空間中直線與直線位置關(guān)系(高中數(shù)學(xué)必修二)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系相交平行相交（有一個(gè)公共點(diǎn)）平行（無(wú)公共點(diǎn)）aboab復(fù)習(xí)與準(zhǔn)備：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系

那空間中兩直線還有沒有其他的位置關(guān)系呢？思考看一下生活中的例子：立交橋中,兩條路線AB,CDABCD思考一

2.平移a,b兩條直線，它們能完全重合嗎？找不到一個(gè)平面使得直線a,b在同一共面內(nèi)！結(jié)論ab1.直線a,b相交嗎？不相交不平行3.能否找到一個(gè)平面,

使得a,b兩條直線都在這個(gè)平面內(nèi)？黑板兩側(cè)所在的直線與課桌邊沿所在直線是什么位置關(guān)系？既非平行又非相交空間中兩條直線的位置關(guān)系觀察：觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線,想一想:它們相交嗎?平行嗎?共面嗎?觀察長(zhǎng)方體的棱所在直線,回答類似的問題.思考：我們把具有上述特征的兩條直線取個(gè)怎樣的名字才好呢？線段A′B所在直線與線段CC′所在直線的位置關(guān)系如何？不同在

一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。1.異面直線的定義:定義中是指“任何”一個(gè)平面，是指找不到一個(gè)平面，使這兩條直線在這個(gè)平面上,這樣的兩條直線才是異面直線。注1例子：如圖,在長(zhǎng)方體中，判斷AB與HG是不是異面直線？ABGFHEDCAB與HG不是異面直線。任何異面直線的畫法αab圖1αβba圖2αab圖3說(shuō)明:畫異面直線時(shí),為了體現(xiàn)它們不共面的特點(diǎn)，常借助一個(gè)或兩個(gè)平面來(lái)襯托.①?gòu)挠袩o(wú)公共點(diǎn)的角度：有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)---------相交直線在同一平面內(nèi)--------相交直線②從是否共面的角度沒有公共點(diǎn)---------平行直線異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)---------異面直線平行直線若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線異面或平行空間兩條直線的位置關(guān)系這樣表示a、b異面正確嗎？αβba1.平面內(nèi)的一條直線和平面外的一條直線是異面直線。答：錯(cuò)。例1.判斷題1baa與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線abM答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。

分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定異面。abab判斷題2注2在不同平面內(nèi)的兩條直線不一定異面。1．正方體ABCD－A1B1C1D1中，與對(duì)角線AC1異面的棱有(

)A．3條 B．4條C．6條 D．8條解析：

在正方體中與AC1異面的棱有BC、CD、BB1、DD1、C1D1、A1D1共6條．答案：

C2．如果兩條直線a和b沒有公共點(diǎn)，則a和b(

)A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面答案：

DA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1ABCD如圖:AA1與CC1在同一平面嗎?直觀上理論上BB1∥AA1,DD1∥AA1,BB1與DD1平行嗎?⑵已知M、N分別是長(zhǎng)方體的棱C1D1與CC1上的點(diǎn)，那么MN與AB所在的直線相交嗎？ABCDA1B1D1C1MN2、平行直線公理４平行同一條直線的兩條直線互相平行.符號(hào)表示：設(shè)a，b，c為直線a∥bc∥ba∥cabca，b，c三條直線兩兩平行，可以記為a∥b∥c(空間、平面平行線的傳遞性)公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：欲證EFGH是一個(gè)平行四邊形只需證EH∥FG且EH＝FGE，F(xiàn)，G，H分別是各邊中點(diǎn)AB

DEFGHC連結(jié)BD,只需證：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BD例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。AB

DEFGHC∵EH是△ABD的中位線

∴EH∥BD且EH=BD同理，F(xiàn)G∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一個(gè)平行四邊形證明：連結(jié)BD在例1中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH是什么圖形?

EHFGABCD分析：在例題1的基礎(chǔ)上我們只需要證明平行四邊形的兩條鄰邊相等。菱形變式一：3.

等角定理提出問題:在平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”。在空間中,結(jié)論是否仍然成立呢?觀察思考：如圖,∠ADC與∠A1D1C1

、∠ADC與∠A1B1C1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？A1B1C1D1ABCD3.

等角定理定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。3.

等角定理定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.ABCDA1B1C1D1MN例5[解題過(guò)程]

證明：(1)(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因?yàn)镹D∥A1D1，∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)．而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.

下圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在的直線是異面直線的有

對(duì)。DBACEFHG3直線EF和直線HG直線AB和直線HG直線AB和直線CD探究課堂小結(jié)：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩條直線的位置關(guān)系（平行、相交、異面），平