高中物理單擺模型

擺的研究

物理模型是實(shí)際物體的抽象和概括,它反映了客觀事物的主要因素與特征,是連接理論和應(yīng)用的橋梁.我們把研究客觀事物主要因素與特征進(jìn)行抽象的方法稱之為模型方法,是物理學(xué)研究的重要方法之一.中學(xué)物理習(xí)題都是依據(jù)一定的物理模型進(jìn)行構(gòu)思、設(shè)計(jì)而成的,因此,在解答物理習(xí)題時(shí),為使研究復(fù)雜物理問題方便起見,往往通過抽象思維或形象思維,構(gòu)建起描述物理問題的模型,使用物理模型方法,尋找事物間的聯(lián)系,迅速巧妙地解決物理問題.單擺就是實(shí)際擺的一種理想化物理模型，在處理問題時(shí)可以起到柳暗花明的功效，主要有以下應(yīng)用?！締螖[模型簡述】在一條不可伸長的、忽略質(zhì)量的細(xì)線下端栓一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球,當(dāng)不必考慮空氣阻力的影響,在擺角很小的情況下可看作簡諧運(yùn)動(dòng),其振動(dòng)周期公式可導(dǎo)出為【視角一】合理聯(lián)想,挖掘相關(guān)物理量.例1.

試用秒表、小石塊、細(xì)線估算電線桿的直徑.分析與解:要估算電線桿的直徑,題目中沒有給刻度尺,因此,用什么來替代刻度尺是問題的關(guān)鍵.秒表、小石塊似乎對(duì)測量電線桿的直徑?jīng)]有直接關(guān)系；若是聯(lián)想到小石塊可以與細(xì)線組成單擺，秒表可用來測量時(shí)間，本題便不難解決了。用等于n個(gè)電線桿圓周長的細(xì)線與小石塊組成單擺，用秒表測出單擺m（30～50）次全振動(dòng)所用時(shí)間t，則單擺振動(dòng)的周期電線桿的圓周長，電線桿的直徑有【視角二】遷移與虛擬，活化模型方法.例2.

一傾角α很小(α＜2°)的斜劈固定在水平地面,高為h［如圖1(a)］.光滑小球從斜劈的頂點(diǎn)A由靜止開始下滑,到達(dá)底端B所用時(shí)間為t1.如果過A、B兩點(diǎn)將斜劈剜成一個(gè)光滑圓弧面,使圓弧面在B點(diǎn)恰與底面相切,該小球從A由靜止開始下滑到B所用的時(shí)間為t2.求t1與t2的比值.A

B(b)AhB(a)

A

B(b)AhB(a)

L2αα圖1將斜劈剜成光滑圓弧面后.虛擬并遷移單擺模型,因2α＜4°,小球在圓弧面運(yùn)動(dòng)時(shí)受重力與指向圓心的彈力作用,這與單擺振動(dòng)時(shí)的受力——重力與指向懸點(diǎn)的拉力類似.如圖1(b)所示.則小球在圓弧面上的運(yùn)動(dòng)就是我們熟知的簡諧運(yùn)動(dòng).這樣能使問題化繁為簡,化難為易,迅速找到解決問題的途徑.因?yàn)長-h=Lcos2α.所以.小球沿圓弧面從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為單擺周期的1/4.故所以,t1∶t2=4∶π.【視角三】等效變換,化解習(xí)題難度.例3.

如圖2(a)所示是一種記錄地震裝置的水平擺,擺球m固定在邊長為L、質(zhì)量可略去不計(jì)的等邊三角形的頂角A上,它的對(duì)邊BC跟豎直線成不大的夾角α,擺球可繞固定軸BC擺動(dòng),求擺球作微小擺動(dòng)時(shí)的周期.分析與解:該題有多種求解方法,若采用等效法,能化解難度,關(guān)鍵是求等效擺長,因擺球在豎直平面內(nèi)平衡,關(guān)于軸BC做微小振動(dòng),將擺球所受重力作用線做反向延長,在轉(zhuǎn)軸BC延長O

O

圖2則為等效擺長.在圖2(b)的三角形OCA中運(yùn)用正弦定理,有則故.從公式中可看出，單擺周期與振幅和擺球質(zhì)量無關(guān)．從受力角度分析，單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回復(fù)力越大，加速度（gsin）越大，在相等時(shí)間內(nèi)走過的弧長也越大，所以周期與振幅、質(zhì)量無關(guān)，只與擺長l和重力加速度g有關(guān)．在有些振動(dòng)系統(tǒng)中l(wèi)不一定是繩長，g也不一定為9.8m/s，因此出現(xiàn)了等效擺長和等效重力加速度的問題．物理上有些問題與單擺類似，經(jīng)過一些等效可以套用單擺的周期公式，這類問題稱為“等效單擺”．等效單擺在生活中比較常見．除等效單擺外，單擺模型在其他問題中也有應(yīng)用．小角近似公式和實(shí)際曲線比較4真實(shí)周期推導(dǎo)\o"編輯本段"編輯上面提到是角度比較小的時(shí)候單擺的近似公式，但科學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，在此補(bǔ)充在任意角度下單擺的周期公式。在此之前先提出兩個(gè)概念（我用mathematica的定義）：第一類不完全橢圓積分：第一類完全橢圓積分：下面我用微分方程進(jìn)行討論，讀者可以嘗試用動(dòng)能定理進(jìn)行計(jì)算，可以更簡潔地得到其特解。設(shè)擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ，那么單擺的運(yùn)動(dòng)公式為：令

，于是有

上式改寫成：這是一個(gè)可分離變量的微分方程！分離變量：其通解為給定初始條件

（0≤α≤π），

，則其特解為：所以考慮t（t是四分之一周期）：設(shè)

，則又考慮到便可以化簡得到按照前面的定義，便有此處的α就是常說的擺角。