2023屆江西省南昌市高三二模數(shù)學試題（理）（解析版）

高級中學精品試卷PAGEPAGE1江西省南昌市2023屆高三二模數(shù)學試題（理）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以，由，即，可得，所以，所以.故選：D．2.已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗復數(shù)滿足，，對應點為，在第四象限.故選：D.3.已知數(shù)列，若，則（）A.9 B.11 C.13 D.15〖答案〗B〖解析〗由，令，則，則，令，則，則.故選：B.4.已知函數(shù)，命題，使得，命題，當時，都有，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗命題p：當時，，所以，即，則，使得，故命題p為假命題；命題q：當時，函數(shù)單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時，，故命題q為真命題.則命題為真，故A正確；命題為假，故B錯誤；命題為假，故C錯誤；命題為假，故D錯誤.故選：A.5.已知拋物線的準線為l，點M是拋物線上一點，若圓M過點且與直線l相切，則圓M與y軸相交所得弦長是（）A. B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，，則準線為，設，因為圓M與直線l相切，所以圓的半徑為，則圓的標準方程為，又圓M過點，所以①.又②，由①②，解得，則，設圓M與y軸交于點B、C，則.故選：D.6.如圖，A，B，C是正方體的頂點，，點P在正方體的表面上運動，若三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取的中點，連接，則當點P的軌跡為(含邊界)時，三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，此時若P與M重合，最小，且最小值為1，若P與Q重合，最大，且最大值為，所以的取值范圍為.故選：D.7.已知單位向量滿足，則的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記的夾角為，則，由，即，兩邊平方，得，即，即，則，當時，，不符合題意，所以，又，則．故選：C．8.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，綜上，.故選：A．9.已知數(shù)列的通項公式為，保持數(shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（）A.4056 B.4096 C.8152 D.8192〖答案〗C〖解析〗插入組共個，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個．，∵，∴，又數(shù)列的前13項和為，故選：C．10.已知正四面體的棱長為，現(xiàn)截去四個全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個八面體能放進半徑為的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長最小值為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，正四面體中，棱長為；頂點在面BCD的投射影為的中心，正四面體外接球球心為點（截去四個全等的小正四面體之后得到的八面體的外接球球心同樣為點）．為中點，，，，在中，，在中，，又，則，即，解得，則，設小正四面體的棱長，為上面小正四面體底面中心，則．由題意，八面體能放進半徑為的球形容器，則八面體的外接球半徑．在中，，則，即，解得．所以截去的小正四面體的棱長最小值為．故選：B．11.已知正實數(shù)a使得函數(shù)有且只有三個不同零點，若，則下列的關系式中，正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，由得：，即，令，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)有三個零點，即直線與函數(shù)與函數(shù)的圖象共有三個公共點，在同一坐標平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，它們有公共點，如圖，因此直線必過點，令直線與函數(shù)的圖象另一交點為，與函數(shù)的圖象另一交點為，顯然，且有，由得：，即，而，于是，由得：，即，而，于是，由得：，即，D正確；對于A，，A錯誤；對于B，令，，函數(shù)在上遞增，即有，因此，則，而，從而，B錯誤；對于C，因為，若成立，則必有，令，，當時，遞減，當時，遞增，而，因此函數(shù)的兩個零點，即方程的兩個根分別在區(qū)間內(nèi)，令，，當時，遞減，當時，遞增，而，因此函數(shù)的兩個零點，即方程的兩個根分別在區(qū)間內(nèi)，顯然直線與函數(shù)和的圖象的交點有4個，不符合題意，所以，即不正確，C錯誤.故選：D.12.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙扎、刺縫等工藝，與中國人的生活息息相連．燈籠成了中國人喜慶的象征．經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊燈各一個隨機掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊燈為．先求僅相鄰的種數(shù)，把看作一個元素，當排在首尾時，不同的排法有種；當排在五個位置中第二、第四位時，不同的排法有種；當排在第三個位置時，不同的排法有種，故僅相鄰共有種排法，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，也都有種排法，所以有且僅有一種類型燈籠相鄰的概率為．故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知隨機變量X的分布列為X01P0.20.40.4則隨機變量的數(shù)學期望________．〖答案〗〖解析〗因為隨機變量X的分布列為X01P0.20.40.4所以隨機變量的數(shù)學期望，故〖答案〗為：14.已知變量x，y滿足，則的最大值為________．〖答案〗2〖解析〗如圖，作出不等式組所對應的線性規(guī)劃區(qū)域：，當直線過時，取得最大值，最大值為，故〖答案〗為：2.15.已知函數(shù)的圖象關于點中心對稱（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則________．〖答案〗〖解析〗若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于點對稱.因為函數(shù)的圖象關于點對稱，不妨令，則，由，得，由，得，所以，即整理，得，其中為常數(shù)，有，解得，所以.故〖答案〗為：.16.足球是大眾喜愛的運動，足球比賽中，傳球球員的傳球角度、接球球員的巧妙跑位都讓觀眾贊不絕口．甲、乙兩支球隊一場比賽的某一時刻，三位球員站位如圖所示，其中A，B點站的是甲隊隊員，C點站的是乙隊隊員，，這兩平行線間的距離為，，點B在直線l上，且，這時，站位A點球員傳球給站位B點隊友（傳球球員能根據(jù)隊友跑位調(diào)整傳球方向及控制傳球力度，及時準確傳到接球點），記傳球方向與的夾角為，已知站位B，C兩點隊員跑動速度都是，現(xiàn)要求接球點滿足下面兩個條件：①站位B點隊員能至少比站位C點隊員早跑到接球點；②接球點在直線l的左側(cè)（包括l）；則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗如圖，以的中點為原點，建立平面直角坐標系，則，設接球點為，若，得點在以為焦點的雙曲線的右支上，設，則，因為，所以，解得，即，設直線與雙曲線的右支交于（在的上方），令，則，所以，則接球點為位于雙曲線右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)或邊界，則，，因為直線的傾斜角與互補，由圖可知，.故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.如圖是函數(shù)的部分圖象，已知．（1）求；（2）若，求．解：（1）恒等變換化簡計算即可的解.設，函數(shù)的最小正周期為T，則，則，故，解得(負值舍去)，所以，所以；（2）由（1）得，，得，即，所以，又因，則，所以，所以.18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，點E在線段上，，平面平面．（1）求；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取AB的中點O，連接BD、DO，過P作DO的平行線PG，在菱形ABCD中，，則為等邊三角形，得，且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，由，則平面，又平面，所以，由，建立如圖空間直角坐標系，由，得，取PA的中點F，連接OF，則，所以，，有，設，則，由，得，即，.設，則，有，由，得，解得，即；（2）設平面的一個法向量為，由，，得，令，則，所以，又，所以，故直線DE與平面CDP所成角的正弦值為.19.一地質(zhì)探測隊為探測一礦中金屬鋰的分布情況，先設了1個原點，再確定了5個采樣點，這5個采樣點到原點距離分別為，其中，并得到了各采樣點金屬鋰的含量，得到一組數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到如下統(tǒng)計量的值：，，，，，其中．（1）利用相關系數(shù)判斷與哪一個更適宜作為y關于x的回歸模型；（2）建立y關于x的回歸方程．參考公式：回歸方程中斜率、截距的最小二乘估計公式、相關系數(shù)公式分別為，，；參考數(shù)據(jù)：．解：（1）若用作回歸模型，，，所以相關系數(shù)，若用作為回歸模型，相關系數(shù)，比較與，，，因為，所以用作為y關于x的回歸模型方程；（2）由（1），，，，，則y關于x的回歸方程為.20.已知橢圓的焦距為，左、右頂點分別為，上頂點為B，過點的直線斜率分別為，直線與直線的交點分別為B，P．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線與橢圓C的另一個交點為Q，直線與x軸的交點為R，記的面積為，的面積為，求的取值范圍．解：（1）因為直線的斜率為，所以，焦距，因此，解得，所以橢圓的方程是；（2）因為，所以直線的方程為，聯(lián)立，整理得．則，故，則．所以．又直線的方程為．聯(lián)立，解得．，因為，所以，所以．21.已知函數(shù)為的導函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）已知，若存在，使得成立，求證：．（1）解：當時，此時，則，當時，，則在單調(diào)遞增；當時，，則在單調(diào)遞減；所以的極大值為，無極小值．（2）證明：不妨設，因為，則，即，所以，由，則，，即，所以即，設，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上為增函數(shù)，所以，因為，所以．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.“太極圖”是關于太極思想的圖示，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽魚太極圖”．在平面直角坐標系中，“太極圖”是一個圓心為坐標原點，半徑為的圓，其中黑、白區(qū)域分界線，為兩個圓心在軸上的半圓，在太極圖內(nèi)，以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求點的一個極坐標和分界線的極坐標方程；（2）過原點的直線與分界線，分別交于，兩點，求面積的最大值．解：（1）設點的一個極坐標為，，，則，，∵點在第三象限，∴，∴點一個極坐標為.∵“太極圖”是一個圓心為坐標原點，半徑為的圓，∴分界線的圓心直角坐標為，半徑為，∴的直角坐標方程為（），即（），將，，代入上式，得，，化簡，得分界線的極坐標方程為，.（2）∵在上，∴設點極坐標為，則，，∴的面積∵，∴，∴當，即時，的面積的最大值為.∵直線過原點分別與，交于點，，∴由圖形的對稱性易知，，∴面積，∴面積的最大值為.選修4-5：不等式選講23.已知．（1）在給出的直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；（2）若在上恒成立，求的最小值．解：（1）其圖象如下圖所示：（2）由（1）知函數(shù)與軸的交點為和，結(jié)合函數(shù)和圖象可以知道，當時，當或或時，由圖可知在上不可能恒成立；當時，，而的值有負數(shù)，可知在上不可能恒成立；當時，只需，則在上恒成立，此時，當時，過點且斜率為的直線方程為，令，則，要在上恒成立，則，此時，當且僅當時等號成立．綜上：的最小值為3.江西省南昌市2023屆高三二模數(shù)學試題（理）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以，由，即，可得，所以，所以.故選：D．2.已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗復數(shù)滿足，，對應點為，在第四象限.故選：D.3.已知數(shù)列，若，則（）A.9 B.11 C.13 D.15〖答案〗B〖解析〗由，令，則，則，令，則，則.故選：B.4.已知函數(shù)，命題，使得，命題，當時，都有，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗命題p：當時，，所以，即，則，使得，故命題p為假命題；命題q：當時，函數(shù)單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時，，故命題q為真命題.則命題為真，故A正確；命題為假，故B錯誤；命題為假，故C錯誤；命題為假，故D錯誤.故選：A.5.已知拋物線的準線為l，點M是拋物線上一點，若圓M過點且與直線l相切，則圓M與y軸相交所得弦長是（）A. B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，，則準線為，設，因為圓M與直線l相切，所以圓的半徑為，則圓的標準方程為，又圓M過點，所以①.又②，由①②，解得，則，設圓M與y軸交于點B、C，則.故選：D.6.如圖，A，B，C是正方體的頂點，，點P在正方體的表面上運動，若三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取的中點，連接，則當點P的軌跡為(含邊界)時，三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，此時若P與M重合，最小，且最小值為1，若P與Q重合，最大，且最大值為，所以的取值范圍為.故選：D.7.已知單位向量滿足，則的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記的夾角為，則，由，即，兩邊平方，得，即，即，則，當時，，不符合題意，所以，又，則．故選：C．8.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，，綜上，.故選：A．9.已知數(shù)列的通項公式為，保持數(shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（）A.4056 B.4096 C.8152 D.8192〖答案〗C〖解析〗插入組共個，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個．，∵，∴，又數(shù)列的前13項和為，故選：C．10.已知正四面體的棱長為，現(xiàn)截去四個全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個八面體能放進半徑為的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長最小值為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，正四面體中，棱長為；頂點在面BCD的投射影為的中心，正四面體外接球球心為點（截去四個全等的小正四面體之后得到的八面體的外接球球心同樣為點）．為中點，，，，在中，，在中，，又，則，即，解得，則，設小正四面體的棱長，為上面小正四面體底面中心，則．由題意，八面體能放進半徑為的球形容器，則八面體的外接球半徑．在中，，則，即，解得．所以截去的小正四面體的棱長最小值為．故選：B．11.已知正實數(shù)a使得函數(shù)有且只有三個不同零點，若，則下列的關系式中，正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，由得：，即，令，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)有三個零點，即直線與函數(shù)與函數(shù)的圖象共有三個公共點，在同一坐標平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，它們有公共點，如圖，因此直線必過點，令直線與函數(shù)的圖象另一交點為，與函數(shù)的圖象另一交點為，顯然，且有，由得：，即，而，于是，由得：，即，而，于是，由得：，即，D正確；對于A，，A錯誤；對于B，令，，函數(shù)在上遞增，即有，因此，則，而，從而，B錯誤；對于C，因為，若成立，則必有，令，，當時，遞減，當時，遞增，而，因此函數(shù)的兩個零點，即方程的兩個根分別在區(qū)間內(nèi)，令，，當時，遞減，當時，遞增，而，因此函數(shù)的兩個零點，即方程的兩個根分別在區(qū)間內(nèi)，顯然直線與函數(shù)和的圖象的交點有4個，不符合題意，所以，即不正確，C錯誤.故選：D.12.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙扎、刺縫等工藝，與中國人的生活息息相連．燈籠成了中國人喜慶的象征．經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊燈各一個隨機掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財?shù)鯚?、吉祥如意吊燈為．先求僅相鄰的種數(shù)，把看作一個元素，當排在首尾時，不同的排法有種；當排在五個位置中第二、第四位時，不同的排法有種；當排在第三個位置時，不同的排法有種，故僅相鄰共有種排法，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，也都有種排法，所以有且僅有一種類型燈籠相鄰的概率為．故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知隨機變量X的分布列為X01P0.20.40.4則隨機變量的數(shù)學期望________．〖答案〗〖解析〗因為隨機變量X的分布列為X01P0.20.40.4所以隨機變量的數(shù)學期望，故〖答案〗為：14.已知變量x，y滿足，則的最大值為________．〖答案〗2〖解析〗如圖，作出不等式組所對應的線性規(guī)劃區(qū)域：，當直線過時，取得最大值，最大值為，故〖答案〗為：2.15.已知函數(shù)的圖象關于點中心對稱（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則________．〖答案〗〖解析〗若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于點對稱.因為函數(shù)的圖象關于點對稱，不妨令，則，由，得，由，得，所以，即整理，得，其中為常數(shù)，有，解得，所以.故〖答案〗為：.16.足球是大眾喜愛的運動，足球比賽中，傳球球員的傳球角度、接球球員的巧妙跑位都讓觀眾贊不絕口．甲、乙兩支球隊一場比賽的某一時刻，三位球員站位如圖所示，其中A，B點站的是甲隊隊員，C點站的是乙隊隊員，，這兩平行線間的距離為，，點B在直線l上，且，這時，站位A點球員傳球給站位B點隊友（傳球球員能根據(jù)隊友跑位調(diào)整傳球方向及控制傳球力度，及時準確傳到接球點），記傳球方向與的夾角為，已知站位B，C兩點隊員跑動速度都是，現(xiàn)要求接球點滿足下面兩個條件：①站位B點隊員能至少比站位C點隊員早跑到接球點；②接球點在直線l的左側(cè)（包括l）；則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗如圖，以的中點為原點，建立平面直角坐標系，則，設接球點為，若，得點在以為焦點的雙曲線的右支上，設，則，因為，所以，解得，即，設直線與雙曲線的右支交于（在的上方），令，則，所以，則接球點為位于雙曲線右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)或邊界，則，，因為直線的傾斜角與互補，由圖可知，.故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.如圖是函數(shù)的部分圖象，已知．（1）求；（2）若，求．解：（1）恒等變換化簡計算即可的解.設，函數(shù)的最小正周期為T，則，則，故，解得(負值舍去)，所以，所以；（2）由（1）得，，得，即，所以，又因，則，所以，所以.18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，點E在線段上，，平面平面．（1）求；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取AB的中點O，連接BD、DO，過P作DO的平行線PG，在菱形ABCD中，，則為等邊三角形，得，且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，由，則平面，又平面，所以，由，建立如圖空間直角坐標系，由，得，取PA的中點F，連接OF，則，所以，，有，設，則，由，得，即，.設，則，有，由，得，解得，即；（2）設平面的一個法向量為，由，，得，令，則，所以，又，所以，故直線DE與平面CDP所成角的正弦值為.19.一地質(zhì)探測隊為探測一礦中金屬鋰的分布情況，先設了1個原點，再確定了5個采樣點，這5個采樣點到原點距離分別為，其中，并得到了各采樣點金屬鋰的含量，得到一組數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到如下統(tǒng)計量的值：，，，，，其中．（1）利用相關系數(shù)判斷與哪一個更適宜作為y關于x的回歸模型；（2）建立y關于x的回歸方程．參考公式：回歸方程中斜率、截距的最小二乘估計公式、相關系數(shù)公式分別為，，；參考數(shù)據(jù)：．解：（1）若用作回歸模型，，，所以相關系數(shù)，若用作為回歸模型，相關系數(shù)，比較與，，，因為，所以用作為y關于x的回歸模型方程；（2）由（1），，，，，則y關于x的回歸方程為.20.已知橢圓的焦距為，左、右頂點分別為，上頂點為B，過點的直線斜率分別為，直線與直線的交點分別為B，P