少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

工程學(xué)院題目:少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模學(xué)生姓名:學(xué)號(hào):專業(yè)班級:學(xué)院名稱:指導(dǎo)教師：職稱：少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模摘要：并聯(lián)機(jī)構(gòu)是當(dāng)前機(jī)器人研究的熱點(diǎn)問題。在機(jī)器人構(gòu)型方面，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)有精度高、承載能力強(qiáng)、動(dòng)態(tài)性能好、動(dòng)力學(xué)特性較好等，受到了越來越廣泛的應(yīng)用。少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、經(jīng)濟(jì)、控制相對容易等優(yōu)點(diǎn)，受到越來越多學(xué)者的青睞。本文對一種常見的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)—3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析，采用數(shù)值法求解工作空間，通過極限搜索的方法獲得機(jī)構(gòu)的工作空間邊界。然后研究運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解、逆解。最后運(yùn)用牛頓歐拉法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，建立了動(dòng)力學(xué)模型。關(guān)鍵詞：少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu);運(yùn)動(dòng)學(xué)分析;動(dòng)力學(xué)建模DynamicsModelingofLowDOFParallelMechanismsAbstract：Parallelmechanismsisthehotissuesofcurrentrobotresearch.Parallelmechanismismorewidelyused,becauseithasmanyadvantagessuchasbigstiffness,highcarryingcapacity,gooddynamicperformance,betterdynamicsandsoon.AsLowDOFparallelmechanismhasasimplestructure,economy,relativelyeasytocontrol,soitisfavoredbymoreandmorescholars.InthispaperfortheanalysisofacommonLowDOFparallelmechanism—3-RPS,studythestructure’sworkspacewithanalyticalmethod,usethemethodofthesearchofthelimittogettheboundaryoftheworkspace.Andthenestablishthekinematicsequations,studythekinematicsofthepositivesolution,inversekinematics.Finally,usethemethodofNewtonEulerfordynamicsmodeling,establishthedynamicmathematicalmodelofthisthree-DOFparallelmechanism.Keywords：LowDOFparallelmechanisms,kinematicanalysis,dynamicmodeling目錄1緒論11.1前言11.2并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡介11.3并聯(lián)機(jī)構(gòu)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀11.4本文主要研究內(nèi)容323-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析42.1引言42.23-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間42.2.1機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束42.2.23-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間邊界確實(shí)定52.2.3工作空間分析算例52.3本章小結(jié)633-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析73.1引言73.2空間3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)73.2.1機(jī)構(gòu)組成73.2.23-RPS并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的位姿描述73.33-RPS并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的位姿反解103.43-RPS并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的位姿正解1143RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析144.1引言144.2歐拉方程簡介144.33-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模144.3.1速度分析154.3.2加速度分析154.3.3并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程1653-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的仿真185.1引言185.1.1仿真技術(shù)簡介185.1.2并聯(lián)機(jī)構(gòu)計(jì)算機(jī)仿真的意義185.2基于Mathematica軟件的仿真185.2.1Mathematica軟件介紹185.2.2建立所有構(gòu)體的模型195.2.3構(gòu)體模型的裝配215.2.4動(dòng)力學(xué)仿真226總結(jié)與展望256.1論文工作總結(jié)256.2研究展望25參考文獻(xiàn)26致謝271緒論1.1前言并聯(lián)機(jī)構(gòu)[1]是一種新型機(jī)構(gòu)，具有傳統(tǒng)串聯(lián)機(jī)構(gòu)無法比較的優(yōu)點(diǎn)，是串聯(lián)機(jī)構(gòu)的補(bǔ)充和擴(kuò)展，直接推動(dòng)機(jī)床技術(shù)的開展和機(jī)器人研究的深入。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的出現(xiàn)，使得機(jī)器人的研究，機(jī)床的研究出現(xiàn)了新的熱點(diǎn)，彌補(bǔ)了串聯(lián)機(jī)構(gòu)的缺乏。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)剛度大，承載能力強(qiáng)，位置精度高等優(yōu)點(diǎn)，吸引了國內(nèi)外工程界與學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，幾十年來，隨著學(xué)者們對并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的加深，不斷有新的并聯(lián)機(jī)構(gòu)被提出。本文主要研究分析3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過對其運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析，位姿的正反解推導(dǎo)，及三維模型的建模與仿真，為以后的并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與應(yīng)用打下根底。1.2并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡介通常所說的并聯(lián)機(jī)構(gòu)是由上平臺(tái)和下平臺(tái)組成，兩個(gè)平臺(tái)通過兩個(gè)或者兩個(gè)以上的分支運(yùn)動(dòng)鏈相連接，機(jī)構(gòu)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的自由度，并且以并聯(lián)的方式進(jìn)行驅(qū)動(dòng)。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在很多優(yōu)點(diǎn)，為制造業(yè)的開展提供了大量的時(shí)機(jī)，在社會(huì)上引起了廣泛關(guān)注。相對于串聯(lián)機(jī)器人，并聯(lián)機(jī)器人有以下顯著的優(yōu)點(diǎn)：〔1〕剛度質(zhì)量比大，結(jié)構(gòu)分布均勻，動(dòng)態(tài)性能好；〔2〕由于各個(gè)分支相對獨(dú)立，誤差不會(huì)造成積累，所以精確度比較高；〔3〕由于機(jī)構(gòu)各個(gè)部位受力分布均勻合理，所以使用壽命比較長；〔4〕在分析機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)時(shí)候，串聯(lián)機(jī)構(gòu)正解容易，反解困難，而并聯(lián)機(jī)器人正解困難，反解容易；〔5〕運(yùn)動(dòng)鏈較短，驅(qū)動(dòng)裝置可置于定平臺(tái)上或接近定平臺(tái)的位置，這樣運(yùn)動(dòng)局部重量輕，速度高，慣性?。弧?〕空間結(jié)構(gòu)對稱的并聯(lián)機(jī)構(gòu)有很好的均質(zhì)性。1.3并聯(lián)機(jī)構(gòu)國內(nèi)外研究現(xiàn)狀并聯(lián)機(jī)構(gòu)[2]的研究最早可以追溯到20世紀(jì)30年代。1931年，世界上第一臺(tái)并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)源于Gwinnett，后來應(yīng)用于娛樂裝置中；1940年，Pollard提出了一種空間工業(yè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并申請了專利，后來廣泛應(yīng)用于汽車領(lǐng)域；1962年，Gough研制出一種六自由度并聯(lián)機(jī)床，廣泛應(yīng)用于檢測行業(yè)；到了1965年，德國學(xué)者Stewart首次對Gough創(chuàng)造的這種機(jī)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)剖析，并將其應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域，幫助培養(yǎng)了大批飛行員，因此人們?yōu)榱思o(jì)念他的奉獻(xiàn)，將此裝置命名為Stewart機(jī)構(gòu)；1978年，澳大利亞學(xué)者h(yuǎn)unt首次提出把Stewart機(jī)構(gòu)應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域，為了克服串聯(lián)機(jī)器人承載能力差、運(yùn)動(dòng)慣性小等諸多缺點(diǎn)，研制出一種新型并聯(lián)機(jī)器人，包含六個(gè)自由度。隨后Maccallion和首次在車間制造出這種機(jī)構(gòu)的實(shí)體，并實(shí)現(xiàn)批量生產(chǎn)，預(yù)示著并聯(lián)機(jī)器人的正式登上歷史的舞臺(tái)，從此并聯(lián)機(jī)器人開展進(jìn)入一個(gè)嶄新的時(shí)期。Stewart機(jī)構(gòu)是最典型的并聯(lián)機(jī)器人；1983年，Hunt首次3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)包含3個(gè)自由度，它能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)和一個(gè)自由度的移動(dòng)，因而受到廣泛的關(guān)注。近些年來，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷提高，并聯(lián)機(jī)構(gòu)受到越來越多學(xué)者的青睞。世界各個(gè)國家的學(xué)者不斷采用各種新理論的新方法應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究中，隨著研究的不斷深入，理論越來越成熟，不斷有新型機(jī)構(gòu)被提出?，F(xiàn)有機(jī)器人絕大多數(shù)是六自由度的機(jī)構(gòu)，然而三，四，五自由度的機(jī)器人也特別需要，因?yàn)樵诤芏鄬?shí)際工作中，并不需要自由度太多的并聯(lián)機(jī)構(gòu)就可以完成任務(wù)，這時(shí)候少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的價(jià)值就表達(dá)出來了，應(yīng)用他們不但可以節(jié)約本錢，而且還很方便，因此少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)有著廣泛的應(yīng)用前景。(a)ABB公司SCARA-Tαu并聯(lián)機(jī)器人(b)FANUC公司M-liA并聯(lián)機(jī)器人(C)金屬加工并聯(lián)機(jī)床(d)UraneSX型臥式加工機(jī)床圖1.1并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用實(shí)例除了用于加工機(jī)床、機(jī)器人以外，并聯(lián)機(jī)構(gòu)還廣泛地應(yīng)用于飛行模擬器，汽車運(yùn)行模擬器，娛樂模擬器、潛艇救援對接器、等等。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用實(shí)例如圖1.1所示。近年來學(xué)者們還研究了將并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于溫度感應(yīng)器、繩驅(qū)動(dòng)機(jī)器人以及微型機(jī)器人等。我國的并聯(lián)機(jī)床[3]研究起步較晚，但開展還是挺迅速的，成果比較顯著。在我國談起并聯(lián)機(jī)構(gòu)，不能不說起黃真，他可謂是我國在這方面的奠基人。1991年，我國第一臺(tái)并聯(lián)機(jī)器人樣機(jī)就是有黃真教授的團(tuán)隊(duì)研制出來的。1997年，黃真教授用螺旋理論綜合出3-RRRH并聯(lián)機(jī)構(gòu)。2000年，黃真、趙鐵石兩位教授首次提出約束螺旋綜合理論，并應(yīng)用于研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理論分析中。楊廷力教授、頂峰教授也提出了綜合并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)綜合法，并綜合出了多種新構(gòu)型。此外，國內(nèi)很多高校、研究機(jī)構(gòu)不僅在并聯(lián)機(jī)構(gòu)[4]理論方面取得了極大的進(jìn)展，還開發(fā)出各種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的樣機(jī)，如中科院沈陽自動(dòng)化所的新型五自由度并聯(lián)機(jī)床、燕山大學(xué)的并聯(lián)操作機(jī)、清華大學(xué)和天津大學(xué)合作的并聯(lián)機(jī)床VAMTIY、北京航空航天大學(xué)的并聯(lián)刀具刃磨機(jī)床等等。1.4本文主要研究內(nèi)容本文挑選了一種特殊的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)—3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，對其進(jìn)行了工作空間分析、位姿的正解和逆解以及三維運(yùn)動(dòng)仿真，為了詳細(xì)了解該機(jī)構(gòu)的原理，全文內(nèi)容編排如下：描述了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的含義及特點(diǎn)，然后介紹了國內(nèi)外研究現(xiàn)狀。首先分析了并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間，然后通過極限搜索的方法獲得機(jī)構(gòu)的極限位置，研究了3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間。第三章主要剖析了3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的反解與正解進(jìn)行了分析。第四章對機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析，運(yùn)用牛頓歐拉法建立機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程。第五章對機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真分析。第六章對3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的總結(jié)和展望。23RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析2.1引言機(jī)器人的工作空間[5]就是機(jī)器人操作器的工作時(shí)候能覆蓋的區(qū)域，是衡量機(jī)器人性能的重要指標(biāo)。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型是空間立體機(jī)構(gòu)，它的運(yùn)動(dòng)空間必然在三維空間內(nèi)，因此僅在二維平面內(nèi)很難精確的分析其結(jié)構(gòu)，而且由于其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，很難精確加工和控制，在這種情況下，借助于對其的三維建模和仿真分析，能幫助我們很好的了解它們。隨著科學(xué)技術(shù)的快速開展，越來越多的運(yùn)動(dòng)仿真軟件被研發(fā)出來，它們的出現(xiàn)可謂具有跨時(shí)代的意義，對于機(jī)構(gòu)學(xué)者們來說，可以大膽的提出各種構(gòu)型，然后借助軟件對其進(jìn)行仿真分析，對于新構(gòu)型的研發(fā)具有相當(dāng)重要的意義。3-RPS空間并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)以其獨(dú)特的空間結(jié)構(gòu)既可以作為獨(dú)立的機(jī)器人機(jī)構(gòu)，也可以作為機(jī)器人手腕的一局部，還可以應(yīng)用在其他許多領(lǐng)域，如衛(wèi)星天線的自動(dòng)跟蹤系統(tǒng)、太陽能電池的定位、機(jī)床工作臺(tái)與工件的定位、人工假肢關(guān)節(jié)、微電子加工以及其他應(yīng)用場合。2.23-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間2.2.1機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間跟下面幾個(gè)因素有關(guān)：〔1〕各個(gè)分支桿長：3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中各分支的長度可由滾珠絲桿副來調(diào)節(jié)，因此桿長Ln需要滿足Lmin≤Ln≤Lmax〔2.1〕式中Lmin和Lmax分別是桿長的最小和最大值。并且由于機(jī)構(gòu)是對稱的，所以三根桿的最大、最小值分別相等。運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角：3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的動(dòng)平臺(tái)和各個(gè)桿之間組成運(yùn)動(dòng)副，通過球鉸連接在一起的。但是球鉸的擺角受限于自身結(jié)構(gòu)，因此，要想準(zhǔn)確求出機(jī)構(gòu)工作空間，必須要求出球鉸的最大圓錐擺角。如圖2.1所示圖2.1球鉸約束條件圖中所示ni為第i個(gè)球鉸的軸心方向的單位矢量，那么主動(dòng)桿與球鉸的夾角為：=arccos〔ninqi〕〔2.2〕由于主動(dòng)桿與球鉸中心方向的夾角應(yīng)在球鉸的擺動(dòng)范圍內(nèi)，那么必須有≤〔2.3〕此外，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)也會(huì)受到球鉸安裝角度的影響，經(jīng)過計(jì)算可知，當(dāng)桿長Li=〔Lmin+Lmax〕/2，且在上、下平臺(tái)坐標(biāo)系互相平行時(shí)，桿的軸線方向與球鉸的中心方向在同一直線上，此時(shí)球鉸轉(zhuǎn)動(dòng)覆蓋的范圍到達(dá)最大值。〔3〕各個(gè)擺桿之間的相互影響：對于本文所研究的3-RPS并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)，由于轉(zhuǎn)動(dòng)副求要?jiǎng)悠脚_(tái)的姿態(tài)變化不超過一定的范圍，且三只球鉸只能在y=0，y=-x，y=x3個(gè)垂直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，因此，只要?jiǎng)悠脚_(tái)的總臺(tái)變化在規(guī)定的范圍內(nèi)，且保證動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)半徑選取適當(dāng)，那么各個(gè)桿之間就不會(huì)發(fā)生相互干預(yù)?！?〕奇異位置：本文中的3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)在其工作空間內(nèi)無奇異位置。2.2.23-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間邊界確實(shí)定根據(jù)操作器工作時(shí)的位姿特點(diǎn)，工作空間可分為可達(dá)工作空間和靈活工作空間?？蛇_(dá)工作空間是指操作器上某一參考點(diǎn)可以到達(dá)的所有點(diǎn)的集合，這種工作空間不考慮操作的位姿。靈活工作空間是指操作器上某一參考點(diǎn)可以從任何方向到達(dá)的點(diǎn)的集合。本文所求的是靈活工作空間,它是指能夠完成某些靈活條件的工作空間，設(shè)定的極限值可以保證運(yùn)動(dòng)平臺(tái)不處于奇異位形。本文中，3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿解析時(shí)，反解容易而正解較難，并考慮到桿長、轉(zhuǎn)角等的約束條件，依靠MATLAB軟件，應(yīng)用優(yōu)化方法，采用了一種特定的數(shù)值方法的程序,可以搜索計(jì)算出工作空間上的離散點(diǎn)。方法就是取假設(shè)干個(gè)適當(dāng)?shù)南嗷テ叫械钠矫孀鳛楣ぷ骺臻g的剖面.這些平面與工作空間的就是工作空間在這些剖面上的邊界曲面線.假設(shè)取一系列滿足規(guī)定要求的這樣的剖面,就可以得到一系列的邊界曲線，這些曲線的集合就是工作空間區(qū)域。詳細(xì)的操作步驟如下:〔1〕首先給出Z的最小值Zmin;〔2〕令γ=0°,逐漸增加β的數(shù)值,依次搜索到滿足約束條件的β值;〔3〕逐漸增加γ的數(shù)值,重新利用β計(jì)算空間參考點(diǎn)的位置,如果求出的點(diǎn)位于工作空間內(nèi)部,那么遞增β直至滿足約束條件;〔4〕重復(fù)第三步,直至γ從0增加到360°;〔5〕改變動(dòng)平臺(tái)的高度,使Zmin;增加ΔZ,重復(fù)上述步驟,依次增加到Zmax,直至搜索出全部的子空間，這些邊界曲線的集合就是機(jī)構(gòu)的工作空間曲面。2.2.3工作空間分析算例：移動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑r=500mm，固定平臺(tái)外接圓半徑R=500mm，，最小桿長為Lmini=500mm、最大桿長Lmax=1000mm，球鉸的最大圓錐擺角=60o。求：并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間邊界的整體輪廓圖和當(dāng)Xc=0及Yc=0時(shí)的截面輪廓圖。圖3.23-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間整體輪廓2.3本章小結(jié)本章首先研究分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間的含義；然后對機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束進(jìn)行了解析，應(yīng)用極限搜索的方法求出3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間邊界，并分析了其特點(diǎn)；最后進(jìn)行了算例分析，得到了其大體的運(yùn)動(dòng)空間。33-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析3.1引言研究任何一種機(jī)構(gòu)，對其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是必不可少的。而機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析主要研究兩大塊內(nèi)容：工作空間分析和位置分析。機(jī)構(gòu)的位置分析就是求解機(jī)構(gòu)的輸入和輸出構(gòu)件之間的位置關(guān)系，這是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的最根本的任務(wù)，也為以后進(jìn)行受力分析、誤差分析、工作空間分析、動(dòng)力分析等做鋪墊。位置分析[6]包括位置正解和位置逆解。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置分析要比單環(huán)空間機(jī)構(gòu)的位置分析復(fù)雜的多。本章首先描述了3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特征，然后構(gòu)造出3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，通過模型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)做出了機(jī)構(gòu)位姿的反解，然后是正解分析。3.2空間3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)3.2.1機(jī)構(gòu)組成3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)由3個(gè)RPS空間運(yùn)動(dòng)鏈連接三角形的靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)每個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈通過球面副連接動(dòng)平臺(tái)，并以軸線平行于固定平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)副與固定平臺(tái)連接3個(gè)移動(dòng)副作為輸入，其機(jī)構(gòu)簡圖如圖4-1所示。機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的布置采用對稱方式。圖3-13-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn):3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)在空間結(jié)構(gòu)中有3個(gè)自由度，其運(yùn)動(dòng)平臺(tái)既可以平行運(yùn)動(dòng)，又能夠轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)該結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)以及動(dòng)平臺(tái)的位姿，構(gòu)造出其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并得到以下結(jié)論：動(dòng)平臺(tái)繞x、y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)將產(chǎn)生連帶的繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)以及動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)p沿x和y軸的平移，這種運(yùn)動(dòng)是被動(dòng)產(chǎn)生的。連帶運(yùn)動(dòng)X、Y及y隨岔、多的變化呈面對稱分布，各滑塊保持同一高度且同步移動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生連帶運(yùn)動(dòng)。3.2.23-RPS并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的位姿描述3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿參數(shù)：(1)坐標(biāo)系：定坐標(biāo)系：與地面故連的坐標(biāo)系稱為定坐標(biāo)系。動(dòng)坐標(biāo)系：與運(yùn)動(dòng)物體故連，并隨其一起運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系稱為動(dòng)坐標(biāo)系。圖3.2動(dòng)坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系由上圖可知：上平面為動(dòng)坐標(biāo)系，下平面為定坐標(biāo)系，在起始位置時(shí)，上平面和下平面平行，x、y軸位于上平面內(nèi)，z軸隨平面轉(zhuǎn)動(dòng)而變動(dòng)，為了確定動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過程中對定平臺(tái)的坐標(biāo)，根據(jù)3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，可以用歐拉角來表示。(2)歐拉角從動(dòng)坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系重合的位置開始，進(jìn)行了3次有序的轉(zhuǎn)動(dòng)。首先是xoy繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)α角，再是xoz繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)β角，最后是xoy繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)γ角。圖3.3運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系繞慣性坐標(biāo)系的順次轉(zhuǎn)動(dòng)對于三維空間里的任意一個(gè)參考系，任何坐標(biāo)系的取向，都可以用三個(gè)歐拉角來表現(xiàn)。參考系又稱為實(shí)驗(yàn)室參考系，是靜止不動(dòng)的，不隨物體旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)。而坐標(biāo)系那么固定于剛體，隨著剛體的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)。設(shè)定xyz-軸為參考系的參考軸。稱xy-平面與XY-平面的相交為交點(diǎn)線，用英文字母〔Ｎ〕代表。zxz順規(guī)的歐拉角可以靜態(tài)地這樣定義:α是x-軸與交點(diǎn)線的夾角，β是z-軸與Z-軸的夾角，γ是交點(diǎn)線與X-軸的夾角。(3)旋轉(zhuǎn)矩陣：在二維平面內(nèi)任何一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)可以用P(x,y)表示，如圖4.4，當(dāng)P點(diǎn)在平面內(nèi)任意移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P’,我們可以求出這兩個(gè)點(diǎn)之間的位置關(guān)系。圖3.4點(diǎn)P在空間的位置cos(a+θ)=cosacosθ-sinasinθ聯(lián)立的x1=xcosθ-ysinθy1=xsinθ+ycosθ〔3.2〕把3.2中的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)通過矩陣來表示，那么為=(3.3)由于并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)動(dòng)系在運(yùn)動(dòng)過程中只繞Z軸旋轉(zhuǎn)，如果上述兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系換算到三維空間中，根據(jù)矩陣轉(zhuǎn)換的定義，只需要加一個(gè)單位矩陣即可=(3.4)因此，在求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)反解時(shí)，動(dòng)坐標(biāo)系換算到定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣為T=(3.5)根據(jù)上述歐拉角的旋轉(zhuǎn)順序，可以求出3組有序的旋轉(zhuǎn)矩陣。設(shè)在三維空間中任意一點(diǎn)P〔x1，y1，z1〕，經(jīng)旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)P'〔x2,，y2，z2〕，第一次繞z軸旋轉(zhuǎn)求出旋轉(zhuǎn)矩陣Z〔α〕，繞Y軸旋轉(zhuǎn)求出旋轉(zhuǎn)矩陣Y〔β〕，第二次繞z軸旋轉(zhuǎn)求出旋轉(zhuǎn)矩陣Z〔γ〕。(3.6)(3.7)(3.8)旋轉(zhuǎn)矩陣為T=Z〔〕Y〔〕Z〔〕(3.9)(3.10)3.33-RPS并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的位姿反解3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)形式如下列圖。圖中的上下平臺(tái)是兩個(gè)不同長度的等邊三角形A1A2A3和a1a2a3〔兩個(gè)三角形外接圓半徑為R和r〕他們之間用可以伸長的伸縮桿相連，3支撐桿上部與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)之間用的是3個(gè)球鉸，而平臺(tái)間用的是3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，轉(zhuǎn)動(dòng)副的3個(gè)軸線u1u2u3的分布如下圖。定坐標(biāo)系O-XYZ位于基面三角形中央，原點(diǎn)位于三角形中心處，z軸垂直向上，X軸又O指向A1，Y軸平行于A2A3,3支撐桿長為L1L2L3,3條可伸縮桿最長為Lmax，最短為Lmin。當(dāng)3個(gè)伸縮桿獨(dú)立變化其長度時(shí)，可以改變上平臺(tái)的位置及姿態(tài)。圖3.53-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)的位姿參數(shù)U=〔Xc，Yc，Zc，，，〕，求解機(jī)構(gòu)各驅(qū)動(dòng)桿的桿長L=(L1,L2,L3)，就是3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿反解。根據(jù)正三角形的邊長的特點(diǎn)，可知A1A2A3三點(diǎn)的絕對坐標(biāo)：A1=A2=A3=(3.11)a1a2a3對c-xyz的坐標(biāo)為：a1=a2=a3=(3.12)假設(shè)為移動(dòng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到到固定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，那么=(3.13)旋轉(zhuǎn)矩陣中包含3個(gè)列向量T、T和T，它們分別代表系統(tǒng)坐標(biāo)軸x1，y1，z1上的單位向量在定系坐標(biāo)軸X,Y,Z上的投影，我們通常將這種表達(dá)方式稱為旋轉(zhuǎn)矩陣的坐標(biāo)投影式。的中雖然有9個(gè)元素，但實(shí)際上只包含3個(gè)獨(dú)立變量，在進(jìn)行機(jī)構(gòu)分析時(shí)候，可以用歐拉角來表示。驅(qū)動(dòng)桿長Li可表示為Li=〔i=1,2,3〕(3.14)將Ai和ai的坐標(biāo)值代入上式，可得3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解方程。=2+(Zc-rsincos)2〔3.15〕=2+2+〔3.16〕=2+2+〔3.17〕3.43-RPS并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)的位姿正解3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)各驅(qū)動(dòng)桿的桿長，求解移動(dòng)平臺(tái)的位置參數(shù)，就是機(jī)構(gòu)的位姿正解。相對于串聯(lián)機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，如果采用解析法求解，很難求出相當(dāng)精確的解，因此大多情況下采用數(shù)值法進(jìn)行求解。驅(qū)動(dòng)桿長L=(L1,L2,L3)T，求動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)U=U〔Xc，Yc，Zc，，，〕，選取優(yōu)化變量為U=〔Zc，，〕，確定要求的函數(shù)方程F=min〔L0為給定的桿長向量〕〔3.18〕假設(shè)移動(dòng)平臺(tái)位姿U=Uk，進(jìn)行位姿反解計(jì)算，解方程可以求出驅(qū)動(dòng)桿桿長L=L(Uk)，將求出的L與L0進(jìn)行比較，假設(shè)其誤差在允許范圍內(nèi)，那么可終止計(jì)算，此時(shí)得出的U就是所求位姿的正解，否那么繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算，直到算出所要求精度的值。求解過程示意圖：開始K=0，給出優(yōu)化初值U0開始K=0，給出優(yōu)化初值U0根據(jù)Uk逆解出Lk，Lk=Lk〔Uk〕F=min<e輸出U=Uk結(jié)束K=K+1搜索下一個(gè)UkNO圖3.6正解流程圖在進(jìn)行位置反解運(yùn)算時(shí)候，可以先用微分法求出3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣，然后將位姿反解方程同時(shí)對時(shí)間t求一階偏導(dǎo)得=〔3.19〕對上式，令==,那么就是3×3階Jacobian矩陣。假設(shè)令A(yù)=，B=，a=，b=，A2=，a2=，那么中的個(gè)元素為J11=/L1J12=/L1J13=L1B/L1J21=/(2L2)J22=/(2L2)J23=L2c/L3J31=/(2L3)J32=/(2L3)J33=L3c/L3以上式中，L1A=ra2(b-1)+r(b+1)/2-R，L1b=Zc-rBa，L2A=r(b-1)(A2+a2)/4-r(1+b)/4+R/2L2B=r〔1-b〕〔a2+3A2〕/4+r〔1+b〕/4+R/2，L2C=rB(a-A)/2+ZcL3A=R(1-b)〔A2-a2〕/4-r〔1+b〕/4+R/2L3B=r〔1-b〕〔3A2-a2〕/4-r〔1+b〕/4+R/2L3C=rB(a+A)/2+Zc43RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析4.1引言并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)[7]主要研究兩類問題:正動(dòng)力學(xué)問題與逆動(dòng)力學(xué)問題。由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜,因此其動(dòng)力學(xué)分析模型通常為多自由度、多變量、高非線性、多參數(shù)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)。正動(dòng)力學(xué)問題就是己知驅(qū)動(dòng)力或力矩,確定動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng);而逆動(dòng)力學(xué)問題為己知?jiǎng)悠脚_(tái)的運(yùn)動(dòng),求解驅(qū)動(dòng)力。通過分析動(dòng)力學(xué),可以為機(jī)器人的控制提供理論根底。并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模[8]方法有凱恩方程法、高斯法、牛頓歐拉法、拉格朗日學(xué)、拉格朗日一達(dá)朗貝爾法、虛功原理和微分幾何原理等。以上各建模方法描述的是同一類機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，彼此是等價(jià)的。但由于這些方程式側(cè)重點(diǎn)不同，因此在運(yùn)算量上也不一樣。牛頓一歐拉方法明確原理比較，運(yùn)算速度快，但是所列方程較多，推導(dǎo)過程復(fù)雜；Kane方程最大的優(yōu)點(diǎn)就是可以不需要進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算，只需要將相關(guān)矢量進(jìn)行點(diǎn)積求解即可，因此計(jì)算效率較高，但建立的方程較復(fù)雜。由拉格朗日法和虛功原理得到的動(dòng)力學(xué)方程在形式上相對簡單整齊，作逆動(dòng)力學(xué)分析時(shí)運(yùn)算量較大。本章運(yùn)用歐拉方法，建立了3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，其方程簡潔標(biāo)準(zhǔn)，易于計(jì)算。為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和在任務(wù)空間中建立控制模型奠定了根底。4.2歐拉方程簡介將機(jī)器人的每個(gè)桿件看成剛體，并確定每個(gè)桿件質(zhì)心的位置和表征其質(zhì)量分布的慣性張量矩陣。當(dāng)確定機(jī)器人坐標(biāo)系后，根據(jù)機(jī)器人關(guān)節(jié)速度和加速度，那么可先由機(jī)器人機(jī)座開始向手部桿件正向遞推出每個(gè)桿件在自身坐標(biāo)系中的速度和加速度，再用牛頓——?dú)W拉方程得到機(jī)器人每個(gè)桿件上的慣性力和慣性力矩，然后再由機(jī)器人末端關(guān)節(jié)開始向第一個(gè)關(guān)節(jié)反向遞推出機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)上承受的力和力矩，最終得到機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動(dòng)力〔矩〕，這樣就確定了機(jī)器人關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力〔矩〕與關(guān)節(jié)位移、速度和加速度之間的函數(shù)關(guān)系，即建立了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程。牛頓-歐拉方程[9]遞推過程：正向遞推：機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的速度和加速度→從1～n遞推出機(jī)器人每個(gè)桿件在自身坐標(biāo)系中的速度和加速度→機(jī)器人每個(gè)桿件質(zhì)心上的速度和加速度→再用牛頓——?dú)W拉方程得到機(jī)器人每個(gè)桿件質(zhì)心上的慣性力和慣性力矩。反向遞推：根據(jù)正向遞推的結(jié)果→從n～1遞推出機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)上承受的力和力矩→得到機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動(dòng)力〔矩〕。4.33-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模研究分析機(jī)構(gòu)各個(gè)構(gòu)件的加速度和速度之間的關(guān)系，是運(yùn)動(dòng)學(xué)分析[10]的核心內(nèi)容，也是進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的根底。3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)由3個(gè)相同的空間運(yùn)動(dòng)鏈連接三角形的動(dòng)平臺(tái)和固定平臺(tái)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈通過球面副連接動(dòng)平臺(tái)，并以軸線平行于固定平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)副與固定平臺(tái)連接。三個(gè)移動(dòng)副作為輸入，機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，如圖3.5所示。4.3.1速度分析有圖4.5分析可以得到，在固定坐標(biāo)系里面，球面副的球心的速度為=+〔4.1〕其中代表動(dòng)平臺(tái)角速度，代表動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心角速度。將通過轉(zhuǎn)換矩陣，換算到支鏈坐標(biāo)系下面，表述為=，其中=〔4.2〕通過變換坐標(biāo)系，可以求出在支鏈坐標(biāo)系下的速度為=〔4.3〕其中代表支鏈i的角速度，為支鏈坐標(biāo)系下軸的單位向量，為支鏈i的長度伸縮速度。用向量對公式〔5.3〕兩邊進(jìn)行點(diǎn)積，能夠得出=，z(4.4)其中，,z為代表的是在方向上的投影值。用向量對公式〔5.4〕兩邊進(jìn)行叉積，可以得到==(4.5)其中，，x為在x軸上的投影，，y為在y軸上的投影。由于支鏈只能繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故可以得出，y=0。把上述〔5.3〕式對時(shí)間求導(dǎo)，可以得出活塞的速度為=〔4.6〕同理可以得出缸體的速度為=〔4.7〕4.3.2加速度分析首先式〔5.1〕對時(shí)間求導(dǎo)，能夠求出在固定坐標(biāo)系下點(diǎn)的加速度〔4.8〕運(yùn)用轉(zhuǎn)換坐標(biāo)，投影到支鏈坐標(biāo)系下，得出〔4.9〕對式〔5.6〕求導(dǎo)，可以求得出活塞的加速度為=〔4.10〕對式〔5.7〕求導(dǎo)，可以求出缸體的加速度為=〔4.11〕4.3.3并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)牛頓歐拉定理，能夠求出移動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程為：〔4.12〕其中，是移動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量，為移動(dòng)平臺(tái)所受外力的總和，是在固定坐標(biāo)系里面移動(dòng)平臺(tái)所受支鏈i對其的作用力。聯(lián)立〔5.7〕與〔5.12〕得:〔4.13〕〔4.14〕〔4.15〕受力分析的，移動(dòng)平臺(tái)上所有的外力和對質(zhì)心作用的合力矩為：〔4.16〕其中：，代表的是在移動(dòng)坐標(biāo)系作用平面內(nèi)，動(dòng)平臺(tái)受到的作用力；代表的是在移動(dòng)坐標(biāo)系作用平面內(nèi)，移動(dòng)平臺(tái)所受到的移動(dòng)載荷力矩之和；代表的是在移動(dòng)坐標(biāo)系作用平面內(nèi)，圓球鉸中心的位置向量。將式〔5.16〕代入〔5.12〕，由于移動(dòng)平臺(tái)關(guān)于其質(zhì)心對稱，所以，求出〔4.17〕〔4.18〕=〔4.19〕其中，為移動(dòng)平臺(tái)對質(zhì)心的主慣性矩在w軸上的投影，為移動(dòng)平臺(tái)對質(zhì)心的主慣性矩在v軸上的投影，為移動(dòng)平臺(tái)對質(zhì)心的主慣性矩在u軸上的投影；代表的是矩陣的元素；代表的是在移動(dòng)坐標(biāo)系平面內(nèi)，動(dòng)平臺(tái)的角速度向量。有〔5.13〕到〔5.19〕聯(lián)立，可以求出，。因此可以求出3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)所需要的約束力矩和驅(qū)動(dòng)力?！?.20〕〔4.21〕53RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的仿真5.1引言隨著經(jīng)濟(jì)的開展和社會(huì)的進(jìn)步，計(jì)算機(jī)技術(shù)的開展速度也相當(dāng)迅速，正是由于計(jì)算機(jī)的開展與普及，使人類社會(huì)進(jìn)入了信息時(shí)代，計(jì)算機(jī)作為后期新秀已經(jīng)滲入到人們生活中的每一個(gè)領(lǐng)域，給人們的生活帶來了前所未有的變化。作為新興的技術(shù)，計(jì)算機(jī)技術(shù)在人類研究的各個(gè)領(lǐng)域起到了只管至關(guān)重要的作用，幫助人類解決了許多技術(shù)難題。在科研領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)技術(shù)與仿真技術(shù)相結(jié)合，形成了計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)，作為人們科學(xué)研究的一種新型方法，被人們應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，用來解決人們用純數(shù)學(xué)方法或者現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)無法解決的問題，對科研領(lǐng)域技術(shù)成果的形成有著積極地促進(jìn)作用。據(jù)最新統(tǒng)計(jì)資料說明，計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)是當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的實(shí)用技術(shù)之一，虛擬現(xiàn)實(shí)是計(jì)算機(jī)世界最熱門的一個(gè)詞匯。5.1.1仿真技術(shù)簡介從哲學(xué)角度來看，仿真就是借助于一定的工具描述出真實(shí)的世界。由于現(xiàn)實(shí)世界是無邊無界的，很難同一起來，于是我們在分析時(shí)候，通常劃分為多個(gè)區(qū)域，這些區(qū)域我們稱之為系統(tǒng)。通常所說的運(yùn)動(dòng)仿真，一般都是對其中的一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行分析，也就是我們常說的系統(tǒng)仿真。系統(tǒng)仿真的一般過程與步驟：〔1〕建模階段：在這一階段中，通常是先分塊建立子系統(tǒng)的模型?！?〕實(shí)驗(yàn)階段：在這一階段中，首先要根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康闹贫ㄏ鄳?yīng)的實(shí)驗(yàn)方案、實(shí)驗(yàn)大綱，在方案和大綱的指導(dǎo)下，設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)流程，選擇要測量的變量、相應(yīng)的測量點(diǎn)和適宜的測量儀表，然后運(yùn)行模型?！?〕結(jié)果分析階段：這個(gè)環(huán)節(jié)相當(dāng)重要。在這一階段中需要對大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，去除那些誤差較大的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)得出的結(jié)果進(jìn)行推理判斷。5.1.2并聯(lián)機(jī)構(gòu)計(jì)算機(jī)仿真的意義由于仿真技術(shù)的特殊成效〔平安性和經(jīng)濟(jì)性〕，系統(tǒng)仿真技術(shù)不僅在航空、航天、原子能、電力能領(lǐng)域獲得令人矚目的開展，而且也逐步開展到應(yīng)用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、交通、生態(tài)等領(lǐng)域，已經(jīng)成為高科技產(chǎn)品從論證、設(shè)計(jì)、生產(chǎn)試驗(yàn)、訓(xùn)練到更新等全生命周期各個(gè)階段不可缺少的技術(shù)手段，為研究和解決復(fù)雜系統(tǒng)乃至巨系統(tǒng)問題提供了有效工具。被人們用于系統(tǒng)設(shè)計(jì)與產(chǎn)品開發(fā)、系統(tǒng)分析、理論驗(yàn)證、教育、培訓(xùn)以及娛樂等各個(gè)方面。計(jì)算機(jī)仿真的廣泛用途為對方案進(jìn)行分析、評估、論證，為決策提供依據(jù)。5.2基于Mathematica軟件的仿真5.2.1Mathematica軟件介紹本課題運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真模型選擇在Mathematica環(huán)境下建立，Mathematica是一款科學(xué)計(jì)算軟件，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)、和與其他應(yīng)用程序的高級連接。很多功能在相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)處于世界領(lǐng)先地位，截至2023年，它也是為止使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一。Mathematica的發(fā)布標(biāo)志著現(xiàn)代科技計(jì)算的開始。Mathematica是世界上通用計(jì)算系統(tǒng)中最強(qiáng)大的系統(tǒng)。自從1988發(fā)布以來，它已經(jīng)對如何在科技和其它領(lǐng)域運(yùn)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了深刻的影響。仿真用到的是Mathematica的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析軟件包MechanicalSystems。在MechanicalSystems環(huán)境中，可以建立多剛體系統(tǒng)模型，以及以有限段方法為根底的柔性多體系統(tǒng)模型，能夠完成運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)多領(lǐng)域統(tǒng)一建模仿真分析，以及控制系統(tǒng)仿真分析。5.2.2建立所有構(gòu)體的模型首先定義模型中所需要的體，本模型中運(yùn)動(dòng)的體有動(dòng)平臺(tái)與三個(gè)支鏈中運(yùn)動(dòng)的body〔構(gòu)件體〕，一共有5個(gè)：1.ground：靜平臺(tái)，也是慣性參考系，系統(tǒng)默認(rèn)的第一個(gè)體；2.link1：由下至上數(shù)第一個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈；3.link2：由下至上數(shù)第二個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈；4.link3：由下至上數(shù)第三個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈；5.Movplatform：動(dòng)平臺(tái)；另外加上一個(gè)與動(dòng)平臺(tái)固連的平動(dòng)坐標(biāo)系com，系統(tǒng)中有6個(gè)body需要定義：(*Thefollowingsymbolsareusedtoreferenceeachofthebodiesinthesystem.*)ground=1;link1=2;link2=3;link3=4;movplatform=5;com=6;靜平臺(tái)是系統(tǒng)中不運(yùn)動(dòng)的局部，也是主動(dòng)臂的支架，3個(gè)支鏈安裝位置用了3個(gè)待定參數(shù)a1、a2、a3，以方便后續(xù)分析時(shí)調(diào)整構(gòu)型，待定參數(shù)用“=.〞表征：(*Ground*)h0=.r0=.bd[ground]=Body[ground,PointList->{(*p1*){0,0,0},(*p2*){1,0,0},(*p3*){0,1,0},(*p4*){0,0,1},(*p5*){r0,0,0},(*p6*){-r0N[Cos[Pi/3]],r0N[Sin[Pi/3]],0},(*p7*){-r0N[Cos[Pi/3]],-r0N[Sin[Pi/3]],0},(*p8*){r0,-1,0},(*p9*){r0,1,0},(*p10*){-r0N[Cos[Pi/3]]+N[Sin[Pi/3]],r0N[Sin[Pi/3]]+N[Cos[Pi/3]],0},(*p11*){-r0N[Cos[Pi/3]]-N[Sin[Pi/3]],r0N[Sin[Pi/3]]-N[Cos[Pi/3]],0},(*p12*){-r0N[Cos[Pi/3]]-N[Sin[Pi/3]],-r0N[Sin[Pi/3]]+N[Cos[Pi/3]],0},(*p13*){-r0N[Cos[Pi/3]]+N[Sin[Pi/3]],-r0N[Sin[Pi/3]]-N[Cos[Pi/3]],0},(*p14*){r0,0,-h0},(*p15*){-r0N[Cos[Pi/3]],r0N[Sin[Pi/3]],-h0},(*p16*){-r0N[Cos[Pi/3]],-r0N[Sin[Pi/3]],-h0},(*p17*){r0,0,h0},(*p18*){-r0N[Cos[Pi/3]],r0N[Sin[Pi/3]],h0},(*p19*){-r0N[Cos[Pi/3]],-r0N[Sin[Pi/3]],h0}}];3個(gè)移動(dòng)副分別用代表點(diǎn)以及輔助參考點(diǎn)〔方便建模及識(shí)別操作的點(diǎn)，可以構(gòu)成參考的點(diǎn)、線、面〕，動(dòng)平臺(tái)那么用到較多參數(shù)，為了方便后續(xù)動(dòng)力學(xué)建模，以待定參數(shù)形式輸入了慣量信息，后續(xù)分析時(shí)可以根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入正確數(shù)值，建模過程如下：(*Movplatform*)h1=.m1=.r1=.j1=.j2=.j3=.bd[movplatform]=Body[movplatform,PointList->{(*p1*){0,0,0},(*p2*){1,0,0},(*p3*){0,1,0},(*p4*){0,0,1},(*p5*){r1,0,0},(*p6*){-r1N[Cos[Pi/3]],r1N[Sin[Pi/3]],0},(*p7*){-r1N[Cos[Pi/3]],-r1N[Sin[Pi/3]],0},(*p8*){r1,0,-h0},(*p9*){-r1N[Cos[Pi/3]],r1N[Sin[Pi/3]],-h1},(*p10*){-r1N[Cos[Pi/3]],-r1N[Sin[Pi/3]],-h1},(*p11*){r1,0,h1},(*p12*){-r1N[Cos[Pi/3]],r1N[Sin[Pi/3]],h1},(*p13*){-r1N[Cos[Pi/3]],-r1N[Sin[Pi/3]],h1}},InitialGuess{{0,0,300},{1,0,0,0}},Mass->m1,Inertia->{j1,j2,j3,0,0,0}];代碼中的“InitialGuess〞是構(gòu)件初始位置姿態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)位姿較為復(fù)雜時(shí)，需要另外求解，MechanicalSystems用構(gòu)件參考點(diǎn)的三維坐標(biāo)，以及表征本體坐標(biāo)系姿態(tài)的四元數(shù)〔歐拉參數(shù)〕定義位姿，因此初始參數(shù)有7個(gè)。平動(dòng)坐標(biāo)系com僅建立本體坐標(biāo)系即可。建立完所有構(gòu)件之后，通過SetBodies[body1,…]指令將分析所用到的body加載進(jìn)來。5.2.3構(gòu)體模型的裝配上述步驟建立了分析中用到的構(gòu)件，所有被定義的點(diǎn)，都基于本體坐標(biāo)系，模型需要進(jìn)一步按照具體拓?fù)潢P(guān)系進(jìn)行“組裝〞。MechanicalSystems利用約束〔Constraint〕完成運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的“組裝〞。系統(tǒng)中每個(gè)約束可以限制1~6個(gè)自由度。約束選擇的原那么是，約束數(shù)要與系統(tǒng)自由度數(shù)相等，由于本分析中有4個(gè)活動(dòng)的構(gòu)件，所以總自由度數(shù)為24，所以總的約束數(shù)要等于24。定義約束：(*ConstraintDefinitions*)cs[1]=OriginLock3[1,movplatform,com];cs[2]=Parallel2[2,Line[com,1,2],Line[ground,1,2]];cs[3]=ProjectedAngle1[3,Line[com,1,4],Line[ground,1,4],Line[ground,1,2],0];cs[4]=OriginLock3[4,com1,com];cs[5]=Parallel2[5,Line[com1,1,2],Line[com,1,2]];cs[6]=ProjectedAngle1[6,Line[com1,1,4],Line[com,1,4],Line[com,1,2],0];(*link1,link2*)cs[7]=Spherical3[7,Point[link12,1],Point[movplatform,5]];cs[8]=Revolute5[8,Line[link11,1,3],Line[ground,5,8]];cs[9]=Translate5[9,Line[link12,5,1],Line[link11,1,5]];(*link2,link3*)cs[10]=Spherical3[10,Point[link22,1],Point[movplatform,6]];cs[11]=Revolute5[11,Line[link21,1,3],Line[ground,6,10]];cs[12]=Translate5[12,Line[link22,5,1],Line[link21,1,5]];(*link3,link1*)cs[13]=Spherical3[13,Point[link32,1],Point[movplatform,7]];cs[14]=Revolute5[14,Line[link31,1,3],Line[ground,7,12]];cs[15]=Translate5[15,Line[link32,5,1],Line[link31,1,5]];代碼中，RelativeDistance限制具體兩個(gè)點(diǎn)的距離，用以約束代替連桿，3-RPS機(jī)構(gòu)有3個(gè)移動(dòng)副，需要定義3個(gè)運(yùn)動(dòng)以驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)，MechanicalSystems中以運(yùn)動(dòng)約束定義關(guān)節(jié)變量。ProjectedAngle可以定義旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的變量，RelativeX定義在全局坐標(biāo)系中動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)沿X軸方向的變量。所有約束建立好之后，通過SetConstraints[cs,…]]加載約束，SetConstraints[]的作用是將定義好的約束“組裝〞到模型中，否那么后續(xù)操作將無法完成。5.2.4動(dòng)力學(xué)仿真運(yùn)行模型之前，需用SetParameters[]將所有待定的參數(shù)賦值。也可以通過調(diào)整這些參數(shù)來改變現(xiàn)有構(gòu)型。通過CheckSystem[]可以檢查模型中的錯(cuò)誤，如果正確無誤，系統(tǒng)會(huì)返回“True〞，可以利用SolveMech[ti]返回T=ti時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)。通過輸出圖形，可以直觀描述所仿真的機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。MechanicalSystems的2D和3D庫可以方便完成復(fù)雜的造型。實(shí)際上，連桿的描述也是在這一步完成的，即通過生成動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)相關(guān)點(diǎn)之間動(dòng)態(tài)的柱形體來實(shí)現(xiàn)的。需注意的是圖形的輸出有時(shí)候與預(yù)期相差很遠(yuǎn)，因?yàn)镃heckSystem[]只檢查模型是否可運(yùn)行，而不能檢查是否正確，而且很多時(shí)候即使CheckSystem[]不能輸出“True〞，也能夠生成錯(cuò)誤的圖形，可以更直觀地檢查出錯(cuò)誤。這需要返回去檢查所定義的約束是否正確，甚至需要調(diào)整體的參數(shù)等?？傊?，這是一個(gè)繁瑣的過程，需要耐心加細(xì)心。graph=Graphics3D[{{Facet[movplatform,{8,9,12,11,5}],Facet[movplatform,{9,10,13,12,9}],Facet[movplatform,{11,12,13,11}]},{Facet[ground,{14,15,18,17,14}],Facet[ground,{17,18,19,17}]},{Sphere[Line[movplatform,5,11],20,16],Sphere[Line[ground,7,19],25,16]},{Cylinder[Line[link11,1,5],17,5],Cylinder[LCylinder[Line[link31,1,5],17,5],Cylinder[Line[link32,1,5],10,5]}},BoxedTrue,AxesTrue,PlotRange{{-400,400},{-400,400},{-80,500}}];圖5.13-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型空間平面的初始位置投影對第五章用牛頓歐拉法建立的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行仿真分析，可以求出