專題52 四邊形面積有關(guān)的最值問題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問題專題訓(xùn)練

專題52四邊形面積有關(guān)的最值問題【規(guī)律總結(jié)】特殊四邊形用公式，普通四邊形轉(zhuǎn)化成三角形球面積（鉛垂法）；結(jié)合二次函數(shù)；【典例分析】例1．（2020·湖北武漢市·九年級期中）如圖，四邊形的兩條對角線所成的銳角為，則四邊形的面積最大值為_______________________．【答案】【分析】根據(jù)四邊形面積公式，S＝AC×BD×sin60°，根據(jù)sin60°＝得出S＝x（10?x）×，再利用二次函數(shù)最值求出即可．【詳解】解：∵AC與BD所成的銳角為60°，∴根據(jù)四邊形面積公式，得四邊形ABCD的面積S＝AC×BD×sin60°，設(shè)AC＝x，則BD＝10?x，所以S＝x（10?x）×＝（x?5）2＋，所以當(dāng)x＝5，S有最大值．故答案為：．【點睛】此題主要考查了四邊形面積公式以及二次函數(shù)最值，利用二次函數(shù)最值求出四邊形的面積最大值是解決問題的關(guān)鍵．例2．（2018·山東濟南市·九年級一模）（探索發(fā)現(xiàn)）如圖①，是一張直角三角形紙片，，小明想從中剪出一個以為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線剪下時，矩形的面積最大，經(jīng)證明發(fā)現(xiàn)：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為__________．（拓展應(yīng)用）如圖②，在中，，邊上的高，矩形的頂點分別在邊上，頂點在邊上，則矩形面積的最大值為__________．（用含的代數(shù)式表示）（靈活應(yīng)用）如圖③，有一塊“缺角矩形”，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積．（實際應(yīng)用）如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料，經(jīng)測量，且，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點在邊上且面積最大的矩形，求該矩形的面積．【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】；【拓展應(yīng)用】；【靈活應(yīng)用】720；【實際應(yīng)用】【分析】探索發(fā)現(xiàn)：由中位線知，，由可得；拓展應(yīng)用：由知，得，設(shè)，表示出矩形PQMN的面積，求出最值即可；靈活應(yīng)用：延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF的中點I，F(xiàn)G的中點K，證明和，得AF=DH=16，CG=HE=20，再利用【探索發(fā)現(xiàn)】的結(jié)論即可求出結(jié)果；實際應(yīng)用：延長BA、CD交于點E，過點E作于點H，根據(jù)，求出BH和EH的長，再證明中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，即可用【拓展應(yīng)用】的結(jié)論算出結(jié)果．【詳解】探索發(fā)現(xiàn)：∵EF、ED是的中位線，∴，，，，∵，∴四邊形FEDB是矩形，∴，故答案是：；拓展應(yīng)用：∵，∴，∴，即，∴，設(shè)，∴，∴當(dāng)時，有最大值，最大值是，故答案是：；靈活應(yīng)用：如圖，延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF的中點I，F(xiàn)G的中點K，由題意知四邊形ABCH是矩形，∵，，，，∴，，∴，，在和中，，∴，∴，同理，∴，∴，∵，∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，過點K作于點L，由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為；實際應(yīng)用：如圖，延長BA、CD交于點E，過點E作于點H，∵，∴，∴，∵，且，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，∴BE的中點Q在線段AB上，∵，∴，∴CE的中點P在線段CD上，∴中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，由【拓展應(yīng)用】知，矩形PQMN的最大面積為．【點睛】本題考查四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)．【好題演練】一、填空題1．（2019·陜西九年級一模）如圖，以為直徑的的圓心到直線的距離，的半徑,，直線不垂直于直線，過點、分別作直線的垂線，垂足分別為點、，則四邊形的面積的最大值為___________.【答案】12【分析】先判斷OE為直角梯形ADCB的中位線，則OE＝（AD＋BC），所以S四邊形ABCD＝OE?CD＝3CD，只有當(dāng)CD＝AB＝4時，CD最大，從而得到S四邊形ABCD最大值．【詳解】解：∵OE⊥l，AD⊥l，BC⊥l，而OA＝OB，∴OE為直角梯形ADCB的中位線，∴OE＝（AD＋BC），∴S四邊形ABCD＝（AD＋BC）?CD＝OE?CD＝3CD，當(dāng)CD＝AB＝4時，CD最大，S四邊形ABCD最大，最大值為12．故答案為：12【點睛】本題考查了梯形的中位線：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.2．（2020·貴州遵義市·九年級三模）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，已知D是⊙O上一動點，連接AD、CD，若圓的半徑r＝2，則以A、B、C、D為頂點的四邊形的最大面積為_____．【答案】4．【分析】連接BO并延長交AC于E，交于D，根據(jù)垂徑定理得到點D到AC的距離最大，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】連接BO并延長交AC于E，交于D，連接AD、CD，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC，∴，∴OE⊥AC，點D為的中點，此時點D到AC的距離最大，∴△ADC的面積最大，即以A、B、C、D為頂點的四邊形的面積最大，在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，∴AD＝BD＝2，由勾股定理得，AB＝＝2，∴以A、B、C、D為頂點的四邊形的最大面積＝×2×2×2＝4，故答案為：4．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、等邊三角形的性質(zhì)，掌握垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2020·江蘇宿遷市·九年級其他模擬）如圖，的半徑為1，點為外一點，過點作的兩條切線，切點分別為點和點，則四邊形面積的最小值是___________．【答案】【分析】由點P的坐標(biāo)為（a，a-4），得到OP=，，由于PA，PB是⊙O的兩條切線，得到PA=PB，∠OAP=∠OBP，由于△OPA≌△OBP，在Rt△OAP中，根據(jù)勾股定理得到PA的長度，于是得到四邊形PBOA面積=2×△OPA的面積=2×OA?PA=，即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵點P的坐標(biāo)為（a，a-4），OP=∵PA，PB是⊙O的兩條切線，

∴PA=PB，∠OAP=∠OBP，

在△OPA與△OBP中，∴△OPA≌△OBP，

在Rt△OAP中，PA=，四邊形PBOA面積=2×△OPA的面積=2×OA?PA=∵2＞0

∴當(dāng)a=4時，四邊形PBOA面積最小，最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最值問題，能求得四邊形PBOA面積=是解題的關(guān)鍵．二、解答題4．（2019·陜西西安市·交大附中分校九年級期中）[問題提出]（1）如圖①，在中，為上一點，則面積的最大值是

（2）如圖②，已知矩形的周長為，求矩形面積的最大值

[實際應(yīng)用]（3）如圖③，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料，經(jīng)測量且木匠師傅從這塊余料中裁出了頂點在邊上且面積最大的矩形求該矩形的面積

【答案】（1）12；（2）9；（3）【分析】（1）過點A作AE⊥BC，則有，要使△ABC的面積最大，則需滿足AD=AE即可；（2）設(shè)AB=x，則有BC=6-x，然后根據(jù)題意可得函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；（3）根據(jù)題意作圖，則由題意易得△BMQ≌△CNP，則有BM=CN，MN=PQ，設(shè)BM=x，則MN=PQ=80-2x，進而可得，然后根據(jù)矩形的面積及二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）過點A作AE⊥BC，如圖所示：

∴，∵D為BC上一點，∴，∴要使△ABC的面積最大，則需滿足AD=AE，∵BC=6，AD=4，∴△ABC的面積最大為：；故答案為12；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∵矩形ABCD的周長是12，∴設(shè)AB=x，則有AD=6-x，矩形ABCD的面積為S，則有：，此函數(shù)為二次函數(shù)，由，二次函數(shù)的開口向下，∴當(dāng)x=3時，矩形ABCD的面積有最大值為：；（3）如圖所示：

∵四邊形PQMN是矩形，∴QM=PN，PQ=MN，∠QMN=∠PNM=90°，∵∠B=∠C=60°，∠QMB=∠PNC=90°，∴△BMQ≌△CNP，∴BM=NC，設(shè)BM=NC=x，則有MN=PQ=80-2x，∴，∴，此函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，由可得開口向下，∴當(dāng)x=20時，矩形PQMN的面積有最大，即．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2020·內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）如圖，矩形ABCD中，點P為對角線AC所在直線上的一個動點，連接PD，過點P作PE⊥PD，交直線AB于點E，過點P作MN⊥AB，交直線CD于點M，交直線AB于點N.，AD=4.（1）如圖1，①當(dāng)點P在線段AC上時，∠PDM和∠EPN的數(shù)關(guān)系為:∠PDM___∠EPN；②的值是；（2）如圖2，當(dāng)點P在CA延長線上時，（1）中的結(jié)論②是否成立?若成立，請證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，以線段PD，PE為鄰邊作矩形PEFD.設(shè)PM的長為x，矩形PEFD的面積為y.請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及y的最小值.【答案】（1）①=；②；（2）成立，證明見解析；（3），最小值為【分析】（1）①根據(jù)PE⊥PD，MN⊥AB得到∠DPE=90°，∠PMD=∠PNE=90°，即可得到∠PDM=∠EPN；②根據(jù)CD=，AD=4，∠ADC=90°，得到∠ACD=30°，設(shè)MP=x，則NP=4-x，得到MC=MP=x，DM=-x=（4-x），證明△PDM∽△EPN，得到答案；（2）設(shè)NP=a，則MP=4+a，證明△PDM∽△EPN，即可得到結(jié)論成立；（3）利用勾股定理求出，再根據(jù)矩形的面積公式計算得到函數(shù)關(guān)系式.【詳解】（1）①∵PE⊥PD，∴∠DPE=90°，∴∠DPM+∠EPN=90°，∵MN⊥AB，∴∠PMD=∠PNE=90°，∴∠PDM+∠DPM=90°，∴∠PDM=∠EPN；故答案為：=；②∵CD=，AD=4，∠ADC=90°，∴tan∠ACD=,∴∠ACD=30°，設(shè)MP=x，則NP=4-x，∴MC=MP=x，DM=-x=（4-x），∵∠PDM=∠EPN，∠PMD=∠PNE=90°，∴△PDM∽△EPN，∴==，故答案為：；（2）成立，設(shè)NP=a，則MP=4+a，∵∠ACD=30°，∴MC=（4+a），∴MD=(4+a)-4=a，由（1）同理得∠PDM=∠EPN，∠PMD=∠PNE=90°，∴△PDM∽△EPN，∴=，（3）∵PM=x，∴PN=4-x，EN=，∴，∴，，∴矩形PEFD的面積為y=，∵>0，∴當(dāng)x=3時，y有最小值為.【點睛】此題考查矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，利用面積公式得到函數(shù)關(guān)系式及最小值，解答此題中運用類比思想.6．（2020·甘肅隴南市·九年級一模）如圖1，拋物線交軸于點和點，交軸于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）求一次函數(shù)（直線）的表達式和的面積；（3）如圖2，設(shè)點是線段上的一動點，作軸，交拋物線于點，求四邊形最大面積時點的坐標(biāo)和最大面積．【答案】（1）；（2），面積為6；（3），最大值為【分析】（1）把，代入解方程即可求出解析式；（2）先由解析式求出，，再求AC解析式及的面積；（3）利用鉛錘法求出,當(dāng)最大時，最大此時四邊形面積最大．【詳解】（1）把，代入，得，解，∴．（2）當(dāng)時，解得，，∴，，，過，，得，得，∴一次函數(shù)關(guān)系式為，．（3）設(shè)，，則，當(dāng)時，最大．當(dāng)最大時，最大，，此時．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是利用鉛錘法解決二次函數(shù)面積最值問題，屬于中考壓軸題．7．（2020·廣東深圳市·蛇口育才二中九年級一模）如圖，點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，以線段AB為邊在第一象限作等邊△ABC，，且CA∥y軸．（1）若點C在反比例函數(shù)的圖象上，求該反比例函數(shù)的解析式；（2）在（1）中的反比例函數(shù)圖象上是否存在點N，使四邊形ABCN是菱形，若存在請求出點N坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．（3）點P在第一象限的反比例函數(shù)圖象上，當(dāng)四邊形OAPB的面積最小時，求出P點坐標(biāo)．【答案】（1）y＝；（2）存在，N（2，1）；（3）P（，）．【分析】（1）如圖1中，作CD⊥y軸于D．首先證明四邊形OACD是矩形，利用反比例函數(shù)k的幾何意義解決問題即可．（2）如圖2中，作BD⊥AC于D，交反比例函數(shù)圖象于N，連接CN，AN．求出的坐標(biāo)，證明四邊形ABCN是菱形即可．（3）如圖3中，連接PB，PA，OP．設(shè)P（a，）．可得S四邊形OAPB＝S△POB+S△POA＝×1×a+××＝a+＝由此即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，作CD⊥y軸于D．∵CA∥y軸，CD⊥y軸，∴CD∥OA，AC∥OD，∴四邊形OACD是平行四邊形，∵∠AOD＝90°，∴四邊形OACD是矩形，∴k＝S矩形OACD＝2S△ABC＝，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．（2）如圖2中，作BD⊥AC于D，交反比例函數(shù)圖象于N，連接CN，AN．∵△ABC是等邊三角形，面積為，設(shè)CD＝AD＝m，則B