。這樣，一個幾何問題就歸結(jié)為代數(shù)問題。所以，Descartes的理論建立在兩個觀念的基礎(chǔ)上：坐標(biāo)觀念；利用坐標(biāo)方法把帶有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成是平面上的一條曲線的觀念。基于坐標(biāo)法思想,Descartes給出了一系列新穎的結(jié)論,例如：曲線的次與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān),因此選擇的坐標(biāo)軸要使得方程越簡單越好；在同一坐標(biāo)系內(nèi)寫出兩條不同曲線的方程,解它們的聯(lián)立方程組就求出兩條曲線的交點；用方程的“次”給幾何曲線分類,圓錐曲線的方程是二次的（沒有證明）；等。（2）Fermat的坐標(biāo)幾何我們知道,Fermat是數(shù)學(xué)史上最著名的數(shù)學(xué)家之一,在數(shù)論、代數(shù)的研究中成就卓著。進一步地,他考慮用代數(shù)來研究曲線。在一本《軌跡引論》的小冊子中,他提出要發(fā)起一個關(guān)于軌跡的一般研究,這種研究是希臘人沒有做到的。他提出的一般原理是：只要在最后的方程里出現(xiàn)了兩個未知量,我們就得到一個軌跡,這兩個量之一,其末端就描繪出一條直線或曲線。直線只有一種,曲線的種類則是無限的,圓、拋物線、橢圓等都是。他明確地使用了坐標(biāo)的概念,而上述“未知量”實際上就是“一類數(shù)的代表”,即變量,也就是橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)。綜上所述，Descartes和Fermat創(chuàng)立解析幾何的原動力是他們對普適性方法的追求，因而解析幾何具有濃厚的“方法論”色彩。事實上,在17世紀(jì)的前半葉,一系列最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家已經(jīng)接近了解析幾何的觀念， 但只有Descartes和Fermat特別清楚地意識到了創(chuàng)立新的數(shù)學(xué)分支的可能性。唯有作為哲學(xué)家的 Descartes，才提出了“創(chuàng)造一種方法，以便用來解決所有的幾何問題,給出這些問題的所謂一般的解法”的思想；同樣的,唯有作為精通數(shù)論并對字母代表數(shù)的思想能應(yīng)用自如的大數(shù)學(xué)家 Fermat,才能洞察數(shù)量方法的深遠意義，而且注意到代數(shù)具有提供這種方法的力量,并用代數(shù)方法來研究幾何?？傊?幾何、代數(shù)和一般變量概念的結(jié)合是坐標(biāo)法的起源；只有像Descartes和Fermat這樣具有綜合性知識結(jié)構(gòu)的大家，才能順應(yīng)時代的要求而發(fā)明這一對數(shù)學(xué)發(fā)展具有決定性影響的方法。 了解這一點很重要，因為這能使我們理解為什么在中學(xué)數(shù)學(xué)中要學(xué)解析幾何， 以及為什么解析幾何課應(yīng)當(dāng)把重點放在對坐標(biāo)法的理解和應(yīng)用上，而不是把精力浪費在一些復(fù)雜的求曲線方程的代數(shù)變換上。2．解析幾何的發(fā)展與任何新的發(fā)明創(chuàng)造一樣，坐標(biāo)法思想也是在很長時間的檢驗、爭論后才逐漸被數(shù)學(xué)界所接受和使用。有許多原因阻礙了解析幾何思想的傳播。例如，盡管 Descartes知道自己的貢獻的絕不僅僅是提供了一個解決作圖問題的新方法，但他對作圖問題的強調(diào)淡化了坐標(biāo)法思想，致使人們認為解析幾何主要是解決作圖問題的工具；當(dāng)時，有許多數(shù)學(xué)家反對把幾何和代數(shù)混淆起來；人們認為，代數(shù)的理論要從幾何的邏輯論證中找到依據(jù)， 代數(shù)缺乏嚴(yán)密性，因而不能替代幾何，甚至不能與幾何并列；等。不過，是金子總會發(fā)光，也有許多人逐漸接受并開始發(fā)展解析幾何。例如， 1655年，JohnWallis在《論圓錐曲線》中第一次得到圓錐曲線的方程，他把圓錐曲線定義為對應(yīng)于含x和y的二次方程的曲線，并證明這些曲線確實就是幾何里的圓錐曲線。他的書對傳播坐標(biāo)幾何的思想起了很大作用，同時也普及了這樣的處理法：把圓錐截線看作是平面曲線，而不看作是圓錐與平面的交線。他強調(diào)代數(shù)推理是獨立有效的，并不需要依靠幾何的證實。 值得指出的是，直接把圓錐曲線看成是平面曲線， 是對應(yīng)于含x和y的二次方程的曲線，可以使人們更直接地看到坐標(biāo)法的有效性，即可以直接從方程性質(zhì)的研究得到曲線的性質(zhì)，這比只把代數(shù)作為一種工具的觀點顯然前進了一步，只有這樣才真正實現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。又如，在《流數(shù)法與無窮級數(shù)》中，Newton用了很多解析幾何的方法，他第一次引進了類似于極坐標(biāo)系的新坐標(biāo)系；Bernoulli在解析幾何上也有許多貢獻，例如他在1691年發(fā)表了關(guān)于極坐標(biāo)的文章，在1694年用坐標(biāo)法討論了雙扭線，這是一條在18世紀(jì)的科學(xué)發(fā)展中起了相當(dāng)大作用的曲線。人們在研究中發(fā)現(xiàn)，用坐標(biāo)法討論那些有用曲線的性質(zhì)，例如對數(shù)螺線、懸鏈線、旋輪線等，是非常有效的。當(dāng)然，解析幾何基礎(chǔ)中的主要幾何內(nèi)容是圓錐曲線的理論。如果對古希臘人來說，圓錐曲線只是具有純粹數(shù)學(xué)興趣的對象，那么在 17、18世紀(jì)的科技文明大發(fā)展的時代，研究它們則主要是為了解決天文學(xué)、力學(xué)和技術(shù)等中的問題。在18世紀(jì)，平面解析幾何得到廣泛研究，并發(fā)展為成熟的學(xué)科。例如，JacobHermann在1729年自由地用極坐標(biāo)研究曲線，還給出了從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換公式；1748年，Euler在他的名著《引論》中引進了曲線的參數(shù)表示，書中對平面解析幾何進行了系統(tǒng)討論；等?？臻g解析幾何在18世紀(jì)也得到大發(fā)展。JohnBernoulli在1715年給Leibniz的一封信中引進了三個坐標(biāo)平面，經(jīng)過后來的數(shù)學(xué)家的改善，弄清了曲面能用三個坐標(biāo)變量的一個方程表示出來的觀念；1731年，Clairaut在《關(guān)于雙重曲率曲線的研究》一書中，給出了一些曲面的方程，弄清楚了描述一條空間曲線需要兩個曲面方程，給出了求垂直于投影平面的柱面的方程，關(guān)于x,y和z的齊次方程表示頂點在原點的一個錐面；Euler在《引論》第二卷的一個附錄中，詳細系統(tǒng)地研究了空間解析幾何，通過坐標(biāo)變換，把方程222ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+kz=l化成標(biāo)準(zhǔn)形式,并得到六種曲面：錐面,柱面,橢球面,單葉和雙葉雙曲面,雙曲拋物面和拋物柱面,他主張按方程的次數(shù)對空間曲線、曲面進行分類,因為次數(shù)是線性變換下的不變量；此外,Lagrange、Monge等數(shù)學(xué)家都對解析幾何投入了大量研究,得到了大量關(guān)于空間曲線、曲面的性質(zhì), Newton對高次平面曲線進行了大量研究；等。由于Euler,Lagrange和Monge的工作,解析幾何成了一門獨立且充滿活力的數(shù)學(xué)分支。3．平面解析幾何的定義和主要問題從前面的論述中可以看到,解析幾何體現(xiàn)了研究幾何的代數(shù)方法。這就是利用坐標(biāo)系將點表示為有序數(shù)組,建立起空間點與有序數(shù)組之間的一一對應(yīng),由此可以將空間的線(直線、曲線)、面(平面、曲面)表示為一個方程,幾何問題就歸結(jié)為代數(shù)問題；然后借助于代數(shù)運算和變換,對這些數(shù)、代數(shù)式及方程之間的關(guān)系進行討論； 最后再把討論的結(jié)果利用坐標(biāo)系翻譯成相應(yīng)的幾何結(jié)論。這就是我們熟悉的三步曲：翻譯一一代數(shù)討論一一翻譯。因此,解析幾何就是在采用了坐標(biāo)方法的同時,運用代數(shù)方法來研究幾何對象。它所解決的主要問題是：通過計算來解決作圖問題, 例如分線段成已知比值一一定比分點公式；求有某種幾何性質(zhì)的曲線方程；根據(jù)曲線的方程,用代數(shù)方法證明(或討論)曲線的幾何性質(zhì)；賦予代數(shù)方程以幾何意義,用幾何方法研究它的代數(shù)性質(zhì),例如用拋物線和圓的交點解三次或四次方程。4．解析幾何的意義首先，解析幾何的意義表現(xiàn)在它所提供的數(shù)形結(jié)合思想上。在這一思想的指引下，一個幾何對象被數(shù)(坐標(biāo))所完全刻畫，幾何概念可以表示為代數(shù)的形式，幾何目標(biāo)可以通過代數(shù)方法來達到；反過來，它使代數(shù)語言得到了幾何解釋，從而代數(shù)語言有了直觀意義，人們能從中得到啟發(fā)而提出新的結(jié)論。“只要代數(shù)與幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善?！笨傊馕鰩缀蔚乃枷胧沟么鷶?shù)與幾何水乳交融、相輔相成、相得益彰，它不但促進了兩者的大幅度進展，而且也使微積分的展現(xiàn)變得水到渠成?！笆呤兰o(jì)以來數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，在很大程度上應(yīng)歸功于坐標(biāo)幾何?！碧貏e值得指出的是，這種思想所反映出的事物辯證統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化的觀點，具有方法論的意義，不僅對于數(shù)學(xué)的研究，而且對于處理其他問題也有非常重要的意義。其次，解析幾何為科學(xué)提供了迫切需要的工具。 Descartes曾說：“……我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何。這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練習(xí)思想的問題。我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在于解釋自然現(xiàn)象的幾何?！?事實上，在Descartes所處的17世紀(jì)，天文學(xué)、力學(xué)等有一系列的新發(fā)現(xiàn)。開普勒發(fā)現(xiàn)行星繞太陽的運動軌道是橢圓；伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的物體是沿著拋物線的軌道運動的。過去，對于橢圓、拋物線等，因為沒有實用的需要，因此作為圓錐與平面的截線，只要在幾何上得到研究就足夠了。但現(xiàn)在，因為航海、軍事的需要，對它們進行計算成了必需。這樣，科學(xué)對數(shù)量工具的需求變得非常迫切了。解析幾何使人能把形象和路線表示為代數(shù)的形式，從而導(dǎo)出數(shù)量工具，正好滿足了這種迫切的需求。第三，為數(shù)學(xué)提供了統(tǒng)一處理問題的工具。Descartes的本意是通過解析幾何來給幾何引進新方法，但解析幾何的成就遠遠超過他的預(yù)期。代數(shù)系統(tǒng)地用于幾何研究，不但能迅速地證明關(guān)于曲線的任何事實，而且這種解決問題的方式基本上是程序化的。因為Descartes和Fermat都不用負坐標(biāo)，因此他們也許根本沒有預(yù)料到，當(dāng)字母可以代表任意數(shù)（正數(shù)、負數(shù)甚至是復(fù)數(shù)）時，就可以用代數(shù)來統(tǒng)一處理綜合幾何中那些必須分別處理的情形。例如，平面幾何證明三角形的三條高交于一點，要分交點在三角形內(nèi)還是在三角形外，而在坐標(biāo)幾何中可以不加區(qū)分。有些幾何曲線的性質(zhì)，如果用綜合幾何的方法是很難證明的，但如果用坐標(biāo)法卻非常簡單。例如，二次曲線平行弦的中點的軌跡是直線段；二次曲線的光學(xué)性質(zhì)；等。有些幾何問題，例如三等分任意角、化圓為方、倍立方體等所謂的三大尺規(guī)作圖難題，用代數(shù)可以漂亮地、迅速地決定它們能還是不能，而離開代數(shù)，決定就成為不可能了。而有些幾何曲線，例如旋輪線、對數(shù)曲線、對數(shù)螺線……，如果不用解析幾何的方法，那么我們將根本無法知道該如何去研究它們的性質(zhì)。解析幾何有一套發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的統(tǒng)一、有用且好用的方法。坐標(biāo)法使人們能夠認識典型的幾何問題并能把在幾何形式上互不相關(guān)的問題歸在一起。代數(shù)給幾何帶來最自然的分類原則和最自然的方法層次。第四，解析幾何的發(fā)明，完成了數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次劃時代的變革，正如恩格斯指出的：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……?！比藗冊@樣評價笛卡爾：極少有人能刷新人類思想的一個完整的方面，笛卡兒就是那極少數(shù)人中的一個。這個貢獻屬于最杰出之列，在有史以來對數(shù)學(xué)作出的最杰出貢獻中，它以其感人的簡單而引人注目。笛卡爾再造了幾何，并使現(xiàn)代幾何成為可能。就像數(shù)學(xué)中所有真正偉大的東西一樣，解析幾何的基本概念簡單到了近乎一目了然的程度。阿達瑪也說：坐標(biāo)法的應(yīng)用不僅把幾何上已經(jīng)定義了的曲線轉(zhuǎn)變成方程，而且從完全相反的角度看，給越來越復(fù)雜的曲線預(yù)先下了定義，因此越來越一般……數(shù)學(xué)研究對象的全部概念， 發(fā)生了徹底變革，直接促成這一變革的是笛卡爾，他確實知道自己的發(fā)明的重要性，因為他說他到目前為止已經(jīng)超過了在它以前的全部幾何學(xué)。最后說一個題外話。通常，人們認為幾何直觀、形象，其基本性質(zhì)容易被觀察到、想象到；而代數(shù)則是抽象的，它所研究的數(shù)系的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，在本質(zhì)上是逐步歸納、復(fù)合而得到的。數(shù)學(xué)史上，“解析”一詞是指這樣的過程：從結(jié)論出發(fā)去尋找論據(jù)，直至到達一些已知的東西為止。正因為“解析”具有“歸納”“分析”的含義，在18世紀(jì)，“解析”和“代數(shù)”曾經(jīng)被當(dāng)成同義詞使用。由于“綜合”是指演繹的表述，因此從這個意義上，“解析”與“綜合”恰好相反。不過，人們看到，在解析幾何的發(fā)展中，代數(shù)并不僅僅是一種工具，“它本身就是一個引進并研究曲線和曲面的基本方法”，因此“解析幾何”一詞含有證明和使用代數(shù)方法的意思，因而現(xiàn)在把解析幾何與綜合幾何相提并論，不再認為一個是發(fā)明的手段，而另一個是證明的方法了。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考200713第1葉我國中學(xué)解析幾何教材的沿革——“中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之二人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室章建躍上文我們從解析幾何的創(chuàng)立和發(fā)展的回顧中，討論了解析幾何的思想方法、內(nèi)容和意義。本文將在追溯我國中學(xué)解析幾何課程發(fā)展歷史的過程中，對解析幾何教材的功能定位、結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容和要求等進行討論。1．我國中學(xué)解析幾何課程歷史簡述我國中學(xué)數(shù)學(xué)從20世紀(jì)初就設(shè)有解析幾何課程。涵蓋的內(nèi)容有：德卡兒（即笛卡爾）坐標(biāo)系、軌跡與方程、直線方程、圓的方程、圓錐曲線方程、極坐標(biāo)、坐標(biāo)變換、切線和法線、一般二元二次方程及其軌跡性狀的討論、高次平面曲線超越平面曲線等，內(nèi)容比較齊全，安排在高二、高三，每周2—3課時不等。1932年，為了解決課程多課時少的矛盾，提出“與其教材過多，徒使學(xué)生食而不化，不如注意基本訓(xùn)練，養(yǎng)成其自動研究之能力。故……解析幾何僅需講大意?！币虼苏n程名稱改為《解析幾何大意》，在高三學(xué)習(xí)一年，每周 2課時。到1936年，解析幾何的內(nèi)容大量增加，除平面解析幾何外，還增加了不少空間解析幾何的內(nèi)容：空間坐標(biāo)與軌跡、平面及直線、特殊曲面、空間坐標(biāo)變換、二次曲面、空間曲線方程式及其性質(zhì)等，仍在高三學(xué)習(xí)，周課時數(shù)增至 4課時。在1948年，解析幾何課程又出現(xiàn)大調(diào)整，將空間解析幾何刪去，只學(xué)平面解析幾何，并大量減少課時數(shù)，在高三開一學(xué)期的課，每周3課時。新中國成立之初，1950年頒布《數(shù)學(xué)精簡綱要》，其中以斯蓋尼三氏解析幾何學(xué)為主要參考書，確定了高中解析幾何“應(yīng)授教材”綱目，章節(jié)名稱是：第一章直角坐標(biāo)；第二章直線；第三章曲線和方程；第四章圓；第五章拋物線，橢圓，雙曲線；第六章坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換；第七章切線和法線；第八章極坐標(biāo)；第九章襄變方程；第十章立體解析幾何大意。內(nèi)容又大大增加，從高二下學(xué)期開始學(xué)習(xí)，課時量為高二（下）2課時，高三3課時。1952年開始學(xué)蘇聯(lián)，不在中學(xué)設(shè)置解析幾何課程，直到1963年才把它重新納入中學(xué)數(shù)學(xué)課程體系，只學(xué)平面解析幾何，但內(nèi)容比較齊全，學(xué)時為90課時，在高三年級開設(shè)。此后的解析幾何課程基本上是在1963年的基礎(chǔ)上進行調(diào)整，但在結(jié)構(gòu)體系上沒有大的變動，主要是不斷精簡內(nèi)容。到2000年，坐標(biāo)變換、極坐標(biāo)、參數(shù)方程等都被精簡，圓錐曲線的切線、法線以及統(tǒng)一定義等都不再學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)時間減為40課時，在高二上學(xué)期開設(shè)。2．解析幾何教學(xué)目標(biāo)和要求的變化我國的解析幾何教學(xué)歷來強調(diào)兩個功能：第一，作為初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)過渡的橋梁；第二，作為溝通代數(shù)與幾何的綜合性學(xué)科?；谶@樣的認識，在不同階段提出的解析幾何教學(xué)目標(biāo)和要求雖各有差異，但本質(zhì)沒有多少改變。例如：1932年“課標(biāo)”的“實施方法”中提出：“解析幾何應(yīng)融會代數(shù)、幾何、三角諸學(xué)程，示其相互為用，簡略提示中學(xué)階段算學(xué)科之總結(jié)束，一面立高深研究之基礎(chǔ)。”1941年的《六年制中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)草案》中提到：（ 1）解析幾何之教學(xué)，應(yīng)融會代數(shù)、幾何、三角諸學(xué)程，示其相互為用之處，一面作中學(xué)階段算學(xué)科之總結(jié)束，一面立高深研究之基礎(chǔ)。（2）解析幾何之教學(xué)，又應(yīng)與代數(shù)、幾何、三角互相聯(lián)絡(luò)，以解決幾何問題，而充分表示算學(xué)各部分呼應(yīng)一氣之特色。（ 3）欲圖形與數(shù)量得相應(yīng)之關(guān)聯(lián)，不得不用推廣之幾何原素，故解析幾何遂不能不與綜合幾何互有出入（如分角線求法之問題）。凡此等處，最宜使初學(xué)者注意，以期其見解明晰，無所惶恐。 （4）綜合法作圖之范圍，非解析莫能決，如有充分時間，宜略示作圖不能之意義。又在同一年的《修正高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出：解析幾何的教學(xué)應(yīng)使學(xué)生知用坐標(biāo)及代數(shù)方法，研究圖形性質(zhì)及解決實用問題；使學(xué)生熟習(xí)圓錐曲線之性質(zhì)與應(yīng)用；使學(xué)生認識各種著名曲線；養(yǎng)成學(xué)生函數(shù)觀念及分析能力。1951年《中學(xué)數(shù)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)草案》中提出的解析幾何教學(xué)目標(biāo)是：（ 1）應(yīng)用代數(shù)方法研究幾何；（2）學(xué)習(xí)函數(shù)和圖像的相互關(guān)系；（3）本科以研究圓錐曲線為主；（4）溝通形數(shù)，奠定學(xué)習(xí)解析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。1963年的教學(xué)大綱中提出，解析幾何應(yīng)安排在高中最后階段，這樣，一方面使以前所學(xué)的數(shù)學(xué)知識融會貫通，把數(shù)和形的研究緊密地結(jié)合起來，提高綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力；另一方面要系統(tǒng)掌握解析幾何的基礎(chǔ)知識，為學(xué)習(xí)高數(shù)打下扎實的基礎(chǔ)。這一大綱提出的解析幾何教學(xué)要求比較高：掌握直角坐標(biāo)系中曲線和方程的相互關(guān)系；能根據(jù)所給條件妥善選擇坐標(biāo)系，列出曲線的方程；能通過方程的討論，掌握曲線的性質(zhì)，畫出曲線；能運用坐標(biāo)法論證圖形的性質(zhì)；掌握直線和圓錐曲線的各種方程、性質(zhì)以及圓錐曲線的各種畫法；能利用坐標(biāo)軸的平移和旋轉(zhuǎn)簡化二次方程；掌握一些重要曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程。此后的教學(xué)目標(biāo)和要求主要是在上述框架下進行調(diào)整。例如，1986年的大綱中提出，解析幾何教學(xué)要使學(xué)生：（1）了解解析幾何研究的對象、方法和意義。 （2）掌握直角坐標(biāo)系中曲線和方程的相互關(guān)系；能根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求曲線方程；通過對方程的討論掌握曲線的性質(zhì)，畫出曲線；能運用坐標(biāo)法解決有關(guān)問題。（ 3）掌握直線和圓錐曲線的方程、性質(zhì)及其畫法；能利用坐標(biāo)軸的平移化簡圓錐曲線方程；了解一些重要曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程。（4）使學(xué)生能夠用運動、變化和對立統(tǒng)一的辯證觀點去分析問題?？傊?，解析幾何的教學(xué)目標(biāo)和要求，都是圍繞著使學(xué)生理解和掌握坐標(biāo)法，并用坐標(biāo)法研究直線、圓錐曲線以及其他重要曲線的方程、性質(zhì)和作圖等來考慮。盡管內(nèi)容有深有淺，范圍有廣有窄，但大框架沒有改變。3．內(nèi)容的選取在我國中學(xué)數(shù)學(xué)課程發(fā)展史上，解析幾何課內(nèi)容的確定，經(jīng)歷了不斷精簡的過程。新中國成立之前的較長一段時間（1936—1951年），中學(xué)解析幾何課程包括空間解析幾何。新中國成立后，則以學(xué)習(xí)平面解析幾何為主。平面解析幾何內(nèi)容的選取，主要考慮的是內(nèi)容是否要求完整。過去較長時間內(nèi)，內(nèi)容比較齊全：首先講理論基礎(chǔ)，即從有向線段開始，引進直角坐標(biāo)系后，講解基本幾何量（角、距離、面積、斜率、分點等）的解析表示，讓學(xué)生初步熟悉坐標(biāo)系；接著安排曲線與方程的基本定理，包括曲線和方程的概念，由曲線求方程，由方程畫曲線，兩條曲線的公共點（方程組的解）等。接著，在上述理論準(zhǔn)備的基礎(chǔ)上，安排直線及其方程和圓錐曲線及其方程的學(xué)習(xí)。前一部分包括：各種直線方程、經(jīng)驗公式、直線方程的法線式、直線族、兩條直線的位置關(guān)系（平行、垂直的充要條件）、點到直線的距離、交角公式、三線共點的條件等；圓錐曲線及其方程包括：圓的方程、三個條件決定一個圓（包括圓系）、橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的性質(zhì)（截距、對稱性、范圍、離心率）、用幾何方法畫出橢圓上的點（尺規(guī)作圖），雙曲線、拋物線的討論思路與橢圓一致，最后給出圓錐曲線的統(tǒng)一定義。另外還討論了圓錐曲線的切線定義（極限法給出）、圓錐曲線的切線方程（求法步驟、法線）、切線和法線的性質(zhì)第三部分是坐標(biāo)變換，包括坐標(biāo)軸的平移（公式、利用平移化簡方程）、方程22Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0的討論（橢圓型、雙曲線型、拋物線型）、坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)（公式）、利用旋轉(zhuǎn)消xy項、一般二次方程的討論和化簡；圓錐曲線系。第四部分是極坐標(biāo)，包括極坐標(biāo)的概念、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互換、極坐標(biāo)方程的圖形、求軌跡的極坐標(biāo)方程、圓錐曲線的定義和它的極坐標(biāo)方程等。第五部分是參數(shù)方程，包括參數(shù)方程的概念、普通方程和參數(shù)方程的互化、由參數(shù)方程畫圖、利用參數(shù)求方程等。上述內(nèi)容的選取和編排，除了內(nèi)容完整、齊全外，以公理化思想組織內(nèi)容體系也是一個突出特點，重視數(shù)學(xué)理論的邏輯結(jié)構(gòu)，較少考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)心理。文革結(jié)束后，平面解析幾何內(nèi)容的確定，主要是在上述基礎(chǔ)上的精簡：首先，理論基礎(chǔ)上不作過分求全，簡單的直角坐標(biāo)系理論分解到初中；其次，直線方程重點講點斜式和一般式，位置關(guān)系強調(diào)平行和垂直，度量問題主要講距離（點到直線的距離為重點）；再次，突出“標(biāo)準(zhǔn)方程”的主干地位，不對一般的二次方程及其曲線進行討論，在圓錐曲線的統(tǒng)一性上不做過多討論；第四，主要在直角坐標(biāo)系下討論問題，逐步刪減了極坐標(biāo)系的內(nèi)容；第五，強調(diào)參數(shù)的思想，把參數(shù)方程的訓(xùn)練分散到其他主干內(nèi)容中去；第六，因為中學(xué)生對用不變量思想討論幾何圖形性質(zhì)的理論理解有困難，所以坐標(biāo)變換的內(nèi)容逐步削弱；第七，由于主張用導(dǎo)數(shù)為工具討論二次曲線的切線和法線，因此只保留少數(shù)與方程的思想和方法緊密相關(guān)的切線問題（用二次方程根的判別式求解）。4．內(nèi)容編排中考慮的幾個問題（1）“曲線的方程”“方程的曲線”概念的處理兩種處理方式：一種是在給出直角坐標(biāo)系概念后，馬上定義“曲線的方程”和“方程的曲線”；另一種是在直線的方程、圓的方程內(nèi)容之后再給定義。顯然，前一種處理方式主要考慮數(shù)學(xué)的邏輯性，這樣處理具有數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。但由于這一概念很抽象，學(xué)生在沒有一定的方程與曲線關(guān)系的感知基礎(chǔ)時，很難理解，所以作為教材的組織方式，這樣做不合適。第二種處理方式比較合適。首先，作為解析幾何的基本概念，“曲線的方程”和“方程的曲線”不能出現(xiàn)太晚?？紤]到與學(xué)生的認知基礎(chǔ)相適應(yīng)，采取“具體——抽象——具體”的方式，先在直線及其方程、圓及其方程的學(xué)習(xí)中“滲透”，借助直線和二元一次方程的關(guān)系、圓與其方程的關(guān)系的討論，作直觀、具體的論述。在學(xué)完圓的方程后，再歸納出“曲線的方程”“方程的曲線”概念，這樣就使學(xué)生在理解這一抽象概念時有一定的認知準(zhǔn)備。當(dāng)然，在講解概念時，還要有具體的典型例子為載體，并要配合一定的求曲線方程的練習(xí)。在對曲線和方程的概念有了一定程度的理解后，再在概念的指導(dǎo)下，對圓錐曲線進行較系統(tǒng)的研究。在具體處理“曲線與方程”時，細節(jié)上還有一些問題要考慮。例如：是否完整地講“已知曲線求方程”和“已知方程討論曲線的性質(zhì)和作圖”。一般地，僅僅討論某一個具體方程的性質(zhì)和作圖意義不大，還是結(jié)合圓錐曲線的學(xué)習(xí)，通過方程討論一類曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的性質(zhì)，更能體現(xiàn)代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的優(yōu)越性。因此，以往教材這里只討論已知曲線求方程的問題，這樣處理還是合適的。用怎樣的數(shù)學(xué)語言表述概念。一般地，為了使表述規(guī)范、簡潔，同時也為了使學(xué)生熟悉用集合和對應(yīng)的語言表述數(shù)學(xué)問題，可以考慮用集合與對應(yīng)的語言和符號描述軌跡概念：“……軌跡就是滿足所給條件的點 M的集合，表示為：P={M:f（M）=a}”。但是，也有一些人認為，這樣抽象的語言、符號許多學(xué)生理解不了，與其為了嚴(yán)謹(jǐn)而引進抽象符號表示而導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，對學(xué)生掌握解析幾何的基本思想產(chǎn)生不利影響，倒不如在這里退一步，用不太嚴(yán)格的直觀語言加以描述，把重點放在領(lǐng)會解析幾何的基本思想，再逐步嚴(yán)謹(jǐn)化。是否要先講“充要條件”。對“曲線與方程”“方程與曲線”的理解需要有充要條件的概念。在以往的教材體系中曾經(jīng)采用過三種處理辦法：一是用充要條件的語言講“曲線與方程”概念，同時對“充要條件”等概念進行解釋；二是先用一定的課時學(xué)習(xí)“充要條件”概念，然后再學(xué)習(xí)“曲線與方程”概念；三是把“充要條件”放在“簡易邏輯”中，這里作為已知概念使用。我們知道，“充要條件”是一個教學(xué)難點。學(xué)生雖然學(xué)過“四種命題”，接觸過不少的充要條件命題，但從邏輯上理解還是有一定的困難，這里安排一節(jié)“充要條件”內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)謹(jǐn)了，命題的敘述也方便、準(zhǔn)確了，但這是“節(jié)外生枝”，打斷了解析幾何本身的系統(tǒng)和連貫性。而且連續(xù)的兩個抽象難懂概念放在一起學(xué)習(xí)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)心理確實有不利的影響。所以，這個內(nèi)容安排在“簡易邏輯”中更合適。只是不管安排在哪個位置，都不要在概念本身的嚴(yán)格性上做過多文章，應(yīng)當(dāng)是知道、能用就可以。2）是否把圓作為一種特殊的圓錐曲線單獨研究顯然，無論從平面截圓錐的位置的區(qū)分，還是從二元二次方程的一般式看，我們都可以很容易地看到，圓是圓錐曲線的特例，圓的方程也是二次曲線方程的特例。所以，不單獨列出“圓及其方程”，而是從一般的角度入手，對方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的系數(shù)的各種取值情況進行討論，也是完整、系統(tǒng)的。但是，這樣做不符合學(xué)生的認知規(guī)律，也是學(xué)生的能力所不能及的。另一方面，圓的性質(zhì)是學(xué)生在平面幾何中系統(tǒng)學(xué)習(xí)過的，他們對這一圖形的性質(zhì)已經(jīng)有比較充分的認識，單獨列出“圓及其方程”，既可以讓學(xué)生利用平面幾何中獲得的圓的知識，又可以讓他們體會坐標(biāo)法與綜合法之間的異同，體會坐標(biāo)法的本質(zhì)，以及把坐標(biāo)法和綜合法結(jié)合起來研究問題的好處，從而體會數(shù)形結(jié)合思想。所以，先處理“圓及其方程”，并且用坐標(biāo)法處理一些圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系問題，是符合數(shù)學(xué)教學(xué)法原則的。當(dāng)然，在具體處理時，應(yīng)當(dāng)照顧到與二次曲線的銜接問題，這就是要讓學(xué)生從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x－a）2+（y－a）2=r2展開得到一般方程，觀察它的特點，得出圓的方程一定可以化為X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，并對系數(shù)D,E,F滿足什么條件時，才是圓的方程進行討論（這里要用配方法，并要對方程有無數(shù)解、唯一解以及無解的幾何含義進行解釋）。為了加強這種聯(lián)系性，可以介紹用待定系數(shù)法求圓的方程的方法和步驟，還可以從中得到：“三個獨立條件唯一確定方程X2+y2+Dx+Ey+F=O”，與平面幾何中“不共線三點唯一確定一個圓”是一致的，等等。（3） 圓錐曲線的順序問題可以有兩種：橢圓到雙曲線再到拋物線；拋物線到橢圓再到雙曲線。前一種順序，考慮的是圓與橢圓的密切關(guān)系， 而且從平面截圓錐的連續(xù)過程看， 是圓一一橢圓一一拋物線——雙曲線，從方程的角度看，圓的方程可以作為橢圓方程的特例，而雙曲線的方程與橢圓方程是符號之差，拋物線的方程與其余幾種是不一樣的；后一種順序，主要是拋物線方程更加簡單，拋物線有很好的光學(xué)性質(zhì)，應(yīng)用比較廣泛，另外也與二次函數(shù)聯(lián)系緊密。所以，兩種順序都是可以的。（4） 圓錐曲線的統(tǒng)一定義及其方程在什么時候出現(xiàn)應(yīng)當(dāng)說，統(tǒng)一定義是重要的，應(yīng)當(dāng)用適當(dāng)?shù)姆绞桨才艑W(xué)生學(xué)習(xí)這一內(nèi)容。而且只有學(xué)習(xí)了統(tǒng)一定義，才能真正理解離心率的意義。這里實際上是對不同曲線的個性與共性的處理問題。從個性出發(fā)，有利于對相應(yīng)曲線的性質(zhì)進行全面研究；在對個性研究的基礎(chǔ)上再歸納概括出共性，可以達到更進一步的認識。另外，從動點滿足的幾何條件“到定點與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡”出發(fā)，建立直角坐標(biāo)系，最容易想到的是取定點為原點或取定直線為坐標(biāo)軸，但這樣得到的都不是標(biāo)準(zhǔn)方程，而在極坐標(biāo)系下，以定點為極點，垂直于定直線的射線為極軸，得到的方程是簡單而對稱的。所以，在“個性定義”下，以給定坐標(biāo)系的方式，讓學(xué)生體會“統(tǒng)一定義”，再在講完三種曲線后作適當(dāng)總結(jié)，把圓錐曲線用離心率統(tǒng)一起來，使學(xué)生的認識加深，最后再在極坐標(biāo)系下求出統(tǒng)一方程，這樣的安排還是綜合考慮了數(shù)學(xué)的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和學(xué)生的認知規(guī)律及接受能力的。（5）圓錐曲線的切線、法線內(nèi)容的取舍問題從應(yīng)用的角度看，圓錐曲線的許多性質(zhì)，特別是光學(xué)性質(zhì)，都與切線、法線有關(guān)，不介紹這些內(nèi)容是一個損失。但是，曲線的切線，只有用極限概念才能準(zhǔn)確定義，處理曲線的切線問題的最理想工具是導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然，這里用直線與圓錐曲線方程組成的方程組有且只有一解的事實，利用二次方程根的判別式也能求出切線方程?？紤]到課時問題，在幾次改革以后，圓錐曲線的切線和法線已經(jīng)被刪除了。但實際上這是解析幾何的一個很好的學(xué)習(xí)題材，而且又有很好的實際應(yīng)用，因此，如何取舍，還是要根據(jù)不同的需要來考慮。（6）坐標(biāo)變換內(nèi)容的處理實際上，坐標(biāo)變換體現(xiàn)的是曲線的剛體運動不變性，通過坐標(biāo)變換化簡方程，以便更加方便地討論曲線的性質(zhì)，更重要的是從中可以對曲線進行分類。但是，這樣的討論是非常專業(yè)化的數(shù)學(xué)問題，對于一般的學(xué)生來講，學(xué)習(xí)如此專業(yè)化的問題是不必要的。所以，經(jīng)過多年的改革，這部分內(nèi)容已經(jīng)不再被列入學(xué)習(xí)范圍了。（7）極坐標(biāo)和參數(shù)方程內(nèi)容的處理應(yīng)當(dāng)說，極坐標(biāo)的思想與我們?nèi)粘Ｉ盍?xí)慣更加接近，因為當(dāng)我們要確定自己的位置時，一般用“距離”和“方位”來表示。但是由于極坐標(biāo)系下需要代數(shù)和三角兩種工具，相對來講比直角坐標(biāo)系下的方程復(fù)雜一些，通常情況下人們更習(xí)慣使用直角坐標(biāo)系。處理某些與運動（特別是圓周運動）有關(guān)的軌跡問題，例如求旋輪線、圓的漸開線、擺線等的方程，參數(shù)的作用很大，而且這些曲線在生產(chǎn)實踐中非常重要，另外，應(yīng)用參數(shù)的思想解決數(shù)學(xué)中的軌跡問題，比較好地體現(xiàn)了坐標(biāo)法與函數(shù)觀念的融合，因此參數(shù)方程的學(xué)習(xí)無論對數(shù)學(xué)本身還是對解決實際問題都有其需要。不過，是否單獨設(shè)置章節(jié)，還是可以研究的。一般的，滲透到其他內(nèi)容中學(xué)習(xí)也是可以考慮的一個方案。中學(xué)解析幾何的核心結(jié)構(gòu)——中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之三人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室章建躍1．解析幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的地位和作用從前所述可見，解析幾何把代數(shù)的知識和方法系統(tǒng)地用于研究幾何，數(shù)形結(jié)合的思想和方法不但使代數(shù)、幾何獲得了前所未有的進展，而且還使微積分的發(fā)明水到渠成。因此，解析幾何既是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，也是從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的橋梁。由于人類活動的需要，解決天體運動、拋射體運動、單擺運動等各種運動問題成為數(shù)學(xué)的重大課題。而運動可以從兩個角度看：一是作為點的軌跡；二是作為位置與時間的關(guān)系。數(shù)學(xué)史上，在函數(shù)概念還沒有充分認識之前，函數(shù)被當(dāng)作曲線來研究，例如，正弦曲線是在旋輪線的研究中作為它的“伴侶曲線”而進入數(shù)學(xué)的。后來，人們使用運動的概念來引進曲線，例如，伽利略證明了斜拋體的運動軌跡是拋物線，因而把拋物線看成是動點的軌跡；牛頓說，曲線是由于點的連續(xù)運動而描畫出來的。把曲線看成是動點的軌跡這一概念逐漸地被認可和接受以后，函數(shù)（變量之間的關(guān)系）與曲線的聯(lián)系就很緊密了，從而也就使解析幾何與函數(shù)的聯(lián)系更緊密了。某種意義上看，由于借助于坐標(biāo)系而描繪了函數(shù)圖象，使抽象的函數(shù)得到形象直觀的表示，從而使研究函數(shù)的方法更加多樣而有力，對函數(shù)性質(zhì)的認識也更加全面而具體。當(dāng)然，“函數(shù)與圖象”、曲線與方程”畢竟是兩個不同的問題。例如，函數(shù)y=f(x)中，x,y的地位“不平等”，函數(shù)y隨自變量X的變化而變化，兩者有依賴關(guān)系；方程 f（X,y）=0中，x,y的地位“平等”，雖然也有依賴關(guān)系，但并沒有一個隨另一個變化的關(guān)系；函數(shù)中，x,y之間有特殊的對應(yīng)關(guān)系（單值對應(yīng)） ，表現(xiàn)在圖象上，就是平行于y軸的直線與圖象至多有一個交點；方程的解沒有這種限制，所以交點可以不止一個；借助函數(shù)的圖象討論性質(zhì),這里的“性質(zhì)”是函數(shù)的變化規(guī)律,由方程討論曲線的性質(zhì),這里的“性質(zhì)”是曲線的幾何性質(zhì)。另一方面,眾所周知,解析幾何的研究對象與歐氏幾何相同,但是它們的研究方法不同,這里不再贅述。綜上所述,中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo),以坐標(biāo)法為核心,以空間形式為研究對象,用代數(shù)方法研究幾何；與函數(shù)知識緊密聯(lián)系,是初等數(shù)學(xué)通向高等數(shù)學(xué)的橋梁。因此,解析幾何是融中學(xué)代數(shù)、幾何、三角等為一體的綜合性課程。通過解析幾何學(xué)習(xí),可以使學(xué)生對已學(xué)知識融會貫通,把數(shù)和形的研究緊密地結(jié)合起來,提高綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。同時,系統(tǒng)地掌握解析幾何的基礎(chǔ)知識,也為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定了堅實的基礎(chǔ)。2．解析幾何的教學(xué)目標(biāo)體系解析幾何的教學(xué)目標(biāo)體系可以從知識、方法、思想、觀點等幾個層次進行構(gòu)建。在確定這一目標(biāo)體系時,要特別注意從解析幾何的學(xué)科特點出發(fā)。考察解析幾何的學(xué)科特點,最重要的是它的“方法論”特征；另外就是它的“綜合性”首先是用代數(shù)方法研究幾何問題,同時,用幾何的眼光處理代數(shù)問題（幾何直觀能力的體現(xiàn)）據(jù)此,解析幾何的首要教學(xué)目標(biāo)應(yīng)是理解“坐標(biāo)法”,具體包括用坐標(biāo)法解決問題的過程和要素（“三步曲”）以及在應(yīng)用坐標(biāo)法過程中體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合思想。當(dāng)然,要讓中學(xué)生通過解析幾何的學(xué)習(xí)完全掌握坐標(biāo)法是不現(xiàn)實的。因為雖然從方法本身看非常樸實,但中學(xué)的解析幾何中處理的內(nèi)容相對簡單,還不足以表現(xiàn)坐標(biāo)法的力量,所以只能要求學(xué)生初步掌握方法,初步學(xué)會用坐標(biāo)法思想思考和處理問題,并注意在其它學(xué)科的學(xué)習(xí)中滲透。思想方法必須有具體知識作為載體才能被領(lǐng)會,也只有和具體知識融為一體才能發(fā)揮作用。因此,坐標(biāo)法必須在解析幾何知識的學(xué)習(xí)中逐步掌握。直線和圓錐曲線是比較簡單的平面曲線,以這兩種曲線為載體學(xué)習(xí)解析幾何,可以更好地使學(xué)生把精力集中于坐標(biāo)法的領(lǐng)悟。具體的知識目標(biāo)是：掌握直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系。能根據(jù)直線、圓錐曲線的幾何特征,選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,建立直線方程和圓錐曲線方程；能通過直線方程、圓錐曲線方程討論它們的性質(zhì)。一般地,能根據(jù)問題的幾何特征,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程,并能通過方程研究曲線的性質(zhì)。能利用坐標(biāo)變換化簡曲線方程。了解一些重要曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程。更高層次地看,由于解析幾何是運用辯證法思想分析和解決問題的典范, 因此教學(xué)中應(yīng)利用這一特點,培養(yǎng)學(xué)生用運動、變化和對立統(tǒng)一等觀點分析和解決問題, 領(lǐng)會辯證法思想。3．解析幾何的課程結(jié)構(gòu)圖（1）總體結(jié)構(gòu)

幾點說明：第一，數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法是統(tǒng)領(lǐng)全局的，曲線與方程的關(guān)系（一種充要條件）是討論各種具體問題的基礎(chǔ)，但這些都是“默會知識”，要采取逐步滲透的方法使學(xué)生領(lǐng)會和掌握。在學(xué)習(xí)直線與方程、圓與方程時，采取默認的方式，先不刻意從“曲線與方程”角度討論，學(xué)生也不會特別提出疑問。有了一定的基礎(chǔ)后，在橢圓、雙曲線、拋物線之前討論“曲線與方程”，還是比較合適的。第二，斜率概念和過兩點的直線的斜率公式是“直線與方程”部分的核心內(nèi)容，其他大部分內(nèi)容都可以看成是由此“導(dǎo)出”的內(nèi)容?！包c到直線的距離公式”由于其聯(lián)系的廣泛性，是“先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標(biāo)法解決”的好素材，能很好地體現(xiàn)坐標(biāo)法的綜合性。圓錐曲線中，橢圓具有典型性，其他曲線的討論可以通過類比橢圓的討論完成。第三，直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩點間的距離公式、定比分點公式（中點坐標(biāo)公式）、傾斜角、斜率、兩條直線的交角（平行、垂直）等與直線的方程沒有直接關(guān)系（不需要根據(jù)直線方程來討論），這些內(nèi)容的安排可以有一定的靈活性。從系統(tǒng)性考慮，把交角、平行、垂直等作為性質(zhì)，在求出直線方程后，用坐標(biāo)法進行討論，也是作為“用代數(shù)方法研究幾何問題”的初步實踐，比較合適。另外，作為應(yīng)用，在直線與方程的最后安排一定的用坐標(biāo)法解決平面幾何典型問題（如與三角形的外心、重心、垂心有關(guān)的問題）的實踐，對于學(xué)生領(lǐng)會坐標(biāo)法、提高學(xué)習(xí)興趣等都是有好處的。第四，圓錐曲線與方程是中學(xué)解析幾何課程的核心內(nèi)容，也是平面幾何沒有涉及的，所以應(yīng)當(dāng)特別強調(diào)確定這些曲線的幾何要素的探索。在明確幾何要素的基礎(chǔ)上，再利用對稱性建立坐標(biāo)系求標(biāo)準(zhǔn)方程。圓錐曲線的統(tǒng)一定義表明它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，是非常重要的。但是為了分散難點，把表現(xiàn)各類圓錐曲線的“個性定義及其方程”放在直角坐標(biāo)系下討論，把“統(tǒng)一定義及其方程”放在極坐標(biāo)系下討論。實際上，在極坐標(biāo)系中建立統(tǒng)一定義下的圓錐曲線方程更加方便，方程也更加簡單、優(yōu)美。第五，從解析幾何課程的性質(zhì)出發(fā)，由削枝強干的考慮，同時也是課時所限，對于那些需要較多的平面幾何知識才能較好解決的問題，在解析幾何教學(xué)中最好不要涉及。也就是說，解析幾何中的綜合，應(yīng)當(dāng)以“用坐標(biāo)法解決幾何問題”為主，研究“代數(shù)關(guān)系的幾何意義”為輔。第六，高中解析幾何課程，空間坐標(biāo)系可以不必涉及。在用空間向量解決立體幾何問題時，再介紹空間直角坐標(biāo)系就可以了。這樣既體現(xiàn)削枝強干原則，又體現(xiàn)學(xué)以致用的原則。用到時再適時引入有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、及時鞏固等。4．解析幾何的內(nèi)容和要求（1）直線與方程理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；掌握兩點間的距離公式。根據(jù)直角坐標(biāo)系內(nèi)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程點斜式，并能由點斜式推出兩點式及一般式；理解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。能根據(jù)直線方程探索并掌握：兩條直線平行或垂直的條件；兩直線的交點坐標(biāo)；點到直線的距離公式；兩條平行直線間的距離。能用直線的方程解決簡單的問題。（2）圓與方程在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)確定圓的幾何要素，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。能根據(jù)直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。（3） 曲線與方程結(jié)合實例，理解曲線與方程的關(guān)系，進一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。（4） 圓錐曲線與方程從具體情境中抽象出確定橢圓、雙曲線、拋物線模型的幾何要素；掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)。能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等）和實際問題。（5）坐標(biāo)變換①在直角坐標(biāo)系中，通過具體例子，探索并理解坐標(biāo)平移公式。②在直角坐標(biāo)系中，通過具體例子，了解坐標(biāo)伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。（6）極坐標(biāo)系①能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，理解極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別與聯(lián)系，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化。②能求簡單曲線（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）和圓錐曲線統(tǒng)一定義下的方程。（7）參數(shù)方程①利用直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程。②能求平擺線和漸開線的參數(shù)方程。能用參數(shù)方程解決一些簡單問題。說明：到底應(yīng)該讓學(xué)生討論哪些圓錐曲線的性質(zhì)，主要應(yīng)該從是否能較好反映圓錐曲線的重要特點出發(fā)。從標(biāo)準(zhǔn)方程的特點，最容易得到的是范圍、頂點、對稱性等，而離心率、準(zhǔn)線、漸近線、光學(xué)性質(zhì)等最能反映圓錐曲線特點的性質(zhì)，則很難直接從方程中得到，需要安排專項討論才能完成。所以，圓錐曲線性質(zhì)的討論可以分為如下三塊：在“個性定義”下，討論范圍、頂點、對稱性、漸近線等；在“統(tǒng)一定義”下，討論離心率、準(zhǔn)線等；在圓錐曲線的應(yīng)用中討論光學(xué)性質(zhì)?！皫缀巫儞Q的代數(shù)表示”與這里討論的問題聯(lián)系并不緊密，因此坐標(biāo)變換的內(nèi)容如果不與“曲線方程的化簡”結(jié)合，不能顯示其學(xué)習(xí)的必要性。所以，是否需要這一內(nèi)容，或者把它放在函數(shù)中去，都是可以研究的人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材中的解析幾何——“中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之四人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室章建躍一、“課標(biāo)”對解析幾何內(nèi)容的安排為了體現(xiàn)“基礎(chǔ)性”“多樣性”“選擇性”的原則，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》（以下簡稱“課標(biāo)”）螺旋上升地在必修和選修模塊中設(shè)置了解析幾何內(nèi)容。必修模塊，要求學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中建立直線和圓的代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)及其相互位置關(guān)系，并了解空間直角坐標(biāo)系；體會數(shù)形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。選修1、2模塊（必選），要求學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程，了解圓錐曲線與二次方程的關(guān)系，掌握圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。作為解析幾何初步、平面向量、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合應(yīng)用和進一步深化，“課標(biāo)”設(shè)置了《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》專題（任選），要求學(xué)生通過本專題的學(xué)習(xí)，掌握極坐標(biāo)和參數(shù)方程的基本概念，了解曲線的多種表現(xiàn)形式，體會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)探究數(shù)學(xué)問題的興趣和能力，體會數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用價值，提高應(yīng)用意識和實踐能力。從上述安排可見，“課標(biāo)”構(gòu)建的解析幾何課程體系，是以坐標(biāo)法為核心，依“直線與方程一一圓與方程一一圓錐曲線與方程——極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”為順序，螺旋上升、循序漸進地展開內(nèi)容。二、人教A版解析幾何教材的特點在編寫人教A版解析幾何教材的過程中， 我們按照“課標(biāo)”的要求，注意吸收以往教材的優(yōu)點，強調(diào)在繼承基礎(chǔ)上進行創(chuàng)新。在內(nèi)容的選擇上，加強背景和應(yīng)用，減少抽象的、形式化的理論；注重按照學(xué)生學(xué)習(xí)心理組織教材內(nèi)容，循序漸進地逐步提高論理要求；注重坐標(biāo)法思想內(nèi)涵的理解和應(yīng)用，減少機械套用、死記硬背；注重與平面幾何、函數(shù)等的聯(lián)系與綜合，體現(xiàn)解析幾何的學(xué)科特征；注重利用數(shù)學(xué)史料，滲透數(shù)學(xué)文化；等。在編排體例和編寫方法上，貫徹“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”思想，以恰時恰點的“問題串”引導(dǎo)學(xué)習(xí)；強調(diào)根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)認知規(guī)律，采用“歸納式”，引導(dǎo)學(xué)生歸納和概括數(shù)學(xué)結(jié)論；注意使用“先行組織者”等手段，從方法論角度，對如何觀察、分析和解決問題上加強指導(dǎo)；采用單元制，在坐標(biāo)法的統(tǒng)領(lǐng)下，從直線與方程、圓與方程到圓錐曲線與方程，最后到綜合性的參數(shù)方程，分層遞進、螺旋上升地展開內(nèi)容；在語言敘述上力求做到條理清楚、簡潔明快；等。1．突出坐標(biāo)法的核心地位，強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)當(dāng)說，任何解析幾何的教材都會把這個問題作為首要任務(wù)加以考慮，關(guān)鍵是如何落實。為此，教材從三個方面考慮：（1）隨時隨地強調(diào)坐標(biāo)法的基本思想， 明確表述坐標(biāo)法的基本步驟，并將其概括為“三步曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何要素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算與變換，解決代數(shù)問題；第三步：分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，并“翻譯”成幾何結(jié)論。（2） 用坐標(biāo)法解決典型的平面幾何問題，引導(dǎo)學(xué)生理解坐標(biāo)法的基本思想，體會坐標(biāo)法的力量。例如，用坐標(biāo)法證明三角形、平行四邊形的性質(zhì)，證明與圓相關(guān)的一些命題等。這些問題在平面幾何中有一定困難，但用坐標(biāo)法解決卻“輕而易舉”。 在解析幾何學(xué)習(xí)的入門階段，不安排涉及復(fù)雜代數(shù)運算的題目，減少代數(shù)變換的 在解析幾何學(xué)習(xí)的入門階段，不安排涉及復(fù)雜代數(shù)運算的題目，減少代數(shù)變換的困難，但通過各種機會滲透和概括坐標(biāo)法思想，強調(diào)經(jīng)歷用坐標(biāo)法解決問題的完整過程，使學(xué)生集中精力于坐標(biāo)法的學(xué)習(xí)。在后續(xù)階段，逐步加強“先用平面幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決”的思路。例如，在每一個章前引言中，不厭其煩地闡述解析幾何的基本思想；加強“如何在坐標(biāo)系下確定問題的幾何要素”的引導(dǎo)，體現(xiàn)“從平面幾何到解析幾何”的過渡；明確提出“如何利用幾何關(guān)系和幾何量的代數(shù)表示討論幾何問題”的思考任務(wù)；強調(diào)用坐標(biāo)法研究問題的規(guī)范，給出利用方程完整地討論幾何性質(zhì)的示范；等。2．根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)心理安排教學(xué)內(nèi)容與以往教材相比較，在強調(diào)教材的科學(xué)性、邏輯性、結(jié)構(gòu)性的同時，特別關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，注意按照學(xué)生的思維邏輯組織教學(xué)內(nèi)容，這是人教A版的一個總體特色。在解析幾何部分，具體體現(xiàn)在如下幾個方面：（1）強調(diào)“先行組織者”的使用。認知心理學(xué)認為，“先行組織者”有助于學(xué)生形成有意義學(xué)習(xí)的心向，能夠為學(xué)生的學(xué)習(xí)建立一個“導(dǎo)游圖”，避免學(xué)習(xí)的盲目性，同時也為新舊知識間搭建了一座橋梁。前已指出，解析幾何具有“方法論”的學(xué)科特征，在解決具體問題之前明確其結(jié)構(gòu)、方向和主要過程正是“先行組織者”的“強項”。所以，在教材內(nèi)容的展開過程中，特別是在每一章節(jié)的開篇，我們賦予“先行組織者”以重要地位，特別注重用坐標(biāo)法討論問題基本思路的引導(dǎo)。實際上，這既是解析幾何思想的教學(xué)，又是一種思維策略的教學(xué)。（2）坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合、運動變化思想等“默會知識”，采取“滲透一一明確——應(yīng)用”的過程。我們知道，坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合思想等都是數(shù)學(xué)中關(guān)于“怎么想”“怎么做”的知識，屬“默會知識”范疇。這種知識的掌握，更多地要靠實踐過程中的領(lǐng)悟和理解。因此，從總體看，教材按如下思路展開這些內(nèi)容：在“直線與方程”“圓與方程”部分，從滲透到逐步明確，同時提供用坐標(biāo)法解決幾何問題的示范和練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生體會解析幾何思想；在“圓錐曲線與方程”“參數(shù)方程”中，在進一步明確坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上，加強用坐標(biāo)法解決綜合性問題的訓(xùn)練，使學(xué)生在實踐中深刻理解，學(xué)會用坐標(biāo)法思考和解決問題。(3)改變“從定義出發(fā)”的教材呈現(xiàn)方式，盡量用“歸納式”呈現(xiàn)教材，注意從簡單到復(fù)雜、從單一到綜合地組織內(nèi)容，按照從具體到抽象、從特殊到一般的方式，給學(xué)生提供歸納、概括的機會。這是與以往教材有很大區(qū)別的地方。例如，在講“傾斜角與斜率”概念時，先引導(dǎo)學(xué)生思考在直角坐標(biāo)系中(給定了參照系)，“幾個條件確定一條直線”“如何刻畫‘傾斜程度'”“如何用一個量來表示‘傾斜程度'”等具體問題，并把它與日常生活中的“坡度”概念聯(lián)系起來。在學(xué)生獲得充分感知后，再概括出概念。又如，“曲線的方程”“方程的曲線”概念，這是一個充要條件，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn)，在培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性方面都是很好的載體，但這也是一個不容易把握的概念，過早地出現(xiàn)，沒有足夠的知識準(zhǔn)備，不僅會導(dǎo)致學(xué)生理解的困難，還會使他們產(chǎn)生“為什么要這樣來要求”的疑問。因此，教材在直線與方程、圓與方程部分先有意識滲透相關(guān)概念，在圓錐曲線與方程之前，再安排這一概念的學(xué)習(xí)，并且也采用了從具體到抽象的思路。3．問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，改進教與學(xué)的方式這也是本套教材的一個特點。在解析幾何部分，具體體現(xiàn)在如下幾個方面：(1)充分發(fā)揮“史料”的作用，從整體上展示解析幾何所研究的問題。正如上文所述，解析幾何的發(fā)明既是為了解決人類實踐活動中提出的問題，又是為了探尋科研的普適性方法。教科書以這些歷史資料為素材，從宏觀上提出問題，引導(dǎo)學(xué)生感受坐標(biāo)法。我們認為，這樣的處理對學(xué)生把握解析幾何的基本思想和學(xué)習(xí)方向很有好處，這也是區(qū)別于以往教科書的一個突出特點。(2)利用“觀察”“思考”“探究”欄目提出問題，引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)。這些問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容時普遍都會遇到的，教科書通過它們來引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，為學(xué)生獨立思考、自主探究構(gòu)建平臺。例如，在引入橢圓概念時，通過“你能說出移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件嗎？”引導(dǎo)學(xué)生探究確定橢圓的幾何要素，從而為選擇坐標(biāo)系、建立標(biāo)準(zhǔn)方程、討論橢圓的性質(zhì)等做好必要準(zhǔn)備。在推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，通過“觀察圖形，你能從中找出表示A,C, 的線段嗎？”引導(dǎo)學(xué)生思考a,C, 的幾何意義，使學(xué)生理解引入B加大用坐標(biāo)法思想分析問題的力度。從簡潔性考慮，以往教材往往直接呈現(xiàn)邏輯過程，這是一種加大用坐標(biāo)法思想分析問題的力度。從簡潔性考慮，以往教材往往直接呈現(xiàn)邏輯過程，這是一種4?加強背景和應(yīng)用，完善學(xué)習(xí)過程我國數(shù)學(xué)教學(xué)有以練習(xí)促理解、以技能訓(xùn)練代替思維訓(xùn)練的習(xí)慣，解析幾何教學(xué)也以解答大量題目為主，這是一種“掐頭去尾燒中段” 的做法，對學(xué)生形成全面的數(shù)學(xué)理解沒有好處。解析幾何是一門“方法論”色彩濃厚的學(xué)科，應(yīng)當(dāng)以“用坐標(biāo)法研究問題”為主線，以讓學(xué)生領(lǐng)會坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想為主要任務(wù)， 僅靠做練習(xí)題是無法完成這一任務(wù)的。 為此，加強背景和應(yīng)用，使學(xué)生經(jīng)歷完整的用坐標(biāo)法解決問題的過程，變“掐頭去尾燒中段”為“接頭續(xù)尾燒全魚"，是解析幾何教學(xué)中必須予以充分重視的問題。教科書在這方面作出了努力，例如：(1)加強確定各類圖形的幾何要素的分析，在此基礎(chǔ)上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。實際上這是“幾何眼光觀察在先”的體現(xiàn)，是以往教材不夠重視的地方。思考的“結(jié)果”，而對“為什么這樣思考”則需要學(xué)生自己去體會，但這對學(xué)生而言是比較困難的。人教A版通過加強用坐標(biāo)法分析問題， 既展示了過程，又體現(xiàn)了對學(xué)生思維的引導(dǎo)。例如，通過“對于直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線，它的位置由哪些條件確定？”引導(dǎo)學(xué)生思考：平面幾何中是“兩點確定一條直線”，有了坐標(biāo)系作為參照系，這種條件可以有哪些變化。在學(xué)生認識到可以用直線與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系來確定后，再引入傾斜角概念。在此基礎(chǔ)上再討論如何用代數(shù)方法表示直線的“傾斜程度”，由此引入斜率概念。然后，通過引導(dǎo)語：在直角坐標(biāo)系中，給定一點。O（X°,y°）和斜率k,就能唯一確定一條直線，即平面直角坐標(biāo)系中的點在不在這條直線上，完全由點 Po（x。，y。）和斜率k確定。也就是說，直線上任意一點P（x,y）的坐標(biāo)完全由P。的坐標(biāo)X。，y。和k確定。那么這種關(guān)系的代數(shù)表達式是什么呢？”啟發(fā)學(xué)生思考，并推導(dǎo)出點斜式方程。這個引導(dǎo)語完整地表述了“平面幾何語言一一解析幾何語言”的轉(zhuǎn)化， “幾何關(guān)系一一坐標(biāo)關(guān)系”的轉(zhuǎn)化。實踐表明，這樣的措施對于發(fā)揮解析幾何的綜合作用， 促進學(xué)生對坐標(biāo)法的深刻理解，提高綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，都起了很好的作用。5?加強聯(lián)系與綜合，體現(xiàn)“思想性”本套教材為了改變以往教材存在的“講邏輯而不講思想”的不足，在提高思想性方面作出了較大努力，加強聯(lián)系與綜合正是落實“思想性”的載體。在編寫過程中，發(fā)揮解析幾何課程特點和優(yōu)勢，把它作為提高思想性的強大平臺， 溝通代數(shù)、幾何、三角等的相互聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生認識數(shù)學(xué)的內(nèi)在一致性，成為主要指導(dǎo)思想之一。例如， 數(shù)學(xué)史上，函數(shù)曾被當(dāng)作曲線來研究，由于把曲線看成是動點的軌跡， 函數(shù)（變量之間的關(guān)系）與曲線建立了非常緊密的聯(lián)系，由此也使運動進入了數(shù)學(xué)。這樣， 從曲線作為坐標(biāo)平面內(nèi)點的運動軌跡，用運動變化的思想，用函