高三高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《數(shù)列》題型歸納與匯總

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)題型分類(lèi)匯總經(jīng)典試題大匯總《數(shù)列》高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)題型分類(lèi)匯總經(jīng)典試題大匯總《數(shù)列》篇目錄【題型歸納】題型一等差數(shù)列的基本運(yùn)算3題型二等差數(shù)列的判定與證明4題型三等差數(shù)列前項(xiàng)和及其最值5題型四等比數(shù)列的基本運(yùn)算6題型五等比數(shù)列的判定與證明8題型六等差數(shù)列等比數(shù)列求前項(xiàng)和8題型七分組轉(zhuǎn)化法求和9題型八裂項(xiàng)相消法求和10【鞏固訓(xùn)練】題型一等差數(shù)列的基本運(yùn)算11題型二等比數(shù)列的基本運(yùn)算11題型三等差（比）數(shù)列的判定與證明12題型四等差數(shù)列前項(xiàng)的最值13題型五數(shù)列的求和13高考數(shù)學(xué)《數(shù)列》題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一等差數(shù)列的基本運(yùn)算例1（1）等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0．若，，成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為（）A．24B．3C．3D．8（2）設(shè)為等差數(shù)列，公差,為其前項(xiàng)和，若，則（） A．18 B．20C．22 D．24（3）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，＝－2，＝0，＝3，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．6（4）等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和．若，，則=_____．【答案】(1)(2)(3)（4）【解析】（1）設(shè)的公差為（），由，得，所以，．選．

（2）由，得，．（3）有題意知=，∴==（）=，=，∴公差==1，∴3==，∴，故選.（4）設(shè)的公差為，由及，得，所以．又，所以，即．【易錯(cuò)點(diǎn)】等差數(shù)列求和公式易記錯(cuò)【思維點(diǎn)撥】等差數(shù)列基本運(yùn)算的解題方法（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題．（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而和是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．題型二等差數(shù)列的判定與證明例1在數(shù)列中，若，已知，則數(shù)列前項(xiàng)的和為_(kāi)_____.【答案】【解析】由已知可得，例2已知數(shù)列滿足證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】見(jiàn)解析【解析】（1），所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）知，所以.例3若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求證：成等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）證明當(dāng)時(shí)，由，得，所以，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.解由(1)可得，∴.當(dāng)時(shí)，不適合上式.當(dāng)時(shí)，.故【易錯(cuò)點(diǎn)】忘記寫(xiě)：當(dāng)時(shí)或者不知道使用：【思維點(diǎn)撥】等差數(shù)列的證明方法：（1）定義法：或?yàn)榈炔顢?shù)列.（2）等差中項(xiàng)法：為等差數(shù)列.（3）通項(xiàng)法：為常數(shù)為等差數(shù)列.（4）前項(xiàng)和法：為常數(shù)為等差數(shù)列.題型三等差數(shù)列前項(xiàng)和及其最值例1（1）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，當(dāng)最大時(shí)，的值是()A.5B.6 C.7 D.8（2）若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)__時(shí)的前項(xiàng)和最大．【答案】(1)C(2)【解析】（1）由，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.根據(jù)首項(xiàng)等于可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而得到，，故時(shí)最大.（2）∵數(shù)列是等差數(shù)列，且，．又，∴．當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和最大．【易錯(cuò)點(diǎn)】求最值的時(shí)候計(jì)算出錯(cuò)，以及去掉絕對(duì)值求和時(shí)也易出錯(cuò)?！舅季S點(diǎn)撥】求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(3)將等差數(shù)列的前項(xiàng)和(為常數(shù))看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.題型四等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1（1）等比數(shù)列滿足，，則=（）A．21B．42C．63D．84（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則=（）A． B． C． D．（3）已知數(shù)列為等比數(shù)列，是是它的前項(xiàng)和,若，且與2的等差中項(xiàng)為，則（）A．35B．33C．3lD．29（4）設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（）A．－11 B．－8C．5 D．11【答案】(1)(2)(3)（4）【解析】（1）由于，，所以，所以(舍去)，所以，，，所以．（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵，∴，即，∴，由，即，∴．（3）設(shè)的公比為，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，即．由與的等差中項(xiàng)為知，，．∴，即．，，．（4）通過(guò)，設(shè)公比為，將該式轉(zhuǎn)化為，解得=－2，所以．【易錯(cuò)點(diǎn)】等比數(shù)列求和公式易記錯(cuò)【思維點(diǎn)撥】等比數(shù)列基本運(yùn)算的解題方法（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題．（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而和是等比數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．題型五等比數(shù)列的判定與證明例1已知數(shù)列滿足=1，．證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】見(jiàn)解析【解析】由得．又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．，因此的通項(xiàng)公式為．【易錯(cuò)點(diǎn)】等比數(shù)列的定義證明方法【思維點(diǎn)撥】證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用方法：（1）定義法：（常數(shù)）或（常數(shù)）為等比數(shù)列.（2）等比中項(xiàng)法：為等比數(shù)列.（3）通項(xiàng)法：為等比數(shù)列.題型六等差數(shù)列等比數(shù)列求前項(xiàng)和例1在等比數(shù)列中，.（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)的公比為，依題意得，解得，因此，.（2）因?yàn)?，∴?shù)列的前項(xiàng)和.例2已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求和：.【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)的公差為，由，，得，所以.（2）由（1）知.設(shè)的公比為，由，，得，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.【易錯(cuò)點(diǎn)】等比數(shù)列求和時(shí)項(xiàng)數(shù)的確定【思維點(diǎn)撥】（1）數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng).（2）通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比或可求數(shù)列前n項(xiàng)和的數(shù)列來(lái)求之.題型七分組轉(zhuǎn)化法求和例1在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的值．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（2）由（1）可得，所以.【易錯(cuò)點(diǎn)】通項(xiàng)求錯(cuò)以及等比數(shù)列的求和公式記錯(cuò)【思維點(diǎn)撥】若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型八裂項(xiàng)相消法求和例1已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項(xiàng)和為．（1）求及；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】略【易錯(cuò)點(diǎn)】裂項(xiàng)時(shí)易出錯(cuò)，解不等式時(shí)也易出錯(cuò)【思維點(diǎn)撥】（1）利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).（2）將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等.【鞏固訓(xùn)練】題型一等差數(shù)列的基本運(yùn)算1.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A． B． C． D．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故選B．2.已知為等差數(shù)列，其公差為，且是與的等比中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和，，則的值為（） A．－110 B．－90C．90 D．110【答案】【解析】【解析】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，又?jǐn)?shù)列的公差為，所以，解得，故，所以．題型二等比數(shù)列的基本運(yùn)算1.已知數(shù)列為等比數(shù)列，是是它的前n項(xiàng)和,若，且與2的等差中項(xiàng)為，則A．35B．33C．3lD．29【答案】【解析】設(shè)的公比為，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，即．由與2的等差中項(xiàng)為知，，．∴，即．，．2.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)的和為，已知，，則=．【答案】【解析】設(shè)的公比為，由題意，由，所以，由，得，所以．3.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于．【答案】【解析】由題意，，解得或，而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，所以，因而數(shù)列的前項(xiàng)和．題型三等差（比）數(shù)列的判定與證明1.已知數(shù)列中，，．設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列．【答案】見(jiàn)解析【解析】證明：，∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．題型四等差數(shù)列前項(xiàng)的最值1.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值．【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)設(shè)的公差為，由題意得．由得．所以的通項(xiàng)公式為．(2)由(1)得．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．2.若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)__時(shí)的前項(xiàng)和最大．【答案】【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，且，．又，∴．當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和最大．在等差數(shù)列中，，公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，則的取值范圍_________．【答案】【解析】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，可得，解得．題型五數(shù)列的求和1.已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且為等比數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）2.已知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和.（1）求通項(xiàng)及；（2）設(shè)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）3.等差數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足且，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）4.數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）略（2）5.設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）由題意有，即解得或故或（2）由，知，，故，于是，①.②-②可得，，故.新課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容與現(xiàn)形課標(biāo)內(nèi)容的對(duì)比如下表：必修課程主題學(xué)分課時(shí)包含的內(nèi)容與現(xiàn)形課標(biāo)的對(duì)照，在現(xiàn)形課標(biāo)中的位置與現(xiàn)形課標(biāo)對(duì)比，內(nèi)容的不同主題一（預(yù)備知識(shí)）819集合A版：必修1第一章1.1節(jié)考查知識(shí)點(diǎn)基本不變B版：必修1第一章全部?jī)?nèi)容考查知識(shí)點(diǎn)基本不變常用邏輯用語(yǔ)（與A版內(nèi)容較接近）A版：選修2-1第一章1.1節(jié)，1.2節(jié)，1.4節(jié)基本不變B版：選修2-1第一章1.1節(jié)，1.3節(jié)新課標(biāo)增加了全稱量詞與存在量詞一元二次函數(shù)、方程和不等式（與B版內(nèi)容接近）A版：必修1第二章2.3節(jié)中與冪函數(shù)有關(guān)的一元二次函數(shù)提了出來(lái)必修5第二章3.1節(jié)，3.2節(jié)，3.4節(jié)中關(guān)于不等式的知識(shí)知識(shí)點(diǎn)基本不變不等式與現(xiàn)形課標(biāo)相比少了二元一次不等式及線性規(guī)劃B版：必修1第二章2.2節(jié)中的2.2.2，2.2.3中的一元二次函數(shù)知識(shí)必修5第三章3.1節(jié)，3.2節(jié)，3.3節(jié)，3.4節(jié)中的不等式知識(shí)基本不變主題二（函數(shù)及應(yīng)用）54函數(shù)概念與性質(zhì)（與A版內(nèi)容接近）A版：必修1第一章1.2節(jié)，1.3節(jié)基本不變；函數(shù)的性質(zhì)并入了三角函數(shù)來(lái)了解函數(shù)的周期性B版：必修1第二章2.1節(jié)增加了函數(shù)的最值與周期性冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)（與A版內(nèi)容接近）A版：必修1第二章2.1節(jié)，2.2節(jié)，2.3節(jié)基本不變B版：必修1第三章3.1節(jié)，3.2節(jié)，3.3節(jié)基本不變?nèi)呛瘮?shù)（與A，B版內(nèi)容相差不大）A版：必修4第一章全部?jī)?nèi)容及第三章全部?jī)?nèi)容基本不變B版：必修4第一章全部?jī)?nèi)容及第三章全部?jī)?nèi)容基本不變函數(shù)綜合應(yīng)用（與A版內(nèi)容接近）A版：必修1第三章全部?jī)?nèi)容基本不變B版：必修1第二章2.3節(jié)，2.4節(jié)增加了函數(shù)模型主題三（幾何與代數(shù)）44平面向量及應(yīng)用（與A，B版相差不大）A版：必修4第二章全部?jī)?nèi)容基本不變B版：必修4中第二章全部?jī)?nèi)容基本不變復(fù)數(shù)（與A版內(nèi)容接近）A版：選修2-2第三章全部?jī)?nèi)容增加了選學(xué)內(nèi)容“復(fù)數(shù)的三角表示”B版：選修2-2無(wú)教材立體幾何初步（與B版內(nèi)容接近）A版：必修2第一章全部?jī)?nèi)容及第二章全部?jī)?nèi)容基本不變B版：必修2第一章全部?jī)?nèi)容基本不變主題四（統(tǒng)計(jì)與概率）18統(tǒng)計(jì)（與A,B版內(nèi)容相差不多）A版：必修3第二章2.1節(jié)，2.2節(jié)基本不變；知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)圖表中加入了“梳理義務(wù)教育階段學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)圖表”B版：必修3第二章2.1節(jié)，2.2節(jié)基本不變概率（與A,B版內(nèi)容相差不多）A版：必修3第三章全部?jī)?nèi)容基本不變B版：必修3第三章3.1節(jié)，3.2節(jié)，3.4節(jié)基本不變主題五（數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究）5數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究要求學(xué)生完成一個(gè)課題研究，包括選題、開(kāi)題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)。學(xué)生需要撰寫(xiě)開(kāi)題報(bào)告，根據(jù)選題內(nèi)容，報(bào)告可以采用專(zhuān)題作業(yè)、測(cè)量報(bào)告、算法程序、制作的實(shí)物或研究論文等多種形式。在課題研究中逐步提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象靜養(yǎng)。數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，這些內(nèi)容不單獨(dú)設(shè)置，滲透在每個(gè)模塊或?qū)ｎ}中。選修1主題一（函數(shù)及應(yīng)用）632數(shù)列（與A版內(nèi)容接近）A版：必修5第二章全部?jī)?nèi)容增加了“數(shù)學(xué)歸納法”B版：必修5第二章全部?jī)?nèi)容增加了“數(shù)學(xué)歸納法”一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用（與A版內(nèi)容接近）A版：選修2-2第一章全部?jī)?nèi)容刪掉了“生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例”這一知識(shí)點(diǎn)微積分的創(chuàng)立與發(fā)展沒(méi)有提到通過(guò)實(shí)例。B版：選修2-2無(wú)教材主題二（幾何與代數(shù)）42空間向量與立體幾（與B版內(nèi)容接近）A版：選修2-1第三章全部?jī)?nèi)容基本不變；用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面距離問(wèn)題這一知識(shí)點(diǎn)中加入了“能用框圖描述解決這一類(lèi)問(wèn)題的思路”B版：選修2-1第三章全部?jī)?nèi)容同上平面解析幾何（與A，B版內(nèi)容相差不多）A版：必修2第三章全部?jī)?nèi)容及第四章全部?jī)?nèi)容選修2-1第二章全部?jī)?nèi)容基本不變B版：必修2第二章2.2節(jié)，2.3節(jié)選修2-1第二章全部?jī)?nèi)容基本不變主題三（統(tǒng)計(jì)與概率）26計(jì)數(shù)原理（與A版內(nèi)容接近）A版：選修2-3第一章全部?jī)?nèi)容基本不變B版：選修2-3全部?jī)?nèi)容基本不變統(tǒng)計(jì)與概率（與A版內(nèi)容接近）A版：選修2-3第二章全部?jī)?nèi)容、第三章全部?jī)?nèi)容及必修3第二章2.3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系概率中“正態(tài)分布與超幾何分布”要通過(guò)具體實(shí)例分析B版：選修2-3第二章全部?jī)?nèi)容、第三章全部?jī)?nèi)容及必修3第二章2.3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系同上主題四（數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究）4數(shù)學(xué)建模與探究要求學(xué)生完成一個(gè)課題研究，也可以在必修“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)”或“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”所作的研究基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行深入探究。按照必修部分的要求，完成開(kāi)題、做題、結(jié)題的過(guò)程。如果選題不變，需要在研究報(bào)告中說(shuō)明與必修研究的差異，深入研究所得到的新思路、新方法、新結(jié)果。選修2A2.5微積分A版：選修2-2第一章1.6節(jié)，1.7節(jié)內(nèi)容的拓展、深化及部分增加內(nèi)容增加了數(shù)列極限，函數(shù)極限等少量?jī)?nèi)容，內(nèi)容劃分的比較細(xì)，B版：缺少相對(duì)應(yīng)內(nèi)容的教材2空間幾何與代數(shù)A版：選修4-2矩陣與