分式知識點講解匯123

分式知識點匯總賞識

一、分式的概念

形如（A、B是整式，且B中含有字母，BWO）的式子，叫做分式其中A叫做分式的分子,B叫

做分式的分母.

二、分式的意義

①分式有意義：分母不為0（BwO）

②分式無意義：分母為0（B=O）

A=0

③分式值為0：分子為0且分母不為0（一）

5Ho

\4>0f4<0

④分式值為正或大于0：分子分母同號（或）

B>0[B<0

A>n（A<Cl

⑤分式值為負或小于0：分子分母異號（或）

5<0[B>0

⑥分式值為1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值為-1：分子分母值互為相反數（A+B=O）

例1.（1）（2006年南平市）當x_______時，分式」一有意義.

X+1

（2）（2006年浙江省義烏市）已知分式口的值是零，那么x的值是（）

X+1

A.-1B.0C.1D.±1

三、分式的基本性質

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變.

r2—4

約分：（1）my；(2)~—

20xy4x-4x+4

通分：（1）—9=7；(2)—,—；

abah"x-yx+y

四、分式的變形

例2.（2006年山西?。┫铝懈魇脚c土二上相等的是（）

x+y

（A）（”一>）+（c））（）4^4

5（B）D

（x+y）+52x+yx2-y2-x2+y2

五、分式的化簡

x-11

例3.（2006年臨安市）化簡：—4-U--）.

XX

六、分式的求值

x-12x￡,然后選取一個使原式有意義

例4.（2006年常德市）先化簡代數式:x+l+x2-l

的X的值代入求值.

七、解分式方程

0Y4

例5.（2006年陜西?。┙夥质椒匠蹋骸?2

x+2x-2

八、分式的計算

1、分式的乘除

一、a12b2a2a

(1)T->;(2)

/3a

2、分式的乘方

3

（1）（上）2(2)(N)

-2xc

3、分式的加減

,*、b223

（1）—I—;(2)4--

aab

九、易錯點剖析

1.符號錯誤

例1.不改變分式的值，使分式上?的分子、分母第一項的符號為正.

-a-b

-a+ba+b

錯解:

診斷:此題錯誤的原因是把分子、分母首項的符號當成了分子、分母的符號.

-a+b_a-b

正解:

-a-b—(〃+/?)a+b

2.運算順序錯誤

2。一4Q—2

例2.計算:?(。+3)

/+4。+3。+3

2(a—2)+(a-2)=—~|——-

錯解:原式=

a2+4a+3。~+4a+3

診斷:分式的乘除混合運算是同一級運算，運算順序應從左至右.

2a—4a+32(a+3)

正解:原式=?(。+3)=------

ci~+4a+3a-2a-1

3.錯用分式基本性質

c3,

2?！猙

例3.不改變分式的值,把分式丁二的分子、分母各項系數都化為整數.

—a+b

3

3、

（2。-0）x2QI

錯解：原式=-^——=誓A當.

（|a+勿x32a+3b

診斷：應用分式的基本性質時，分式的分子、分母必須同乘以同一個不為0的整式，分式的值

不變，而此題分子乘以2,分母乘以3,分式的值改變了.

3

(2。-0)x6

正解：原式——=1noa-9b.

(|a+加x64。+6b

4.約分中的錯誤

例￡約分：占*

1+12

錯解：原式=

1+2+匕23+匕2

診斷：約分的根據是分式的基本性質，將分子、分母的公因式約去，若分子、分母是多項式,

須先分解因式，再約去公因式.

a{a+〃)a

正解：原式=

(a+/7)2a+b

5.結果不是最簡分式

x+3yx+2y+2x-3y

例5.計算:J?2222

x-y

(x+3y)(x+2y)+(2x-3y)_2x-2y

錯解：原式=

/_y2x2-y2

診斷：分式運算的結果必須化為最簡分式，而上面所得結果中分子、分母還有公因式，必須進

一步約分化簡.

(x+3y)-(x+2y)+(2x-3y)_2x-2y_2(x-y)2

正解：原式=

9222

X一〉x-y(x+y)(x-y)x+y

6.誤用分配律

例6.計算：利+2-絲土2).

2m-4m-2

m+2m+2m+2113-m

錯解：原式=+(m+2)-

2(m-2)2(m-2)m-22(m-2)22(m-2)

診斷：乘法對加法有分配律，而除法對加法沒有分配律.

m+2m2-m-6/%+2m-21

正解：原式=

2(m-2)m-22(m-2)(〃2+2)(〃2-3)2(m-3)

7.忽略分數線的括號作用

例7.計算：----X2-x-\.

X—1

ra?_ix/%2—Xx3(x-l)(x2-x-1)2x2-1

錯解:原式二--------------

x-11x—1X-1X-1

診斷：此題錯誤在于添加分數線時，忽略了分數線的括號作用.

正解：原式=』-'+x+l(X—1)(X~+X+1)尤？]J

x-11x—\x-1x—\x-1X—1

練習感悟

一、分式概念

1.各式中，#；y,（1.x二分式的個數有（）

777"xy，7

7T

A、1個B、2個C、3個D、4個

c*a-bx+35+xa+b31+日八“g七/、

2.在「二,——,——,一-?2+-中，是分式的有（）

2x7Ta-ba

A、1個B、2個C、3個D、4個

x+3山，坐廿+1）,史女，，（x—y）中，是分式的共有（

3、下列各式:)

x714a-bm

A、1個B、2個C、3個D、4個

二、分式有意義

（1）當掙一時，分式上2匚V有意義；

——x+2

（2）分式生I中，當》=_時，分式沒有意義，當》=—時，分式的值為零;

2-x

（4）,能使分式專三的值為零的所有x的值是（）

X-1

Ax=0Bx=lCx=O或x=lDx=O或尤=±1

（5）已知當x=-2時，分式上無意義，x=4時，此分式的值為0,則。+力的值等于（

)

x-a

A.—6B.-2C.6D.2

三、分式的基本性質

1.如果把二^中的x和y都擴大5倍，那么分式的值（）

2%—3）

A擴大5倍B不變C縮小5倍D擴大4倍

2、填空：現=——6x(y+z)_

aaby3(y+z)2y+z

3a()a+21

——=-----(a豐0n)———=---------7

5xylOaxy?2-47()

-v2->,2--y-y2x_()

(x+y)2()x+3X2+3X'

4.不改變分式空金的值，使分式的分子分母各項系數都化為整數，結果是

0.3y+l

四、約分

12砂

1、⑵⑶(4)

9x2b-a4a~^+a;b

2、約分

2x+4

⑴含(2)2x?+8x+8-

加化簡片的結果是＜m

)A、B、-一—C、D、言

m+3+3m-3

五、最簡公分母

x-1用的過程中‘去分母時,

1.在解分式方程:+2=需方程兩邊都乘以最簡公分母是

x2-4

人分式?步「上的最簡公分母為

六、通分

工+-!-+上等于（1B、：AD、u

1.已知XHO,)A、C、

x2x3x2x6x6x

12

2.化簡+」的結果是()

m2-9加+3

622"?+9

A、B、二一C、D、

m2-9m-3m+3m2-9

七、分式的混合運算

x~+2x+1x‘其中T

1.先化簡，再求值:

x2-1x-1

X

2、（先化簡，再求值:1+擊，其中：x=-2。

x2-1

八、分式方程

1.若上上三=0無解，則m的值是()

x-4-4一x

A.—2B.2C.3D.—3

2.解方程：

3x—216上三1

(1)-^―=■(2)(3)-3

2x+3x-1x+2x~—42-xx—2

九、分式方程應用題

1、甲打字員打9000個字所用的時間與乙打字員打7200個字所用的時間相同，已知甲、乙兩人

每小時共打5400個字，問甲、乙兩個打字員每小時各打多少個字？

2、一名同學計劃步行30千米參觀博物館，因情況變化改騎自行車，且騎車的速度是步行速度的

L5倍，才能按要求提前2小時到達，求這位同學騎自行車的速度。

3、從甲地到乙地的路程是15千米，A騎自行車從甲地到乙地先走，40分鐘后，B乘車從甲地出

發(fā)，結果同時到達。已知B乘車速度是A騎車速度的3倍，求兩車的速度。

圖形相似與相似三角形知識點解讀

知識點1..相似圖形的含義

把形狀相同的圖形叫做相似圖形。（即對應角相等、對應邊的比也相等的圖形）

解讀：（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到.

（2）全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同.

（3）判斷兩個圖形是否相似，就是看這兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關.

例1.放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關系呢？

分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變.

解：是相似圖形。因為它們的形狀相同，大小不一定相同.

例2.下列各組圖形：①兩個平行四邊形；②兩個圓；③兩個矩形；④有一個內角80。的兩個

等腰三角形；⑤兩個正五邊形；⑥有一個內角是100°的兩個等腰三角形，其中一定是相似圖形

的是（填序號）

解析：根據相似圖形的定義知,相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩

形、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100°的等腰三角形的形狀

不唯一，它們都相似.答案：②⑤⑥.

知識點2.比例線段

對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即

-=-（或a:b=c:d）那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.

ba

解讀：（1）四條線段a,b,c,d成比例，記作3=￡（或a:b=c:d）,不能寫成其他形式，即比

ba

例線段有順序性.

（2）在比例式g=上（或a:b=c:d）中，比例的項為a,b,c,d,其中a,d為比例外項，b,c為比

bd

例內項，d是第四比例項.

（3）如果比例內項是相同的線段，即0=2或a:b=b:c,那么線段b叫做線段和的比例中項。

bc

（4）通常四條線段a,b,c,d的單位應一致，但有時為了計算方便，a和b統一為一個單位，c和d

統一為另一個單位也可以，因為整體表示兩個比相等.

例3.已知線段a=2cm,b=6mm,求@?

b

分析：求/即求與長度的比，與的單位不同，先統一單位，再求比.

h

例4.已知a,b,c,d成比例，且a=6cll1,b=3dm,d二一dm,求c的長度.

2

分析：由a,b,c,d成比例，寫出比例式a:b=c:d,再把所給各線段a,b,,d統一單位后代入求c.

知識點3.相似多邊形的性質

相似多邊形的性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等.

解讀：（1）正確理解相似多邊形的定義，明確“對應”關系.

（2）明確相似多邊形的“對應”來自于書寫，且要明確相似比具有順序性.

例5.若四邊形ABCD的四邊長分別是4,6,8,10,與四邊形ABCD相似的四邊形ABCD的最

大邊長為30,則四邊形ABCD的最小邊長是多少？

分析：四邊形ABCD與四邊形ABCD相似，且它們的相似比為對應的最大邊長的比，即為1,再

3

根據相似多邊形對應邊成比例的性質，利用方程思想求出最小邊的長.

知識點4.相似三角形的概念

對應角相等，對應邊之比相等的三角形叫做相似三角形.

解讀：（1）相似三角形是相似多邊形中的一種；

（2）應結合相似多邊形的性質來理解相似三角形；

（3）相似三角形應滿足形狀一樣，但大小可以不同；

（4）相似用“s”表示，讀作“相似于”；

（5）相似三角形的對應邊之比叫做相似比.

注意：①相似比是有順序的，比如△ABCSAABG,相似比為k,若△ABGSAABC,則相似

比為②若兩個三角形的相似比為1,則這兩個三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊

情況。若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似；若兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全

等.

例6.如圖，已知△ADESAABC,DE=2,BC=4,則和的相似比是多少？點D,E分別是AB,

AC的中點嗎？

注意：解決此類問題應注意兩方面：（1）相似比的順序性,

形的識別.

解：因為△ADES/XABC,所以匹=42=空，因為匹=

BCABACBC

所以9=空=』，所以D,E分別是AB,AC的中點.

ABAC2

知識點5.相似三角的判定方法

（1）定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似；

（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他兩邊的延長線）所構成的三角形與原三角形

相似.

（3）如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.

（4）如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三

角形相似.

（5）如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似.

（6）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似.

經過歸納和總結，相似三角形有以下幾種基本類型：

①平行線型

常見的有如下兩種，DE/7BC,則△ADES^ABC

②相交線型

常見的有如下四種情形，如圖，已知N1=NB,則由公共

角NA得，△ADESZ^ABC

如下左圖，已知/1=NB,則由公共角NA得，

AADC^AACB

如下右圖，已知NB=ND,則由對頂角N1=N2得，△ADEsaABC

③旋轉型

已知NBAD=NCAE,ZB=ZD,則△ADEs/\ABC,下圖為常見的基本圖

④母子型

已知NACB=90°,AB±CD,則△CBDs^AB