江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題

江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)卷一、單項(xiàng)選擇題1.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A.60 B.63 C.66 D.69【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2.《擲鐵餅者》取材于希臘的體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)健的男了在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的一只手臂長約為米，整個肩寬約為米.“弓”所在圓的半徑約為1.25米.則擲鐵餅者雙手之向的距離約為（）(參考數(shù)據(jù)：)A.1.612米 B.1.768米 C.1.868米 D.2.045米【答案】B【解析】更多優(yōu)質(zhì)資源可進(jìn)入/【分析】根據(jù)弧長公式求出圓心角為直角，再根據(jù)勾股定理可求得弦長.【詳解】由題得：“弓”所在的弧長為：；，所以其所對的圓心角；∴兩手之間的距離.故選：B.3.已知函數(shù)，既有最小值也有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到或，計(jì)算得到答案.【詳解】，則函數(shù)有最小值也有最大值則或故選：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的最值問題，漏解是容易發(fā)生的錯誤.4.函數(shù)的定義域?yàn)?，若滿足：(1)在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(2)存在，使得在上的值域?yàn)?，那么就稱函數(shù)為“夢想函數(shù)”.若函數(shù)是“夢想函數(shù)”，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“夢想函數(shù)”定義將問題改寫為，等價轉(zhuǎn)化為有2個不等的正實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為二次方程，利用根的分布求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是“夢想函數(shù)”，所以在上的值域?yàn)?，且函?shù)是單調(diào)遞增的.所以，即∴有2個不等的正實(shí)數(shù)根，令即有兩個不等正根，∴且兩根之積等于，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】此題以函數(shù)新定義為背景，實(shí)際考查函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的問題，通過等價轉(zhuǎn)化將問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，綜合性比較強(qiáng).二、多項(xiàng)選擇題5.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若的最小正周期是，則B.當(dāng)時，的對稱中心的坐標(biāo)為C.當(dāng)時，D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，采用整體換元法依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解:對于A選項(xiàng)，當(dāng)?shù)淖钚≌芷谑?，即：，則，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，所以令，解得：，所以函數(shù)對稱中心的坐標(biāo)為，故B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，，，，由于在單調(diào)遞增，故，故C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，令，解得：所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因?yàn)?，所以，故，故D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于整體換元法的靈活應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.其中D選項(xiàng)的解決先需根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性得，再結(jié)合和得，進(jìn)而得答案.6.下列判斷或計(jì)算正確的是（）A.，使得 B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】對于A，由余弦函數(shù)的值域進(jìn)行判斷；對于B，利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的符號進(jìn)行判斷；對于C，利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行判斷；對于D，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡即可判斷【詳解】解：對于A，由得，而，所以無解，所以A錯誤；對于B，，所以B正確；對于C，，所以C正確；對于D，，所以D錯誤，故選：BC7.已知函數(shù)，，且，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用函數(shù)圖象的作法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象得函數(shù)圖象，從而得，且，對A進(jìn)行判斷，利用題目條件所得結(jié)論，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，對B進(jìn)行判斷，利用利用題目條件所得結(jié)論，結(jié)合不等式性質(zhì)，對C進(jìn)行判斷，利用利用題目條件所得結(jié)論，結(jié)合利用基本不等式求最值，對D進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)椋?，所以由函?shù)圖象知，且．對于A，因?yàn)?，所以A不正確；對于B,因?yàn)?，且，所以．因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)的值域是，因此，即，所以B正確；對于C,因?yàn)?，且，所以，因此C正確；對于D,因?yàn)?，且，所?當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，而，因此，所以D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)圖象的作法，不等式性質(zhì)，利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出，且．8.已知，，，則的值可能是（）A. B.1 C. D.【答案】BCD【解析】【分析】,有則且,分和打開，然后用重要不等式求出其最值，從而得到答案.【詳解】由，得，則且.當(dāng)時,==.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.當(dāng)時,==.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.綜上，.故選：BCD.【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.9.已知函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，下列關(guān)于說法正確的是（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.的值域?yàn)镃.為周期函數(shù)，且周期D.與的圖象恰有一個公共點(diǎn)【答案】CD【解析】【分析】A.假設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，則，由的圖象關(guān)于對稱判斷；B.根據(jù)表示不超過的最大整數(shù)，得到判斷；C.易得判斷；D.利用的值域?yàn)?，分別令，，判斷.【詳解】A.若函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以的圖象關(guān)于對稱，而，，故錯誤；B.因?yàn)楸硎静怀^的最大整數(shù)，所以，所以的值域?yàn)?，故錯誤；C.，所以，則為周期函數(shù)，且周期，故正確；D.由B知：的值域?yàn)?，令，解得或，?dāng)時，，當(dāng)時，，此時兩函數(shù)有一個公共點(diǎn)，令，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時兩函數(shù)無公共點(diǎn)，令，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時兩函數(shù)無公共點(diǎn)，綜上：與的圖象恰有一個公共點(diǎn)，故正確；故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解的含義，得到，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.三、填空題10.函數(shù)的值域?yàn)開________.【答案】【解析】【分析】由得，根據(jù)可解得結(jié)果.【詳解】由得，由得，整理得，解得或.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用求解是解題關(guān)鍵.11.已知函數(shù)的圖象與直線的三個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1，5，7，則函數(shù)的周期為________；其單調(diào)減區(qū)間為________．【答案】①.6②.【解析】【分析】由題意可知第一個交點(diǎn)與第三個交點(diǎn)的差是一個周期，第一個交點(diǎn)與第二個交點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)對應(yīng)的函數(shù)值是最大值或最小值，從而可求出的值，進(jìn)而可求得答案【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線的三個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1，5，7，所以函數(shù)的周期為，得，由題意可知1和5的中點(diǎn)必為函數(shù)的最小值的橫坐標(biāo)，所以由五法作圖法可知，，解得，所以，由，得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，故答案為：6；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的解析式及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出，從而可求出，再由五點(diǎn)作圖法求出的值，進(jìn)而可求出其單調(diào)減區(qū)間，屬于中檔題12.噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題.實(shí)踐證明，聲音強(qiáng)度（分貝）由公式（，為非零常數(shù)）給出，其中為聲音能量.當(dāng)聲音強(qiáng)度，，滿足時，聲音能量，，滿足的等量關(guān)系式為_________；當(dāng)人們低聲說話，聲音能量為時，聲音強(qiáng)度為30分貝；當(dāng)人們正常說話，聲音能量為時，聲音強(qiáng)度為40分貝，當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60分貝時屬于噪音.火箭導(dǎo)彈發(fā)射時的噪音分貝數(shù)在區(qū)間內(nèi)，此時聲音能量數(shù)值的范圍是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】由得，，利用對數(shù)的運(yùn)算化簡可得；根據(jù)題意列方程組解出，，從而，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】①由題知，，當(dāng)時，有，整理得，，因?yàn)?，所?②由題知，，即，解得，，所以.由，得，，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，所以，故火箭導(dǎo)彈發(fā)射時的噪音分貝數(shù)在區(qū)間內(nèi)，此時聲音能量數(shù)值的范圍是.故答案為：；.13.中國扇文化有著深厚的文化底蘊(yùn)，文人雅士喜在扇面上寫字作畫.如圖，是書畫家唐寅（1470—1523）的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面所在扇形的圓心角為____rad，此時扇面面積為____cm2．【答案】①.②.704【解析】【分析】設(shè)，，由題意可得：，解得和，進(jìn)而根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)，，由題意可得：，解得：，所以，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查扇形的面積，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．結(jié)論點(diǎn)睛：（1）扇形的面積公式：；（2）扇形弧長公式：.14.已知A，B是函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的兩個不同的交點(diǎn)，則線段AB長度的最小值是______．【答案】【解析】【分析】求得在一個周期內(nèi)的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得長度的最小值.【詳解】和的周期為，由得，在時，有或，記得或，不妨設(shè)，所以長度的最小值為.故答案：【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，考查兩點(diǎn)間的距離公式.15.已知定義在上的偶函數(shù)滿足．且當(dāng)時，．若對于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】先求得的值，由此求得的值.證得是周期為的周期函數(shù)，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的周期性和對稱性，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合求得的取值范圍.【詳解】由，令，得.由于當(dāng)時，，所以.故當(dāng)時，.，由于為偶函數(shù)，所以.由，得，所以是周期為的周期函數(shù).當(dāng)時，，所以.所以當(dāng)，.得，故.所以當(dāng)時，，所以.結(jié)合是周期為的周期函數(shù)，畫出的圖像如下圖所示.由得（），對于任意成立.時，，解得，所以，即對于任意成立.當(dāng)時，由得，由于在遞減，所以；由得，由于在遞增，所以.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性，考查函數(shù)解析式的求法，考查不等式恒成立問題的求解，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性很強(qiáng)，屬于難題.16.函數(shù)取得最大值時=_________，在區(qū)間上至少取得2次最大值，則正整數(shù)的最小值是________．【答案】①.②.8【解析】【分析】將看成整體，利用正弦函數(shù)的圖像即得使函數(shù)取最大值時的的值；根據(jù)求得，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像和題設(shè)要求，得出，推理即得.【詳解】函數(shù)取得最大值時,有，即：時，函數(shù)取得最大值；由可得：，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可知，要使在區(qū)間上至少取得2次最大值，須使，即，故正整數(shù)的最小值是8.故答案為：；8.四、解答題17.已知函數(shù)與.（1）判斷的奇偶性；（2）若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）偶函數(shù)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇偶性定義判斷；（2）函數(shù)只有一個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程只有一個根，用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程只有一個正根（或兩個相等正根），再根據(jù)二次方程根分布分類討論可得．【小問1詳解】∵的定義域?yàn)镽，∴，∴為偶函數(shù).【小問2詳解】函數(shù)只有一個零點(diǎn)即即方程有且只有一個實(shí)根.令，則方程有且只有一個正根.①當(dāng)時，，不合題意；②當(dāng)時，若方程有兩相等正根，則，且，解得；滿足題意③若方程有一個正根和一個負(fù)根，則，即時，滿足題意.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.18.已知，函數(shù)（1）若函數(shù)過點(diǎn)，求此時函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入可求出，進(jìn)而得到解析式；（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到最大值與最小值，再由已知得到問題的等價不等式對任意恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求最值可得出答案.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，即，解得，故；【小問2詳解】因?yàn)槭菑?fù)合函數(shù)，設(shè)，，，在區(qū)間單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，由題意對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，設(shè)，，只需即可，因?yàn)榈膶ΨQ軸為，圖像是開口向下的拋物線，故在單調(diào)遞減，故，故.19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的值域;（2）函數(shù)，若對任意，存在，且，使得，求的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用定義法求解函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求解值域即可；（2）根據(jù)題意判斷函數(shù)在區(qū)