第1講 實數(shù)、數(shù)的開方（講義）解析版

第1講實數(shù)、數(shù)的開方

模塊一實數(shù)的概念和分類

知識精講

知識點1:實數(shù)的概念

1、無限不循環(huán)的小數(shù)叫做無理數(shù).

注意：

1）整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；

2）圓周率"是一個無理數(shù).

2、無理數(shù)也有正、負(fù)之分.

如夜、乃、0.101001000100001等這樣的數(shù)叫做正無理數(shù)；

-0、-兀、-0.101001000100001這樣的數(shù)叫做負(fù)無理數(shù)；

只有符號不同的兩個無理數(shù)，如忘與-血，萬與-萬，稱它們互為相反數(shù).

3、有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

（1）按定義分類

［'整數(shù)1

…如有理數(shù)手工有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)<［分?jǐn)?shù)

無理數(shù)f無限不循環(huán)小數(shù)

（2）按性質(zhì)符號分類

［正有理數(shù)

正實數(shù)［正無理數(shù)

實數(shù)0

負(fù)有理數(shù)

負(fù)實數(shù)

負(fù)無理數(shù)

例題解析

【例1】填空：

1、若一個數(shù)不是有理數(shù)，那這個數(shù)一定是數(shù)；

2、-6正數(shù)，整數(shù)，無理數(shù)；（填“是”或“不是”）

3、圓的周長與直徑的比值常數(shù)，有理數(shù)，無理數(shù).（填“是”或“不

是"）

【難度】★

【答案】1、無理數(shù)；2、不是，不是，是；3、是，不是，是

【解析】1,實數(shù)不是無理數(shù)就是有理數(shù)；2開方開不盡的數(shù)都是無理數(shù)；3、乃是無限不

循環(huán)小數(shù)，為無理數(shù).

【總結(jié)】考查實數(shù)的分類.

【例2】已知四個命題，正確的有（

（1）有理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)；（2）有理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù);

（3）無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)；（4）無理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù).

A.1個B.2個C.3個D.4個

【難度】★★

【答案】A

【解析】（1）正確；（2）錯誤，比如。乘以任何無理數(shù)得0,結(jié)果為有理數(shù)；（3）錯誤，比

如我+（-役）=0；（4）錯誤，比如收xV5=2

【總結(jié)】考查無理數(shù)與有理數(shù)的運(yùn)算.

【例3】判斷正誤，在后面的括號里對的用“，錯的記“X”表示.

（1）實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù).（）

（2）無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù).（）

（3）帶根號的數(shù)都是無理數(shù).（）

（4）無理數(shù)都是無限小數(shù).（）

（5）無理數(shù)一定都帶根號.（）

（6）兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù).（）

（7）兩個無理數(shù)之積不一定是無理數(shù).（）

【難度】★

【答案】（1〉V；（2）V；（3）X；（4）V；（5）X；（6）X；（7）V.

【解析】（DV；（2）V；（3）X,比如在；（4）V；（5）X,比如0.⑵221222…;

（6）X,比如亞+（-行）=0；（7）V.

【總結(jié)】考查無理數(shù)與小數(shù)的關(guān)系，以及無理數(shù)與無理數(shù)的運(yùn)算.

【例4】把下列各數(shù)分別填到相應(yīng)的數(shù)集里邊.

舊，夜，-3.1415,y,y,-正，-1,-0.201010010001,1.732,_幣

有理數(shù)｛};

無理數(shù)｛};

正數(shù)｛）;

負(fù)數(shù)｛）.

【難度】★★

in7

【答案】有理數(shù)｛匹,-3.1415,―,1.7321；

jr

無理數(shù)｛0,萬，一網(wǎng)，-0.201010010001,-V7）;

止數(shù)｛，>/2，~?—?1.732）；

7

負(fù)數(shù)｛—3.1415,_/，-0.201010010001,_不｝.

【解析】因為e=3,所以是有理數(shù).

【總結(jié)】考查實數(shù)的分類，注意按照要求填空.

模塊二：數(shù)的開方

知識精講

一、開平方：

1、定義：求一個數(shù)”的平方根的運(yùn)算叫做開平方.

2、如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做。的平方根.這個數(shù)“叫做被開方數(shù).

如d=i,x=±l,1的平方根是土1.

說明：

1）只有非負(fù)數(shù)才有平方根，負(fù)數(shù)沒有平方根；

2）平方和開平方互為逆運(yùn)算.

3、算術(shù)平方根：

正數(shù)。的兩個平方根可以用"±6”表示，其中&表示。的正平方根（又叫算術(shù)平方

根），讀作“根號a”；表示a的負(fù)平方根，讀作“負(fù)根號。”.

★注意：

1）一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)；零的平方根是0;

2）&=數(shù)，2是被開方數(shù)的根指數(shù)，平方根的根指數(shù)為2,書寫上一般平方根的根指數(shù)

2略寫；

3）一個數(shù)的平方根是它本身，則這個數(shù)是0.

二、開立方：

1、定義：求一個數(shù)。的立方根的運(yùn)算叫做開立方.

2、如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做”的立方根，用“網(wǎng)”表示，讀作“三次根

號a”，指中的a叫做被開方數(shù)，“3”叫做根指數(shù).

★注意：

1）任意一個實數(shù)都有立方根，而且只有一個立方根；負(fù)數(shù)有立方根；

2）零的立方根是0；

3）一個數(shù)的立方根是它本身，則這個數(shù)是0,1和-1.

三、開〃次方：

1、求一個數(shù)。的〃次方根的運(yùn)算叫做開〃次方.a叫做被開方數(shù)，〃叫做根指數(shù).

2、如果一個數(shù)的“次方（”是大于1的整數(shù)）等于“，那么這個數(shù)叫做。的"次方根.

3、當(dāng)〃為奇數(shù)時，這個數(shù)為“的奇次方根；當(dāng)〃為偶數(shù)時，這個數(shù)為。的偶次方根.

★注意：

1）實數(shù)a的奇次方根有且只有一個，用“標(biāo)”表示.其中被開方數(shù)”是任意一個數(shù)，根指

數(shù)〃是大于1的奇數(shù)；

2）正數(shù)a的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，正次方根用“指”表示，負(fù)n次方根用“-赤”

表示.其中被開方數(shù)a>0,根指數(shù)”是正偶數(shù)（當(dāng)〃=2時，在土標(biāo)中省略〃）；

3）負(fù)數(shù)的偶次方根不存在;

4）零的“次方根等于零，表示為而=0.

例題解析

【例5】填空：

1、一個正方形的面積為15,則它的邊長是；

2、一個數(shù)的算術(shù)平方根為舊，這個數(shù)為一；

3、如果a的平方根是a,則〃=;如果a的算術(shù)平方根是a,則“=.

【難度】★

【答案】1、而；2、3；（3）0,?；?.

【解析】3小題中注意正數(shù)的平方根有兩個，互為相反數(shù)，但是1的算術(shù)平方根還是1.

【總結(jié)】考查平方根、算術(shù)平方根的定義.

【例6】下列說法中正確的是（）

A.4是8的算術(shù)平方根B.16的平方根是4

C.#是6的平方根D.-a沒有平方根

【難度】★

【答案】C

【解析】A錯誤，4是16的算術(shù)平方根；B錯誤，16的平方根為±4；D錯誤，當(dāng)時,

-。有平方根.

【總結(jié)】考查平方根、算術(shù)平方根的定義.

【例7】下列各式中錯誤的是（）

A.±5/036=±0.6B.x/036=0.6C.-VL44=-1.2D.>/L44=±1.2

【難度】★

【答案】D

【解析】正確的應(yīng)為4s=1.2.

【總結(jié)】考查開方運(yùn)算的運(yùn)用.

【例8】若/=(_0.7)2,貝晨=()

A.-0.7B.±0.7C.0.7D.0.49

【難度】★【答案】B

【解析】將B放入中可得等式成立.

【總結(jié)】本題實際上是求0.49的平方根，有兩個互為相反數(shù).

【例9】若實數(shù)。滿足正=1,貝()

a

A.0B.1C.-1D.±1

【難度】★

【答案】B

【解析】“為非負(fù)數(shù)且不能等于0.

【總結(jié)】只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根，兩個數(shù)的商為1,則說明這兩個數(shù)相等.

【例10］若不有意義，則外大的值一定是()

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)

【難度】★★

【答案】C

【解析】因為一a20，所以a40,所以

【總結(jié)】本題一方面考查平方根有意義的條件，另一方面考查平方根的性質(zhì).

【例11](1)若*2=4,)2=9,貝Ij|x+y|=；

(2)后的平方根是,算術(shù)平方根是；

(3)若|x-16|+J2y-1=0,則x的平方根是.

【難度】★★

【答案】(1)1或5；(2)土石，V5；(3)±4.

【解析】(1)由題意可得，x=+2,y=±3,|x+y|=l或5；

(2)Y后=5,...后的平方根是土石，算術(shù)平方根是石；

Ir-161=0[%=16

(3)由題意可得：?~。一,則1,所以16的平方根是±4.

[j2y-l=0p=2

【總結(jié)】本題主要考查平方根的運(yùn)算和性質(zhì)，注意題(2)中實際上問的是5的平方根，而

不是25的平方根.

【例12】計算:

(I)求下列各數(shù)的平方根：

⑴0:⑵[1：)；(3)-；(4)(-0.25)".

(II)求下列各數(shù)的立方根：

(1)0.216；⑵一31；(3)±125；(4)-(-0.064).

O

【難度】★★

【答案】⑴⑴0;⑵±2；⑶±3；(4)±4.

58

(II)(1)0.6；(2)-2；⑶±5；(4)0.4.

2

【解析】(I)(4)(-0.25尸=—?—^=42,則其平方根為±4；

')(-0,25)2

(II)(4)-(-0.064)=0.064,故0.064的立方根是0.4.

【總結(jié)】考查平方根、立方根的求法，注意任何一個非負(fù)數(shù)的平方根都有兩個，任何一個

實數(shù)都有立方根.

【例13](1)若a<0,化簡而+^7+卜4=

(2)已知。是小于1的正數(shù),

【難度】★★

1

——a

【答案】(1)-3。；(2)a

【解析】(1)-'6Z<0>Qa。+，(-a)+|—a]+(-a)+(―a)=(―a)+(―a)+(―a)=—3。；

?.?。是小于1的正數(shù)，二。一工<0,

(2)

a

【總結(jié)】考查平方根的運(yùn)算，注意必=目的運(yùn)用.

【例14】簡答：

(1)已知某數(shù)的平方根是3a-1與。+5,求這個數(shù)；

(2)已知3〃-1與a+5是同一個數(shù)的平方根，求這個數(shù).

【難度】★★

【答案】(1)16；(2)64或16.

【解析】(1)由題意可得：M—l+a+5=0,a=—l,.?.3a—1=Y,則這個數(shù)為16.

(2)當(dāng)3a—l=a+5時，：.a=3,：.3a-l=8,則這個數(shù)為64；

當(dāng)%—1+“+5=0時，，a=-l,3a—1=T,則這個數(shù)是16,

故這個數(shù)為64或16.

【總結(jié)】本題主要考查平方根的概念利性質(zhì)，要充分理解本題的兩種說法的不同，對于(2)

要注意分類討論.

【例15】下列說法：

①16的4次方根是2；②折石的運(yùn)算結(jié)果是12；

③當(dāng)〃為大于1的奇數(shù)時,標(biāo)對任意實數(shù)有意義；

④當(dāng)〃為大于1的偶數(shù)時，詬只有時有意義.

其中正確的是()

A.①0③B.②③④C.②③D.③④

【難度】★★【答案】I)

【解析】①錯誤，正確應(yīng)為±2；②錯誤，正確應(yīng)為2；③正確；④正確；故選D.

【總結(jié)】考查開方運(yùn)算，注意偶數(shù)指數(shù)塞開方結(jié)果為兩個值且被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

【例16】求下列各式的值：

【難度】★★

【答案】(1)土以；(2)2；(3)-2；(4)-1；(5)2.

142

(5)《(一8)2=膽1=*=2.

【總結(jié)】本題主要考查開方的運(yùn)算，注意符號的變化.

【例17】比較大小：

1.73舟-7125-7126,-V2-2(填“>”.

【難度】★★

【答案】<,>,>.

【解析】V3?1.732,絕對值大的負(fù)數(shù)反而小.

【總結(jié)】本題主要考查無理數(shù)的大小比較.

【例18】填空：

(1)后的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是;

(2)-有的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是.

(3)適合于不等式77Vx<舊的整數(shù)x有.

【難度】★★★

【答案】(1)8,V72-8;(2)一3,3-75;(3)3、4、5.

【解析】3)；洞<阮<屈，.?.整數(shù)部分為8,小數(shù)部分為阮-8;

(2)V-79<-V5<-V4,???整數(shù)部分為-3,小數(shù)部分為3-右；

(3)VT7<^9<x<V25<V27'所以滿足題意的整數(shù)為3、4、5.

【總結(jié)】考查無理數(shù)比較大小的運(yùn)用，注意常見的平方數(shù)，例如4、9、16、25、36、49、64、

81等.

【例19】填空：

（1）已知7^5=11.09，&=1.109，幣j=1109,則“=，b=:

（2）已知J6.213a2.493,-62.1327.882，則-621.3a，,0.6213a.；

（3）已知強(qiáng)石“0.6127，次與々1.320，歷a2.844，貝U次而々，

V-23000??

【難度】★★★

【答案】（1）1.23,1230000；（2）24.93,0.7882；（3）6.127,-28.44.

【解析】（1）11.09往左移動一位小數(shù)點為1.109,則病中123往左移動兩位小數(shù)點為

1.23；故。=1.23,同理可得：6=1230000；

（2）J6.213中6.213往彳?移動兩位數(shù)為J621.3，則2.493往右邊移動一位數(shù)為24.93；

V62.13中62.13往左移動兩位數(shù)為J0.6213,則7.882往左邊移動一位數(shù)為0.7882；

（3）就正中0.23往右移動三位數(shù)為病5,則0.6127往右邊移動一位數(shù)為6.127；

歷中23往右移動三位數(shù)為323000,則2.844往左邊移動一位數(shù)為28.44；

則亞方兩28.44【總結(jié)】本題主要考查開方運(yùn)算的運(yùn)用，注意觀察被開方數(shù)與方根

之間的小數(shù)點移動的關(guān)系.

【例20】已知/=16,且同=-。，求9+4。的平方根.

【難度】★★★

【答案】±1.

4

【解析】Va=16，.'.a=i2.v|?|=-?,：.a=-2,：.9+4a=l,所以9+4。的平方根

為土1.

【總結(jié)】本題主要考查平方根的運(yùn)算及運(yùn)用，注意符號的要求.

【例21］若0<a<l,ELa+-=6,求&--1的值.

ay/a

【難度】★★★

【答案】—2.

0<a<1,/.&--r=<0,G-7==-2

yJa

【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查完全平方公式與平方根的綜合運(yùn)用，注意討論取值范圍.

模塊三：數(shù)的方根運(yùn)算和應(yīng)用

知識精講

數(shù)的方根運(yùn)算：方根的混合運(yùn)算，根據(jù)方根性質(zhì)判斷取值范圍；

應(yīng)用：與整式、分式的綜合應(yīng)用.

例題解析

【例22］當(dāng)x為什么數(shù)時，下列各式有意義.

（1）五；（2）0;（3）舊7；

（4）VH7；（5）鄭4-x;（6）處3-2x.

【難度】★

【答案】（1）x為任意實數(shù)；（2）x為任意實數(shù)；（3）x>-4-.

（4）x為任意實數(shù)；（5）x<4；（6）x<-.

2

【解析】開奇數(shù)次方的被開方數(shù)為任意實數(shù)，開偶次方的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

【總結(jié)】考查開方運(yùn)算的條件.

【例23］（1）若寫+」-有意義，則〃?的取值范圍是；

（2）x為何值時，j2x-3-習(xí)x+1+#4-2x有意義?

（3）使得平與有意義的條件是

W-2

【難度】★

【答案】（1）加40且〃沖—1;（2）-<x<2；（3）x43且XH±2.

2

【解析】（1）“且帆+1x0，，帆40且，

3

（2）V2x-3>0K4-2x>0,：.-<x<2-,

2

（3）?：6-2x>03.\x\-2^0,：.x<3Kx^±2.

【總結(jié)】考查分式有意義的條件和開方運(yùn)算有意義的條件的綜合運(yùn)用.

【例24】填空：

（1）-8的立方根與拈的平方根之和為；

（2）若（2x-5『與歷彳互為相反數(shù)，貝U2x+y的平方根為.

【難度】★★

【答案】（1）Y或0；（2）±1.

【解析】（1）-8的立方根是-2,J話的平方根是±2,兩者之和為T或0：

（2）V（2x-5）2+77+4-0,二2x—5=0且y+4=0,/.x=|,y=T,

：.2x+y=l,故2x+y的平方根為土1.

【總結(jié)】本題主要考查平方根、立方根的求法和性質(zhì)，注意題（1）中而=4,實質(zhì)上是求

4的平方根，而非16；題（2）主要是考查非負(fù)數(shù)的和為零的基本模型.

【例25］已知A="/a-26+l是1一4+1的算術(shù)平方根,8=中（1+2b是a+2b的立方

根，求A+B的值.

【難度】★★【答案】3.

【解析】由題意有：a-2=2.b+l=3,則a=4,h=2,：.a-2b+\=\,a+2b=S.

所以A為1,B為2,A+B=l+2=3.

【總結(jié)】本題主要考查平方根、立方根的綜合運(yùn)用.

【例26】已知川6-，〃：+7（：”+，〃）一=o,求而的值.

\m+4|

【難度】★★

【答案】

4

【解析】由題意可得：J16—+7（2〃+加）2=0且|一+4|w0,

m=4,n=-2,=\f4~^=—.

4

【總結(jié)】本題一方面考查平方根的性質(zhì)，另方面考查分式值為零的條件，解題時注意從多

個角度去考慮.

【例27］若〉=正三土匹己+16,求。的立方根.

x-2

【難度】★★★

【答案】2.

X2-4>0

【解析】由題意，可得：-4-x2>0,.?.x=—2,y=16,

x-2工0

/.x2+V7=(-2)2+Vi6=8,所以/+4的立方根為2.

【總結(jié)】本題主要考查平方根有意義的條件及求立方根的運(yùn)算的綜合運(yùn)用.

【例28】已知a,h分別是484,784的算術(shù)平方根，而c是-343的立方根，試求代數(shù)式

a2+b2+c2-2"+2/>c-2ac的值.

【難度】★★★

【答案】1

【解析】由題意可得：a=22,b=2S,c=—7,

a1+b~+c2—2ah+2hc—2ac=(a-/?—c)-=1.

【總結(jié)】考查平方根和立方根的求法，以及公式(a+6+/=/+/+°2+2帥+2bc+lac的

綜合運(yùn)用.

隨堂檢測

一、填空題：

【習(xí)題1】數(shù)3.14,近，兀，0.323232,L囪，應(yīng)+1中，無理數(shù)的個數(shù)為

7

()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【難度】★

【答案】B

【解析】,4，0+1是無理數(shù)

【總結(jié)】考查無理數(shù)的概念.

【習(xí)題2】填空：

(1)J麗的平方是,屈的平方根是:

(2)(-3)2的平方根是,A的平方根是；

(3)我的立方根是.，#(-3)2的立方是；

(4)的四次方根為±4.

【難度】★

【答案】(1)81,+3；(2)土3,土布；(3)次，9；(4)256.

【解析】(1)庖=9，則相平方為81,質(zhì)的平方根為±3：

(2)(-3)2=9,則其平方根為土3；736=6,則其平方根為土新

(3)唬=2，則其立方根為次；也-3)2=衿,則其立方為9

(4)因為(±4)4=256,所以256的四次方根為：t4.

【總結(jié)】本題主要考查"次方根的運(yùn)算，注意分清楚〃的奇偶性.

【習(xí)題3】判斷正誤，在后面的括號里對的用“J”，錯的記“X”表示，并說明理由.

(1)無限小數(shù)都是無理數(shù)()

(2)若裱示一個實數(shù)，則一a表示一個負(fù)數(shù)()

(3)數(shù)軸上的點與有理數(shù)一一對應(yīng)()

(4)任何實數(shù)的偶次塞是正實數(shù)()

(5)在實數(shù)范圍內(nèi)，若卜|=|)，|,則x=y()

【難度】★

【答案】(1)X；(2)X；(3)X；(4)X；(5)X.

【解析】(1)X,無限小數(shù)也有無限循環(huán)小數(shù)，為無理數(shù);

(2)X,若a表示一個負(fù)數(shù)，則一a表示一個正數(shù)：

(3)X,數(shù)軸上的點與實數(shù)——對應(yīng)；

(4)X,不為零的一個數(shù)的0次基為1；

(5)X,若|x|=|y|,則x=V或》=一3\

【總結(jié)】考查實數(shù)的分類，絕對值及，次方的運(yùn)算.

【習(xí)題4】寫出兩個在3和4之間的無理數(shù)一

【難度】★

【答案】和或而.

【解析】這樣的無理數(shù)有無數(shù)個，只要在的到J記之間的開方開不盡的數(shù)字都符合題意.

【總結(jié)】考查無理數(shù)的大小比較.

①日="，②J-2)3=-2,③J(-2.=2,④舛=-我

【習(xí)題5】下列等式:

⑤行=±4,⑥-4=-2,正確的有()個

A.4B.3C.2D.1

【難度】★

【答案】A

【解析】①錯誤,②正確，③正確，④正確，⑤錯誤，屈=4,⑥正確.

4

【總結(jié)】考查〃次方根的運(yùn)算.

【習(xí)題6】一個數(shù)的平方根是它本身，則這個數(shù)的立方根是（）

A.1B.0C.-1D.1,-1或0

【難度】★

【答案】B

【解析】一個數(shù)的平方根是它本身，則這個數(shù)為0,注意1的平方根為±1,不為它本身.

【總結(jié)】考查平方根的定義.

【習(xí)題7】下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）

A.-2與J（-2fB.一2與4C.2與（-0）2I）.卜碼與0

【難度】★

【答案】A

【解析】B、C、D答案中兩數(shù)值相等.

【總結(jié)】考查"次方根運(yùn)算及相反數(shù)的意義.

【習(xí)題8】把—1.6、2