高考2023人教A版高中數(shù)學(xué)變式題8

8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系

練習(xí)

1.舉例說明什么叫相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么區(qū)別？

【答案】答案見解析

【分析】根據(jù)相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系概念即可說明.

【詳解】相關(guān)關(guān)系：當(dāng)自變量取值一定，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性（非確定性關(guān)

系），

函數(shù)關(guān)系：函數(shù)關(guān)系指的是自變量和因變量之間的關(guān)系是相互唯一確定的.

相同點(diǎn):均是指兩個變量的關(guān)系.

不同點(diǎn):函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，因果關(guān)系;而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，也可

能是伴隨關(guān)系.

舉例：身高與體重是相關(guān)關(guān)系，身高越高體重不一定大.

2.根據(jù)下面的散點(diǎn)圖，判斷圖中的兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系.

7l-

6k

5l-

4k

”

2l-

lh

00

【答案】（1）存在相關(guān)關(guān)系;（2）存在相關(guān)關(guān)系;（3）不存在相關(guān)關(guān)系；（3）存在相關(guān)關(guān)系;

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖中散點(diǎn)呈現(xiàn)的變化趨勢依次判斷兩個變量間的相關(guān)關(guān)系即可.

【詳解】（1）由（1）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個變量確定的散點(diǎn)幾乎落在了一條直線附

近，所以可以判定兩個變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，圖像呈現(xiàn)左上右下趨勢，說明兩個

變量呈負(fù)線性相關(guān)關(guān)系；

（2）由（2）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個變量確定的散點(diǎn)幾乎落在了一條曲線附近，所以

可以判定兩個變量之間存在相關(guān)關(guān)系，而且是非線性相關(guān)關(guān)系；

（3）由（3）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個變量確定的散點(diǎn)沒有落在了一條直線或者曲線附

近，是雜亂無章的，所以可以判定兩個變量之間不存在相關(guān)關(guān)系；

（4）由（4）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個變量確定的散點(diǎn)幾乎落在了一條直線附近，所以

可以判定兩個變量之間存在相關(guān)關(guān)系，圖像呈現(xiàn)左下右上趨勢，說明兩個變量呈正線性

相關(guān)關(guān)系：

3.下表給出了一些地區(qū)的鳥的種類數(shù)與該地區(qū)的海拔高度的數(shù)據(jù)，鳥的種類數(shù)與海拔

高度是否存在相關(guān)關(guān)系？如果是，那么這種相關(guān)關(guān)系有什么特點(diǎn)？

地區(qū)ABCDEFGH/JK

海拔An1250115810674577017316106701493762549

鳥的種類/種363037111113171329415

【答案】存在正相關(guān)，相關(guān)性較強(qiáng).

【分析】由表中數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)鳥的種類數(shù)為y,海拔高度為x,

—x=-1-2-5-0-+--1-1-5-8--+-1-0-6-7--+-4-5-7--+-7-0-1--+-73-1--+-6-1-0--+-6-7-0--+-1-4-9--3-+-7-6--2-+-5-4--9*8c5l8c.9c,

—y=-3-6-+-3--0-+-3-7--+-1-1-+--1-1-+--13-+--1-7-+--1-3-+--2-9-+-4-+--1-S?19.6,

r=魂1節(jié)t詞_x0.793,

當(dāng)r>0時，且0.75<rWl時，兩變量正相關(guān)，相關(guān)性較強(qiáng).

所以由數(shù)據(jù)可知，鳥類的種數(shù)隨海拔高度增加而增加，

兩者呈正相關(guān)，相關(guān)性較強(qiáng).

8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)

例1根據(jù)表8.1-1中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，判斷兩個變量是否線性相關(guān)，計(jì)算

樣本相關(guān)系數(shù)，并刻畫它們的相關(guān)程度.

解：先畫出散點(diǎn)圖（圖8.1-1）.觀察散點(diǎn)圖，可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近,

試卷第2頁，共12頁

由此判斷脂肪含量和年齡線性相關(guān).

根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義，

r_￡；■（4一￡）?「歹）_______電皿T4沖______

JE比（4-%）21送33-歹）2產(chǎn)

利用計(jì)算工具計(jì)算可得

x?48.07,y?27.26,溫%為=19403.2,

2：：*=34181,2：：*=11051.77.

由樣本相關(guān)系數(shù)r=0.97,可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程

度很強(qiáng).

例2有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年內(nèi)收入的總和）與A商品銷售

額的10年數(shù)據(jù)，如表8.1-2所示.

表8.1-2

畫出散點(diǎn)圖，判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)判斷居民年收入與

A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢的異同.

解：畫出成對樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（圖8.1-6）,從散點(diǎn)圖看，A商品銷售額與居民年收入

的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系.

由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)r。0.95.由此可以推斷，A商品銷售額與居民年收入

正線性相關(guān)，即A商品銷售額與居民年收入有相同的變化趨勢，且相關(guān)程度很強(qiáng).

A商從梢售額/萬兀

55

50

40-

35-

30t

25-

201-----1-----?----------1-------------f

3035404550居民年收入/億元

圖8.1-6

例3在某校高一年級中隨機(jī)抽取25名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù),

如表8.1-3所示.

體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性？

解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)分別畫出體重與身高、臂展與身高的散點(diǎn)圖(圖8.1-7(1)和(2)),

兩個散點(diǎn)圖都呈現(xiàn)出線性相關(guān)的特征.

(1)(2)

圖8.1-7

通過計(jì)算得到體重與身看、臂展與身高的樣本相關(guān)系數(shù)分別約為0.34和0.78,都為正

線性相關(guān).其中，臂展與身高的相關(guān)程度更高.

練習(xí)

4.由簡單隨機(jī)抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之

間的相關(guān)關(guān)系？為什么？

【答案】不一定，原因見詳解；

【分析】根據(jù)由簡單隨機(jī)抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性進(jìn)行具體的分析即可.

【詳解】因?yàn)橛珊唵坞S機(jī)抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，由此得到的到樣本相關(guān)

系數(shù)也具有一般性，因此由簡單隨機(jī)抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)不一定能

確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系.

5.已知變量x和變量y的3對隨機(jī)觀測數(shù)據(jù)(2,2),(3,-1),(5,-7),計(jì)算兩個變量的

樣本相關(guān)系數(shù).能據(jù)此推出這兩個變量線性相關(guān)嗎？為什么？

試卷第4頁，共12頁

【答案】r=—1，線性相關(guān)，因?yàn)閨r|=l

【分析】計(jì)算相關(guān)系數(shù)即可得出結(jié)果.

則相關(guān)系數(shù)

,一產(chǎn)=臼一方8田一(3)*4+(1丁+沼-5)-一即m=1,

r的絕對值越接近1相關(guān)性越強(qiáng)，7?的絕對值越接近0相關(guān)性越弱，

所以兩個變量線性相關(guān)，

6.畫出下列成對數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù).據(jù)此，請你談?wù)剺颖鞠嚓P(guān)系數(shù)

在刻畫兩個變量間相關(guān)關(guān)系上的特點(diǎn).

(1)(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)；

(2)(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)；

(3)(-2,-8),(-1,—1),(0,0).(1,1),(2,8),(3,27)；

(4)(2,0),(1.V3),(0,2),(-1,V3),(-2,0).

【答案】(1)圖見解析；r=l：(2)圖見解析；r=0.959；(3)圖見解析；r=0.893；

(4)圖見解析；r=0；|r|越接近1,樣本的相關(guān)性越強(qiáng)，越接近0,相關(guān)性越弱.

【分析】根據(jù)每組的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，并根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)；并由相關(guān)系

數(shù)的大小，來判斷樣本數(shù)據(jù)變量的相關(guān)關(guān)系.

【詳解】(1)散點(diǎn)圖如下：

6A

-4-i-2-1q1i3

?-B-

?V

由點(diǎn)數(shù)據(jù)知：

x=-x(-2-1+0+1+2+3)=i,y=7X(-3-1+1+34-5+7)=2；

626

2；=式%一x)(yz-y)=(-2-|)x(-3-2)+-+(3-1)x(7-2)=35；

2：=[x?=(一2)2+“.+32=19；2M資=(一3)2+…+72=94；

則^.=35=i

］（22戶f-欣z）（2MW-n產(chǎn)）J(19-6xi)(94-6x4)

（2）散點(diǎn)圖如下：

9

K

7

6

5

4

3

2

1

由點(diǎn)數(shù)據(jù)知：

X=|x(0+1+2+3+4)=2,y=|x(0+1+4+9+16)=6；

2：=1(々一^)(y；-y)=(0-2)X(0-6)+-+(4-2)X(16-6)=40；

22

2：=i#=。2+...+42=30.=0+??■+16=354；

rn.l23GL幻(％一刃40

則丁=j==7,一、Xn0.n9c5o9；

J(ZMx『-M)(2My『F矛)7(30-5x4)(354-5x36)

(3)散點(diǎn)圖如下：

試卷第6頁，共12頁

由點(diǎn)數(shù)據(jù)知：

x=-1X(-2-l+0+l+2+3)=i1,y1=ix(-8-1+0+1+8+27)="9；

6262

2：=18一兄)(%一9)=(-2-1)x(-8-|)+-+(3-|)x(27-|)=101.5；

2：=]*=(-2)2+…+32=19；2：=]*=(-8)2+…+272=859；

則r=,$(3)55=】?！?。0,893；

9,)J(19-6xl)(859-6x21)

(4)散點(diǎn)圖如下：

y

3-

2.

I

-3-5-1°~~i53*

-1

-2

-3-

由點(diǎn)數(shù)據(jù)知：

x=lx(2+l+0-l-2)=0,y=ix(0+V3+2+V3+0)?1.093；

2：=i?-元)(％-y)=(2-0)x(0-1.093)+…+(-2-0)x(0-1.093)=0；

則r=次—)=0;

呼-欣2)(2；=]%?_眇2)

綜上，由相關(guān)系數(shù)的值可知，|r|越接近1,樣本的線性相關(guān)性越強(qiáng)，越接近0,線性相

關(guān)性越弱.

7.隨機(jī)抽取7家超市，得到其廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下：

超市ABCDEFG

廣告支出/萬元1246101420

銷售額/萬元19324440525354

請判斷超市的銷售額與廣告支出之間的相關(guān)關(guān)系的類型、相關(guān)程度和變化趨勢的特征.

【答案】線性相關(guān)關(guān)系；相關(guān)程度高；銷售額與廣告支出的變化趨勢相同.

【分析】作出成對數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，由數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)即可得出結(jié)果.

【詳解】成對數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示：

fy銷售額/萬元

60-.

50-**

40-,

30--

20-.

10

~~2~~4~~6~8-101214161820

廣告支出/萬元

從散點(diǎn)圖上可得，超市的銷售額與廣告支出之間呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系，

1+2+4+6+10+14+2057

由數(shù)據(jù)可得元=

77

—19+32+44+40+52+53+54,仁

y=---------7---------=42-

羽=1陽%=2841,2=753,2=13350,

...r_—里-7Q_447_0。。

厚通2-7戈]工：=1%2-74

由此可推斷，銷售額與廣告支出之間具有相關(guān)關(guān)系，相關(guān)程度較強(qiáng),

且銷售額與廣告支出的變化趨勢相同.

習(xí)題8.1

試卷第8頁，共12頁

復(fù)習(xí)鞏固

8.在以下4幅散點(diǎn)圖中，判斷哪些圖中的），和x之間存在相關(guān)關(guān)系？其中哪些正相關(guān),

哪些負(fù)相關(guān)？哪些圖所對應(yīng)的成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系？哪些圖所對應(yīng)的成

對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出非線性相關(guān)關(guān)系.

【答案】圖（2）（3）（4）中的y和x之間存在相關(guān)關(guān)系；其中圖（2）（4）中的y和x

之間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，圖（3）中的y和x之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系；圖（2）（3）中的）'和

x之間呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系；其中圖（4）中的y和x之間呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系；

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖中散點(diǎn)呈現(xiàn)的變化趨勢依次判斷兩個變量間的相關(guān)關(guān)系即可.

【詳解】（1）由（1）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個變量確定的散點(diǎn)沒有落在了一條直線或

者曲線附近，是雜亂無章的，所以可以判定兩個變量之間不存在相關(guān)關(guān)系；

（2）由（2）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個變量確定的散點(diǎn)幾乎落在了一條直線附近，所以

可以判定兩個變量之間存在相關(guān)關(guān)系，圖像呈現(xiàn)左下右上趨勢，說明兩個變量呈正線性

相關(guān)關(guān)系；

（3）由（3）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個變量確定的散點(diǎn)幾乎落在了一條直線附近，所以

可以判定兩個變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，圖像呈現(xiàn)左上右下趨勢，說明兩個變量呈負(fù)

線性相關(guān)關(guān)系；

（4）由（4）的散點(diǎn)圖可以看到，兩個變量確定的散點(diǎn)幾乎落在了一條曲線附近，所以

可以判定兩個變量之間存在相關(guān)關(guān)系，而且是非線性相關(guān)關(guān)系；

綜上，圖（2）（3）（4）中的y和x之間存在相關(guān)關(guān)系；其中圖（2）（4）中的y和x之

間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系；圖（2）（3）中的y和x之間呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系；其中圖（4）中的

y和x之間呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系；

綜合運(yùn)用

9.隨機(jī)抽取10家航空公司，對其最近一年的航班正點(diǎn)率和顧客投訴次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，所

得數(shù)據(jù)如下：

航空公司編號12345678910

航班正點(diǎn)率/%81.876.876.675.773.872.271.270.891.468.5

顧客投訴/次2158856874937212218125

顧客投訴次數(shù)和航班正點(diǎn)率之間是否呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系？它們之間的相關(guān)程度如何？

變化趨勢有何特征？

【答案】線性相關(guān);y=-4.70454x+430.580；相關(guān)程度高，

變化趨勢是正點(diǎn)率提高一個百分點(diǎn)顧客投訴次數(shù)少約為4.7.

【分析】利用最小二乘法求出回歸方程即可求解.

【詳解】設(shè)顧客投訴次數(shù)為y,正點(diǎn)率為X,

型iQ=53978.3,2=57975.1,2=65796

設(shè)回歸方程歹=bx+a,

1

x=—（81.8+76.8+76.6+75.7+73.8+72.2+71.2+70.8+91.4+68.5）=75.88

歹=看（21+58+85+68+74+93+72+122+18+125）=73.6,

K_一9）_理XM-1O沖_53978.3-55847.68?0

_幻2-X/Xj2-10x2-57975.1-S7577.744?1，

將?刃代入回歸直線方程：y=bx+a可得a=430.580,

所以線性回歸方程為：y=-4.70454%+430.580,

試卷第10頁，共12頁

相關(guān)系數(shù)r=?金*（丁一行（”也=53978.3-10X75.88X73.6

x-0.87,

V57975.1-10X75.882V65976-10X73.62

r的絕對值越接近1,相關(guān)性越強(qiáng)，所以相關(guān)程度高.

變化趨勢是正點(diǎn)率提高一個百分點(diǎn)顧客投訴次數(shù)少約為4.7.

10.根據(jù)物理中的胡克定律，彈簧伸長