遼寧省協(xié)作校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

遼寧省協(xié)作校2021—2022學(xué)年下學(xué)期期末考試高一試題數(shù)學(xué)考試時間：120分鐘滿分：150分第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個選項(xiàng)符合要求）1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)除法求得復(fù)數(shù)z，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)z的虛部【詳解】由，可得則復(fù)數(shù)z的虛部為2故選：D2.已知弧度的圓心角所對的弦長為，則這個圓心角所對的弧長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件求出半徑即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則由題意可得，所以，所以弧長為故選：C3.《周髀算經(jīng)》中“側(cè)影探日行”一文有記載：“即取竹空，徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩目，而日應(yīng)空之孔.”意謂：“取竹空這一望筒，當(dāng)望筒直徑d是一寸，筒長l是八尺時（注：一尺等于十寸），從筒中搜捕太陽的邊緣觀察，則筒的內(nèi)孔正好覆蓋太陽，而太陽的外緣恰好填滿竹管的內(nèi)孔.”如圖所示，O為竹空底面圓心，則太陽角∠AOB的正切值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正切的二倍角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：，，所以.故選：A.4.若向量，滿足：，，，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義求出在上的投影，然后結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】在上的投影為，所以在上的投影為.故選：D.5.數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并給出以下公式，（其中是虛數(shù)單位，是自然對數(shù)的底數(shù)，），這個公式在復(fù)變論中有非常重要的地位，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式，有下列四個結(jié)論，其中正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件的公式及誘導(dǎo)公式，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算后即可求解.【詳解】對于A，，所以，故A不正確；對于B，，，所以，故B正確；對于C，，，所以，故C不正確；對于D，，故D不正確.故選：B.6.下列命題中正確的是（）A.有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐B.有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.長方體是正四棱柱D.四個面都是等邊三角形的四面體是正四面體【答案】D【解析】【分析】依據(jù)棱錐的定義判斷選項(xiàng)A；依據(jù)棱臺的定義判斷選項(xiàng)B；依據(jù)正四棱柱的定義判斷選項(xiàng)C；依據(jù)正四面體的定義判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：有一個面是多邊形，其余各面是三角形，如果其余各面沒有一個共同的頂點(diǎn)的幾何體就不是棱錐.判斷錯誤；選項(xiàng)B：有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形，如果側(cè)棱不相交于一點(diǎn)的多面體不是棱臺.判斷錯誤；選項(xiàng)C：當(dāng)長方體有一組相對面是正方形時是正四棱柱.判斷錯誤；選項(xiàng)D：四個面都是等邊三角形的四面體是正四面體.判斷正確.故選：D7.已知函數(shù)，圖象上每一點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到的圖象，的部分圖象如圖所示，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用向量的數(shù)量積求得的長度，進(jìn)而求得的最小正周期，從而求得的值.【詳解】由三角函數(shù)圖象的對稱性，可知，由，可得，又，所以，由圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可知，所以的周期為12，則的周期為6，則，故選：B．8.如圖所示，用一邊長為2的正方形硬紙，沿各邊中點(diǎn)的連線垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將表面積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球）上的點(diǎn)離蛋巢底面的最短距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)折起的四個小三角形與與蛋巢側(cè)面垂直，可得截面圓的直徑為以及蛋巢的高為，進(jìn)而根據(jù)可求底部到球的最小距離.【詳解】因?yàn)榈俺驳牡酌媸沁呴L為的正方形，所以蛋巢過原正方形的四個頂點(diǎn)的平面截雞蛋（球）所得的截面圓的直徑為，又因?yàn)殡u蛋（球）的表面積為，所以球的半徑為，所以球心到截面的距離為，而截面到球的最低點(diǎn)的距離為，蛋巢的高度為，故球體上的點(diǎn)到蛋巢底面的最短距離為，故選:C．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有錯誤答案得0分）9.已知復(fù)數(shù)，的共軛復(fù)數(shù)是，，則下列命題一定正確的是（）A. B.若，則C.若，則或 D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模長的概念，對每一選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷，可得答案.【詳解】解：設(shè)，選項(xiàng)A.，所以，故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B.由，取，滿足條件，而，所以選項(xiàng)B不正確.選項(xiàng)C.若，則，所以，即，所以，若，則成立，此時；若，由得，由得，此時；若，由得，所以，此進(jìn)，所以若，則或，故C正確；選項(xiàng)D.，，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10.已知，是兩個不同的平面，m，n，l是三條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】BC【解析】【分析】利用面面垂直的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；利用線面垂直的性質(zhì)判斷選項(xiàng)B；利用線面平行的性質(zhì)判斷選項(xiàng)C；利用線面垂直判定定理判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：若，，，則或相交或互為異面直線.判斷錯誤；選項(xiàng)B：若，，則.判斷正確；選項(xiàng)C：設(shè)平面，，又，則設(shè)平面，，又，則，則，又，，則，又，，則，則.判斷正確；選項(xiàng)D：若，，，則的位置關(guān)系為相交，當(dāng)且僅當(dāng)時.判斷錯誤.故選：BC11.已知，，，，下列說法正確是（）A.B.若的最小正周期為，則C.若是的一個對稱中心，則的最小值為D.若在上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】由結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換公式求出的解析式，然后逐個分析判斷即可【詳解】因?yàn)椋?，所以A正確，對于B，當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒闀r，，得，所以B錯誤，對于C，當(dāng)是的一個對稱中心時，，所以，得，因?yàn)?，所以的最小值為，所以C正確，對于D，當(dāng)時，，因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)?，所以，得，所以D正確，故選：ACD12.如圖，正方體棱長為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的動點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面PBD平行B.當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面是梯形C.過點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面圖形不可能為五邊形D.當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時，則點(diǎn)M的軌跡長度為【答案】ABD【解析】【分析】找到點(diǎn)P，M使得平面與平面PBD平行肯定選項(xiàng)A；作出過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面判斷選項(xiàng)B；作出過點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面圖形為五邊形否定選項(xiàng)C；求得點(diǎn)M的軌跡長度判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時，連接、，又平面PBD，平面PBD，則平面PBD，，又平面PBD，平面PBD，則平面PBD，又，則平面平面PBD.故A正確；對于B選項(xiàng)，取BC中點(diǎn)N，連接則，，則，又則為梯形．則梯形為截面，故B正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時，在上取點(diǎn)Q，使，在上取點(diǎn)T，使連接、，則，則四邊形為平行四邊形，則在平面內(nèi)過點(diǎn)M作，交于N，則連接，則則五邊形為過點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面.故C判斷錯誤；對于D選項(xiàng)，取中點(diǎn)E，連接PE，ME，PM，則平面，，則，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動軌跡為以E為圓心半徑為2的劣弧，分別交AD、于、，則，則，劣弧的長為．故D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，若z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個根，則的值為______．【答案】7【解析】【分析】把代入根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，即，所以.故答案為：7.14.已知，則的值為______．【答案】##【解析】【分析】利用兩角差的正切公式即可求得的值【詳解】，則故答案為：15.某圓錐母線長為2，底面半徑為，則過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式求得正確結(jié)論.【詳解】如圖所示，是圓錐的軸截面.,所以,所以任意截面的面積為，當(dāng)時，截面面積最大為.故答案為：16.在三棱錐中，為邊長為6的等邊三角形，，，，則該三棱錐的體積為______．【答案】【解析】【分析】由已知可判斷出頂點(diǎn)A在底面PBC內(nèi)的射影O為底面的外心，為直角三角形，從而可求出三棱錐的體積【詳解】因?yàn)椋皂旤c(diǎn)A在底面PBC內(nèi)的射影O為底面的外心，因?yàn)樗詾橹苯侨切危設(shè)在PC中點(diǎn)處，因?yàn)?，所以三棱錐的體積為，故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在①，②的面積為，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答．問題：已知，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，______．（1）求角A；（2）若的周長為，求該三角形的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角即得解；若選②：化簡已知得即得解；若選③：化簡得，即得解；（2）利用余弦定理求出即得解.【小問1詳解】解：若選①，因?yàn)椋烧叶ɡ?，所以，又因?yàn)?，所以，，得，因?yàn)?，所以，所以，，所以．若選②：，，，所以．若選③：因?yàn)?，所以，，，因?yàn)?，所以．【小?詳解】解：的周長為，，所以，，由余弦定理，得，所以，所以，所以三角形的面積為．18.已知復(fù)數(shù)z滿足，的虛部為2．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第一象限，，（其中i是虛數(shù)單位，），，求滿足題意的的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法設(shè)，，列出關(guān)于的方程組解出即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算以及模長的概念可得關(guān)于的三角不等式，解出即可.小問1詳解】設(shè)，，，的虛部為2，所以．解得或．所以或．【小問2詳解】由題意可知，，，，∴，．∴．19.如圖，在三棱臺中，，H為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AC上，平面FGH．平面ABC，．

（1）求三棱臺的體積；（2）求證：點(diǎn)G為AC中點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)棱臺體積公式即可求得三棱臺的體積；（2）先利用題給條件證得三角形全等，進(jìn)而求得的長度為1，進(jìn)而得到點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．【小問1詳解】在三棱臺中，高上底面為等邊三角形，其邊長為1，所以面積為．下底面為等邊三角形，其邊長為2，所以面積為．∴三棱臺的體積為．【小問2詳解】連接CD，設(shè)，連接HO，

由平面FGH，平面CBD，平面平面，可得，又H為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)為CD的中點(diǎn)，三棱臺中，，，，∴，∴．∵三棱臺中為等邊三角形，∴為等邊三角形．則．∴，又∵，∴點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．20.在實(shí)際生活中，為了測量建筑物的高度，可借助的方法有很多．如圖1所示，為了得到建筑物AB的高，可以在水平面的C點(diǎn)處先測量仰角（其中米是測量儀器高度），然后前進(jìn)t米到達(dá)點(diǎn)E后（米，為測量儀器的高度）再測量仰角的大小，最后根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)和直角三角形知識就可得到AB的高．但是，在這種測量方法中，要保證C，E，B在一條直線上，而且AB要與BC垂直（實(shí)際生活中直線BC不一定水平），否則誤差會比較大．為了避免這種誤差：將以上方法調(diào)整為，使C，E，B三點(diǎn)不共線，測得．．，，，米，如圖2．（1）若C，E，B三點(diǎn)共線，且，試寫出圖1中建筑物AB的高（單位：米）的表達(dá)式（用，，t，a表示）；（2）當(dāng)C，E，B三點(diǎn)不共線且并不確定平面CBE是否為水平面時，試寫出圖2中建筑物AB的高（單位：米）的表達(dá)式（結(jié)果用，，，，，t表示，寫出原始表達(dá)式即可，不必分母有理化）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先在中，由正弦定理求出，然后在中求出，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）分別在和中用正弦定理求出和，最后在中，由余弦定理即可得結(jié)果.【小問1詳解】在中，由正弦定理，，即，因?yàn)椋?，在中，，所以AB的高為．【小問2詳解】在中，由正弦定理，，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理，，即，所以，在中，由余弦定理可知，，即?1.如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，，E在AB上，且為邊長為2的等邊三角形．將沿DE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P的位置，平面平面BCDE，如圖2．（1）若F為PC的中點(diǎn)，證明平面PDE；（2）證明：；（3）求直線BP與平面DCBE所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用線面平行判定定理去證明平面PDE；（2）利用三角形全等去證明；（3）先作出直線BP與平面DCBE所成角的平面角，求得該平面角的大小，進(jìn)而求得直線BP與平面DCBE所成角的大?。拘?詳解】取PD中點(diǎn)G，連接GE，GF又∵F是PC中點(diǎn)，∴在中，，在直角梯形ABCD中，，．所以，，∴且．∴四邊形GFBE為平行四邊形，∴又∵面PDE，面PDE，∴平面PDE．【小問2詳解】取DE中點(diǎn)M，連接PM，MB，MC，則，∵面面BEDC，面面，平面PDE，∴面BEDC，又面BEDC，面BEDC，∴，．在中，，則，又中，，，則，同理在中，，則，又中，，，則，，∴．【小問3詳解】由（2）知面BEDC，∴為PB與平面DCBE所成角的平面角，在中，，，∴，則PB與平面DCBE所成角的大小為．22.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．，若平面與棱BC交于點(diǎn)G