電子測量第3章測量誤差及數(shù)據(jù)處理

3章．丈量誤差及數(shù)據(jù)處置3.1丈量誤差的分類和丈量結(jié)果的表征3.2丈量誤差的估計(jì)和處置3.3丈量不確定度3.4丈量數(shù)據(jù)處置3.1丈量誤差的分類和丈量結(jié)果的表征

3.1.1丈量誤差的分類根據(jù)丈量誤差的性質(zhì)，丈量誤差可分為隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類。1.隨機(jī)誤差定義:在同一丈量條件下〔指在丈量環(huán)境、丈量人員、丈量技術(shù)和丈量儀器都一樣的條件下〕，多次反復(fù)丈量同一量值時(shí)〔等精度丈量〕，每次丈量誤差的絕對值和符號都以不可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機(jī)誤差或偶爾誤差，簡稱隨差。隨機(jī)誤差主要由對丈量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量要素共同呵斥。這些要素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、丈量人員感官的無規(guī)律變化等。3.1.1丈量誤差的分類〔續(xù)〕例：對一不變的電壓在一樣情況下，多次丈量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次丈量的隨差沒有規(guī)律，但多次丈量的總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？山?jīng)過數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來處置,即求算術(shù)平均值隨機(jī)誤差定義：丈量結(jié)果與在反復(fù)性條件下，對同一被丈量進(jìn)展無限多次丈量所得結(jié)果的平均值之差3.1.1丈量誤差的分類〔續(xù)〕2.系統(tǒng)誤差定義：在同一丈量條件下，多次丈量反復(fù)同一量時(shí)，丈量誤差的絕對值和符號都堅(jiān)持不變，或在丈量條件改動時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產(chǎn)生的主要緣由是儀器的制造、安裝或運(yùn)用方法不正確，環(huán)境要素〔溫度、濕度、電源等〕影響，丈量原理中運(yùn)用近似計(jì)算公式，丈量人員不良的讀數(shù)習(xí)慣等。系統(tǒng)誤差闡明了一個(gè)丈量結(jié)果偏離真值或?qū)嵺`值的程度。系差越小，丈量就越準(zhǔn)確。系統(tǒng)誤差的定量定義是：在反復(fù)性條件下，對同一被丈量進(jìn)展無限多次丈量所得結(jié)果的平均值與被丈量的真值之差。即3.1.1丈量誤差的分類〔續(xù)〕3.粗大誤差：粗大誤差是一種顯然與實(shí)踐值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的緣由有：①丈量操作忽略和失誤如測錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)以及實(shí)驗(yàn)條件未到達(dá)預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。②丈量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓③丈量環(huán)境條件的忽然變化如電源電壓忽然增高或降低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起丈量儀器示值的猛烈變化等。含有粗差的丈量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處置時(shí)，應(yīng)剔除掉。3.1.1丈量誤差的分類〔續(xù)〕4.系差和隨差的表達(dá)式 在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和。在任何一次丈量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差普通都是同時(shí)存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化3.1.2丈量結(jié)果的表征

準(zhǔn)確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，那么準(zhǔn)確度越高，即丈量值與實(shí)踐值符合的程度越高。精細(xì)度表示隨機(jī)誤差的影響。精細(xì)度越高，表示隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)要素使丈量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。準(zhǔn)確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響。準(zhǔn)確度越高，表示正確度和精細(xì)度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。射擊誤差表示圖3.1.2丈量結(jié)果的表征〔續(xù)〕丈量值是粗大誤差3.2丈量誤差的估計(jì)和處置3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法在丈量中，隨機(jī)誤差是不可防止的。隨機(jī)誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的要素引起的，比如外界條件〔溫度、濕度、氣壓、電源電壓等〕的微小動搖，電磁場的干擾，大地細(xì)微振動等。多次丈量，丈量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，處置丈量數(shù)據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差對丈量結(jié)果的影響。3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕〔1〕隨機(jī)變量的數(shù)字特征①

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機(jī)變量：

X為延續(xù)型隨機(jī)變量：

1.隨機(jī)誤差的分布規(guī)律3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕②方差和規(guī)范偏向方差是用來描畫隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，那么X的方差定義為： D(X)=E(X－E(X))2 規(guī)范偏向定義為：

規(guī)范偏向同樣描畫隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機(jī)變量具有一樣量綱。3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕丈量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的要素呵斥的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研討的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對于總和只起微小作用，那么可以為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。為什么丈量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？(2)丈量誤差的正態(tài)分布3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：丈量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣丈量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕正態(tài)分布時(shí)概率密度曲線隨機(jī)誤差和丈量數(shù)據(jù)的分布外形一樣，由于它們的規(guī)范偏向一樣，只是橫坐標(biāo)相差隨機(jī)誤差具有：①對稱性②單峰性③有界性④抵償性3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕規(guī)范偏向意義規(guī)范偏向是代表丈量數(shù)據(jù)和丈量誤差分布離散程度的特征數(shù)。規(guī)范偏向越小，那么曲線外形越鋒利，闡明數(shù)據(jù)越集中；規(guī)范偏向越大，那么曲線外形越平坦，闡明數(shù)據(jù)越分散。3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕〔3〕丈量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入〞的截尾誤差；當(dāng)只能估計(jì)誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時(shí)，普通可假定均勻分布。概率密度:均值:當(dāng)時(shí),規(guī)范偏向:

當(dāng)時(shí)，3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕

2.有限次丈量的數(shù)學(xué)期望和規(guī)范偏向的估計(jì)值

求被丈量的數(shù)字特征，實(shí)際上需無窮多次丈量，但在實(shí)踐丈量中只能進(jìn)展有限次丈量，怎樣辦？用事件發(fā)生的頻度替代事件發(fā)生的概率，當(dāng)那么令n個(gè)可一樣的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)次數(shù)都計(jì)為1,當(dāng)時(shí)，那么〔1〕有限次丈量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值——算術(shù)平均值被丈量X的數(shù)學(xué)期望，就是當(dāng)丈量次數(shù)時(shí)，各次丈量值的算術(shù)平均值3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕1.有限次丈量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值—算術(shù)平均值規(guī)定運(yùn)用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值，并作為最后的丈量結(jié)果。即：

算術(shù)平均值是數(shù)學(xué)期望的無偏估計(jì)值、一致估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。有限次丈量值的算術(shù)平均值比丈量值更接近真值？3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕〔2〕算術(shù)平均值的規(guī)范偏向

故：算術(shù)平均值的規(guī)范偏向比總體或單次丈量值的規(guī)范偏向小倍。緣由是隨機(jī)誤差的抵償性。*算術(shù)平均值：3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕〔2〕有限次丈量數(shù)據(jù)的規(guī)范偏向的估計(jì)值

殘差：實(shí)驗(yàn)規(guī)范偏向〔規(guī)范偏向的估計(jì)值〕，貝塞爾公式：算術(shù)平均值規(guī)范偏向的估計(jì)值：3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕【例3.1】用溫度計(jì)反復(fù)丈量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)丈量值的序列〔見下表〕。求丈量值的平均值及其規(guī)范偏向。解：①平均值

②用公式計(jì)算各丈量值殘差列于上表中③實(shí)驗(yàn)偏向④規(guī)范偏向3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)3.丈量結(jié)果的置信問題〔1〕置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：k——置信系數(shù)〔或置信因子〕置信概率是圖中陰影部分面積3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕〔2〕正態(tài)分布的置信概率

當(dāng)分布和k值確定之后，那么置信概率可定正態(tài)分布,當(dāng)k=3時(shí)置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕〔3〕t分布的置信限

t分布與丈量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當(dāng)n很小時(shí)，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于一樣的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和丈量次數(shù)n，查表得置信因子kt。自在度：v=n-13.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕〔4〕非正態(tài)分布的置信因子

由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％?！睵=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:3.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)〕3.2.2系統(tǒng)誤差的判別及消除方法〔續(xù)〕

1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次丈量同一量值時(shí)，誤差的絕對值和符號堅(jiān)持不變，或者在條件改動時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。多次丈量求平均不能減少系差。3.2.2系統(tǒng)誤差的判別及消除方法〔續(xù)〕2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法〔1〕不變的系統(tǒng)誤差：校準(zhǔn)、修正和實(shí)驗(yàn)比對。〔2〕變化的系統(tǒng)誤差①

殘差察看法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，察看各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差3.2.2系統(tǒng)誤差的判別及消除方法〔續(xù)〕②馬利科夫判據(jù)：假設(shè)有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，D值應(yīng)明顯異于零。 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗(yàn)周期性系差的存在。3.2.2系統(tǒng)誤差的判別及消除方法〔續(xù)〕3.系統(tǒng)誤差的減弱或消除方法〔1〕從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從丈量原理和丈量方法盡力做到正確、嚴(yán)厲。②

丈量儀器定期檢定和校準(zhǔn)，正確運(yùn)用儀器。③留意周圍環(huán)境對丈量的影響，特別是溫度對電子丈量的影響較大。④

盡量減少或消除丈量人員客觀緣由呵斥的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高丈量人員業(yè)務(wù)技術(shù)程度和任務(wù)責(zé)任心，改良設(shè)備?！?〕用修正方法減少系統(tǒng)誤差 修正值＝－誤差=－〔丈量值－真值〕 實(shí)踐值＝丈量值＋修正值3.2.2系統(tǒng)誤差的判別及消除方法〔續(xù)〕〔3〕采用一些專門的丈量方法

①替代法②交換法③對稱丈量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法系統(tǒng)誤差可忽略不計(jì)的準(zhǔn)那么是： 系統(tǒng)誤差或剩余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超越丈量結(jié)果擴(kuò)展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。3.2.3粗大誤差及其判別準(zhǔn)那么大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析能否是粗大誤差，假設(shè)是，那么應(yīng)將對應(yīng)的丈量值剔除。1.粗大誤差產(chǎn)生緣由以及防止與消除的方法粗大誤差的產(chǎn)生緣由①丈量人員的客觀緣由：操作失誤或錯(cuò)誤記錄；②客觀外界條件的緣由：丈量條件不測改動、受較大的電磁干擾，或丈量儀器偶爾失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。3.2.3粗大誤差及其判別準(zhǔn)那么〔續(xù)〕

2.粗大誤差的判別準(zhǔn)那么

統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的根本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超越置信區(qū)間的誤差就以為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗(yàn)法格拉布斯檢驗(yàn)法式中，G值按反復(fù)丈量次數(shù)n及置信概率Pc確定3.2.3粗大誤差及其判別準(zhǔn)那么〔續(xù)〕

應(yīng)留意的問題①

一切的檢驗(yàn)法都是人為客觀擬定的，至今無一致的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和丈量次數(shù)少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。②

假設(shè)有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超越檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，重新計(jì)算，再行判別。假設(shè)有兩個(gè)一樣數(shù)據(jù)超出范圍時(shí)，應(yīng)逐個(gè)剔除。③在一組丈量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，闡明系統(tǒng)任務(wù)不正常。3.2.3粗大誤差及其判別準(zhǔn)那么〔續(xù)〕

解：①計(jì)算得s=0.033 計(jì)算殘差填入表3－7，最大，是可疑數(shù)據(jù)。②用萊特檢驗(yàn)法3·s=3×0.033=0.099故可判別是粗大誤差，應(yīng)予剔除。再對剔除后的數(shù)據(jù)計(jì)算得：s′=0.016 3·s′=0.048各丈量值的殘差V′填入表3－7，殘差均小于3s′故14個(gè)數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)?！纠?.3】對某電爐的溫度進(jìn)展多次反復(fù)丈量，所得結(jié)果列于表3－7，試檢查丈量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差。3.2.4丈量結(jié)果的處置步驟①對丈量值進(jìn)展系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗(yàn)證④按貝塞爾公式計(jì)算規(guī)范偏向的估計(jì)值⑤按萊特準(zhǔn)那么，或格拉布斯準(zhǔn)那么檢查和剔除粗大誤差；⑥判別有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明緣由，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新丈量；⑦計(jì)算算術(shù)平均值的規(guī)范偏向；⑧寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即〔單位〕。3.2.4丈量結(jié)果的處置步驟〔續(xù)〕【例3．4】對某電壓進(jìn)展了16次等精度丈量，丈量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的丈量結(jié)果表達(dá)式。3.2.4丈量結(jié)果的處置步驟〔續(xù)〕3.2.4丈量結(jié)果的處置步驟〔續(xù)〕3.2.4丈量結(jié)果的處置步驟〔續(xù)〕

等精度丈量與不等精度丈量等精度丈量：即在一樣地點(diǎn)、一樣的丈量方法和一樣丈量設(shè)備、一樣丈量人員、一樣環(huán)境條件〔溫度、濕度、干擾等〕，并在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)展的反復(fù)丈量。不等精度丈量：在丈量條件不一樣時(shí)進(jìn)展的丈量，丈量結(jié)果的精細(xì)度將不一樣。不等精度丈量處置方法：權(quán)值與規(guī)范偏向的平方成反比。權(quán)值丈量結(jié)果為加權(quán)平均值

3.2.4丈量結(jié)果的處置步驟〔續(xù)〕3.2.5誤差的合成分析問題：用間接法丈量電阻耗費(fèi)的功率時(shí)，需丈量電阻R、端電壓V和電流I三個(gè)量中的兩個(gè)量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？3.2.5誤差的合成分析〔續(xù)〕3.2.5誤差的合成分析〔續(xù)〕在實(shí)踐運(yùn)用中，由于分項(xiàng)誤差符號不定而可同時(shí)取正負(fù)，有時(shí)就采用保守的方法來估算誤差，即將式中各分項(xiàng)取絕對值后再相加該公式常用于在設(shè)計(jì)階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進(jìn)展分析和估算，以采取減少誤差的相應(yīng)措施。但是，更嚴(yán)厲和更準(zhǔn)確地計(jì)算合成誤差的方法是丈量不確定度實(shí)際中的合成不確定度評定，有關(guān)內(nèi)容在本書第3章中討論3.3丈量不確定度3.3.1不確定度的概念不確定度是闡明丈量結(jié)果能夠的分散程度的參數(shù)?？捎靡?guī)范偏向表示，也可用規(guī)范偏向的倍數(shù)或置信區(qū)間的半寬度表示。1.術(shù)語〔1〕規(guī)范不確定度：用概率分布的規(guī)范偏向表示的不確定度 ①A類規(guī)范不確定度：用統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度。②B類規(guī)范不確定度：用非統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度3.3.1不確定度的概念〔續(xù)〕〔2〕合成規(guī)范不確定度*由各不確定度分量合成的規(guī)范不確定度。*由于丈量結(jié)果是受假設(shè)干要素結(jié)合影響?！?〕擴(kuò)展不確定度*合成規(guī)范不確定度的倍數(shù)表示的丈量不確定度，即用包含因子乘以合成規(guī)范不確定度得到一個(gè)區(qū)間半寬度。*包含因子的取值決議了擴(kuò)展不確定度的置信程度。*通常丈量結(jié)果的不確定度都用擴(kuò)展不確定度表示3.3.1不確定度的概念〔續(xù)〕

2.不確定度的分類3.3.1不確定度的概念〔續(xù)〕

3.不確定度的來源 ①被丈量定義的不完善，實(shí)現(xiàn)被丈量定義的方法不理想，被丈量樣本不能代表所定義的被丈量。②丈量安裝或儀器的分辨力、抗干擾才干、控制部分穩(wěn)定性等影響。③丈量環(huán)境的不完善對丈量過程的影響以及丈量人員技術(shù)程度等影響。④計(jì)量規(guī)范和規(guī)范物質(zhì)的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡化算法中運(yùn)用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在丈量過程中引入的近似值的影響。⑤在一樣條件下，由隨機(jī)要素所引起的被丈量本身的不穩(wěn)定性。3.3.2誤差與不確定度的區(qū)別測量誤差測量不確定度客觀存在的，但不能準(zhǔn)確得到，是一個(gè)定性的概念表示測量結(jié)果的分散程度，可根據(jù)試驗(yàn)、資料等信息定量評定。誤差是不以人的認(rèn)識程度而改變與人們對被測量和影響量及測量過程的認(rèn)識有關(guān)。隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質(zhì)的誤差A(yù)類或B類不確定度是兩種不同的評定方法，與隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系。須進(jìn)行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度在最后測量結(jié)果中應(yīng)修正確定的系統(tǒng)誤差。在測量不確定度中不包括已確定的修正值，但應(yīng)考慮修正不完善引入的不確定度分量?！罢`差傳播定律”可用于間接測量時(shí)對誤差進(jìn)行定性分析。不確定度傳播律更科學(xué)，用于定量評定測量結(jié)果的合成不確定度1.規(guī)范不確定度的A類評定方法在同一條件下對被丈量X進(jìn)展n次丈量，丈量值為xi(i=1,2,…,n)，(A)計(jì)算樣本算術(shù)平均值，作為被丈量X的估計(jì)值，并把它作為丈量結(jié)果。(B)計(jì)算實(shí)驗(yàn)偏向式中自在度v=n－1.(C)A類不確定度3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕自在度意義：自在度數(shù)值越大，闡明丈量不確定度越可信。3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕

2.規(guī)范不確定度的B類評定方法B類方法評定的主要信息來源是以前丈量的數(shù)據(jù)、消費(fèi)廠的技術(shù)證明書、儀器的鑒定證書或校準(zhǔn)證書等。確定丈量值的誤差區(qū)間〔α,-α〕，并假設(shè)被丈量的值的概率分布，由要求的置信程度估計(jì)包含因子k，那么B類規(guī)范不確定度uB為

其中a——區(qū)間的半寬度；k——置信因子，通常在2～3之間。分布三角梯形均勻反正弦k(p=1)概率P%5068.27909595.459999.73置信因子0.67611.6451.96022.57633.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕表3－9正態(tài)分布時(shí)概率與置信因子的關(guān)系表3－10幾種非正態(tài)分布的置信因子k3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕

3.合成規(guī)范不確定度的計(jì)算方法〔1〕

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，其中一個(gè)量的變化導(dǎo)致另一個(gè)量的變化，那么這兩個(gè)量是相關(guān)的。獨(dú)立一定不相關(guān)，但不相關(guān)不一定獨(dú)立。①協(xié)方差的概念協(xié)方差協(xié)方差的估計(jì)值3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕②相關(guān)系數(shù)Q概念:表示兩隨機(jī)變量相關(guān)程度－1≤Q≤1。相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值r(x，y)正相關(guān)負(fù)相關(guān)完全正相關(guān)完全負(fù)相關(guān)不相關(guān)0<Q<1－1<Q<0Q=1Q=－1Q=0〔2〕輸入量不相關(guān)時(shí)不確定度的合成①可寫出函數(shù)關(guān)系式Y(jié)＝ｆ〔X1，X2，……，XN〕；式中稱為靈敏系數(shù)②不能寫出函數(shù)關(guān)系式(3)輸入量相關(guān)時(shí),運(yùn)用不確定度傳播律

3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕〔4〕不確定度傳播律公式的幾種簡化方法①

一切的輸入量都相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)ｒ(ｘｉ,ｘｊ)＝1時(shí)，那么UC(y)為

②當(dāng)被丈量的函數(shù)方式為Y＝A1X1＋A2X2＋…＋ANXN，且X1,X2,…,XN不相關(guān)時(shí)，合成規(guī)范不確定度UC(y)為

3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕③

當(dāng)被丈量的函數(shù)方式為且X1,X2,…,XN不相關(guān)時(shí)，相對合成規(guī)范不確定度UC(y)/Y為例:電功率P=IV那么3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕〔5〕不確定度分量的忽略一切不確定度分量均奉獻(xiàn)于合成不確定度，即只會使合成不確定度添加。忽略任何一個(gè)分量，都會導(dǎo)致合成不確定度變小。但由于采用的是方差相加得到合成方差，當(dāng)某些分量小到一定程度后，對合成不確定度實(shí)踐上起不到什么作用，為簡化分析與計(jì)算，那么可以忽略不計(jì)。例如，忽略某些分量后，對合成不確定度的影響缺乏非常之一，就可根據(jù)情況忽略這些分量。3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕4.擴(kuò)展不確定度確實(shí)定方法擴(kuò)展不確定度U由合成規(guī)范不確定度ｕC與包含因子ｋ的乘積得到U＝k·uC 丈量結(jié)果表示為Y＝ｙ±U，即Y=y±kucy是被丈量Y的最正確估計(jì)值,k由置信概率〔常取0.95或0.99〕和概率分布〔正態(tài)、均勻、t分布等〕確定。算術(shù)平均值3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕包含因子k是的選取方法有:(A)無法得到合成規(guī)范不確定度的自在度，且丈量值接近正態(tài)分布時(shí)，那么普通?。氲牡湫椭禐?或3。(B)根據(jù)丈量值的分布規(guī)律和所要求的置信程度，選?。胫?。例如，假設(shè)為均勻分布時(shí)，置信程度P＝0．95，查表得k＝1．65。P﹪k57.741951.65991.711001.73表3—11均勻分布時(shí)置信概率與置信因子k的關(guān)系3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕(C)根據(jù)要求的置信概率Pc和計(jì)算得到的自在度veff，查t分布的t值，得k。自在度的計(jì)算步驟如下：a)求A類不確定度分量的自在度

b)求B類不確定度分量的自在度c)求合成不確定度的自在度3.3.3不確定度的評定方法〔續(xù)〕3.3.4丈量不確定度的評定步驟

對丈量設(shè)備進(jìn)展校準(zhǔn)或檢定后，要出具校準(zhǔn)或檢定證書；對某個(gè)被丈量進(jìn)展丈量后也要報(bào)告丈量結(jié)果，并闡明丈量不確定度。①明確被丈量的定義和數(shù)學(xué)模型及丈量條件，明確丈量原理、方法，以及丈量規(guī)范、丈量設(shè)備等；②分析不確定度來源；③分別采用A類和B類評定方法，評定各不確定度分量。A類評定時(shí)要剔除異常數(shù)據(jù)；④計(jì)算合成規(guī)范不確定度；⑤計(jì)算擴(kuò)展不確定度；⑥報(bào)告丈量結(jié)果。Y=y±kuc3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔續(xù)〕【例3．9】用電壓表直接丈量一個(gè)標(biāo)稱值為200Ω的電阻兩端的電壓，以便確定該電阻接受的功率。丈量所用的電壓的技術(shù)目的由運(yùn)用闡明書得知，其最大允許誤差為±1％，經(jīng)計(jì)量鑒定合格，證書指出它的自在度為10。(當(dāng)證書上沒有有關(guān)自在度的信息時(shí)，就以為自在度是無窮大。)標(biāo)稱值為200Ω的電阻經(jīng)校準(zhǔn)，校準(zhǔn)證書給出其校準(zhǔn)值為199.99Ω，校準(zhǔn)值的擴(kuò)展不確定度為0.02Ω〔包含因子k為2〕。用電壓表對該電阻在同一條件下反復(fù)丈量5次，丈量值分別為：2.2V、2.3V、2.4V、2.2V、2.5V。丈量時(shí)溫度變化對丈量結(jié)果的影響可忽略不計(jì)。求功率的丈量結(jié)果及其擴(kuò)展不確定度。電壓的B類不確定度電阻的B類不確定度電壓的A類不確定度解：〔1〕數(shù)學(xué)模型

〔2〕計(jì)算丈量結(jié)果的最正確估計(jì)值①②3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔例3.9續(xù)〕3〕丈量不確定度的分析本例的丈量不確定度主要來源為①電壓表不準(zhǔn)確；②電阻不準(zhǔn)確；③由于各種隨機(jī)要素影響所致電壓丈量的反復(fù)性。3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔例3.9續(xù)〕·〔4〕規(guī)范不確定度分量的評定①電壓丈量引入的規(guī)范不確定度電壓表不準(zhǔn)引入的規(guī)范不確定度分量u1-〔V〕按B類評定。a1=2.32V×1%=0.023V(b)電壓丈量反復(fù)性引入的規(guī)范不確定度分量u2-〔V〕。按A類評定。3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔例3.9續(xù)〕(c)由此可得:電壓的自在度如下：②電阻不準(zhǔn)引入的規(guī)范不確定度分量u〔R〕由電阻的校準(zhǔn)證書得知，其校準(zhǔn)值的擴(kuò)展不確定度U＝0.02Ω，且k=2，那么u〔R〕可由B類評定得到3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔例3.9續(xù)〕〔5〕計(jì)算合成規(guī)范不確定度uC(P)，其中輸入量V〔電壓〕和R〔電阻〕不相關(guān)①計(jì)算靈敏系數(shù)c1和c2，得②計(jì)算UC(P)，得3.3.4丈量不確定度的評定步驟〔例3.9續(xù)〕〔6〕確定擴(kuò)展不確定度U計(jì)算合成規(guī)范不確定度的有效自在度veff：電壓的自在度＝4.3，電阻的自在度可設(shè)為，那么③根據(jù)P＝0.95，veff＝5，查t分布，得④擴(kuò)展不確定度U0.95為〔7〕報(bào)告最終丈量結(jié)果功率P＝〔0.027±0.004〕W〔置信程度P＝0.95〕包含因子k為2.57，有效自在度為5。1.合成不確定度的分配在進(jìn)展丈量任務(wù)前，根據(jù)丈量準(zhǔn)確度的要求來選擇丈量方案，確定每項(xiàng)不確定度的允許范圍〔1〕按等作用原那么分配不確定度：各個(gè)不確定度分量對合成不確定度的影響相等。假設(shè)確定度互不相關(guān)，各個(gè)不確定度分量相等，有：那么：〔2〕由于有的丈量值那么難以滿足要求，各分量靈敏系數(shù)也不同，必需根據(jù)詳細(xì)情況進(jìn)展調(diào)整。對難以實(shí)現(xiàn)的不確定項(xiàng)進(jìn)展補(bǔ)償；3.3.5合成不確定分配及最正確丈量方案的選擇

3.3.5合成不確定分配及最正確丈量方案的選擇〔續(xù)〕2.最正確丈量方案的選擇選擇目的：使丈量結(jié)果的不確定度為最小?！?〕選擇最有利的函數(shù)公式應(yīng)先取包含丈量值數(shù)目最少的函數(shù)公式來表示；那么應(yīng)選取不確定度較小的丈量值的函數(shù)公式．如丈量內(nèi)尺寸的誤差比丈量外尺寸的誤差大，應(yīng)選擇含有外尺寸的函數(shù)公式。〔2〕使各個(gè)丈量值對函數(shù)的傳送系數(shù)為零或最小由函數(shù)公式可知，假設(shè)使不確定度傳送系數(shù)ci＝0或?yàn)樽钚。敲春铣刹淮_定度可相應(yīng)減小。3.4丈量數(shù)據(jù)處置

3.4.1有效數(shù)字的處置1.數(shù)字修約規(guī)那么由于丈量數(shù)據(jù)和丈量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不一樣。為了使丈量結(jié)果的表示準(zhǔn)確獨(dú)一，計(jì)算簡便，在數(shù)據(jù)處置時(shí)，需對丈量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進(jìn)展修約處置。數(shù)據(jù)修約規(guī)那么：〔1〕小于5舍去——末位不變。〔2〕大于5進(jìn)1——在末位增1。〔3〕等于5時(shí)，取偶數(shù)——當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1〔將末位湊為偶數(shù)〕。3.4.1有效數(shù)字的處置〔續(xù)〕

例：將以下數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需求留意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯(cuò)誤做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5〞的舍入處置上，采用取偶數(shù)規(guī)那么，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處置中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。3.4.1有效數(shù)字的處置〔續(xù)〕2.有效數(shù)字假設(shè)截獲得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對值不超越近似數(shù)末位的半個(gè)單位，那么該近似數(shù)從左邊第一個(gè)非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103 二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.005

3.4.1有效數(shù)字的處置〔續(xù)〕中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數(shù)字。丈量數(shù)據(jù)的絕對值比較大〔或比較小〕，而有效數(shù)字又比較少的丈量數(shù)據(jù)，應(yīng)采用科學(xué)計(jì)數(shù)法，即a×10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決議。丈量結(jié)果〔或讀數(shù)〕的有效位數(shù)應(yīng)由該丈量的不確定度來確定，即丈量結(jié)果的最末一位應(yīng)與不確定度的位數(shù)對齊。例如，某物理量的丈量結(jié)果的值為63.44，且該量的丈量不確定度u＝0.4，丈量結(jié)果表示為63.4±0.4。3.4.1有效數(shù)字的處置〔續(xù)〕3.近似運(yùn)算法那么 保管的位數(shù)原那么上取決于各數(shù)中準(zhǔn)確度最差的那一項(xiàng)?！?〕加法運(yùn)算 以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)〔各項(xiàng)無小數(shù)點(diǎn)那么以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)〕，其他各數(shù)可多取一位。例如：

〔2〕減法運(yùn)算：當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原那么同加法運(yùn)算；當(dāng)兩數(shù)很接近時(shí)，有能夠呵斥很大的相對誤差，因此，第一要盡量防止導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的丈量方法，第二在運(yùn)算中多一些有效數(shù)字。 3.4.1有效數(shù)字的處置〔續(xù)〕〔3〕乘除法運(yùn)算 以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，其他參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保管一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保管至517和4.08，結(jié)果為35.5?！?〕乘方、開方運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保管一位有效數(shù)字。例如：〔27.8〕2≈772.8 (115)2≈1.322×1043.4.2丈量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法根據(jù)測試的目的和內(nèi)容，設(shè)計(jì)出合理的表格。列表法簡單、方便，數(shù)據(jù)易于參考比較，它對數(shù)據(jù)變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和閱歷公式法的根底。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.13.4.2丈量數(shù)據(jù)的表示方法2.圖示法圖示法的最大優(yōu)點(diǎn)是籠統(tǒng)、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及能否有周期性變化規(guī)律等。作圖時(shí)采用直角坐標(biāo)或極座標(biāo)。普通是先按成對數(shù)據(jù)〔x，y〕描點(diǎn)，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于一切點(diǎn)接近，不強(qiáng)求經(jīng)過各點(diǎn)，要使位于曲線兩邊的點(diǎn)數(shù)盡量相等3.閱歷公式法閱歷公式法就是經(jīng)過對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，確定它們之間的數(shù)量關(guān)系，即用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示各變量之間關(guān)系。有時(shí)又把這種閱歷公式稱為數(shù)學(xué)模型。類型有些一元非線性回歸可采用變量代換，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來解。3.4.2丈量數(shù)據(jù)的表示方法〔續(xù)〕一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個(gè)數(shù)11>1>1方次1>11>1y=a+bx3.4.3建立閱歷公式的步驟知丈量數(shù)據(jù)列(xi,yii=1,2,…,n),建立公式的步驟如下：〔1)將輸入自變量xi,作為橫坐標(biāo)，輸出量yi即丈量值作為縱坐標(biāo)，描畫在坐標(biāo)紙上，并把數(shù)據(jù)點(diǎn)描畫成丈量曲線?！?〕分析描畫的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的根本方式。①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。②某種類型曲線，那么先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處置。③假設(shè)丈量曲線很難判別屬于何種類型，這可以按曲線多項(xiàng)式回歸處置。即：

〔3〕由丈量數(shù)據(jù)確定擬合方程〔公式〕中的常量。3.4.3建立閱歷公式的步驟〔續(xù)〕(4)檢驗(yàn)所確定的方程的準(zhǔn)確性。①用丈量數(shù)據(jù)中的自變量代入擬合方程計(jì)算出函數(shù)值y′②計(jì)算擬合殘差③計(jì)算擬合曲線的規(guī)范偏向

式中：m為擬合曲線未知數(shù)個(gè)數(shù)，n為丈量數(shù)據(jù)列長度。假設(shè)規(guī)范偏向很大，闡明所確定的公式根本方式有錯(cuò)誤，應(yīng)建立另外方式公式重做。3.4.4一元線性回歸用一個(gè)直線方程y=a+bx來表達(dá)丈量數(shù)據(jù)(xi,yii=1,2,…,n)之間的相互關(guān)系，即求出a和b，此過程就是一元線性回歸。1.端點(diǎn)法此方法是將丈量數(shù)據(jù)中兩個(gè)端點(diǎn)，起點(diǎn)和終點(diǎn)〔即最大量程點(diǎn)〕的丈量值〔x1,y1〕和〔xn,yn〕，代入y=a+bx，那么a,b分別為3.4.4一元線性回歸〔續(xù)〕2.平均選點(diǎn)法此方法是將全部n個(gè)丈量值(xi,yii=1,2,…,n)分成數(shù)目大致一樣的兩組，前半部k個(gè)丈量點(diǎn)為一組，其他的n-k個(gè)丈量點(diǎn)為另一組，兩組丈量點(diǎn)都有本人的“點(diǎn)系中心〞，其坐標(biāo)分別為

經(jīng)過兩個(gè)“點(diǎn)系中心〞的直線即是擬合直線y=a+bx，其中a，b分別為：3.4.4一元線性回歸〔續(xù)〕3.最小二乘法最小二乘法的根本原理是在殘差平方和為最小的條件下求出最正確直線。丈量數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)數(shù)據(jù)yi與擬合直線上y=a+bx對應(yīng)的理想值yi‘之殘差(i=1,2,…n為丈量點(diǎn)數(shù)〕 即求a和b的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)榱?，即可解得a和b的值。3.4.4一元線性回歸〔續(xù)〕【例3.10】對量程為10Mpa的壓力傳感器，用活塞式壓力計(jì)進(jìn)展測試，輸出由數(shù)字電壓表讀數(shù)，所得各丈量點(diǎn)的輸出值列于下表中。試用端點(diǎn)法、平均選點(diǎn)法和最小二乘法擬合線性方程，并計(jì)算各種擬合方程的擬合精度。壓力〔MPa〕246810輸出〔mV〕10.04320.09330.40.12850.0723.4.4一元線性回歸〔續(xù)〕壓力MPa輸出mV端點(diǎn)法平均選點(diǎn)法最小二乘法理想直線殘差理想直線殘差理想直線殘差210.04310.044－0.00110.95－0.05210.080－0.0337420.09320.0520.0412